К профильному экзамену по математике я приступлю, решив вместе с Заданием № 12 систему тригонометрических уравнений

Тригонометрические уравнения

• 
  Замена переменной и сведение к квадратному уравнению
  
• 
  Разложение на множители
  
• 
  Однородные уравнения
  
• 
  Введение дополнительного угла
  
• 
  Универсальная подстановка
  
• 
  Учет ОДЗ уравнения
  
• 
  Метод оценки
  
• 
  Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
  Приемы решения
  

В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах их решения. Тригонометрические уравнения чаще всего встречаются в задаче 12 ЕГЭ.

В вариантах ЕГЭ задача, где нужно решить уравнение, состоит из двух пунктов. Первый пункт – решение самого уравнения. Второй – нахождение его корней на некотором отрезке.

Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются специфическими именно для тригонометрии.

Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Учите наизусть!
Тригонометрические формулы.

Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

Если вы не помните, как решать простейшие тригонометрические уравнения, — читайте материал на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 1.

О том, что такое арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, — еще одна статья на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения,часть 2.

Теперь — сами методы. Теория и примеры решения задач.

к оглавлению ▴

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных, тригонометрических,  логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.

1. а) Решите уравнение:
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

а) Рассмотрим уравнение

Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:

Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:

Решая его, получим:

Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению 
Оно не имеет решений, поскольку

Второй корень даёт простейшее уравнение

Решаем его:

б) Найдем корни уравнения на отрезке с помощью двойного неравенства.

Разделим обе части неравенства на

Вычтем из обеих частей неравенства:

Разделим на 2 обе части неравенства:

Единственное целое решение – это n=0. Тогда — это единственный корень, который принадлежит отрезку

Ответ:

2. а) Решите уравнение:
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

а)

Выразим косинус двойного угла по формуле

Получим:

Заменяя cos⁡x на t, приходим к квадратному уравнению:

1)

2) нет решений, т. к.

Получим:

б) Отметим отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка

Ответ: а)
б)

3. а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Решение:

а)  Чтобы упростить уравнение  применяем формулу приведения.

Так как  получим:

Сделаем замену:    Получим квадратное уравнение:

Сделаем обратную замену.

1)  — нет решений, т. к.  

2) 

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку , с помощью двойного неравенства.

Для серии решений получим:

Так как то

Для серии решений получим:

отсюда

У этого неравенства нет целых решенией, и значит, из второй серии ни одна точка в указанный отрезок не входит.

Ответ: а)
б)

к оглавлению ▴

Разложение на множители

Во многих случаях уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

4. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

а) Применяем формулу синуса двойного угла:

Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель выносим за скобки:

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cosx = 0 и 2sinx — 1 = 0.

Получим:

Все эти три серии решений являются ответом в части (а).

б) Отметим отрезок и найденные серии решений на единичной окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки

Ответ: а)
б)

5. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

Применим формулу суммы синусов:

Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:

Решаем уравнение :

(1)

Решаем уравнение :

(2)

Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).

Поэтому ответ в пункте (а):

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью двойного неравенства:

Этот промежуток содержит 8 целых чисел: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Для каждого из этих n найдем x. Получим 8 решений на данном промежутке:

Ответ: а)
б)

6. В следующей задаче также применяется метод разложения на множители. Но это заметно не сразу.

а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

Используем формулу понижения степени:

Получаем:

Применяем формулу суммы косинусов:

Получаем:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку с помощью двойного неравенства:

1)

Решив неравенство, получим:

Так как n ∈ Z, получим для n целые значения: 0, 1, 2.

Им соответствуют решения:

2) Из серии решений на указанном отрезке лежит только корень Но он уже входит в первую серию решений.

Можно также заметить, что вся вторая серия решений является подмножеством первой.

Ответ: а)
б)

к оглавлению ▴

Однородные уравнения

7. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Решение:

Такое уравнение называется однородным.

Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене степень каждого слагаемого равна двум. Мы помним, что степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей.

Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на .

Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.

Предположим, что cosx = 0. Тогда в силу уравнения и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cosx 0, и мы можем поделить обе его части на .

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:

Сделаем замену: получим:

б) Отметим отрезок  и найденные серии решений на единичной окружности.

О том, как отметить на единичной окружности точки из первой серии решений, то есть арктангенс минус трех, читайте здесь: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 2.

Видим, что данному отрезку принадлежат  точки:

Ответ: а) 
б) 

8. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни уравнения на отрезке

Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение

Получили однородное уравнение второй степени.

Так как не существует такой точки на единичной окружности, в которой одновременно синус и косинус равнялись бы нулю, мы разделим обе части уравнения на .

Получим: 

Выполним замену: tgx = y, получим:

Обратная замена: 

Ответом в пункте (а) являются  две серии решений.

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку  с помощью единичной окружности. Для этого отметим на ней данный отрезок и  найденные серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка 

Ответ: а)
б) 

к оглавлению ▴

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида acosx + bsinx=c. Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.

9. а) Решим уравнение: 
б) Найдите все корни уравнения на отрезке 

Решение:

Делим обе части на 2:

Замечаем, что

В левой части получили синус суммы:

отсюда 

б) Отметим на единичной окружности отрезок  и найденные серии решений.

Обратите внимание, что в этой задаче отрезок больше, чем полный круг. Как нам поступить? Один из способов – нарисовать рядом две окружности.

Видим, что данному отрезку принадлежат точки:

Ответ: а) 
б)

Другой пример.

10. а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни уравнения на отрезке 

Решение:

Делим обе части на 

Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку  с помощью единичной окружности. Отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.

Видим, что данному отрезку принадлежат  точки 0 и 

Ответ: а) 
б)  

Покажем, как применяется метод введения дополнительного угла в общем случае.

Рассмотрим  уравнение 

Делим обе части на

(4)

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла :

Соотношение (4) тогда приобретает вид:

или

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол

к оглавлению ▴

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:

Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной тригонометрической подстановки. 

Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

11. а) Решите уравнение: 
б) Найдите все корни уравнения на отрезке 

Решение:

Выражаем , используя универсальную тригонометрическую подстановку:

Делаем замену  :

Получаем кубическое уравнение:

Оно имеет единственный корень .

Стало быть, , откуда .

Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку    с помощью двойного неравенства:

Получим, что

Ответ: а)
б) 

Универсальная тригонометрическая подстановка может также пригодиться при решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ. Поэтому формулы лучше выучить.

к оглавлению ▴

Учет ОДЗ уравнения

12. а) Рассмотрим уравнение: 
б) Найдите все корни уравнения на отрезке 

Решение:

Перепишем уравнение в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Решаем уравнение системы:

,

,

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия  не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .

Ответ в пункте (а):  .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку  с помощью двойного неравенства:

Неравенство имеет единственное целое решение 

Тогда 

Ответ: а)
б) 

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений, которые применяются в задаче 12 ЕГЭ.

Где же еще нам могут встретиться тригонометрические уравнения? Конечно, в задачах с параметрами. Или на олимпиадах по математике. Сейчас мы увидим еще несколько полезных приемов решения.

к оглавлению ▴

Метод оценки

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .

13. Рассмотрим уравнение: 

Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в том случае, когда они равны единице одновременно:

Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:

Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:

Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:

;

;

Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Ответ:

14. Рассмотрим уравнение: 

Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:

;

Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:

Имеем:

Ищем пересечение:

Умножаем на 21 и сокращаем на π:

Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.

Ответ: решений нет.

Это был тренировочный пример. А в задачах ЕГЭ решения есть всегда.

Посмотрите, как применяется метод оценки в задачах с параметрами.

15. Страшное с виду уравнение  также решается методом оценок.

В самом деле, из неравенства  следует, что .

Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда

Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Перенесем в левую часть и вынесем общий множитель за скобки ,  получим:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Каждое уравнение равносильно совокупности:

Это значит, что синус угла х равен нулю, а его косинус равен 0, 1 или -1.

Или синус угла х равен 1, а косинус этого угла равен 0, 1 или -1.

Такие углы легко найти на тригонометрическом круге. Найденные серии решений запишем в ответ.

Ответ: 

к оглавлению ▴

Тригонометрические уравнения повышенной сложности. Приемы решения

16. Рассмотрим такое уравнение: 

Сделаем замену .

Как выразить  через t? Имеем:

,

откуда . Получаем:

Начнем со второго уравнения.

Так как  и   то их сумма может быть равна 2, только оба слагаемых равны 1. Но на единичной окружности не существует точки, в которой одновременно синус и косинус равен единице. Значит, второе уравнение корней не имеет.

Решим первое уравнение методом введения дополнительного угла.

Для этого разделим обе части уравнения на  и получим:

Ответ: 

17. Помним формулы косинуса и синуса тройного угла:

,

Вот, например, уравнение:

Оно сводится к уравнению относительно :

,

,

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:

Решим второе уравнение с помощью замены sinx = t.

Получим:  или 

Обратная замена:

А решением первого уравнения sinx = 0 являются числа вида 

Ответ: 

Интересно, что формулы синуса и косинуса тройного угла также могут пригодиться вам в решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ.

18. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса?

Рассмотрим уравнение: 

Выделяем полный квадрат!

;

;

;

;

;

;

19. А как быть с суммой шестых степеней?

Рассмотрим такое уравнение: 

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .

Получим:

;

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Тригонометрические уравнения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Задачи из сборников Ященко, 2021 год

Уравнения с модулем

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Простейшие тригонометрические уравнения 2

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка . От нее и будем отсчитывать. Получим:

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Упростим левую часть по формуле приведения.

Вынесем за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка От нее и отсчитываем.

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии

Точки серии не входят в указанный отрезок.

А из серии в указанный отрезок входит точка

Ответ в пункте (б):

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Применим формулу косинуса двойного угла:

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии на отрезке Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .

Ответ в пункте а)

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых или . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых

Числа серии не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

На отрезке нам подходит корень .

На отрезке нам подходят корни .

На отрезке — корни

Ответ в пункте б):

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание №12. Уравнения u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:

Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники допускают множество элементарных ошибок. Цель данной статьи — уберечь вас от нелепых и досадных потерь баллов в подобной ситуации на едином госэкзамене.

Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.

Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрёжки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы забраковываем этот подход раз и навсегда.

Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.

Данный подход требует понимания, осмысленных действий и ясного видения тригонометрического круга. Не беспокойтесь, эти трудности преодолеваются быстро. Усилия, потраченные на этом пути, будут щедро вознаграждены: вы начнёте безошибочно решать тригонометрические уравнения.

Уравнения cosx = a и sinx = a

Напомним, что cos x — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу x, а sin x — её ордината.

Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения cosx = a и sinx = a имеют решения только при условии . Абитуриент, будь внимателен! Уравнения или cosx = −7 решений не имеют!

Начнём с самых простых уравнений.

1. cosx = 1.

Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:

Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, 2π, −2π, 4π, −4π, 6π, −6π, . . . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов 2π (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).

Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:

Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что Z — это множество целых чисел.

2. cosx = -1.

Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой −1:

Эта точка соответствует углу π и всем углам, отличающихся от π на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:

3. sinx = 1.

Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой 1:

И записываем ответ:

4. sinx = -1.

Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 🙂

Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:

Это — дело исключительно вашего вкуса.

Заодно сделаем первое полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить 2πn.

5. sinx = 0.

На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:

Эти точки соответствуют углам 0, ±π, ±2π, ±3π, . . . Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов π (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,

Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.

6. cosx = 0.

Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из прибавлением целого числа углов π (полуоборотов):

Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.

Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить πn.

Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ±1). Начинаем с косинуса.

7.

Имеем вертикальную пару точек с абсциссой

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):

Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

Обе серии решений можно описать одной формулой:

Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.

8.

9.

10. 

11. 

12. 

Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.

13. 

Имеем горизонтальную пару точек с ординатой :

Углы, отвечающие правой точке:

Углы, отвечающие левой точке:

Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:

Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:

На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она даёт обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных k. Если k = 2n, то

Мы получили первую серию решений x₁. А если k нечётно, k = 2n + 1, то

Это вторая серия x₂.

Обратим внимание, что в качестве множителя при (−1)^k обычно ставится правая точка, в данном случае .

Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.

Линия тангенсов

Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная AB к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).

Из подобия треугольников OAB и ONM имеем:

Но поэтому 

Мы рассмотрели случай, когда x находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда x находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.

Тангенс угла x равен ординате точки B, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой OM, соединяющей точку x с началом координат.

Вот рисунок в случае, когда x находится во второй четверти. Тангенс угла x отрицателен.

Уравнение tg x = a

Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение tg x = a имеет решения при любом a.

19. 

Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:

Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:

20. 

Имеем диаметральную пару:

Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:

Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

На этом заканчиваем пока и с тангенсом.

Уравнение ctg x = a нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:

• уравнение ctg x = 0 равносильно уравнению cos x = 0;

• при уравнение равносильно уравнению

Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях 🙂

Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.

А что делать, например, с уравнением ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 1» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

урок 5. Математика ЕГЭ

Тригонометрические уравнения

Тригонометрия – одна из самых важных тем на ЕГЭ по профильной математике. Она может встретиться в №1 (простейшие уравнения), №4 (преобразование выражений, в том числе тригонометрических), знание свойств тригонометрических функций может пригодится в №9, №11 (производные) и в задании из второй части №12 (тригонометрические уравнения).

Как видите, потенциально хорошие знания по тригонометрии могут принести вам до 6 первичных баллов на ЕГЭ. Конечно, вряд ли тригонометрия будет сразу во всех перечисленных номерах, но без нее написать хорошо профильную математику будет сложно.

Самой сложной темой из тригонометрии являются тригонометрические уравнения. Здесь вам понадобятся все ваши умения по работе с тригонометрической окружностью, знание тригонометрических формул, умение работать с тригонометрическими выражениями и переводить градусы в радианы и наоборот. Тригонометрические уравнения почти всегда попадаются в 12-м номере ЕГЭ, а это уже вторая часть, и за это задание дают целых два первичных балла.

Что такое тригонометрические уравнения?

Итак, если в уравнении переменная \(x\) (или какое-то выражение от \(x\)) содержится внутри функций синуса, косинуса, тангенса или котангенса, то такое уравнение называется тригонометрическим. Например:
$$3\sin(2x)-2\cos(x)^2=0;$$
Но будьте внимательными, если уравнения имеет вид:
$$\cos(x)+2x=3;$$
То уравнение уже будет называться смешанным, так как в нем есть и тригонометрическая функция \((\cos(x))\), и линейная \((2x)\). Такое уравнение уже значительно сложнее, и в ЕГЭ они если и встречаются, то очень редко. Здесь смешанные уравнения мы рассматривать не будем.

Но начинать изучение мы будем с простейших тригонометрических уравнений. Это фундамент, на котором строится все остальное. Простейшие уравнения имеют такой вид:
$$\sin(f(x))=a;$$
$$\cos(f(x))=a;$$
$$tg(f(x))=a;$$
$$ctg(f(x))=a;$$
где \(a\) — некоторое число, а \(f(x)\) – некоторое выражение, зависящее от \(x\);

Как решать простейшие тригонометрические уравнения?

Существует два основных метода решения:

• При помощи единичной окружности;
• С использованием готовых формул;

Лично я сторонник решения при помощи единичной окружности. С использованием формул решать, на мой взгляд, не очень удобно, потому что нужно их учить и теряется, как и при любой зубрежке, элемент понимания того, что ты делаешь. Но мы разберем оба способа.

Решение тригонометрического уравнения с синусом на окружности

Здесь необходимо идеальное знание тригонометрической окружности. Если его нет (а без нее в тригонометрии, в любом случае, делать нечего), то рекомендую почитать про нее по ссылке, либо же переходите сразу к методу решения через формулы.

Будем учиться на примере простейшего тригонометрического уравнения:

Рис.1. Тригонометрические уравнения с синусом

Рис.2. Таблица значений тригонометрических функций

Другими словами, у функции синуса есть период, равный (\(360^o=2\pi\)), то есть каждый полный оборот значение синуса будет повторяться.

Таким образом, тригонометрические уравнения обычно имеют бесконечное количество решений, которые записываются в виде некоторых правил, как в нашем примере. Запомните это, почему-то немногие это понимают.

• Рисуем тригонометрическую окружность;
• Отмечаем примерное значение \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx-\frac{1,4}{2}=-0,7\) на оси синусов в точке \(P\);
• Проводим перпендикуляр к оси синусов через точку \(P\);
• Получили две точки пересечения с единичной окружностью \(F\) и \(T\);
• Согласно построению, углы \(\angle{AOF}\) и \(\angle{AOT}\) искомые (показаны на рис. 3 синим цветом): синус от них будет равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\). Не забываем отсчитывать углы от отрезка \(OA\) ПРОТИВ часовой стрелки, здесь углы будут тупыми, как показано на рисунке;
• Выяснили при помощи окружности, что нас устраивает как минимум два значения \(x\) (угол \(\angle{AOF}\) и \(\angle{AOT}\));
• Внимание! Осталось найти значения этих углов. И вот тут у нас загвоздка, так как значение синуса у нас отрицательное, и его нет в таблице стандартных углов. Как же найти углы?
  Но зато в таблице есть значение \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)! (См.Рис. 2)
  Проделаем и отметим на окружности все предыдущие шаги, как будто мы решаем уравнение \(\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Теперь все происходит в верхней половине окружности. Обозначим углы, синус от которых \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) за \(\angle{MOA}\) и \(\angle{NOA}\). Эти углы мы найти можем, так как значение синуса \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) есть в таблице стандартных углов:
  $$\angle{MOA}=45^o=\frac{\pi}{4};$$
  Аналогично примеру №1 находим:
  $$\angle{NOA}=180^o-\angle{NOC}=180^o-45^o=135^o=\frac{3\pi}{4};$$

  Получилась абсолютно симметричная картина относительно горизонтальной оси (оси косинусов). (См. Рис. 3). Если согнуть рисунок по горизонтальной оси, то верхняя половина единичной окружности точно совпадет с нижней. Это значит, что \(\angle{MOA}=\angle{FOA}\) и \(\angle{TOA}=\angle{NOA}\) (углы показаны на рис.3. зелёным цветом).
  Тогда согласно рис.3 мы можем выразить искомые углы:
  $$\angle{AOF}=360^o-\angle{FOA}=360^o-\angle{MOA}=360^o-45^o=315^o=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4};$$
  $$\angle{AOT}=360^o-\angle{TOA} =360^o-\angle{NOA}=360^o-135^o=225^o=2\pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{5\pi}{4};$$

• Углы найдены, добавляем к каждому период \(2\pi*n\) и записываем ответ.

Абсолютно без разницы в каком виде записать ответ в примере №2, по сути, первый и второй вариант ответа это одно и то же. Напоминаю, что ответы в тригонометрии мы записываем в виде правила, которому подчиняются бесконечное количество углов. Правило одно и то же, и задает одни и те же углы, только разная точка отсчета, к которой прибавляется период \(2\pi*n.\) Попробуйте на бумаге поподставлять различные значения \(n\) и туда, и туда. Убедитесь сами, что корни будут получаться одинаковые.

Я бы использовал второй вариант написания ответа, на мой взгляд, он легче.

Пример 3
$$\sin(x)=1;$$
Решим вот такое интересное тригонометрическое уравнение.

• Рисуем единичную окружность;
• На оси синусов отмечаем значение \(1\);
• Проводим перпендикуляр к оси синусов через \(1\);
• Наш перпендикуляр пересечет окружность только в одной точке! На Рис.4. эта точка отмечена как \(B\);
• Раз у нас всего лишь одна точка, значит и угол будет один. Точка \(B\) соответствует углу \(90^o=\frac{3\pi}{2}\);
• Записываем ответ, не забывая про период;

Арксинус. Обратная тригонометрическая функция синусу

И разберем последнее типовое тригонометрическое уравнение с синусом:

В общем, арксинус – это просто обозначение угла. Но так как в предыдущих примерах мы выяснили, что практически любому значению синуса соответствует как минимум два угла, то какой из этих углов это арксинус?

Решение тригонометрического уравнения с косинусом на окружности

На самом деле, уравнения с косинусом мало чем отличаются от уравнений с синусом. Рассмотрим алгоритм решения на примере:

• Рисуем единичную окружность;
• Отмечаем на линии косинусов (горизонтальная линия) значение \(\frac{1}{2}\) в точке \(P\);
• Проводим перпендикуляр \(a\) к линии косинусов через точку \(P\);
• Перпендикуляр \(a\) пересечет окружность в точках \(K\) и \(L\);
• Точки \(K\) и \(L\) соответствуют углам \(\angle{KOA}\) и \(\angle{LOA}\);
• Косинус от углов \(\angle{KOA}\) и \(\angle{LOA}\) будет равен \(\frac{1}{2}\) по построению;
• Осталось найти значение этих углов. Смотрим в таблицу стандартных значений и находим, что косинус от угла \(60^o=\frac{\pi}{3}\) будет как раз равен \(\frac{1}{2}\);
• Тогда, держа в голове, что углы отсчитываются ПРОТИВ часовой стрелки от отрезка \(OA\) делаем вывод, что \(\angle{KOA}=60^o=\frac{\pi}{3};\)
• Угол \(\angle{LOA}\) находим из соображения симметрии картинки относительно горизонтальной оси косинусов: \(\angle{LOA}=-\angle{KOA}=-60^o=-\frac{\pi}{3}.\) Знак минус появляется потому что \(\angle{LOA}\) мы отсчитываем от отрезка \(OA\) ПО часовой стрелке.
• Мы нашли углы, косинус от которых будет равен \(\frac{1}{2}\), добавляем период \(2\pi*n\) и записываем ответ;

Тригонометрические уравнения с косинусом легче, чем с синусом: находишь один угол, а второй просто записываешь со знаком минус из горизонтальной симметрии.

• Рисуем тригонометрическую окружность;
• Отмечаем на линии косинусов примерное значение \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx-\frac{1,7}{2}=-0,85\) в точке \(F\);
• Проводим перпендикуляр к линии косинусов через точку \(F\);
• Обозначим точки пересечения с окружностью за \(M\) и \(N\);
• Точки \(M\) и \(N\) соответствуют углам \(\angle{MOA}\) и \(\angle{NOA}\);
• Осталось найти значение этих углов. Но у нас опять небольшая проблема: в таблице стандартных углов нет значения \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). Зато там есть \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

  Отметим на той же окружности решение уравнения \(\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\) (см. Рис. 7), оно будет в правой части окружности, а углы \(\angle{EOA}\) и \(\angle{TOA}\) будут решениями. Из таблицы стандартных углов находим, что косинус от угла \(30^o=\frac{\pi}{6}\) будет равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Значит \(\angle{EOA}=\frac{\pi}{6}\), а \(\angle{TOA}=-\frac{\pi}{6}\), если его отсчитать по часовой стрелке.

  Обратите внимание, что рисунок симметричен относительно вертикальной оси синусов, что нам дает равенство углов \(\angle{MOC}=\angle{EOA}=30^o=\frac{\pi}{6}\). Теперь можем найти \(\angle{MOA}\):
  $$\angle{MOA}=180^o-\angle{MOC}=180^o-30^o=150^o=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6};$$
  А угол \(\angle{NOA}\) из геометрических соображений равен \(\angle{MOA}\), но отсчитываем мы его ПО часовой стрелке:
  $$\angle{NOA}=-\angle{MOA}=-\frac{5\pi}{6};$$

• Мы нашли углы, косинус от которых будет равен \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\), добавляем период \(2\pi*n\) и записываем ответ;

• Как обычно, рисуем окружность;
• На оси косинусов отмечаем значение \(0\), оно лежит прямо в пересечении осей синуса и косинуса;
• Проводим перпендикуляр к оси косинусов через точку \(0\). Будьте внимательны, этот перпендикуляр полностью совпадет с осью синусов и пересечет окружность в точках \(B\) и \(D;\)
• Углы \(\angle{BOA}\) и \(\angle{DOA}\) искомые;
• Точки \(B\) и \(D\) соответствуют на окружности углам \(90^o=\frac{\pi}{2}\) и \(-90^o=-\frac{3\pi}{2}.\)
• Учитывая период, записываем ответ:

Арккосинус. Обратная тригонометрическая функция косинусу

По аналогии с арксинусом существует функция обратная косинусу. Каждый раз, когда вам встречается не табличное значение, придется использовать арккосинус. Познакомимся с ним на примере:

Так как почти любому значению косинуса соответствует минимум две точки (два угла) на окружности, то для того, чтобы понять, какой именно угол из этих двух будет арккосинусом, на функцию арккосинус накладываются определенные ограничения:

Тригонометрическое уравнение с тангенсом на окружности

Тангенс и котангенс на единичной окружности ведут себя несколько иначе, чем синус и косинус. Кто не помнит, как тангенс и котангенс отображаются на окружности и какими свойствами обладают, рекомендую повторить.

Как обычно, будем учиться на примерах:

• На тригонометрической окружности необходимо нарисовать ось тангенсов. Напоминаю, что она параллельна оси синусов и проходит через точку \(A\);
• На оси тангенсов отмечаем значение \(1\), обозначим эту точку за \(K\);
• Соединим точку \(K\) с центром окружности и продлим до пересечения с окружностью;
• Получим две точки на окружности \(M\) и \(N\);
• Они соответствуют углам \(\angle{MOA}\) и \(\angle{NOA}\), тангенс от которых будет равен \(1\);
• По таблице стандартных углов находим, что тангенс равен \(1\) от угла \(45^o=\frac{\pi}{4}\), судя по рисунку №10, это будет угол \(\angle{MOA}\);
• Угол \(\angle{NOA}\) можно найти по формуле:
  $$\angle{NOA}=180^o+\angle{MOA}=\pi+\angle{MOA}=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4};$$
  Это следует из окружности, посмотрите на Рис.10. Наши два угла отличаются ровно на \(180^o=\pi\) градусов. Это важный момент, который дает нам возможность записывать ответ в одну строчку, а не в две, как у синуса и косинуса:
  $$x=\frac{\pi}{4}+\pi*n, \quad n \in Z;$$

Главный вывод в том, что у простейшего уравнения с тангенсом записывается в ответ только одна точка (любая) и прибавляется период \(\pi*n\). Этот факт можно просто запомнить.

Арктангенс. Обратная тригонометрическая функция тангенсу

По аналогии с арксинусом и арккосинусом существует и арктангенс – функция, обратная тангенсу. Она необходима, когда перед вами нестандартные (не табличные) значения тангенса.

• Рисуем единичную окружность;
• Отмечаем на оси тангенсов значение \(3\), обозначим за точку \(K\);
• Через точку \(K\) и центр окружности проводим прямую, которая пересечет окружность в двух точках \(M\) и \(N\);
• В таблице стандартных углов тангенс, равный \(3\), вы не найдете. И тут нам пригодится арктангенс. Арктангенсом мы будем называть угол, тангенс от которого равен 3-м. Поэтому угол \(\angle{MOA}=arctg(3),\) согласно определению арктангенса;
• Угол \(\angle{NOA}\) можно найти по формуле:
  $$\angle{NOA}=\angle{MOA}+180^0=\angle{MOA}+\pi=arctg(3)+\pi;$$
• Но на самом деле, оба угла \(\angle{MOA}\) и \(\angle{MOA}\) для ответа нам не нужны. В ответ мы можем записать любой из них и указать период \(\pi*n\), который покроет оба угла;

Ответ: \(x=arctg(3)+\pi*n, \quad n \in Z.\)

Тригонометрическое уравнение с котангенсом

Уравнения с котангенсом очень похожи на уравнения с тангенсом с одним исключением: ось котангенсов на единичной окружности параллельна горизонтальной оси косинусов, полностью ее дублирует и проходит через точку \(B\).

• Рисуем единичную окружность;
• Проводим через точку \(B\) ось котангенсов параллельно горизонтальной оси;
• На оси котангенсов отмечаем значение \(\sqrt{3}\approx1,7\), обозначим за точку \(P\);
• Соединяем точку \(P\) с центром окружности и продляем до пересечения с ней в двух точках: \(L\) и \(F\);
• Котангенс от углов \(\angle{LOA}\) и \(\angle{FOA}\) и будет равен \(\sqrt{3}\);
• В таблице стандартных углов находим, что \(ctg(\frac{\pi}{6})=\sqrt{3};\)
• Согласно рисунку \(\angle{LOA}=\frac{\pi}{6}\), а угол \(\angle{FOA}=\frac{\pi}{6}+\pi=\frac{7\pi}{6};\)
• Как и с тангенсом, оба угла нам не нужно, достаточно в ответе указать одну точку с периодом \(\pi*n\);

В простейших уравнениях с котангенсом в ответе мы указываем любой из двух получившихся углов, при этом не забываем про период \(\pi*n\).

Разберем еще уравнение с отрицательной правой частью:

Отметим на тригонометрической окружности ось котангенсов и на ней значение \(-1\). Так подробно расписывать решение, как в прошлых примерах, мы не будем, идея уже должна быть давно понятна.

Арккотангенс. Обратная тригонометрическая функция котангенсу

И нам осталось обсудить последнюю тригонометрическую функцию в школьной программе: арккотангенс.

Как и другие обратные функции, арккотангенс от некоторого числа \(a\) – это угол, котангенс от которого будет равен \(a\):
$$tg(arcctg(a))=a; \qquad a\in(-\infty;+\infty); $$
$$arcctg(a)\in(0;\pi).$$
Обратите внимание на ограничения, которые по определению накладываются на арккотангенс: его значения принадлежат промежутку \((0;\pi)\), то есть это углы, лежащие в верхней половине окружности. Эти ограничения необходимы для однозначности функции арккотангенса, так как любому значению котангенса всегда соответствует две точки на окружности, а значит минимум два угла (в верхней и нижней полуокружностях).

Ответ: \(x=arcctg(5)+\pi*n, \quad n \in Z.\)

Формулы для решения тригонометрических уравнений

Мы разобрали решения всех основные типы простейших тригонометрических уравнений при помощи единичной окружности. Я бы рекомендовал всегда решать именно при помощи окружности, это очень полезно для понимания.

А сейчас мы запишем формулы, при помощи которых можно решать уравнения без единичной окружности.

Пусть у нас есть простейшие тригонометрические уравнения:

Можно просто запомнить формулы и решать уравнения с их помощью.

И полезно помнить формулы, которые мы вводили, когда давали определение обратных функций:
$$\arcsin(-a)=-\arcsin(a);$$
$$\arccos(-a)=\pi-\arccos(a);$$
$$arctg(-a)=-arctg(a);$$
$$arcctg(-a)=\pi-arcctg(a).$$

Сразу выпишем общую формулу ответа:

Замена переменной в тригонометрических уравнениях

Замена выражения под тригонометрической функцией

Мы научились решать простейшие уравнения. И на этом строится решение всех остальных тригонометрических уравнений. Они все так или иначе сводятся к решению простейших. И один из способов – это введение замены переменной.

Вы должны были с этим регулярно сталкиваться в младших классах при решении, например, биквадратных уравнений. Все дальнейшие рассуждения предполагают, что вы знаете, что такое замена переменной. Итак, разберем пример:

Обратите внимание, что теперь у нас под синусом стоит не просто \(x\), а целое выражение. Давайте избавимся от него, убрав \(2x\) в замену: пусть \(t=2x\).

Аналогичным образом можно решать тригонометрические уравнения с более сложным подтригонометрическим выражением:

Замена всей тригонометрической функции

Что делать с подтригонометрическим выражением, мы разобрались. Теперь решим пример на замену, при помощи которой тригонометрическое уравнение сводится к квадратному.

Тригонометрические уравнения в ЕГЭ

В ЕГЭ в большинстве тригонометрических уравнений нужно уметь преобразовать исходное уравнение и сделать замену. Для того, чтобы правильно преобразовывать уравнение, необходимо хорошо знать тригонометрические формулы и помнить главное правило:

Стараться свести уравнение к виду, в котором все тригонометрические функции и выражения, от которых они берутся, одинаковы.

Другими словами, нужно сделать так, чтобы во всем уравнении везде был, например, только синус от \(x\).

Рассмотрим несложный реальный пример из ЕГЭ.

Этот пример уже сложнее: во-первых, под тригонометрическими функциями стоят какие-то непонятные, да еще и разные, выражения; во-вторых, в уравнении у нас и синус, и косинус, а должно быть что-то одно.

Однородные тригонометрические уравнения

Мы выяснили, что для того, чтобы решить уравнение, необходимо привести все к одинаковым тригонометрическим функциям от одинаковых аргументов. Но иногда сделать это затруднительно. Например, как вы будете решать вот такое уравнение:

Рассмотрим еще один пример:

Мы рассмотрели два примера так называемых однородных уравнений первой степени. Рассмотрим пример на однородное уравнение второй степени.

Есть нюанс, на котором школьники часто сыпятся. Освоив метод деления, ученик начинает пытаться решить тригонометрические уравнения только через него и на экзамене, решив вроде все правильно, получает 0 баллов.

Оказывается, что не всякое уравнение можно разделить на выражение зависящее от \(x\). Посмотрите пример №26, это убережет вас от подобных ошибок на экзамене.

Запомните важное правило! Делить уравнение можно только тогда, когда выражение, на которое вы делите, равное нулю не будет корнем исходного уравнения.
В нашем случае мы делим на \(\sin(x)\), но \(\sin(x)=0\) является решением, поэтому делить нельзя.

Чтобы все-таки решить это уравнение правильно, нужно воспользоваться вынесением общего множителя за скобки.

Вынесение общего множителя в тригонометрических уравнениях

Еще один распространенный на ЕГЭ тип тригонометрических уравнений, в которых необходимо вынести общий множитель.

Метод группировки в тригонометрических уравнениях

Рассмотрим еще уравнение, которое было на ЕГЭ 2015 года на метод группировки. Тоже нужно обязательно это знать. Сам метод, если кто не знает, сводится, по сути, к вынесению общего множителя за скобки, только немного сложнее.

ОДЗ в тригонометрических уравнениях

С областью допустимых значений мы сталкиваемся в уравнениях и неравенствах, в которых есть знаменатели, корни и логарифмы.

Тригонометрические уравнения не исключение, в них тоже встречается все вышеперечисленное. И в этом случае мы вынуждены не забывать про ограничения и выписывать ОДЗ перед тем, как решать.

В этом уравнении есть квадратный корень, а значит подкоренное выражение не может быть меньше нуля, невозможно взять корень из отрицательного числа. ОДЗ будет выглядеть:
$$13\cos(x)\ge0;$$
$$\cos(x)\ge0;$$
Получили тригонометрическое неравенство, которое мы решать еще не умеем. Более того, в школах часто совсем не проходят тему тригонометрических неравенств. Поэтому постараемся решить исходя из логики при помощи единичной окружности.

Обратите внимание, что в ответе период стал \(2\pi*n\), а не \(\pi*n\), как у нас получалось при решении. Это связано с тем, что период \(\pi*n\) покрывает на окружности две точки: из левой полуокружности, которая нам не подходит по ОДЗ, и из правой, которая подходит. А раз нам подходит только одна правая точка, то период будет \(2\pi*n\).

Разные типы тригонометрических уравнений

Подведем важные итоги. Существует три основных метода решения тригонометрических уравнений: замена переменной, вынесение общего множителя (группировка), и деление (однородные уравнения).

Во избежание ошибок, я бы всегда стремился решать либо через замену, либо через вынесение общего множителя. А деление использовать, когда у вас не получается решить другими способами. Это убережет от ошибок, описанных в конце главы про однородные уравнения.

Порешаем разные полезные нестандартные уравнения, которые могут встретиться на ЕГЭ.

Обратите внимание, что тут обе тригонометрические функции берутся от \(2x\). В предыдущих примерах мы всегда избавлялись от \(2x\) и старались преобразовать так, чтоб аргумент был просто \(x\).

Но, оказывается, так делать необязательно. Так как тут аргумент везде \(2x\), то будем решать с ним. Нам, на самом деле, не важно, какой у вас аргумент, главное, чтобы он был одинаковый у всех тригонометрических функций, входящих в уравнение.

Как пользоваться формулами приведения? Правило лошади, единичная окружность и формулы суммы и разности для нахождения формул приведения.

Как пользоваться тригонометрической окружностью? Синус, косинус, тангнес и котангнес на единичной окружности. Свойства симметрии. Перевод градусов в радианы.

Разбираем тригонометрию с нуля. Синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике. Таблица стандартных углов и свойства тригонометрических функций.

Как решать показательные неравенства. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Однородные степенные неравенства.

Как решать неравенства с логарифмами. Общий алгоритм решения. Замена переменной. Переменное основание в логарифмических неравенствах. Сужение ОДЗ.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Как решать уравнения со степенями. Разбираем основные методы и способы решения простейших показательных уравнений.

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №4 из ЕГЭ по профильной математике.

Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.

Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.