- В основании лежит треугольник
- Что нужно знать о задаче по стереометрии № 14 варианта ким егэ
- Многие школьники на экзамене даже не приступают к решению задачи №14, хотя она значительно проще, например, задачи № 16 — по планиметрии.
- Многие школьники на экзамене даже не приступают к решению задачи №14, хотя она значительно проще, например, задачи № 16 — по планиметрии.
- Многогранники
- Параллельность в пространстве
- Перпендикулярность в пространстве
- Площади правильных многоугольников:
- Прямоугольник
- Регулярно тренируйтесь в решении задач
- Скрещивающиеся прямые
- Теорема пифагора
- Тетраэдр
- Трапеция
В основании лежит треугольник
1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне а
2. $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a, b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
3. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
4. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности
5. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
Что нужно знать о задаче по стереометрии № 14 варианта ким егэ
Эта задача обычно состоит из двух частей:
За решение данной задачи на экзамене по математике в 2022 году можно получить максимум два первичных балла. Допускается решить только «доказательную» или только «вычислительную» часть задачи и заработать в этом случае один первичный балл.
Многие школьники на экзамене даже не приступают к решению задачи №14, хотя она значительно проще, например, задачи № 16 — по планиметрии.
В задачу № 14 традиционно включается лишь несколько вопросов из всех возможных для стереометрических задач:
В соответствии с этими вопросами строится и подготовка к решению задачи.
Сначала, разумеется, нужно выучить все необходимые аксиомы и теоремы, которые понадобятся для доказательной части задачи. Помимо того, что знание аксиом и теорем поможет вам на экзамене непосредственно при решении задачи, их повторение позволит систематизировать и обобщить ваши знания по стереометрии вообще, то есть создать из этих знаний некую целостную картину.
Итак, что же нужно выучить?
После того как вы повторили теорию, можно приступать к рассмотрению методов решения задач. В курсе «1C:Репетитор» представлены все необходимые материалы для подготовки: видеолекции с теорией, тренажеры с пошаговым решением задач, тесты для самопроверки, интерактивные модели, позволяющие ученикам 10-х и 11-х классов наглядно рассмотреть методы решения задач по стереометрии, в том числе на примерах задач ЕГЭ 2022 года.
Мы рекомендуем решать задачи в такой последовательности:
- Углы в пространстве (между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями);
- Расстояния в пространстве (между двумя точками, между точкой и прямой, между точкой и плоскостью, между скрещивающимися прямыми);
- Решение многогранников, то есть нахождение углов между ребрами и гранями, расстояний между ребрами, площадей поверхностей, объемов по заданным в условии задачи элементам;
- Сечения многогранников — методы построения сечений (например, метод следов) и нахождения площадей сечений и объемов получившихся после построения сечения многогранников (например, использование свойств перпендикулярной проекции и метод объемов).
Для всех указанных типов задач существуют различные методы решения:
Эти методы нужно знать и уметь применять, так как есть задачи, которые довольно сложно решаются одним методом и гораздо проще — другим.
При решении стереометрических задач более эффективным по сравнению с классическим методом нередко оказывается векторно-координатный. Классический метод решения задач требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, умения применять их на практике, строить чертежи пространственных тел и сводить стереометрическую задачу к цепочке планиметрических.
Классический метод, как правило, быстрее приводит к искомому результату, чем векторно-координатный, но требует определенной гибкости мышления. Векторно-координатный метод представляет собой набор готовых формул и алгоритмов, но при этом требует более длительных расчетов; тем не менее, для некоторых задач, например, для нахождения углов в пространстве, он предпочтительнее классического.
Многим абитуриентам не позволяет справиться со стереометрической задачей неразвитое пространственное воображение. В этом случае мы рекомендуем использовать для самоподготовки интерактивные тренажеры с динамическими моделями пространственных тел.
Такие тренажеры есть на портале «1С:Репетитор» (для перехода к их использованию необходимо зарегистрироваться): работая с ними, вы не только сможете «выстроить» решение задачи «по шагам», но и на объемной модели увидеть все этапы построения чертежа в различных ракурсах.
С помощью таких же динамических чертежей мы рекомендуем учиться строить сечения многогранников. Кроме того, что модель автоматически проверит правильность вашего построения, вы сами сможете, рассматривая сечение с разных сторон, убедиться, верно или неверно оно построено, и если неправильно, то в чем именно ошибка.
Последний вопрос, на который надо обратить внимание, — это нахождение площадей сечений или объемов, получившихся после построения сечения многогранников. Здесь также существуют подходы и теоремы, которые позволяют в общем случае существенно сократить трудозатраты на поиск решения и получение ответа. В курсе «1С:Репетитор» мы знакомим вас с этими приемами.
Если вы следовали нашим советам, разобрались со всеми вопросами, которые здесь затронуты, и решили достаточное количество задач, то велика вероятность, что вы практически готовы к решению задачи по стереометрии на профильном ЕГЭ по математике в 2022 году.
Многие школьники на экзамене даже не приступают к решению задачи №14, хотя она значительно проще, например, задачи № 16 — по планиметрии.
В задачу № 14 традиционно включается лишь несколько вопросов из всех возможных для стереометрических задач:
Многогранники
Введем общие обозначения
$P_{осн}$ — периметр основания;
$S_{осн}$ — площадь основания;
$S_{бок}$ — площадь боковой поверхности;
$S_{п.п}$ — площадь полной поверхности;
$V$ — объем фигуры.
| Название | Определение и свойства фигуры | Обозначения и формулы объема, площади |
| Прямоугольный параллелепипед | 1. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые. 2. Противоположные грани попарно равны и параллельны. 3. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. 4. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты). $B_1D^2=AD^2 DC^2 C_1C^2$ | $V=a·b·c$, где $a, b$ и $с$ – длина, ширина и высота. $S_{бок}=P_{осн}·c=2(a b)·c$ $S_{п.п}=2(ab bc ac)$. |
| Куб | 1. Противоположные грани попарно параллельны. 2. Все двугранные углы куба – прямые. 3. Диагональ куба в $√3$ раз больше его ребра. $B_1 D=АВ√3$ 4. Диагональ грани куба в $√2$ раза больше длины ребра. $DС1=DC√2$ | Пусть $а$ — длина ребра куба, $d$ — диагональ куба, тогда справедливы формулы: $V=a^3={d^3}/{3√3}$. $S_{п.п}=6а^2=2d^2$ $R={a√3}/{2}$, где $R$ — радиус сферы, описанной около куба. $r={a}/{2}$, где $r$ — радиус сферы, вписанной в куб. |
| Призма | Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.
| $S_{бок}=P_{осн}·h$ $S_{п.п}=S_{бок} 2S_{осн}$ $V=S_{осн}·h$ |
| Пирамида |
| Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды. $h_a$ — высота боковой грани (апофема) $S_{бок}={P_{осн}·h_a}/{2}$ $S_{п.п}=S_{бок} S_{осн}$ $V={1}/{3} S_{осн}·h$ |
| Усеченная пирамида |
| $V={h(F f √{Ff})}/{3}$ Где $F,f$ — площади оснований; $h$ — высота (расстояние между основаниями); Для правильной ус. пирамиды $S_{бок}={(P p)·a}/{2}$, где $P$ и $p$ – периметры оснований; $а$ – апофема. |
| Цилиндр |
| $S_{бок.пов.}=2πR·h$ $S_{полной.пов.}=2πR(R h)$ $V=πR^2·h$ |
| Конус |
| $S_{бок.пов.}=πR·l$ $S_{полной.пов.}=πR^2 πR·l=πR(R l)$ $V={πR^2·h}/{3}$ |
| Усеченный конус |
| $S_{бок}=πl(R r)$ $S_{п.п.}=π(R^2 r^2 l(R r))$ $V={πH(R^2 r^2 Rr)}/{3}$ Где $R$ и $r$ – радиусы оснований; $Н$ — высота усеченного конуса. |
| Сфера, шар |
| $S_{п.п}=4π·R^2=π·d^2$, где $R$ — радиус сферы, $d$ — диаметр сферы $V={4π·R^3}/{3}={π·d^3}/{6}$, где $R$ — радиус шара, $d$ — диаметр шара. |
Параллельность в пространстве
- Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
- Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.
- Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.
- Если прямая a, не лежащая в плоскости $α$, параллельна некоторой прямой $b$, которая лежит в плоскости $α$, то прямая a параллельна плоскости $α$.
- Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Перпендикулярность в пространстве
- Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90°$.
- Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
- Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны.
- Теорема о трех перпендикулярах: если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
- Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонные, то:
- Перпендикуляр короче наклонных.
- Равные наклонные имеют равные проекции на плоскости.
- Большей наклонной соответствует большая проекция на плоскости.
Площади правильных многоугольников:
1. Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ — длина стороны.
2. Квадрат
$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
3. Правильный шестиугольник
Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:
$S=6·S_{треугольника}={6·a^{2}√3}/{4}={3·a^{2}√3}/{2}$, где $а$ — сторона правильного шестиугольника.
Прямоугольник
$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
Регулярно тренируйтесь в решении задач
Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно зарегистрироваться.Вы можете:
Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.
Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.
Скрещивающиеся прямые
- Если одна из двух прямых лежит на плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
- Через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.
- Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.
- Угол между скрещивающимися прямыми – это острый угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.
Теорема пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$АС^2 ВС^2=АВ^2$
Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.
Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:
Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
| $α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
| $sinα$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
| $cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
| $tgα$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
| $ctgα$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей
$АВ=a_n$ — сторона правильного многоугольника
$R$ — радиус описанной окружности
$r$ — радиус вписанной окружности
$n$ — количество сторон и углов
$a_n=2·R·sin{180°}/{n}$;
$r=R·cos{180°}/{n}$;
$a_n=2·r·tg{180°}/{n}$.
Формула нахождения градусной меры угла в правильном многоугольнике:
$α={(n-2)·180°}/{n}$
Тетраэдр
Радиус описанной сферы тетраэдра.
Вокруг тетраэдра можно описать сферу, радиус которой находим по формуле, где $R$ — радиус описанной сферы, $a$ — ребро тетраэдра.
$R={a√6}/{4}$
Радиус вписанной в тетраэдр сферы.
В тетраэдр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы находим по формуле, приведенной ниже.
Где $r$ — радиус вписанной в тетраэдр сферы,
$a$ — ребро тетраэдра.
$r={a√6}/{12}$
Составные многогранники
Задачи на нахождение объема составного многогранника:
- Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
- Найти объем каждого параллелепипеда.
- Сложить объемы.
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.
— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:
$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h 2S_{осн}$
Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.
— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.
Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.
В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.
Трапеция
$S={(a b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
