Логарифмические уравнения. задания егэ по математике (профильный уровень)
Найдем ОДЗ: 10x-8>0.
5^{log_{25}(10x-8)}=5^{log_58},
log_{25}(10x-8)=log_58,
log_{5^2}(10x-8)=log_58,
frac12log_5(10x-8)=log_58,
log_5(10x-8)=2log_58,
log_5(10x-8)=log_58^2,
10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.
10x=72,
x=7,2.
Пример 1 найдите корень уравнения.
согласно определению логарифма:
Все неизвестные переносим в левую часть уравнения (слева от =), а известные — переносим в правую сторону.
Получим:
Делаем проверку:
Ответ:
Пример 2. найдите корень уравнения.
Здесь для решения данного логарифмического уравнения будем использовать свойство логарифма:
То есть внесем число 3 справа под знак логарифма.
или
Если показатели степени равны, основания степени равны, то равны числа, получаемые в результате, то есть получим
Делаем проверку:
Пример 3. найдите корень уравнения
Используем следующее свойство логарифма:
Тогда получим:
Делаем проверку:
Ответ:
Пример 4. найдите корень уравнения.
Используя определение логарифма, получим:
Проверим:
Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:
- Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
- Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
- Решаем получившееся обычное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь.
- Делаем проверку
- Записываем ответ.