ЕГЭ по математике. Тесты и задания №8 с ответами, профильные (2019 год)

Обычно базовую математику выбирают ребята, у которых есть план: надо как можно скорее разделаться с бесполезным для поступления предметом и сосредоточиться на своем наборе вступительных. Из этой статьи вы узнаете, как сдать базовую математику максимально быстро и просто.

В этой статье:

Какие задания решать, чтобы сдать базовую математикуКакие задания мы не разобрали и почему

Как сдать базовую математику: инструкция

В этом материале мы сделаем акцент на простых номерах, которые принесут вам балл почти задаром! Они обозначены пометкой «Обязательно делать» — таких заданий 10. Как раз с запасом на ошибки, ведь минимум для сдачи базовой математики — 7 баллов.

Для тех, кто хочет получить выше тройки — это 12 баллов и выше, — мы дали рекомендации по еще 3 задачам. В сумме получается 13 номеров. Решите их все, и твердая четверка у вас в кармане.

Какие задания решать, чтобы сдать базовую математику

Проверяется ваше умение разделить случаи, когда требуется округлить величину в большую сторону, а когда — в меньшую.

Если вы ходите в магазин с наличными, то сталкиваетесь с подобными задачами каждый день. Разделим 100 рублей на стоимость одной упаковки йогурта. Не забывайте приводить все величины к одной размерности:

Так сколько баночек йогурта вам продадут? На 7 штук денег не хватает, значит, округлить полученную величину надо до целого в меньшую сторону. Математическое правило округление в этой задаче не поможет.

Если одна пачка рассчитана на 6 рулонов, то на 63 рулона:

63 : 6 = 10,5.

Но полпачки вам не продаст. Включаем логику: возьмем меньше — не хватит еще половины пачки на три последних рулона. Значит, округлить надо в большую сторону, взять клей с небольшим запасом. Математическое правило округления снова игнорируем.

Обязательно делать

Это задача на здравый смысл. Нужно соотнести величины с их возможными значениями.

Вряд ли грузовой автомобиль может весить как 3 шоколадки (300 г), а взрослый человек — 8 т.

Давайте вместе подберем значения.

Главное — внимательно перенести ответы в бланк: 3142.

Задание на работу с графиком, диаграммой или таблицей. Вооружайтесь карандашом, читайте условие с предельной внимательностью и безжалостно отмечайте нужные по условию значения на изображении в КИМ. Вы и представить не можете, сколько выпускников теряет тут баллы по невнимательности.

Мы ярко отметили уровень, соответствующий Амуру, в итоге посчитать все более длинные реки стало проще простого. У вас на экзамене будет так же наглядно!

Задание проверяет навык работы с формулами. Алгоритм решения напоминает решение задачек на уроке по физике:

Самое трудное тут — правильно выразить искомую величину. Для этого повторяем порядок выполнения арифметических операций, свойства умножения, тренируемся перекидывать через равно множители и слагаемые.

И да, в базе эта задача проста настолько, что даже перекидывать ничего не придется. Нужная величина уже будет слева от равно.

Простая задача на определение вероятности, которая поможет вам точно сдать базовую математику.

Решаем с помощью формулы:

Внимательно читайте вопрос: спрашивают вероятность купить исправную лампочку. Если из ста 3 неисправны, значит, остальные в порядке и подойдет любая из оставшихся 97. Это и есть наши благоприятные исходы из формулы.

97 : 100 = 0,97.

Будьте внимательны: иногда в задаче есть указание к округлению. Значит, ответ у вас выйдет некрасивый, в виде бесконечной десятичной дроби, которую вы округлите до нужного разряда.

Еще один подвох: формулировка с предлогом «на». К примеру, «На 100 лампочек 3 неисправны. Найдите вероятность купить неисправную». Подходящие исходы тут даны явно: 3 неисправные лампочки. А вот число всех исходов спрятано, и найти его будет нужно сложением исправных и неисправных лампочек: 100 + 3 = 103.

Задание проверяет навык чтения информации из таблицы и подбора подходящего по условию варианта.

Например, вы нашли вариант позвать первого, третьего и пятого переводчиков. Получите весь набор языков как раз за 12 тысяч. Но обратите внимание, что это решение далеко не единственное.

Задание 7

Мы не выделяем это задание в обязательные, так как для его выполнения понадобится навык анализа поведения функции по графику. Но, как его решать, сейчас коротко расскажем.

Запомним: точка максимума будет на «горке», точка минимума — в «ямке». Функция убывает, если идет вниз слева направо. Возрастает, если идет вверх слева направо.

Если не повезет, то придется вспомнить азы теории по производной.

Здесь все дело в касательных. Нужно внимательно к ним присмотреться. Если касательная к графику возрастает, то значение производной будет положительное, если убывает — отрицательное. Производная будет тем больше по величине (модулю), чем быстрее возрастает или убывает касательная.

Задача проверяет умение делать логичные выводы из утверждения. Иногда попадаются совсем простые задания, к таким даже дополнительно готовиться не надо.

Все, что от вас требуется, — схематично изобразить на черновике ясень, рябину и осину, указать известную разницу в высоте и внимательно сопоставить картинку с утверждениями.

Важно: не додумывайте дополнительные условия, не указанные в тексте задачи. Учитесь читать строго то, что написано.

Исходя из рисунка выше получаем, что верны только утверждения 1 и 4.

А бывают случаи, когда с визуализацией задачки придется постараться.

Тут иллюстрация не так очевидна, но нам помогут круги Эйлера. Этот инструмент позволяет наглядно изобразить множество объектов. В данном случае — школьников. Давайте прикинем, как ребята могут распределиться по кружкам.

Например, так. Тут из 20 человек на кружки в итоге ходят 13. Причем 10 из них очень активны и выбрали сразу два предмета. Трое ограничились только историей.

Конечно, возможны еще промежуточные варианты, но мы нарисовали два крайних. Теперь попробуем ответить на вопросы.

Так что для решения иногда мало логики — понадобится еще немного воображения. Потренируйтесь, и ваши шансы получить балл увеличатся.

Задание проверяет базовые навыки счета, которым учат в 5–6-м классах. Чтобы получить балл и сдать базовую математику, надо:

Уделите пару вечеров отработке алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных и десятичных дробей, и это задание у вас в кармане.

Задание 15

Составители экзамена проверяют ваш навык работы с процентами и единицами отношения. Такие задачи бывают четырех типов.

Тип 1. Найти часть от числа

Часть может быть выражена в процентах или сразу в виде дроби. Например, придется искать треть от чего-то.

Рассмотрим на примере реальной задачи из экзамена:

Прочувствуйте специфику задачи: нам известно целое — вся зарплата до вычета налога. А работать мы будем с кусочком — 13 процентами. Сколько это в рублях, нам еще предстоит узнать.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно сделать три шага:

1. Перевести процент в десятичную дробь.

Для этого всегда надо количество процентов поделить на 100.

13 : 100 = 0,13.

2. Найти, сколько это от зарплаты в рублях.

Запоминаем главное правило для этого типа задач: чтобы найти дробь от числа, надо число умножить на эту дробь.

12 500 ∙ 0,13 = 1 625 (руб.) — налог, который удержат с зарплаты Ивана Кузьмича.

3. Ответить на вопрос задачи.

У нас просили зарплату после вычета налога, а не сам налог.

12 500 – 1625 = 10 875 (руб.).

Будьте внимательны: многие совершают ошибку именно на последнем шаге!

Тип 2. Найти число по его части

Прочувствуйте разницу с прошлой задачей: тут 124 — и есть 25%, то есть одна и та же величина выражена в процентах и в абсолютных величинах, в данном случае — в учениках. Просят узнать целое — 100%.

1. Переводим процент в десятичную дробь:

25 : 100 = 0,25.

2. Находим, сколько учеников всего.

Правило для этого типа задач: чтобы найти целое, надо часть разделить на дробь.

124 : 0,25 = 496 (уч.) — всего.

Тип 3. Найти, сколько процентов часть составляет от целого

Особенность подобных заданий: не дано процентов, есть только абсолютные величины. В данном случае — стоимость футболки в рублях.

1. Находим, какую долю новая цена составляет от первоначальной.

Запоминаем правило: чтобы найти, какую долю часть составляет от целого, надо часть разделить на целое.

680 : 800 = 0,85.

2. Переводим долю в процент.

В прошлых задачах мы уже дважды выполнили обратное действие. В этот раз сделаем наоборот: умножим полученную дробь на 100.

0,85 ∙ 100 = 85% — столько процентов новая цена составляет от старой.

3. Отвечаем на вопрос задачи.

Нас спросили, на сколько процентов цена снизилась, что стала 85% от первоначальной. Конечно, изначально она была 100%. Итого:

100 – 85 = 15%.

Тип 4. Задачи на соотношение

Если перефразировать условие, то за первого кандидата проголосовали 3 части избирателей, а за второго — 2 части. Особенность этих частей в том, что они одинаковые по величине.

Если одна будет состоять из 10 человек, то за первого кандидата будет 30, а за второго — 20.

1. Считаем общее количество частей:

3 + 2 = 5.

2. Узнаем, сколько голосов составляет одна такая часть.

Тут речь о процентах проголосовавших. Сколько всего проголосовало? Конечно, 100%! Значит, каждая из пяти частей «весит»

100 : 5 = 20%.

За проигравшего проголосовало меньше частей избирателей. В нашем случае 2.

20 ∙ 2 = 40%.

Решение этих задач удобнее всего оформить табличкой:

1 часть = 100% : 5 = 20%.

Если рассчитываете решать текстовую задачу, включите здравый смысл. Ответ всегда можно проверить на адекватность благодаря обычной логике.

Задание на решение выражения. На самом деле оно проверяет знание теории, так как в этом задании вам могут встретиться:

Ваша задача, соответственно, — знать:

Вы можете подробно ознакомиться с ними и научиться выводить в этой статье.

Обратите внимание: нужная теория будет в справочных материалах на экзамене, но это не поможет, если вы не научитесь применять ее для решения заданий. Практика обязательна!

В номере с уравнениями вам не встретятся тригонометрические. Зато вы точно увидите там:

Раскрываем скобки, если они есть, слагаемые с х переносим в одну сторону от равно, без х — в другую. Приводим подобные и решаем простейшее уравнение.

Бывают полные и неполные, всего надо повторить три алгоритма решения! А формула дискриминанта еще и в справочных материалах есть.

Это те, что с корнем. Чтобы избавиться от корня, возводим обе части уравнения в квадрат и решаем получившееся уравнение. Есть нюансы с областью допустимых значений: подставьте полученные корни в исходное уравнение и проверьте, выполняется ли равенство. Если нет, то подставленное значение решением не будет.

Ваша задача — с помощью формул свойств степеней привести уравнение к виду, когда слева и справа от равно в основании степени будет одно и то же число. После приравниваем показатели и решаем. Вот так:

С помощью формул свойств логарифмов приводим уравнение к виду, когда слева и справа от равно будет логарифм с одинаковым основанием. После приравниваем выражения под логарифмом и решаем.

Прелесть уравнений в том, что ответ всегда можно проверить подстановкой вместо x в уравнение. Не забывайте проверять, ведь это возможность убедиться на 100%, что вы не упустите заветный балл.

Задание 19

Если хотите сдать базовую математику и решить номер 19, надо ознакомиться со свойствами целых чисел и признаками делимости. Иногда решение можно найти даже подбором! Попробуйте — времени на базовом ЕГЭ вам точно хватит.

Для начала нужно запомнить все признаки делимости.

А теперь посмотрим на типичное задание 19.

Тут помогут признаки делимости. Отдельного признака для 12 нет, потому нам надо разложить его на множители, признаки делимости для которых есть.

Теперь проверим признак для 3: 7 + 5 + 1 + 5 + 7 + 6 = 31. Какое ближайшее число разделится на 3? Конечно, 30. Если мы вычеркнем единичку, все сойдется.

Другой вариант задания:

А задание такого типа можно попытаться подобрать, расположений не слишком много. Мы все же постараемся порассуждать, чтобы уменьшить количество возможных вариантов.

Чтобы число делилось на 10, оно должно заканчиваться на 0. Например, это получится, если сложить 7 + □7 + □□6. Уже немного легче. Остальное просто подберем. Под условие задачи подойдет 7 + 27 + 356 = 390.

Какие задания мы не разобрали и почему

Теперь вы знаете, как сдать базовую математику, решив всего семь заданий. Но некоторые номера базового ЕГЭ включают слишком большое разнообразие прототипов, и методы их решения не ограничиваются парой простых алгоритмов.

Например, в эту группу относятся все задания по геометрии: с 9 по 13. Чтобы решать геометрию, мало знать основные фигуры и формулы. Необходим навык, который вырабатывается только практикой. Однако у нас есть статья про окружность — в ней вы найдете много полезной информации.

Задание 18 обычно, хотя и не всегда, содержит неравенство.

Это объемный блок теории, которую тоже необходимо подкреплять практикой. Но, может, вам повезет и попадется задачка на расположение значений на числовой прямой.

Тут достаточно примерно прикинуть значения и аккуратно внести ответы в бланк. Ясно, что 7/3  больше 2, но меньше 3. Корень из 26 равен 5 с копейками, а степень –1 из 3/5 сделает 5/3, или чуть больше 1,5. Подобные задания надо пытаться делать обязательно!

Задание 20. С этим заданием ученики знакомы еще с 9-го класса, так как оно было под номером 21 на ОГЭ. Это текстовая задача:

В задании 21 на ОГЭ не было прогрессий, но они были в первой части на ОГЭ, так что ничего нового.

Задание 21. Здесь попадаются разные типы неочевидных задач на логику — чем-то они даже похожи на олимпиадные. Решение каждой нужно рассматривать отдельно и подробно. Если хотите прочитать о том, какие задачи бывают в 21-м номере, пишите в комментариях, и Maximum поделится своими методами решения!

Не знаете, какой вуз выбрать? Воспользуйтесь бесплатной консультацией в нашем центре. Что это такое? Все просто: вы расскажете о себе и о своих интересах. А специалист посоветует, на какие специальности обратить внимание, в какой вуз поступать, какие ЕГЭ сдавать. Так вы сэкономите время на подготовку и сможете выбрать образование, которое точно окажется для вас интересным и полезным!

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Задачи из сборников Ященко, 2021 год

Уравнения с модулем

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Простейшие тригонометрические уравнения 2

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть

— помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам

Например, вы нашли серию решений

— целое, а найти надо корни на отрезке

На указанном промежутке лежит точка

. От нее и будем отсчитывать. Получим:

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Упростим левую часть по формуле приведения.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Отметим на тригонометрическом круге отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки

А из серии

в указанный отрезок входит точка

Ответ в пункте (б):

3. а) Решите уравнение

Применим формулу косинуса двойного угла:

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии

Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие

заметно сразу. А условие

появляется, поскольку в уравнении есть

Уравнение равносильно системе:

, то есть те, что соответствуют точкам справа от оси

Ответ в пункте а)

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых

. Заметим, что среди них находятся и углы, для которых

не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие

. Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

нам подходит корень

нам подходят корни

Ответ в пункте б):

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание №12. Уравнения u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Скачивая материалы с этого сайта, Вы принимаете условия

Показана страница 1 из 14

Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике

Калитки для ЕГЭ

Этот лайфхак избавит Вас от проблем окружностями!

Апдейт теоремы виета

Как решить квадратное уравнение за 10 секунд!

Внутренняя и внешняя биссектриса

Очень полезная теория про биссектрису!

Шпора по тригонометрии

Все формулы, которые нужны для решения 12 задачи ЕГЭ

Шпора по логарифмам

Все формулы, которые нужны для решения логарифмических уравнений и неравенств

Планиметрия. 1 часть ЕГЭ

Вся теория для решения 1 задачи ЕГЭ

Стереометрия. 1 часть ЕГЭ

Вся теория для решения 2 задачи ЕГЭ

Запомним, в каких случаях теореме косинусов может нам здорово помочь

Запоминающаяся теория и практика по теореме синусов!

Как не потерять баллы во второй части ЕГЭ. Часть 1

Очень часто ошибки на ЕГЭ бывают в мелочах, но стоят очень дорого.

Как не потерять баллы во второй части ЕГЭ. Часть 2

Эти советы точно помогут вам стать ближе к заветной соточке на ЕГЭ

Методички для ЕГЭ по математике

Деление уголком для решения уравнений и неравенств

Монета и кубик.Теория вероятностей

Концентрация, смеси и сплавы. Задача 9 ЕГЭ

Параметры с реального ЕГЭ 2014

Параметры с реального ЕГЭ 2017

Параметры с реального ЕГЭ 2021

Параметры с реального ЕГЭ 2022

Задачи с олимпиады Phystech International

Методичка по задаче 18

Методичка по задаче №18 профильного ЕГЭ по математике

Если вы решились сдавать профильный ЕГЭ по математике, вам нужно очень серьёзно готовиться к экзамену, потому что каждый балл будет заработан буквально кровью и потом. Хотя кровью, наверное, не нужно, пусть останется только пот))

Трудиться придётся много. А мы вам поможем. Стратегия подготовки у каждого выпускника своя, но давайте будем честны: подготовиться на  баллов по профильной математике без посторонней помощи могут лишь единицы. Уверены, что из 145 человек, сдавших в 2018 году профиль на 100 баллов, половина (а, может быть, и больше) ходила к репетиторам. А что ж говорить тогда об остальных? Сегодня мы расскажем вам о 3 очень крутых репетиторах, которые сделали 3 крутых сайта для подготовки к профильной математике.

Сайт Александра Ларина

первом месте, конечно, Александр Ларин. Надеемся, что вы знаете уже это имя. Если нет, cрочно заходи по  ищи всё, что нужно для тренировок. Да, сайт, конечно, невзрачный и немного старомодный, но пусть тебя это не смущает. Этот репетитор  Юрий Дудь среди всех   его сайте вы найдёте новый по профильной математике пробник каждую неделю. Нам нравится его девиз:

Начальный уровень не важен, важно желание максимально реализовать свой потенциал. Тогда результат обеспечен.

Бесплатный курс из 100 занятий по подготовке к ЕГЭ по математике от Дмитрия Гущина

так давно Дмитрий Гущин запустил новый бесплатный курс из 100 занятий по   математике. Просто авторизуйтесь, пройдите входное тестирование, система пришлёт отчёт о ваших знаниях и разработает индивидуальный план занятий. Фантастика! А еще на сайте Решу ЕГЭ есть  по профильной математике.

особом представлении, поскольку это самый крутой бесплатный ресурс для подготовки к  любому предмету. Чем полезен этот сайт для прохождения заданий профиля по

первую очередь, конечно, это ресурс для самопроверки. У них есть не только задания из официального банка ЕГЭ, каждый месяц они создают свои варианты заданий. Главная фишка в том, что система проверяет и оценивает ваши ответы. Вы всегда сможете увидеть, где у вас слабые места. Но  надо думать, что сайт  может только это. Здесь предусмотрен один очень классный сервис: ваш учитель или репетитор может составить на этом сайте ваше персональное задание, учитывая ваши слабые места, ему присваивается номер, и  сможете решить его, просто набрав номер в поиске. Пока никто ещё не

Видеокурс Михаила Пенкина на сайте 4ege

отдадим преподавателю кафедры общей физики МФТИ Михаилу Пенкину, который ведет свои видеозанятия по   самых уважаемых сайтов о

Запишись на наши онлайн-курсы: http://lancmanschool.ru/webinar/

Если материал показался интересным – ставь лайк, делись с друзьями в соцсетях и подписывайся на обновления нашего блога. Кнопку подписки ты найдёшь сразу под постом. Мы пишем о ЕГЭ много (а главное, интересно).

Редактор колонки — ЕГЭ-блогер Мария Кучерова (mel.fm, newtonew.com).

Полезные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике базового уровня:

ТОП-5 блогеров YouTube, которые помогут подготовиться к ЕГЭ по математике

Почему задания на производную решает только 40% выпускников?Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математикеПоиск точек экстремумаПоиск наибольшего / наименьшего значения функцииЛайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ

Производная на ЕГЭ по математике. Как решать задание № 11?

До ЕГЭ все меньше времени, и 11-классники уже на финишной прямой. Усилить подготовку и написать на максимальный балл поможет «ЕГЭ-гонка» 🏁 На экспресс-марафоне вы повторите ключевые разделы предмета, прорешаете множество заданий и попробуете симуляцию экзамена, а также узнаете все секреты ЕГЭ-2023 от преподавателей, написавших работу в досрочный период. Записывайтесь на марафон и придите первыми в гонке ЕГЭ!

Почему задания на производную решает только 40% выпускников?

Ни для кого не секрет, что профильный ЕГЭ по математике состоит из частей с кратким и развёрнутым ответом. В первой части всего 11 заданий. В том числе и интересующее нас задание № 11.

Задание № 11 проверяет, умеют ли выпускники работать с производной. По статистике его решают около 40% всех сдающих экзамен, что для первой части ЕГЭ по математике очень мало.

Проблема этого задания в том, что производную проходят только в середине 11 класса, когда уже активно идет подготовка к ЕГЭ по другим темам. Из-за этого школьники не успевают ее отработать.

Два прототипа задания № 11 ЕГЭ по математике

В этом номере есть всего два типа заданий, которые можно решить с помощью простых алгоритмов. Ученикам нужно лишь запомнить их и выучить таблицу производных.

Сначала необходимо понять, что именно от нас хотят в задании — расскажу небольшой лайфхак. Многие ученики путают понятия «точка максимума / минимума» и «наибольшее / наименьшее значение». Дело в том, что точка экстремума – это x, а наибольшее или наименьшее значение – это у. Как не запутаться? Обрати внимание на слово-маркер «точка». Если ты видишь его, то речь идет об х, если этого слова нет, то речь об у.

Поиск точек экстремума

Теперь, когда мы разобрались, как не запутаться и понять, что необходимо найти в задаче, приступим к разбору самих заданий и алгоритмов к ним. Начнём с поиска точек экстремума. Чтобы провести анализ функции, необходимо определить основные этапы. У функции есть точки экстремума, в них производная равна нулю. Единственный способ, определить, является ли данная точка точкой максимума или минимума – это определить знаки производной до и после неё, если знак производной меняется с «–» на «+», то это будет точка минимума, а если с «+» на «–», то точка максимума. Таким образом общий порядок действий будет следующим:

Данному алгоритму подчиняются абсолютно все задания, в которых нужно найти точки экстремума.

Поиск наибольшего / наименьшего значения функции

Лайфак, чтобы решать задания на производную в ЕГЭ

Давайте посмотрим на некоторые задания, которые можно решить гораздо быстрее, не прибегая к использованию алгоритмов. Лайфхаки не работают на абсолютно всех заданиях, поэтому будьте аккуратны, применяя их!

Разбираем лайфхак на примере

Чтобы выполнить данное задание, необходимо знать таблицу производных и немного порассуждать логически. Если мы пойдём по алгоритму, нам придётся брать производную от e в степени (x-9), а производная от данной функции будет равна тому же самому. И получается, что мы никак не можем избавиться от символа, которого просто не может быть в ответе.

Или можем? Есть замечательная степень, которая абсолютно любое основание может превратить в единицу — это 0. Таким образом, мы можем избавиться от е, если представим её степень (х – 9) равной нулю. Получается х – 9 = 0, тогда х = 9.

Но единственный ли это способ избавиться от «е»? На самом деле нет, так как есть ещё один множитель – скобка. Ее можно занулить, тогда занулится и всё произведение. Получим 10 – х = 0, тогда х = 10. Но не стоит забывать, что найти нас просят наименьшее значение ФУНЦИИ, поэтому теперь подставим найденные х в исходную функцию.

При х = 9 получаем 1, а при х = 10 получаем 0. Видим, что значение 0 меньше, чем 1, а значит именно его мы запишем в ответ. Обратите внимание, что оно достигается при х = 10, поэтому критично важно учитывать как степень экспоненты, так и множитель-скобку.

В этой статье мы рассмотрели два алгоритма, с помощью которых можно решить абсолютно любое задание № 11 ЕГЭ по математике. А еще вы узнали лайфхак, как можно выполнить задание на производную в ЕГЭ, не прибегая к использованию алгоритма, и сэкономить время!

1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, 𝐴𝐵 = 20, высота 𝐴𝐻 равна 8. Найдите синус угла 𝐵𝐴𝐶.

2. Дана правильная треугольная призма 𝐴𝐵𝐶𝐴1𝐵1𝐶1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 𝐴, 𝐶, 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1.

3. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится 3 сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

4. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

5. Найдите корень уравнения 7 −6−𝑥 = 343.

7. На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′(𝑥) − производной функции 𝑓(𝑥). На оси абсцисс отмечены девять точек: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9 . Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции 𝑓(𝑥)?

8. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой 𝑓0 = 192 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка 𝑓 (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза 𝜈 (в м/с) по закону 𝑓(𝜈) = 𝑓0 1− 𝜈 𝑐 (Гц), где 𝑐 — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а 𝑐 = 300 м/с. Ответ дайте в м/с.

9. На изготовлении 60 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 80 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает второй рабочий?

13. В треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 известны боковые рёбра: 𝑆𝐴 = 𝑆𝐵 = 7, 𝑆𝐶 = 5. Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы 𝐶𝑀 треугольника 𝐴𝐵𝐶. Эта высота равна 4. а) Докажите, что треугольник 𝐴𝐵𝐶 равнобедренный. б) Найдите объём пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶.

15. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите 𝑟.

18. Имеется 10 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9, 10, −11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают. а) Может ли в результате получиться 0? б) Может ли в результате получиться 1? в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Вариант №16 ЕГЭ 2023 профильный уровень

1. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐵𝐶 = 6, 𝐴𝐵 = 10. Найдите sin 𝐵.

2. Площадь поверхности шара равна 12. Найдите площадь большого круга шара.

3. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

4. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

5. Найдите корень уравнения 3 log9(4𝑥+1) = 9.

9. Два велосипедиста одновременно отправились в 160-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 6 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 6 часов раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

10. На рисунке изображён график функции вида 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . Найдите значение 𝑓(4).

11. Найдите точку минимума функции 𝑦 = (𝑥 2 − 17𝑥 + 17) ∙ 𝑒 7−𝑥 .

13. В основании четырёхугольной пирамиды 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 лежит прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 со сторонами 𝐴𝐵 = 8 и 𝐵𝐶 = 6. Длины боковых рёбер пирамиды 𝑆𝐴 = √21, 𝑆𝐵 = √85, 𝑆𝐷 = √57. а) Докажите, что 𝑆𝐴 − высота пирамиды. б) Найдите угол между прямыми 𝑆𝐶 и 𝐵𝐷.

15. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы: – в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; – в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?

16. К окружности, вписанной в квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷, проведена касательная, пересекающая стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷 в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника 𝐴𝑀𝑁 равен стороне квадрата. б) Прямая 𝑀𝑁 пересекает прямую 𝐶𝐷 в точке 𝑃. В каком отношении делит сторону 𝐵𝐶 прямая, проходящая через точку 𝑃 и центр окружности, если 𝐴𝑀: 𝑀𝐵 = 1: 3?

18. На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?

б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?

в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Решение 15 варианта ЕГЭ профильного уровня из сборника 36 вариантов Ященко 2023

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 33.

Высота конуса равна 18, а длина образующей равна 30. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

При изготовлении подшипников диаметром 62 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,986. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 61,99 мм, или больше, чем 62,01 мм.

Биатлонист 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9; 6). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв 45 минут в пункте В, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

На рисунке изображены графики функций (f(x)=ax^2+bx+c) и (g(x)=kx+d), которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

​​Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.
а)

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 498 тысяч рублей. Найдите r.

Найдите все такие значения (a), при каждом из которых неравенство (-1leqslantsin x(a-cos2x)leqslant1) верно при всех действительных значениях (x).

Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.
а) Может ли это отношение быть равным 34?
б) Может ли это отношение быть равным 84?
в) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трёхзначного числа равна 4?

Введите ответ в форме строки «да;да;1234». Где ответы на пункты разделены «;», и первые два ответа с маленькой буквы.

содержание   .. 
 
 
   ..

Найдите площадь поверхности

многогранника, изображенного на рисунке (все

описан около цилиндра, радиус основания и

высота которого равны 1. Найдите объем

которого равен 4. Объем параллелепипеда

равен 16. Найдите высоту цилиндра.

Тесты и задания №8 ЕГЭ 2019 года по математике (профиль)

описан около сферы радиуса 1. Найдите его

воды. Уровень жидкости оказался равным

12 см. В воду полностью погрузили деталь. При

этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9

см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в

жидкости достигает 16 см. На какой высоте

будет находиться уровень жидкости, если ее

диаметр которого в 2 раза больше диаметра

первого? Ответ выразите в сантиметрах.

полностью в нее погрузили деталь. При этом

уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки

25 см до отметки 27 см. Чему равен объем

детали? Ответ выразите в см

треугольной призмы, налили воду. Уровень

воды достигает 80см. На какой высоте будет

основания в 4 раза больше, чем у первого?

Ответ выразите в см.

объём цилиндра, описанного около этой

квадрат со стороной 2. Боковые ребра призмы равны

. Найдите объём цилиндра,

описанного около этой призмы.

Конус и цилиндр имеют общее

цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если

середину высоты параллельно основанию

конуса проведено сечение, которое является

вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Объем первого цилиндра равен 12 м

У второго цилиндра высота в три раза больше, а

радиус основания – в два раза меньше, чем у

первого. Найдите объем второго цилиндра.

Ответ дайте в кубических метрах.

Найдите его диагональ.

Объем куба равен 8. Найдите площадь

призмы, сторона основания которой равна 5, а

2, высота равна 3. Найдите площадь боковой

3. Найдите площадь поверхности шара.

1, то его площадь поверхности увеличится на

54. Найдите ребро куба.

призмы, в основании которой лежит ромб с

диагоналями, равными 6 и 8, и боковым

Найдите боковое ребро правильной

основания равна 20, а площадь поверхности

Правильная четырехугольная призма

описана около цилиндра, радиус основания и

высота которого равны 1. Найдите площадь

описанной около цилиндра, радиус основания которого равен

3 , а высота равна 2.

призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен

описан около единичной сферы. Найдите его

плоскость, параллельная боковому ребру.

Стороны основания правильной

четырехугольной пирамиды равны 10, боковые

ребра равны 13. Найдите площадь поверхности

многогранника, изображенного на рисунке, все

двугранные углы которого прямые.

Во сколько раз увеличится площадь

в 2 раза?

Около шара описан цилиндр, площадь

равен 9. Найдите объем

правильная четырехугольная призма со

стороной основания 0,5 и боковым ребром 1.

вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда

равен 48. Найдите третье ребро

Во сколько раз увеличится объем

куба, если все его ребра увеличить в три раза?

призмы является прямоугольный треугольник

с катетами 6 и 8, боковое ребро призмы равно

5. Найдите объём призмы.

призмы служит прямоугольный треугольник с

катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30.

шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны

правильного тетраэдра, если все его ребра

прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем

равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна

треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен

пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре

В цилиндрический сосуд, в котором

находится 6 литров воды, опущена деталь. При

этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5

раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите

Во сколько раз уменьшится объем

конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а

радиус основания останется прежним?

1,5 раза, а высота останется прежней?

цилиндр). Вычислите объём конуса, если объём

шара, если его радиус увеличить в три раза?

24 . Найдите его

вершины, равны 2, 4. Диагональ

параллелепипеда равна 6. Найдите объем

1, то его объем увеличится на 19. Найдите

плоскостью этой грани угол 45°. Найдите

ромб со стороной 1 и острым углом 60°. Одно

из ребер параллелепипеда составляет с

плоскостью этой грани угол 60° и равно 2.

параллелепипеда, описанного около сферы,

равен 216. Найдите радиус сферы.

проведена плоскость, параллельная боковому

Найдите объем призмы, в основаниях

которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны

наклонены к плоскости основания под углом

пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно

прямоугольник, одна боковая грань

другие боковые грани наклонены к плоскости

основания под углом 60°. Высота пирамиды

равна 6. Найдите объем пирамиды.

пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое

из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

От треугольной призмы, объем

вершину другого основания. Найдите объем

пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем

ребра SB. Найдите объем треугольной

От треугольной пирамиды, объем

основания. Найдите объем отсеченной

15. Плоскость проходит через сторону

основания этой пирамиды и пересекает

противоположное боковое ребро в точке,

делящей его в отношении

вершины пирамиды. Найдите больший из

объемов пирамид, на которые плоскость

Одна цилиндрическая кружка вдвое

выше второй, зато вторая в полтора раза шире.

параллелепипеда равны 1, 2, 3. Найдите

поверхности правильного тетраэдра, если все

его ребра увеличить в два раза?

катетами 6 и 8, высота призмы равна 10.

цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите

равна 3, образующая равна 2. Найдите

образующая увеличится в 3 раза, а радиус

Во сколько раз уменьшится площадь

основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая

Найдите его объем.

параллелепипеда равна 6. Найдите площадь

ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь

ее поверхности равна 248. Найдите боковое

катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна

288. Найдите высоту призмы.

призмы равна 8. Найдите площадь боковой

стороны основания которой равны 6 и высота

увеличить в 3 раза?

пространственного креста, изображенного на

Показана страница 1 из 37