Методическая разработка для учащихся 11-го класса «Решение логарифмических уравнений с параметром»

Методические разработки, презентации и конспекты

у х 0 1 2 3 4 5 6 7 у х 0 1 2 3 4 5 6 7 У= log 2 х У= log 0,5 х х 1/2 1 2 4 8 у х 1/2 1 2 4 8 у -1 0 1 2 3 1 0 -1 -2 -3 y = log 2 x y=log 0,5 x

«ХИТРОСТИ» свойств логарифмов:

Преобразование логарифмических выражений Сравнить числа Решение. Так как И 15+

Преобразование логарифмических выражений Доказать, что

Уравнения вида log g(x) f(x)=b равносильны смешанной системе Логарифмы с переменным основанием

Уравнения вида log f(x) g(x )=log f(x) h(x) или

Уравнения вида log g(x) f(x )=log p(x) f(x) или

Методы решения логарифмических уравнений

1. Решение уравнений, основанных на определении логарифма log 2 (5 – x ) = 3. По определению логарифма 5 – х = 2 3 , откуда х = –3. х = –3 – корень уравнения. Ответ: х = –3.

3.Применение основного логарифмического тождества log 2 (9 – 2 x ) =10 lg(3 – x ) Область определения уравнения откуда х < 3. Применив в правой части уравнения основное логарифмическое тождество, получим: log 2 (9 – 2 x ) = 3 – x или 9 – 2 x = 2 3 – x или , 2 2 х – 9 · 2 х + 8 = 0, откуда 2 х = 1, х 1 = 0; 2 х = 8, х 2 = 3. Так как x < 3 , то х 2 = 3 – посторонний корень. Ответ: х = 0.

Замена переменных в уравнениях Две основные идеи решения логарифмических уравнений: приведение уравнения к виду с последующим потенцированием; замена неизвестных вида с предшествующим преобразованием уравнения к удобному для этой замены виду.

Тренировочные упражнения Ответ: 2;16 Ответ: 9;1/3 Ответ:0,125; 2 Ответ: 1/3; 3 Ответ: 2; 16

6. Переход к другому основанию Запишем уравнение в виде Далее имеем Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 3, получим: откуда Ответ:

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ И СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

Сведение к рациональным неравенствам Тренинг

Метод интервалов и систем Тренинг

Неравенства вида log h(x) f(x)

Частный случай при b=0 b=1 b=2

Решить неравенства log 3 ( x 2 — x ) ≥ log 3 ( x + 8);

Смешанные задачи с логарифмами Модули и возведение в квадрат Логарифмы и корни

Ученик проходит в несколько лет
дорогу, на которую человечество
употребило тысячелетие.
Однако его следует вести к цели
не с завязанными глазами, а
зрячим: он должен воспринимать
истину, не как готовый  результат,
а должен её открывать.
Учитель должен руководить этой
 экспедицией открытий, следовательно,
также присутствовать не только в качестве
простого зрителя.
Но ученик должен напрягать свои силы; ему ничто
не должно
доставаться даром. Даётся  только тому, кто
стремится.

Кто любит учиться, никогда
не проводит время в праздности.

Гений состоит из одного  процента
вдохновения и девяноста девяти процентов
потения.

Данная методическая разработка «Решение
логарифмических уравнений с параметрами»
предназначена для учащихся 11 классов, желающих
углубить и расширить свои знания по математике,
готовящихся к поступлению в высшие учебные
заведения, понимающих, что математику надо учить
потому, что она ум в порядок приводит и без неё
невозможно стать специалистом в любой отрасли
знаний, невозможно стать профессиональным
специалистом.
В структуре методической разработки
рассматриваются три типа решения
логарифмических уравнений с параметрами:

При решении логарифмических уравнений с
параметрами необходимо  придерживаться
следующей схемы:

1. Найти область допустимых значений.
2. Решить уравнение (чаще всего выразить х
через а).
3. Сделать перебор параметра а с
учетом ОДЗ.
4. Проверить, удовлетворяют ли найденные корни
уравнения условиям ОДЗ.
5. Записать ответ.

Рассмотреть примеры (см. Приложение).

Если ставится задача для каждого значения a из некоторого множества A решить уравнение F(x,a) = 0 относительно x, то уравнение F(x,a) = 0 называется уравнением с параметром a, а множество A — областью изменения параметра.
Решить уравнение F(x,a) = 0 с переменной xи параметром a — это значит на подмножестве A множества действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из уравнения F(x,a) = 0 при всех значениях параметра a.
Ясно, сто написать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.
Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых, или при переходе через которые, происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра будем называть контрольными.
Покажем на примерах, как эти значения параметра обнаруживаются, как с их помощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом подмножестве решается заданное уравнение (система уравнений, неравенство).

2. Показательные и логарифмические уравнения

Рассмотрим решение показательных и логарифмических уравнений с параметром на конкретных примерах.

Найти все значения параметра a, при которых уравнение 21g(x + 3) = lg ax имеет единственный корень.

Данное уравнение эквивалентно системе:

Квадратное уравнение имеет единственное решение, если D = 0, то D = (a — 6)2 – 4 • 9 = a2 – 12a. D = 0 при a = 12. Если a = 0, то x = -3 ∉ (-3; +∞). Если a = 12, то

Ответ: уравнение имеет одно решение при a = 12, a < 0.

При каких значениях параметра уравнение a ∙ 2x + 2x — 1 — 5 = 0 имеет единственное решение?

Ответ: уравнение имеет единственное решение при a ≤ 0, a = 25 / 4.

Найти все значения параметра, при которых уравнение x + log1 / 3(9x — 2a) = 0 имеет два различных решения.

Объединяя условия существования двух различных корней квадратного уравнения и их положительности, получаем: a ∈ (-1 / 8; 0).

Ответ: Уравнение имеет два различных решения при a ∈ (-1 / 8; 0).

Решите следующие примеры самостоятельно.

1. Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение log2(4x — a) = x имеет два различных решения.

2. Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение log3(9x + 9a3) = x имеет два различных решения.

5. Решите уравнение 4x — 4m∙n∙2x + 2m + 2 = 0.

6. Решите уравнение 4x — 2a(a + 1)2x — 1 + a3 = 0.

7. Решите уравнение lg2 x — lg x + a = 0.

8. При каких значениях параметра уравнение 144-∣2x — 1∣ — 2∙12-∣2x — 1∣ + a = 0 имеет хотя ьы одно решение?

1. a ∈ (-1 / 4; 0).

4. При a ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞) x = 3 / 4.

6. При a ∈ (0; +∞) x1 = 2log2 a, x2 = log2 a, при a = 0 x ∈ ∅, при a ∈ (-∞; 0) x = log2 a2.

10. x = 10.

3. Показательные и логарифмические неравенства

При a ≤ 0 и a = 0 показательная функция не определена, следовательно, неравенство не имеет решения.

Введем вспомогательную переменную ax = z.

Решив алгебраическое неравенство методом интервалов, получим z ∈ (-∞; 1 / 2) ∪ (1; 2),

Монотонность показательной функции зависит от величины основания, следовательно,

Чтобы последнее неравенство из системы выполнялось при всех значениях x, необходимо условие отрицательности его правой части,

Ответ: a ∈ (-∞; -2,5).

Решите следующие упражнения самостоятельно.

6. Найдите все действительные значения параметра, при которых неравенство 1 + log2(2×2 + 2x + 7 / 2) ≥ log7(cx2 + c) имеет хотя бы одно решение.

7. Найдите все действительные значения параметра, при которых неравенство 1 — log1 / 7(x2 + 1) ≥ log7(ax2 + 4x + a) справедливо при всех x.

2. a ∈ (-∞; -2).

5. a ∈ (1; +∞).

8. При a ∈ (-∞; 0) x < 2 + log2(-a), при a = 0 x ∈ ∅, при a ∈ (0; +∞) x < log2 a + 1.

Теория для решения заданий 15 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.

Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.

Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.

В уроке разбираем, что такое арифметический квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами. Выносим множитель из под знака корня. Избавляемся от иррациональности

Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.

Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №4 из ЕГЭ по профильной математике.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Закон преломления светового потока на границе раздела двух сред. Явление полного отражения света на границе раздела с оптически более плотной средой.

Подробно разбираем основную теорию про космос необходимую для успешного решения задач по астрономии в ЕГЭ по физике. Также рассмотри несколько основных примеров задания №24 из ЕГЭ.

Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Основные ошибки, что нужно знать, статистика прошлых лет в первой части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1)
Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

Теперь разберемся, как при помощи математики записать те или иные условия. Разберем условие: (x_1≤x_2<γ). Точно такие же рассуждения будут справедливы и для других условий.

В итоге получаем:

если (a*f(γ)<0), то (γ∈(x_1,x_2)),

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа (γ). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы (x_0) относительно (γ). Заметим, что вершина лежит между точками (x_1) и (x_2). Если (x_0<γ), то в системе с предыдущими условиями это будет означать, что число (γ) лежит справа от отрезка ((x_1,x_2)) и соответственно удовлетворяет условию задачи (x_1≤x_2<γ).

Таким образом, для того, чтобы решить задачу с условием (x_1≤x_2<γ) необходимо решить следующую систему:

То, что дискриминант неотрицательный дает нам существование корней. Второе неравенство указывает, что (γ∉(x_1,x_2)). И последнее в совокупности с первыми двумя, что оба корня лежат слева от (γ).
Аналогичные рассуждения можно провести для любых условий. Настоятельно рекомендую разобраться во всех пунктах и откуда возникает вышеуказанная система неравенств, и вы легко сможете проводить анализ квадратных уравнений с параметром.

Ниже приведена таблица, в которой разобраны все варианты расположения нулей квадратичной функции на числовой прямой и соответствующие им условия. (см. таблицу)

При каких значениях параметра a уравнение
$$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$
имеет более одного корня?

1 случай:
Если (a(a+3)=0), то уравнение будет линейным. При (a=0) исходное уравнение превращается в (6x-9=0), корень которого (x=1,5). Таким образом, при (a=0) уравнение имеет один корень.
При (a=-3) получаем (0*x^2+0*x-0=0), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

Подставляем полученные выражения в систему:

После равносильных преобразований получим систему:

Наша задача свелась к исследованию квадратного многочлена:

$$ f(x)=x^2+(2a-1)x+(a^2+5). $$

Обратим внимание, что коэффициент при (x^2) положителен, т.е. ветки параболы направлены вверх.

$$ f(-a)≤0 ⇔ a+5≤0 ⇔ a≤-5;$$

Таким образом, при (a ≤ -5) мы имеем одно решение:

Рассмотрим линейные уравнения с параметром вида:
$$p(a)x-q(a)=0,$$
где (p(a)) и (q(a))- выражения, которые зависят от параметра. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все (x) при всех значениях параметра (a). Приведем наше уравнение к виду:
$$p(a)x=q(a),$$
Отсюда единственное решение:

Если же (p(a)=0) и (q(a)=0), то решением данного уравнения является любое число. И последний случай, когда (p(a)=0),а (q(a)≠0), то уравнение не имеет решений.
Замечу, что по некоторым уравнениям сразу невозможно определить, являются ли они линейными. Выполнив некоторые преобразования, вдруг обнаружим, что в уравнении отсутствуют члены с (x) в степени большей, чем 1. Если изначально у нас и были старшие степени, то теперь они сократились.
Мы провели анализ линейного уравнения в общем виде, теперь разберем несколько примеров:

Решить уравнение (ax-5a=7x-3) при всех возможных (a).

Найдите все (a), при которых корнем уравнения $$ax+5a-2(3x+2)=-5x+a^2$$ будет любое число.

Из ОДЗ видно, что (5a+x≠0) и (x-5a≠0,) таким образом, (x≠±5a.)
Приведем уравнение к общему знаменателю (x^2-25a^2) и умножим на него все уравнение:
$$x^2-5ax-x^2-10ax-25a^2=-100a^2$$
$$-15ax=-75a^2$$
$$ax=5a^2.$$

После преобразований получили линейное уравнение.

Первый случай: (a=0.) Получаем уравнение (0*x=0.) Решениями этого уравнения будет любое число, кроме (x=0) (ОДЗ (x≠±5a)).

Ответ: При (a=0) решениями уравнения будут все действительные числа, кроме (x=0.) Если (a≠0,) то решений нет.

Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

Открытый банк заданий по теме системы уравнений с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1227

Тип задания: 18
Тема:
Системы уравнений с параметром

Условие

Если y geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность с центром в точке радиуса , а если y < 0, то оно задаёт окружность с центром в точке того же радиуса.

При второе уравнение задаёт окружность с центром в точке радиуса . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра , при каждом из которых окружность имеет ровно две общие точки с объединением окружностей и

Координаты точки касания окружностей и явно видны на чертеже — точки и . То есть при и окружности и касаются. При и окружности и не пересекаются, при 1 < a < 7 окружности и имеют  общие точки.

Исходная система имеет ровно  решения тогда и только тогда, когда окружность с одной из окружностей и имеет  общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как 1<4sqrt 5-3<7<4sqrt 5+3, то условию задачи удовлетворяют значения (7; 4sqrt 5+3).

Ответ

Преобразуем второе уравнение системы, выделив полные квадраты:

Сделав замену переменных и получим систему:

При такой замене старая и новая система имеют одинаковое число решений.

Построим графики уравнений и  в системе координат

Графики уравнений системы имеют ровно  общие точки, и следовательно система имеет ровно  решения тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо её радиус удовлетворяет условию:

В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами  и , откуда

Если x geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность с центром в точке радиуса , а если то оно задаёт окружность с центром в точке того же радиуса.

При второе уравнение задаёт окружность с центром в точке радиуса . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра , при каждом из которых окружность имеет единственную общую точку с объединением окружностей и

Из точки  проведём луч и обозначим и точки его пересечения с окружностью где лежит между  и

Координаты точки касания окружностей и явно видны на чертеже: это точки и . То есть при и окружности и касаются. При остальных значениях параметра  окружности и либо имеют  общие точки, либо не имеют общих точек.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность касается ровно одной из двух окружностей и и не пересекается с другой.

Так как 1<3sqrt 5-2<5<3sqrt 5+2, то условию задачи удовлетворяют только числа и

По неравенству треугольника AB+AC geqslant BC, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда точка принадлежит отрезку . Это значит, что для координат точки справедливы неравенства: 0 leqslant x leqslant 3, 0 leqslant y leqslant a.

Тогда из второго уравнения системы имеем:

Ровно два решения будет, если круг касается обеих сторон угла. Тогда центр круга должен лежать на биссектрисе угла, то есть на луче . Следовательно, ордината центра круга должна равняться нулю, а абсцисса быть больше нуля. Ордината равна нулю, если cos pi a=0, pi a=rac pi 2+pi k, k in mathbb Z, ∈ .

Решим задачу графически. Построим графики первого и второго уравнения и определим, сколько точек пересечения они имеют при различных значениях параметра.

У точек и абсцисса равна ординаты находим из уравнений прямой и гиперболы. и

При каждом значении уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом , проходящую через начало координат. Чтобы найти значение , при котором такая прямая проходит через точку с указанными координатами, нужно подставить координаты в уравнение прямой.

Например, для точки получаем

Аналогично для и для

При прямая пересекает прямую при и пересекает правую ветвь гиперболы при пересекает левую ветвь гиперболы при При этом прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы при

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы с прямой при условии

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 0 < a leqslant 0,2;

При каких значениях параметра  система

имеет ровно  решения?

Решение

Преобразуем второе уравнение системы, выделив полный квадрат

Сделав замену переменных получим систему

При такой замене число решений новой и старой системы одинаково. Построим графики уравнений  и  в системе координат .

Графики уравнений системы имеют ровно  общие точки, и следовательно, система имеет ровно  решения тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо её радиус удовлетворяет условию 5 < r < 12.

Если a
eq -1, то имеем квадратное уравнение.

а) Квадратное уравнение имеет единственный корень, а следовательно, система имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю:

Найдите, при каких значениях параметра  система

имеет не менее трёх решений.

В прямолинейной системе координат построим графики обоих уравнений для некоторых значений . Для этого заметим, что первое уравнение задаёт окружность, а для второго — построим сначала график функции без внешнего модуля. Проанализируем, как изменяются графики в зависимости от , и определим, в каких ситуациях графики пересекаются ровно в трех точках. Найдем граничные значения .

Построим графики уравнений системы.

При x leq 3enspace

При 3 < x leq 6enspace

имеет ровно два решения?

Графиком уравнения будут стороны угла.

Открытый банк заданий по теме задачи с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Обозначим Числа и будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

. При уравнение корней не имеет.

Проверим условие x
eq -3,, x
eq a.

Значит, a=pm 2sqrt rac73 удовлетворяет условию.

При должно выполняться равенство

При   и  исходное уравнение имеет единственный корень.

− pm 2sqrt rac73 ;

Задание №1019

Построим графики этих функций.

Найдём стационарные точки: при

Отсюда получаем график

Если то тогда откуда

Найдем значение , при котором прямая проходит через точку

Заметим, что если пара — решение системы, то пары также являются решениями этой системы. Пары и различны, так как в противном случае пара была бы решением системы, а это не так (иначе из первого уравнения и второе уравнение не обращается в верное равенство при ). Рассуждая аналогично, получим, что пары и тоже различны.

Система имеет два решения, если совпадают пары и или совпадают пары и , то есть либо выполняется равенство , либо выполняется равенство .

Если , то исходная система уравнений примет вид:

Умножая второе уравнение на  и складывая результат с первым уравнением системы, получим равносильную систему

1. Линейные уравнения и приводимые к ним уравнения с параметрами.2. Квадратичные и сводимые к ним уравнения с параметрами.3. Уравнения с параметрами, содержащие модуль.4. Системы уравнений с параметрами.5. Иррациональные уравнения с параметрами.6. Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным. Системы неравенств.7. Квадратичные неравенства с параметрами.8. Иррациональные неравенства с параметрами.9. Уравнения и неравенства с параметрами, содержащие логарифмы.10. Тригонометрические уравнения, неравенства и системы уравнений с параметрами.

Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром

Существует ровно три генеральных метода решения задач 17:

Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.

Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)

Глава 1. Графический подход § 1. Вебинар по задачам 18: модуль и окружности

§ 2. Как решать задачу 18: графический подход

§ 3. Задача 18: две окружности и модуль

§ 4. Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля

§ 5. Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром.

Глава 2. Аналитический подход § 1. Задачи 18: Аналитическое решение

§ 2. Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами

§ 3. Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов

Глава 3. Нестандартные приемы § 1. Задача 18: метод симметричных корней

§ 2. Как увидеть симметрию корней в задаче 18?

§ 3. Метод мажорант в задаче 18

§ 4. Графическое решение сложных задач 18 с модулем

§ 5. Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений

§ 6. Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18

§ 7. Применение производной для отыскания точек пересечения графиков

§ 8. Продвинутый метод симметричных корней

§ 9. Новая задача 18 с графическим решением

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике

Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №18

И знать здесь действительно нужно много.

Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).

И после этого – учимся решать сами задачи №18 Профильного ЕГЭ.

Вот основные типы задач с параметрами:

Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова

И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:

1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.

2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.

3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.

4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.

На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 18 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!

Параметрические уравнения

Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим. Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр. На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений.

Способ решения параметрических уравнений

Общий вид уравнения с одним параметром таков:

При различных значениях, а уравнение $F(x, a) = 0$ может иметь различные множества корней, задача состоит в том, чтобы изучить все случаи, выяснить, что будет при любом значении параметра. При решении уравнений с параметром обычно приходится рассматривать много различных вариантов. Своевременное обнаружение хотя бы части невозможных вариантов имеет большое значение, так как освобождает от лишней работы.

Поэтому при решении уравнения $F(x, a) = 0$ целесообразно под ОДЗ понимать область допустимых значений неизвестного и параметра, то есть множество всех пар чисел ($х, а$), при которых определена (имеет смысл) функция двух переменных $F(x, а)$. Отсюда естественная геометрическая иллюстрация ОДЗ в виде некоторой области плоскости $хОа$.

ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.

Алгебраический способ решения квадратных уравнений с параметром $ax^2+bx+c=0$

Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0, а≠0$ не имеет решений, если $D 0$;

Квадратное уравнение имеет один корень, если $D=0$

Тригонометрические тождества

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Задания по теме «Системы уравнений с параметром»

Если y geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y то оно задаёт окружность phi _2 с центром в точке C_2 (4; -4) того же радиуса.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность phi с одной из окружностей phi _1 и phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как 1 то условию задачи удовлетворяют значения ain (1;4sqrt 5-3) cup (7; 4sqrt 5+3).

Решение систем линейных уравнений с параметрами

I. Линейное уравнение с одной переменной:

1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной

2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?

— Если а=0, b=0, то х

— Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =

3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)

Ответ: много корней
II ряд – II вариант

Ответ: корней нет
III ряд – III вариант

Ответ: единственный корень

II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?

4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

5. Выясните, что представляет собой график уравнения:

6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?

7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

8. Что значит решить систему уравнений?

9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).

10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

11. Каким уравнением обычно задается прямая?

12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:

• у=-х+2
• y= -x-3,

k1 = k2, b1

b2, нет решений;

II вариант:

k2, одно решение;

III вариант:

• y=-x-1
• y=-x-1,

k1 = k2, b1 = b2, много решений.

На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.

III. Объяснение новой темы.

где A1, A2, B1,B2, C1 C2 – выражения, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Возможны следующие случаи:

, то система имеет бесконечно много решений.

При каких значениях параметра а система

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если а4, то решение единственное.

Решите систему уравнений

, при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество

в) если m1 и n — любое, то

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение

Следовательно, при а=0 система не имеет решений

3) а0 и а-3. Тогда у=-

1) если а=0, то (х; у)

2) если а=-3, то х=1+3у, у

3) если а0 и а?-3, то х=2, у=-

Рассмотрим II способ решения системы (1).

Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В2, второе на – В1 и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:

Т.к. А1В2-А2В10, то х =

т.к. А2В1-А1В2 0 у =

Для удобства решения системы (1) введем обозначения:

Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:

Приведенные формулы называют формулами Крамера.

, то система (1) имеет единственное решение: х=

В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае

часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение

, найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.

Если коэффициенты А1, А2, В1, В2, системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.

Решение: Найдем определитель системы:

= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)

=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)

2) или а=2

При а=0 определители

Тогда система имеет вид:

При а=2 Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.

1) если а и а, то х= у=

2) если а=0, то х,

3) если а=2, то (х; у)

Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений

Решение: = =а+1-2b

= = b -6; = 3a+3-b

1) . Тогда

Подставив выражение параметра а в систему, получим:

Если b6, то система не имеет решений, т.к. в этом случае I и II уравнения системы противоречат друг другу.

Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система равносильна одному уравнению

1) если , (а), то x=, y=

2) если b, a, то система не имеет решений

3) если b=6, а=11, то х, у=3-6х

Итог урока: Повторить по таблице и поставить оценки.

При каких значениях параметра система уравнений

б) не имеет решений

Системы уравнений с двумя переменными и параметрами

Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.

Решение системы нелинейных уравнений с параметром

При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).