Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ЕГЭ

Критерии оценивания егэ по математике

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

Критерии проверки и оценка решений задания 15 егэ–2022

Задание №15 – это неравенство – дробно-рациональное, логарифмическое или показательное.

Содержание критерия Баллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением / включением граничных точек
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет » вместо « Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет », или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то следует выставлять оценку «0 баллов».

Задача 15 (демонстрационный вариант 2022 г).

Решите неравенство Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Решение.

Пусть Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , тогда неравенство примет вид:

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ;

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ,

откуда Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  получим: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , откуда Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  получим: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , откуда Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Решение исходного неравенства:

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Содержание критерия Баллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 1,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 2

Задача 1.

Решите неравенство Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Решение.

Пусть Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , тогда неравенство примет вид:

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ;

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , где Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , где Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ,

откуда Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  получим: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , откуда Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  получим: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , откуда Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  получим: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , откуда Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Решение исходного неравенства:

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ:Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Содержание критерия Баллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек 0 и/или 3,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 2

Задача 2.

Решите неравенство Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Решение.

Пусть Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , тогда неравенство примет вид:

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ;

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ,

откуда Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  получим: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , откуда Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  получим: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , откуда Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  получим: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , откуда Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Решение исходного неравенства: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ:Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; 4; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Содержание критерия Баллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 4,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 2

Примеры оценивания решений задания 15

Пример 1.

Решите неравенство Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ:Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Обоснованно получен верный ответ.

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 2.

Решите неравенство Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ:Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

В решение содержится запись «ОДЗ», которая может трактоваться по-разному.

Ответ получен неверный, но он отличается от верного только исключением точки 3.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 3.

Решите неравенство Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ:Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Комментарий.

При решении неравенства допущена ошибка – допущен неравносильный переход. Это привело к неверному ответу.

Оценка эксперта. 0 баллов.

Пример 4.

Решите неравенство Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ:Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; 4; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Обоснованно получен верный ответ.

Оценка эксперта. 2 балла.

Пример 5.

Решите неравенство Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ:Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; 4; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

При решении неравенства допущена ошибка при решении простейшего логарифмического неравенства. Ответ получен неверный. В решении содержится ошибочное утверждение, связанное с ОДЗ.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 6.

Решите неравенство Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ:Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Обоснованно получен верный ответ. Левая круглая скобка в ответе может быть прочитана как фигурная, но это не является основанием для того, чтобы считать ответ неверным.

Оценка эксперта. 2 балла.

Пример 7.

Решите неравенство Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ:Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

В решении допущены ошибочные утверждения, присутствует неравносильный переход при решении неравенств, получен ответ (совпадающий с верным).

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 8.

Решите неравенство Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ:Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Ответ неверный. При преобразовании числителя допущена вычислительная ошибка, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения.

Оценка эксперта: 1 балл.

§

Задание №16 – это планиметрическая задача. В пункте а теперь нужно доказать геометрический факт, в пункте б – найти (вычислить) геометрическую величину.

Содержание критерия Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б 3
Обоснованно получен верный ответ в пункте б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а,
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 3

Задача 16 (демонстрационный вариант 2022 г).

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Задача 1.

В трапеции Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  боковая сторона Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  перпендикулярна основаниям.
Из точки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  на сторону Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  опустили перпендикуляр Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . На стороне Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  отмечена точка Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  так, что прямые Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  параллельны.

б) Найдите отношение Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  к Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , если Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

коэффициент подобия равен Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . Значит,

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ: б)Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Задача 2.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  на продолжение боковой стороны Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  опущена высота Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . Из точки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  на сторону Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и основание Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  опущены перпендикуляры Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  соответственно.

а) Докажите, что отрезки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  равны.

б) Найдите Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , если Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Решение.

б) В прямоугольных треугольниках Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  имеем:

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Поскольку Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , получаем:

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ: б)Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Примеры оценивания решений задания 16

Пример 1.

В трапеции Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  боковая сторона Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  перпендикулярна основаниям.
Из точки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  на сторону Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  опустили перпендикуляр Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . На стороне Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  отмечена точка Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  так, что прямые Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  параллельны.

б) Найдите отношение Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  к Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , если Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ: б)Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Имеется попытка доказательства утверждения пункта а. Логическая ошибка содержится в записи 5) – при вычислении угла Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет : Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . Замена угла Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  углом Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  возможна только при условии параллельности прямых Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , а как раз это и требовалось доказать.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 2.

В трапеции Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  боковая сторона Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  перпендикулярна основаниям.
Из точки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  на сторону Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  опустили перпендикуляр Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . На стороне Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  отмечена точка Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  так, что прямые Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  параллельны.

б) Найдите отношение Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  к Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , если Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ: б)Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

В данном решении есть попытка доказательства утверждения пункта а. Логическая ошибка содержится в записи Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  – это возможно только при параллельности прямых Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , а как раз это и требовалось доказать. Верный ответ в пункте б получен обоснованно с использованием недоказанного утверждения пункта а.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 3.

В трапеции Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  боковая сторона Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  перпендикулярна основаниям.
Из точки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  на сторону Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  опустили перпендикуляр Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . На стороне Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  отмечена точка Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  так, что прямые Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  перпендикулярны.

а) Докажите, что прямые Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  параллельны.

б) Найдите отношение Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  к Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , если Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ: б)Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Логическая ошибка: доказательство утверждения пункта а опирается на дополнительное условие из пункта б.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 4.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  на продолжение боковой стороны Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  опущена высота Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . Из точки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  на сторону Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и основание Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  опущены перпендикуляры Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  соответственно.

а) Докажите, что отрезки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  равны.

б) Найдите Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , если Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ: б)Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Доказательство утверждения пункта а верно. Правда, следует отметить, что в доказательстве получено много верных утверждений, которые не нужны для доказательства равенства отрезков Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , кроме того некорректно формулируется признак подобия треугольников.

В решении пункта б допущена ошибка при вычислении длины отрезка Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  – вместо Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  должно быть Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Оценка эксперта: 1 балл.
Пример 5.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  на продолжение боковой стороны Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  опущена высота Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . Из точки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  на сторону Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и основание Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  опущены перпендикуляры Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  соответственно.

а) Докажите, что отрезки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  равны.

б) Найдите Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , если Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ: б)Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Доказательство утверждения пункта а отсутствует. Решение пункта б выполнено верно с использованием недоказанного утверждения пункта а.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 6.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  на продолжение боковой стороны Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  опущена высота Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . Из точки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  на сторону Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и основание Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  опущены перпендикуляры Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  соответственно.

а) Докажите, что отрезки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  равны.

б) Найдите Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , если Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ: б)Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

В доказательстве утверждения пункта а есть некорректное утверждение – « Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  – биссектриса», при этом тут же записаны утверждения, соответствующие медиане прямоугольного треугольника.

Решение пункта б выполнено верно.

Оценка эксперта: 3 балла.

§

Задание №17 – это текстовая задача с экономическим содержанием.

Содержание критерия Баллы
Обоснованно получен верный ответ 3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат:
— неверный ответ из-за вычислительной ошибки;
— верный ответ, но решение недостаточно обосновано
2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 3

Несколько подробнее: 1 балл можно выставлять в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи. Именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию и т.п. Грубо говоря, предъявленный текст должен включать направление, «продолжаемое» до верного решения. Оценка в 2 балла, разумеется, включает в себя условие выставления 1 балла, но существенно ближе к верному решению задачи.

Здесь предполагается завершенное, практически полное решение соответствующей математической задачи. Типичные допустимые погрешности здесь – вычислительные ошибки (при наличии всех шагов решения) или недостаточно полные обоснования.

    Отметим, что термин «математическая модель», быть может, излишне высокопарен для сравнительно простых задач экономического содержания, предлагаемых на ЕГЭ. Однако, по нашему мнению, он наиболее лаконичен, общеупотребим и достаточно ясен для того, чтобы пытаться отыскать ему адекватную замену. Следует подчеркнуть, что один и тот же сюжет может быть успешно сведен к различным математическим моделям и доведён до верного ответа. По этой причине в критериях проверки нигде нет жесткого упоминания о какой-либо конкретной (арифметической, алгебраической, геометрической, функциональной) модели.

Вообще, способов верного решения заданий этого типа никак не меньше, чем для привычных текстовых задач. Возможен и стиль, приближенный к высшей математике, и наивный подход, напоминающий арифметический способ решения текстовых задач, и метод использующий специфические для математической экономики понятия (целевая функция, симплекс-метод и т.п.).

Задача 17 (демонстрационный вариант 2022 г).

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Задача 1.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.

Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг
(в млн рублей)
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0

Найдите наименьшее значение Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Решение.

По условию, долг перед банком (в млн рублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом:

1; 0,9; 0,8; 0,7; 0,6; 0,5; 0.

Пусть Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , тогда долг на 1-е число каждого месяца равен:

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Следовательно, выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют:

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Общая сумма выплат составляет:

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

По условию, общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей, значит,

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Наименьшее целое решение этого неравенства — число 5. Значит, искомое число процентов — 5.

Ответ: 5.

Задача 2.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Решение.

Пусть сумма кредита составляет Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  рублей, а ежегодные выплаты Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  рублей, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . По условию, долг перед банком (в рублях) по состоянию на июль должен уменьшаться следующим образом:

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Таким образом, если долг будет выплачен двумя равными платежами Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , то

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Если долг будет выплачен четырьмя равными платежами Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , то

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Таким образом, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , откуда Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . Значит, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ: 10.

§

Пример 1.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.

Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг
(в млн рублей)
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0

Найдите наименьшее значение Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Ответ: 5.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Модель построена неверно. Если подставить вместо Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет число 3 в таблицу, то сумма долга уже на 1 число второго месяца должна составить 4 млн рублей, кроме того, еще и неравенство решено неверно.

Оценка эксперта: 0 баллов.

Пример 2.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.

Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг
(в млн рублей)
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0

Найдите наименьшее значение Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Ответ: 5.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Модель построена верно. Усложняет проверку отсутствие вычислений. В таблице все результаты вычислений по формулам, записанным справа, верные. Логика решения верна.

Оценка эксперта: 3 балла.

Пример 3.

15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.

Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг
(в млн рублей)
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0

Найдите наименьшее значение Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Ответ: 5.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Почти правильное решение, содержащее ошибки (вычислительного характера). Две ошибки: 1) Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , а не Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; 2) Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , т.е. должно быть Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  – не позволяют выставить 2 балла.

Оценка эксперта: 1 балл.


Пример 4.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ: 10.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Обоснованно получен верный ответ.

Оценка эксперта: 3 балла.

Пример 5.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ: 10.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

В решении без объяснений записаны уравнения. Переход от системы к уравнению относительно k не объяснен. Числовой ответ явно не получен: не извлечен корень из числа 14641. Таким образом, решение недостаточно обоснованное.

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 6.

15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму
в соответствии со следующей таблицей.

Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг
(в млн рублей)
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0

Найдите наименьшее значение Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.

Ответ: 5.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

В решении без объяснений записано неравенство. Неравенство явно не решено. Таким образом, решение недостаточно обоснованное.

Оценка эксперта: 2 балла.

§

Задание №18 – это уравнение, неравенство или их системы с параметром.

Задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространенными из них являются:

– чисто алгебраический способ решения;

– способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи;

– функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические моменты, но базовым является исследование некоторой функции.

Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт к цели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться элементы каждого из трех перечисленных способов.

Задача 18 (демонстрационный вариант 2022 г).

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Задача 1

Найдите все значения Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , при каждом из которых уравнение

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  имеет ровно три различных корня.

Решение.

Исходное уравнение равносильно уравнению Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  
при условии Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Решим уравнение Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет :

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ;

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ,

откуда Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  или Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Исходное уравнение имеет три корня, когда эти числа различны
и для каждого из них выполнено условие Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Рассмотрим условия совпадения корней. При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  имеем Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .
При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  имеем Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . При остальных значениях Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  числа 0,
Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  различны.

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  получаем: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  при всех значениях Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  получаем:

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Это выражение неотрицательно при Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  получаем:

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Это выражение неотрицательно при Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три различных корня при

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Задача 2.

Найдите все значения Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , при каждом из которых система уравнений

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

имеет ровно два решения.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , то получаем уравнение

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ;

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ;

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  
и радиусом Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

2) Если Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , то получаем уравнение

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  
и радиусом Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Полученные окружности пересекаются в двух точках Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , лежащих на прямой Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , поэтому в первом случае получаем дугу Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  с концами в точках Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , во втором — дугу Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  с концами в тех же точках (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , которая проходит через точку Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и угловой коэффициент которой равен Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  прямая Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  проходит через точки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , то есть исходная система имеет два решения.

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  прямая Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  перпендикулярна прямой Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , угловой коэффициент которой равен Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , значит, прямая Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  касается дуги Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  в точке Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и пересекает дугу Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  в двух точках (одна из которых — точка Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ), то есть исходная система имеет два решения.

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  прямая Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  перпендикулярна прямой Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , угловой коэффициент которой равен Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , значит, прямая Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  касается дуги Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  в точке Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  
и пересекает дугу Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  в двух точках (одна из которых — точка Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ), то есть исходная система имеет два решения.

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  или Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  прямая Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  пересекает каждую из дуг Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  в точке Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  
и ещё в одной точке, отличной от точки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , то есть исходная система имеет три решения.

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  прямая Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  пересекает дугу Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  в двух точках (одна из которых — точка Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ) и не пересекает дугу Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  в точках, отличных от точки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , то есть исходная система имеет два решения.

При Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  прямая Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  пересекает дугу Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  в двух точках (одна из которых — точка Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ) и не пересекает дугу Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  в точках, отличных от точки Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , то есть исходная система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет ровно два решения при Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Ответ: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

§

Пример 1.

Найдите все значения Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , при каждом из которых уравнение

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  имеет ровно три различных корня.

Ответ:Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Обоснованно получен верный ответ.

Оценка эксперта: 4 балла.

Пример 2.

Найдите все значения Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , при каждом из которых уравнение

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  имеет ровно три различных корня.

Ответ:Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Решение логично, все шаги присутствуют, но при решении неравенства в пункте 2) допущена ошибка вычислительного характера, что соответствует критерию на 2 балла.

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 3.

Найдите все значения Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , при каждом из которых уравнение

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  имеет ровно три различных корня.

Ответ:Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Получены корни уравнения Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и задача сведена к исследованию полученных корней при условии Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  (есть только указание).

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 4.

Найдите все значения Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , при каждом из которых уравнение

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  имеет ровно три различных корня.

Ответ:Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

В решении присутствуют все этапы. Решение соответствует критерию на 3 балла: с помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  и/или Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Оценка эксперта: 3 балла.


Пример 5.

Найдите все значения Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , при каждом из которых система уравнений

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

имеет ровно два решения.

Ответ: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Ход решения ясен, изложен более чем подробно. Ошибок нет, кроме недочета: концы промежутка не включены в ответ.

Оценка эксперта: 3 балла.

Пример 6.

Найдите все значения Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , при каждом из которых система уравнений

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

имеет ровно два решения.

Ответ: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Решение и ответ верные, хотя нет обоснования, почему для касания Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет «Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нетдолжно быть равно –8» или «…7/4».

Оценка эксперта: 4 балла.

Критерии проверки и оценка решений заданий 19 ЕГЭ-2022

    Содержательно задание №19 проверяет в первую очередь не уровень математической (школьной) образованности, а уровень математической культуры. Формирования культуры происходит на протяжении всех лет обучения (и не только в школе). Для решения этой задачи никаких фактов из теории чисел типа теоремы Вильсона, чисел Мерсенна, малой теоремы Ферма, теории сравнений и т.п. для решения этих заданий не требуется. Тот, кто эти факты знает, разумеется, может их использовать, но, подчёркиваем, при решении всегда можно обойтись и без них.

Условия задания №19 разбиты на пункты. По существу, задача разбита на ряд подзадач (частных случаев), последовательно решая которые можно в итоге справится с ситуацией в целом.

Задача 19 (демонстрационный вариант 2022 г).

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Задача 1.

В последовательности Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , …, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , состоящей из целых чисел,
Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?

в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?

Решение.

а) Например, последовательность 1, 2, 3, 0, 5, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 7, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , …, 233, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 235

удовлетворяет условию задачи (чередуются суммы чисел 3 и 5).

б) Поскольку 3, 5 и 25 — нечётные числа, любые два соседних члена последовательности имеют разную чётность. На нечётных местах должны стоять нечётные числа, а на чётных — чётные. Число 235 нечётное, поэтому оно не может стоять на чётном месте. Значит, последовательность не может состоять из 1000 членов.

в) Рассмотрим три члена последовательности: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.НетКритерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Поскольку Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , получаем: Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

В предыдущем пункте было показано, что последовательность должна состоять из нечётного числа членов. Пусть Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , тогда

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ,

откуда Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . Значит, последовательность состоит не менее чем из 23 чисел.

Приведём пример последовательности, удовлетворяющей условию задачи, состоящей из 23 членов: 1, 2, 23, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 45, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 67, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 89, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 111, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 155, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 175, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 195, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 215, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 235.

Ответ: а) например, 1, 2, 3, 0, 5, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 7, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , …, 233, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 235; б) нет; в) 23.

Содержание критерия Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— искомая оценка в п. в;
— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 4

Задача 2.

На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны
и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , если все числа на доске кратны 3?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Решение.

а) Если на доске записано 29 зелёных чисел: 3, 6, …, 87 — и одно красное
число 21, то их сумма меньше 1395.

б) Пусть на доске ровно одно красное число. Тогда зелёных чисел 29,
а их сумма не меньше, чем сумма 29 наименьших чисел, делящихся на 3:

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Это противоречит тому, что сумма написанных чисел равна 1067.

в) Пусть на доске написано Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  красных чисел и Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  зелёных чисел. Тогда сумма красных чисел не меньше Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ,

а сумма зелёных чисел не меньше

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Таким образом, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ; Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет ,

откуда, учитывая, что Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  — целое, получаем Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет .

Приведём пример 6 красных чисел и 24 зелёных чисел, сумма которых
равна 1067: 7, 14, 21, 28, 35, 56, 3, 6, …, 66, 69, 78.

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

Содержание критерия Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов 2
Верно получен один из следующих результатов:
— обоснованное решение пункта а;
— обоснованное решение пункта б;
— искомая оценка в пункте в;
— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальный балл 4

§

Пример 1.

В последовательности Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , …, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , состоящей из целых чисел,
Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?

в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?

Ответ: а) например, 1, 2, 3, 0, 5, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 7, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , …, 233, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 235; б) нет; в) 23.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

В пункте а допущена ошибка – сумма первых двух чисел равна –25. При ответе на вопрос пункта б участник экзамена верно показал, что случай Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет  невозможен.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 2.

В последовательности Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , …, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , состоящей из целых чисел,
Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет . Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 25.

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?

в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?

Ответ: а) например, 1, 2, 3, 0, 5, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 7, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , …, 233, Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , 235; б) нет; в) 23.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

В пункте а верно приведен пример. Решение пункта б неверно.

Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 3.

На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны
и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , если все числа на доске кратны 3?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Приведено верное решение пункта а. Приведено верное решение пункта б.

Решение в пункте в не завершено.

Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 4.

На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны
и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , если все числа на доске кратны 3?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Обоснованно получены верные ответы во всех пунктах.

Оценка эксперта: 4 балла.

Пример 5.

На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны
и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , если все числа на доске кратны 3?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Обоснованно получен ответ в пунктах а и б. В решении пункта в есть логическая ошибка: не доказано, что красных чисел не может быть меньше 5. Взяв пять красных, нужно взять 25 зеленых чисел, а не 26. Кроме того, сумма чисел найдена неверно.

Оценка эксперта: 2 балла.

Указания по оцениваю развернутых ответов участников ЕГЭ
для эксперта, проверяющего развёрнутые ответы
на задания 13–19 по МАТЕМАТИКЕ

(документ предоставляется эксперту при проведении оценивания экзаменационных работ вместе с критериями оценивания)

Эксперт, проверяющий задания с развернутым ответом, располагает следующими материалами:

1) тексты заданий;

2) возможный вариант решения каждой задачи 13–19;

3) критерии оценивания заданий 13–19.

При проверке заданий с развернутым ответом эксперт имеет возможность пользоваться непрограммируемым калькулятором.

В критериях оценивания выполнения заданий с развернутым ответом КИМ ЕГЭ по математике для каждого задания приводится один возможный вариант решения. Однако предлагаемый разработчиками КИМ способ (метод) решения не является эталонным. Он лишь помогает эксперту в решении соответствующего задания.

Выполнение заданий оценивается в соответствии с критериями оценивания ответов на задания с развернутым ответом. Принципом построения системы оценивания является оценка продвижений участника экзамена в решении задачи в виде достижения формализованных в критериях промежуточных результатов. Максимальный балл выставляется только при наличии в тексте решения обоснованно полученного правильного ответа. Наличие в тексте решения недостатка в обосновании ответа или вычислительной ошибки не позволяет выставить за решение задания в соответствии с критериями максимальный балл. В случае, когда решение не подпадает ни под один из критериев положительных баллов (не достигнут ни один промежуточный математический результат), выполнение задания оценивается 0 баллов.

При использовании обобщенной схемы оценивания ответов на каждое из заданий 13-19рекомендуется обращать внимание на следующие моменты:

ü Перед проведением проверки выполнения каждого из заданий необходимо изучить критерии его оценивания в материалах для эксперта, обратив внимание на детализацию и конкретизацию обобщенной схемы оценивания применительно к конкретному заданию.

ü Решение участника экзамена может иметь логику, отличную от логики решения, данного в критериях (альтернативное решение). В этом случае эксперт оценивает допустимость решения конкретной задачи тем способом, который выбрал участник экзамена. Если ход решения допустим, то эксперт оценивает обоснованность этого решения на основании той совокупности свойств (признаков), формул или утверждений, которые соответствуют выбранному способу решения.

ü Участник экзамена может использовать без доказательства математические факты и формулы, содержащиеся в учебниках, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования (далее – Федеральный перечень).

ü Если экзаменуемый использует в решении без доказательства формулы и факты, которые не представлены в учебниках, входящих в Федеральный перечень, то такое решение классифицируется как недостаточно обоснованное.

ü Если математические преобразования, представленные в решении, не отражают основных необходимых логических шагов, то решение не может оцениваться максимальным баллом.

ü Если при решении геометрической задачи использует рисунок, то ошибки в соотношении длин отрезков на рисунке, не влекут за собой снижения баллов за решение геометрической задачи, если на рисунке верно отображена геометрическая конфигурация и верно обозначены точки, описанные в решении.

ü При проверке правильности решения необходимо проверять корректность промежуточных шагов решения, в том числе числовых выкладок (при необходимости, с помощью калькулятора). Наличие ошибок в промежуточных выкладках, даже не повлиявших на итоговый ответ, означает наличие математически некорректного перехода в решении задачи, что не позволяет оценить решение задачи максимальным баллом.

ü Если участник экзамена решает задачу с другими числовыми данными, то такое решение задачи оценивается в 0 баллов, даже если он решают содержательно более сложную задачу.

ü При проверке решения каждого из заданий 13–19 необходимо вычленить в решении три элемента:

— логика (последовательность и закономерность) решения,

— обоснованность решения,

— числовой ответ.

Количество логических шагов в решении и перечень условий и закономерностей зависит от выбранного способа решения. Это необходимо учитывать при применении критериев оценивания выполнения задания с развернутым ответом.

В процессе проверки необходимо придерживаться следующих общих правил:

ü При работе эксперт выставляет свои оценки в протокол проверки развернутых ответов.

ü Выставление баллов в протокол проверки развернутых ответов рекомендуется проводить по работам: все задания первой проверяемой работы, все задания второй проверяемой работы и т.д. Это позволяет обнаружить ошибки, допущенные экзаменуемым в нумерации задач, а также обнаружить непронумерованную, или пронумерованную неверно, или случайно пропущенную экспертом задачу. Ошибочное указание участником экзамена номера задачи, которую он выполняет, не может служить основанием для снижения оценки за фактически выполненное задание.

ü Результаты оценивания переносятся в протокол проверки развернутых ответов, при этом баллы по каждому заданию переносятся в колонку, название которой соответствует номеру задания (см. Рисунок 1):

— баллы по заданию 13 переносятся в колонку 13протокола;

— баллы по заданию 14 переносятся в колонку 14протокола;

— баллы по заданию 15 переносятся в колонку 15протокола;

— баллы по заданию 16 переносятся в колонку 16протокола;

— баллы по заданию 17 переносятся в колонку 17протокола;

— баллы по заданию 18 переносятся в колонку 18протокола;

— баллы по заданию 19 переносятся в колонку 19протокола.

ü Баллы выставляются в протокол проверки гелевой черной ручкой.

ü Внесение изменений в протокол проверки крайне нежелательно. Все исправления вносятся только поверх неверных записей. Использование замазок и затирок с целью исправления записей категорически недопустимо!

Рисунок 1. Протокол проверки развернутых ответов 2022 года. Образец.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Внимание!При выставлении баллов за выполнение задания в Протокол проверки развернутых ответов следует иметь в виду, что если ответ отсутствует (нет никаких записей, свидетельствующих о том, что экзаменуемый приступал к выполнению задания), то в протокол проставляется «Х», а не «0». Если в работе записан только номер задания без попыток ее решения, то в протокол выставляется «0».

Пример 6.

На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны
и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу).

а) Может ли сумма написанных чисел быть меньше Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет , если все числа на доске кратны 3?

б) Может ли ровно одно число на доске быть красным, если сумма написанных чисел равна 1067?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.Нет

Комментарий.

Обоснованно получен ответ в пунктах а и б. В пункте в неверное обоснование, поскольку не доказано, что набор с минимальным количеством красных чисел получается заменой максимальных чисел из набора 3, 6, …, 90 на минимально возможные различные красные числа. Кроме того, разница между пятью самыми большими зелеными числами и пятью самыми маленькими красными числами составляет 315.

Оценка эксперта: 2 балла.

Подать документы

Заполните заявку на обучение или приходите в приемную комиссию, которая находится по адресу: м. Текстильщики, Москва, ул. Артюхиной, д. 6, корп. 1 (каб. 112, часы работы 10:00—18:00 по будням и 10:00—15:00 в субботу)

Для поступления требуется заполнить ряд заявлений и предоставить следующие документы*:

  • паспорт (страницы с фотографией и регистрацией)
  • оригинал документа установленного образца о предыдущем образовании либо его копия, заверенная нотариально, либо его копия с предъявлением оригинала для заверения копии приемной комиссией
  • 2 фотографии 3х4 (матовые, цветные или черно-белые)

*Документы, полученные в образовательных учреждениях иностранных государств, должны пройти процедуру признания, если требуется.

Решу егэ

ДатаЕГЭ
Досрочный этап
21 марта (пн)география, литература, химия
24 марта (чт)русский язык
28 марта (пн)профильная и базовая математика
31 марта (чт)иностранные языки (за исключением раздела «Говорение»), история, физика
1 апреля (пт)иностранные языки (раздел «Говорение»)
4 апреля (пн)информатика и ИКТ
7 апреля (чт)обществознание, биология
Основной этап
26 мая (чт)география, литература, химия
30 мая (пн)русский язык
31 мая (вт)русский язык
2 июня (чт)профильная математика
3 июня (пт)базовая математика
6 июня (пн)история, физика
9 июня (чт)обществознание
14 июня (вт)иностранные языки (за исключением раздела «Говорение»), биология
16 июня (чт)иностранные языки (раздел «Говорение»)
17 июня (пт)иностранные языки (раздел «Говорение»)
20 июня (пн)информатика и ИКТ
21 июня (вт)информатика и ИКТ
23 июня (чт)резерв: русский язык
24 июня (пт)резерв: география, литература, иностранные языки (раздел «Говорение»)
27 июня (пн)резерв: профильная и базовая математика
28 июня (вт)резерв: иностранные языки (за исключением раздела «Говорение»), биология, информатика и ИКТ
29 июня (ср)резерв: обществознание, химия
30 июня (чт)резерв: история, физика
2 июля (сб)резерв: по всем учебным предметам

Результаты участников профильного экзамена 2021 г. близки к результатам 2022 г. и несколько выше результатов 2020 г., что может быть связано с совершенствованием дистанционной формы обучения во многих регионах, где в 2020 г. могли наблюдаться значительные трудности с обеспечением доступа обучающихся и учителей к дистанционным учебным платформам.

Более подробные аналитические и методические материалы ЕГЭ 2021 года доступны по ссылке.


ПЛАН ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2022 ГОДА

читать полностью: спецификация.

Обозначение уровня сложности задания: Б — базовый, П — повышенный, В — высокий.

Проверяемые элементы содержания и виды деятельности

Уровень сложности задания

Максимальный балл за выполнение задания

Примерное время выполнения задания (мин.)
базовый уровень / профильный уровень

Задание 1. Уметь решать уравнения и неравенства

Б

1

5

2

Задание 2. Уметь строить
и исследовать простейшие
математические модели

Б

1

5

2

Задание 3. Уметь выполнять действия
с геометрическими
фигурами, координатами
и векторами

Б

1

5

3

Задание 4. Уметь выполнять
вычисления и преобразования

Б

1

5

3

Задание 5. Уметь выполнять действия
с геометрическими
фигурами, координатами и
векторами

Б

1

10

3

Задание 6. Уметь выполнять действия
с функциями

Б

1

10

4

Задание 7. Уметь использовать
приобретённые знания
и умения в практической
деятельности
и повседневной жизни

П

1

15

6

Задание 8. Уметь строить
и исследовать простейшие
математические модели

П

1

15

7

Задание 9. Уметь выполнять действия
с функциями

П

1

15

8

Задание 10. Уметь использовать
приобретённые знания
и умения в практической
деятельности
и повседневной жизни

П

1

15

8

Задание 11. Уметь выполнять действия
с функциями

П

1

15

9

Задание 12. Уметь решать уравнения
и неравенства

П

2

20

10

Задание 13. Уметь выполнять действия
с геометрическими
фигурами, координатами
и векторами

П

3

40

20

Задание 14. Уметь решать уравнения
и неравенства

П

2

30

15

Задание 15. Уметь использовать
приобретённые знания
и умения в практической
деятельности
и повседневной жизни

П

2

30

25

Задание 16. Уметь выполнять действия
с геометрическими
фигурами, координатами
и векторами

П

3

35

Задание 17. Уметь решать уравнения
и неравенства

В

4

35

Задание 18. Уметь строить
и исследовать простейшие
математические модели

В

4

40

ОФИЦИАЛЬНАЯ ШКАЛА 2022 ГОДА

Соответствие между минимальными первичными баллами и минимальными тестовыми баллами 2022 года. Распоряжение о внесении изменений в приложение № 2 к распоряжению Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки. Перейти.

ПОРОГОВЫЕ БАЛЛЫ

Для получения аттестата: 27 тестовых (5 первичных) баллов. См. распоряжение Рособрнадзора.

Для поступления в вузы, подведомственные Министерству науки и высшей школы: 39 тестовых баллов. См. приказ Миннауки.

Для поступления в вузы, подведомственные Министерству просвещения: 39 тестовых баллов. См. приказ Минпроса.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ БЛАНКИ

Правила заполнения бланков государственной итоговой аттестации. Скачать бланки в высоком качестве можно по ссылке.

Критерии проверки и оценка решений задания 15 ЕГЭ–2018 — Студопедия.НетЧТО МОЖНО ВЗЯТЬ С СОБОЙ НА ЭКЗАМЕН

На экзамене по математике разрешается пользоваться линейкой, которая не содержит справочную информацию, для построения чертежей и рисунков. Источник.

Задания базовой части ЕГЭ по математике взяты из открытого банка экзаменационных заданий (http://mathege.ru) и представляют собой модельные задачи, на основе которых путем изменения конкретных числовых данных составляются реальные экзаменационные работы ЕГЭ. Задания повышенного и высокого уровня сложности были специально составлены для портала «РЕШУ ЕГЭ» или предлагались в официальных сборниках для подготовки к экзамену.

Авторы задач для подготовки к ЕГЭ:
И. Р. Высоцкий, Д. Д. Гущин, П. И. Захаров,
Р. К. Гордин,
А. В. Малышев,
С. В. Панферов, М. А. Посицельская, С. Е. Посицельский,
М. Я. Пратусевич,
С. Е. Рукшин,
А. В. Семенов, А. Л. Семенов, И. Н. Сергеев,
К. М. Столбов,
В. А. Смирнов,
С. А. Шестаков, Д. Э. Шноль, И. В. Ященко;
материалы сайта http://ege.yandex.ru.


Наверх

Оцените статью
ЕГЭ Live