- Найти основание системы счисления и уравнения
- Егэ по информатике 2022 — задание 14 (чемпионская подготовка)
- Особенности при переводах в разные системы счисления
- Перевод числа из любой системы счисления в десятичную
- Системы счисления. кодирование чисел. егэ 2021 информатика задание 14. решение через python. | презентация к уроку по информатике и икт (10, 11 класс): | образовательная социальная сеть
- Сколько цифр или сумма цифр
Найти основание системы счисления и уравнения
✍ Решение:
- Для начала достаточно перевести первое и последнее число предложенного интервала в троичную систему счисления. Сделаем это:
1. 13 | 3 12 4 | 3 1 3 1 1 1310 = 11132. 23 | 3 21 7 | 3 2 6 2 1 2310 = 2123
111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212
111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212
Ответ: 13
Егэ по информатике 2022 — задание 14 (чемпионская подготовка)
Мы подошли к 14 заданию из ЕГЭ по информатике 2022. Оно связано с различными системами счисления. Что такое различные системы счисления, мы рассматривали в этой статье. Так же будет полезно посмотреть эту статью.
Переходим к первому тренировочному 14-ому заданию из ЕГЭ по информатике. Раньше это задание было под номером 16.
Задача (ЕГЭ по информатике, 2022, Москва)
Значение выражения 536 524 — 25 записали в системе счисления с основанием 5. Сколько цифр «4» содержится в этой записи?
Решение:
Первый способ. (С помощью Питона)
f = 5**36 5**24 - 25 s=''while f>0: s = s str(f%5) f = f // 5print(s.count('4'))
В переменную f записываем функцию. Две звёздочки подряд обозначают возведение в степень. Заводим строчку s, где и будет сформировано число в пятеричной системе.
Сам перевод числа f в пятеричную систему происходит в цикле WHILE.
Записываем остатки от деления на 5 в строку s. Делаем так же, как если бы переводили в ручную. И так же производим само целочисленное деление. Это мы тоже делаем, когда переводим на листке бумаги.
В строке s получается число в пятеричной системе, но в цифры в этой записи стоят в обратном порядке. Ведь, когда мы переводим в ручную, остатки должны записать задом наперёд.
Здесь и не важен порядок цифр, важно количество четвёрок!
С помощью функции count находим количество четвёрок в строке s.
В ответе напишем 4.
Второй способ. (Классический)
Сформулируем главное правило, на которое будем опираться при решении подобного типа задач.
Примеры:
5
4
(в десятичной системе) — это 10000
5
(в пятеричной системе)
7
2
(в десятичной системе) — это 100
7
(в семеричной системе)
2
9
(в десятичной системе) — это 1000000000
2
(в двоичной системе)
Перепишем наше выражение, чтобы все числа были в виде степени представлены.
536 524 — 52
Посчитаем 536 524 в пятеричной системе столбиком, используя основное правило.
Здесь всё просто: ноль прибавить ноль, будет ноль. Единица плюс ноль, будет один.
Теперь от получившегося числа нужно отнять 52 (1005).
Первые два разряда посчитать легко. Ноль минус ноль, будет ноль.
Третий разряд: из нуля отнять единицу мы не можем, поэтому занимаем у более старших разрядов.
В более старших разрядах тоже нули, поэтому идём до единицы, у которой можно занять. Получается 22 четвёрки.
Вот как было бы, если бы считали в нашей родной десятичной системе счисления в аналогичной ситуации.
Здесь мы считаем в десятичной системе, поэтому получаются девятки. В нашей задаче считали в пятеричной системе, поэтому получаются четвёрки.
В ответе напишем 22 четвёрки.
Ответ:
22
Задача (ЕГЭ по информатике, 2020, Москва)
Значение выражения 168 × 420 — 45 — 64 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой записи?
Решение:
Первый способ. (С помощью Питона)
f = 16**8 * 4**20 - 4**5 - 64 s=''while f>0: s = s str(f%4) f = f // 4print(s.count('3'))
Второй способ. (Классический)
Преобразуем наше выражение. Приведём всё к 4-ам.
168 × 420 — 45 — 64 =
= (42)8 × 420 — 45 — 43 =
= 416 × 420 — 45 — 43 =
= 436 — 45 — 43
Здесь не можем применить технику устного счёта, потому что стоят два минуса. Значит, будем решать с помощью столбиков.
Сначала посчитаем 436 — 45.
Теперь от этого числа нужно отнять 43 (10004)
Получается 32 тройки.
В последнем вычислении нет ничего сложно. В десятичной системе вы бы легко вычислили в аналогичной ситуации.
Ответ: 32
Задача (Тренировочная)
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры.
Решение:
1) Переведём число 17 в троичную систему.
Получилось 1223.
2) Теперь выпишем все числа, которые не превосходят 1223 (Т.е. 1223 тоже подходит!), запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры. В троичной системе могут применяться цифры 0, 1, 2.
1223
1223
1113
1003
223
113
Теперь переведём эти числа в десятичную систему.
1223 = 2 × 30 2 × 31 1 × 32 = 1710
1113 = 1 × 30 1 × 31 1 × 32 = 1310
1003 = 0 × 30 0 × 31 1 × 32 = 910
223 = 2 × 30 2 × 31 = 810
113 = 1 × 30 1 × 31 = 410
Ответ:
4, 8, 9, 13, 17
Ещё один интересный тип задания номер 14, который вполне может быть на реальном ЕГЭ по информатике 2022.
Задача (Уравнение)
Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления x, при котором 225x = 405y?
Ответ записать в виде целого числа.
Решение:
Переведём каждое из чисел 225x и 405y в десятичную систему счисления и приравняем, т.к. эти числа равны.
5 × x0 2 × x1 2 × x2 = 5 × y0 0 × y1 4 × y2
Любое число в нулевой степени — это 1. Значит, 5 × x0 = 5 × y0 = 5. Эти два выражения равны одному и тому же значению, следовательно, их можно убрать и слева, и справа.
2x 2x2 = 4y2
x x2 = 2y2
x(1 x) = 2y2
Получили уравнение в целых числах. Слева умножение двух последовательных чисел. Нужно начать подбирать целые числа.
При y = 6 :
x (1 x) = 2 × 62 = 72 ; Произведение двух последовательных чисел 8 * 9 = 72. Значит, x = 8.
Мы начали проверку с числа 6, потому что у нас в уравнении присутствуют цифра 5. Значит, система счисления может быть минимум с основанием 6.
Получается, что наименьшее значение x равно 8.
В подобных задач нужно знать, что числа обязательно найдутся, нужно их просто хорошо поискать.
Ответ: 8
Для качественной проработки 14 задания из ЕГЭ по информатике 2022 разберём ещё некоторые задачи.
Задача (Основание системы)
Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?
Решение:
В этой задаче применим формулу:
Примером для данной формулы можно взять два разряда в двоичной системе. Максимальное число в двоичной системе равно 112. А в десятичной системе это число равно 310. Т.е. 22 — 1.
338 число будет точно больше, чем двухзначное число с основанием N.
Получается неравенство:
338 > N2 — 1N2 < 339
N — положительное целое число. Тогда:
N < √339 ≈ 18N ≤ 18
Сказано, что число в системе с основанием N оканчивается на 2. Поэтому первый остаток должен быть равен 2!
Будем идти вниз от числа 18 и проверять, на что делится 336.
Число 336 должно делится на N.
Подошло число 16 (16 * 21 = 336!)
Ответ:
16
Продолжаем подготовку к 14 заданию из ЕГЭ по информатике 2022
Задача (На понимание)
Запись числа в девятеричной системе счисления заканчивается цифрой 4. Какой будет последняя цифра в записи этого числа в троичной системе счисления?
Решение:
Подберём такие числа в десятичной системе, которые в остатке при первом делении на 9 дадут 4!
Посмотрим, какой остаток будет при делении этого же числа на 3 при первом делении. Получается 1. Это и будет ответ.
Ответ:
1
Задача (Закрепление материала)
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.
Решение:
Нужно перебрать все числа от 3 до 23 и определить, какие из них при делении числа 23 дадут остаток 2.
23 : 3 = 7 (ост. 2)
23 : 4 = 5 (ост. 3)
—
23 : 5 = 4 (ост. 3)
—
23 : 6 = 3 (ост. 5)
—
23 : 7 = 3 (ост. 2)
23 : 8 = 2 (ост. 7)
—
23 : 9 = 2 (ост. 5)
—
23 : 10 = 2 (ост. 3)
—
23 : 11 = 2 (ост. 1)
—
23 : 12 = 1 (ост. 11)
—
23 : 13 = 1 (ост. 10)
—
23 : 14 = 1 (ост. 9)
—
23 : 15 = 1 (ост. 8)
—
23 : 16 = 1 (ост. 7)
—
23 : 17 = 1 (ост. 6)
—
23 : 18 = 1 (ост. 5)
—
23 : 19 = 1 (ост. 4)
—
23 : 20 = 1 (ост. 3)
—
23 : 21 = 1 (ост. 2)
23 : 22 = 1 (ост. 1)
—
23 : 23 = 1 (ост. 0)
—
Подходят числа 3, 7, 21.
Здесь можно и написать программу:
for i inrange(3, 24): if 23%i==2: print(i)
Ответ:
3, 7, 21
Задача (Добьём 14 задание из ЕГЭ по информатике 2022)
В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 66 и 40 заканчиваются на 1. Определите основание системы счисления.
Решение:
Нужно найти такое число, чтобы числа 66 и 40 при делении на это число давали остаток 1.
Т.е. искомое число должно быть делителем чисел 65 (66-1) и 39 (40-1). У числа 39 не так много делителей: 1, 3, 13, 39
Видим, что число 65 делится на 13 (65 : 13 = 5). Поэтому искомое число равно 13.
Ответ:
13
Задача (Для чемпионов!)
В какой системе счисления выполняется равенство 12 · 13 = 222?
В ответе укажите число – основание системы счисления.
Решение:
Если бы мы находились в десятичной системе, то последней цифрой была бы 6 (2 * 3). Но у нас 2! Т.е. Система счисления меньше или равна 6, т.к. если бы система счисления была больше 6, то у нас была бы 6 последняя цифра.
Шестёрка не «поместилась» в младший разряд, от неё осталось только 2. Остальные 4 единицы ушли в более старший разряд. Если 4 единицы составляют единицу более старшего разряда, то значит, мы находимся в четверичной системе.
Ответ:
4
На этом всё! Вы прошли чемпионскую тренировку по подготовке 14 задания из ЕГЭ по информатике 2022. Успехов на экзамене!
Особенности при переводах в разные системы счисления
Некоторые правила, которые нужно знать, при работе с системами счисления:
Перевод числа из любой системы счисления в десятичную
Чтобы перевести, например, 10045N, из системы счисления с основанием N в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на N в степени, равной разряду этой цифры:
Системы счисления. кодирование чисел. егэ 2021 информатика задание 14. решение через python. | презентация к уроку по информатике и икт (10, 11 класс): | образовательная социальная сеть
Системы счисления. Кодирование чисел. ЕГЭ 2021 информатика задание 14. Решение через Python . Учитель информатики ГБОУ Школа № 1797 «Богородская» Меркулова Елена Олеговна
Задание 14 из демоверсии 2021 года Существует большое количество материалов, которое показывает решение этой задачи вручную, мы же сегодня разберем его через Python . Изначально, зададим это выражение в программе
Нас спрашивают количество 6. Как же их н айти? Для ответа на этот вопрос мы должны вспомнить тему перевода из десятичной в любую другую (в нашем случае семеричная) Рассмотрим пример: Мы видим, что при делении 131 на 7 мы получаем 18, в остатке 5 В переводе на Python 131%7=5 и 131 //7=18 , Где знак % — остаток от деления, а знак // — целочисленное деление Далее 18 делим на 7 и получаем 2, в остатке 4 т.е. 18%7=4 и 18 //7=2 Очевидно, что спрашивая нас про количество 6 в исходной задаче, спрашивают про остатки от деления на 7
Мы будем решать задачу при помощи цикла while . Необходимо ввести переменную счетчик, которая будет считать количество 6 Цикл будет выполняться до тех пор пока x>0
Далее будем использовать ветвление Если остаток от деления на 7 будет равен 6, то счетчик увеличивается на единицу И последним шагом в цикле считаем целую часть от деления на 6
И выводим на экран результат счетчика . Вот полный текст программы
После запуска программы на экран выйдет результат Этот способ абсолютно исключает возможность арифметической ошибки и занимает очень мало времени на решение задания 14 из ЕГЭ 2021 по информатике
Сколько цифр или сумма цифр
✍Решение:
