Алгоритм выполнения
Задание № 5 рассчитано на умение решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объёмов), использовать при выполнении знание свойств основных пространственных тел, применять планиметрические факты и методы.
Задание состоит из текстовой задачи и рисунка. Рассматриваются простые пространственные тела: куб, прямоугольный параллелепипед, правильная пирамида, правильная призма. Ответом является конечная десятичная дробь или целое число.
План выполнения:
- Внимательно прочитайте задачу.
- При необходимости выполните на черновике чертёж и дополнительные построения.
- Сделайте на черновике необходимые вычисления.
- Запишите полученное число в поле ответа КИМ и бланк ответов № 1.
Задача 15
Площадь основания конуса равна $27$. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной $2$ и $4$, считая от вершины (см. рис.). Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Решение
Пусть $CA = R$ — радиус основания конуса, сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса — круг, радиус которого $OD = r$.
$OD ‖ AC$, следовательно, $△ABC ∼ △DBO$ по первому признаку подобия ($∠ACB = ∠DOB = 90°, ∠ABC$ — общий). По условию $BO = 2, OC = 4$, значит, $BC = 6$, откуда ${BO}/{BC} = {OD}/{AC} = {1}/{3}, {πr^2}/{πR^2} = {1}/{9}$. Значит, площадь сечения конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса, в $9$ раз меньше плоскости основания конуса, то есть равна $27 : 9 = 3$.
Ответ: 3
Задачи на комбинации многогранникови тел вращения
Задача № 5 (9). В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Боковые рёбра призмы равны 4/π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.
Решение:
Решение:
Ответ: 25.
Задача № 5 (10). Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 15. Найдите площадь поверхности шара.
Решение:
Решение:
Ответ: 10.
Задача № 5 (11). Объём конуса равен 7π см3. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, вписанной в конус.
Решение:
Ответ: 14.
Задача № 5 (12). Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 20. Найдите объём конуса.
Решение:
Ответ: 5.
Задачи на конусы
При подготовке необходимо повторить свойства конуса, формулы для вычисления площади поверхности и объёма конуса, площади круга и длины окружности.
Задача № 5 (7). Диаметр основания конуса равен 12, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объём конуса, делённый на π.
Решение:
Ответ: 72.
Задачи на пирамиды
При подготовке нужно повторить основные свойства пирамиды, формулы для вычисления площади поверхности и объёма пирамиды.
Задача № 5 (5). Основание пирамиды — треугольник, у которого длины двух сторон равны 2 и 6, а угол между этими сторонами составляет 30°. Вычислите объём пирамиды, если её высота равна 3.
Решение:
Ответ: 3.
Задачи на призмы
Для решения задач этого типа необходимо повторить свойства призмы, формулы для вычисления площади поверхности и объёма призмы.
Задача № 5 (4). В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых рёбер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.
Решение:
Ответ: 240.
Задачи на прямоугольный параллепипед
Для решения подобных задач необходимо повторить свойства куба и прямоугольного параллелепипеда, формулы для вычисления площади поверхности, объёма этих тел.
Задача № 5 (1). Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 5. Объём параллелепипеда равен 30. Найдите площадь его поверхности.
Решение:
Ответ: 62.
Задачи на составные многогранники
Задача № 5 (2).Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Решение:
Решение:
Ответ: 84.
Задача № 5 (3). Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Решение:
Решение:
Ответ: 168.
Задачи на цилиндры
Для решения задач этого типа необходимо повторить формулы вычисления площади круга, длины окружности, площади поверхности цилиндра, объёма цилиндра.
Задача № 5 (6). Радиус основания цилиндра увеличили в 3 раза, а его высоту уменьшили в 4 раза. Во сколько раз увеличится объём цилиндра?
Решение:
Ответ: 2,25.
Задачи на шары
Для решения задач этого типа необходимо повторить формулы для вычисления площади круга, длины окружности, площади поверхности шара, объёма шара.
Задача № 5 (8). Площадь сечения шара плоскостью равна 36π см2. Найдите радиус шара, если плоскость находится на расстоянии 8 см от центра шара.
Решение:
Ответ: 10.
Решение
Пусть $CA = R$ — радиус основания конуса, сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса — круг, радиус которого $OD = r$.
$OD ‖ AC$, следовательно, $△ABC ∼ △DBO$ по первому признаку подобия ($∠ACB = ∠DOB = 90°, ∠ABC$ — общий). По условию $BO = 2, OC = 4$, значит, $BC = 6$, откуда ${BO}/{BC} = {OD}/{AC} = {1}/{3}, {πr^2}/{πR^2} = {1}/{9}$. Значит, площадь сечения конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса, в $9$ раз меньше плоскости основания конуса, то есть равна $27 : 9 = 3$.
Ответ: 3
Тренировочные задания с самопроверкой
№ 5.1. Площадь поверхности куба равна 72 (см. рис.). Найдите его диагональ.
№ 5.2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, D, Е, А1, В1, D1, E1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 (см. рис.). Площадь основания призмы равна 15, а боковое ребро равно 4.
№ 5.2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, D, Е, А1, В1, D1, E1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 (см. рис.). Площадь основания призмы равна 15, а боковое ребро равно 4.№ 5.3. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 16, боковые рёбра равны 17 (см. рис.). Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
№ 5.4. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты (см. рис.). Объём жидкости равен 60 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
№ 5.4. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты (см. рис.). Объём жидкости равен 60 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
№ 5.5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, В прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого АВ = 3, AD = 7, АА1 = 5 (см. рис.).
