Что такое показательные уравнения
Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:
Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно ( 5) в третьей степени? Ты абсолютно прав:
А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что:
Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я ( x) раз умножаю само на себя число ( 2) и получаю в результате ( 16).
Спрашивается, сколько раз я умножил ( 2) само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:
Тогда ты можешь сделать вывод, что ( 2) само на себя я умножал ( displaystyle 4) раза.
Как еще это можно проверить?
Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем ( displaystyle 1024), ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать ( displaystyle 2) само на себя до посинения.
И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)
где ( displaystyle x) – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь ( displaystyle 2) само на себя.
Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:
И даже нашел его корень ( x=10). Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же.
Вот тебе еще один пример:
Но что же делать?
Ведь ( 100) нельзя записать в виде степени (разумной) числа ( 1000).
Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.
Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:
Давай более не будем тянуть и запишем определение:
Пример 1 (меркантильный)
Пусть у тебя есть ( displaystyle 1000000) рублей, а тебе хочется превратить его в ( displaystyle 1500000) рублей.
Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под ( displaystyle 12%) годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением).
Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму?
Вполне приземленная задача, не так ли?
Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения:
Пусть ( Sn) – начальная сумма, ( Sk) – конечная сумма, ( i) – процентная ставка за период, ( x) – количество периодов.
А почему ( i) делится на ( 100)? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему «Проценты»!
Тогда мы получим вот такое уравнение:
Таким образом, для получения ( 1.5) млн. нам потребуется сделать вклад на ( 41) месяц (не очень быстро, не правда ли?)
Пример 1. Метод простой замены
Это уравнение решается при помощи «простой замены», как ее пренебрежительно называют математики.
В самом деле, замена здесь – самая очевидная. Стоит лишь увидеть, что
Тогда исходное уравнение превратится вот в такое:
Что нам делать теперь?
Пришло время возвращаться к исходной переменной ( displaystyle x).
Ты и сам без труда ответишь, почему.
Как видишь, в предыдущем примере, замена так и просилась к нам в руки. К сожалению, так бывает далеко не всегда.
Однако давай не будем переходить сразу к грустному, а потренируемся еще на одном примере с достаточно простой заменой.
Пример 2. Метод простой замены
Однако прежде чем вводить замену, наше уравнение нужно к ней «подготовить», а именно:
О ужас: кубическое уравнение с совершенно жуткими формулами его решения (ну если говорить в общем виде). Но давай не будем сразу отчаиваться, а подумаем, что нам делать.
Я предложу смошенничать: мы знаем, что для получения «красивого» ответа, нам нужно получить ( t) в виде некоторой степени тройки (с чего бы это, а?).
А давай попробуем угадать хотя бы один корень нашего уравнения (я начну гадать со степеней тройки).
Как видишь, отбор корней показательных уравнений требует достаточно глубокого знания свойств логарифмов, так что я советую тебе быть как можно внимательнее, когда решаешь показательные уравнения.
Как ты понимаешь, в математике все взаимосвязано! Как говорила моя учительница по математике, математику, как историю, за ночь не прочитаешь.
Как правило, всю сложность при решении задач повышенной сложности составляет именно отбор корней уравнения.
Еще один пример для тренировки
Вначале давай рассмотрим первый корень.
Теперь второй корень:
Пример уравнения с нестандартной заменой!
Давай сразу начнем с того, что делать можно, а что – в принципе можно, но лучше не делать.
Можно – представить все через степени тройки, двойки и шестерки. К чему это приведет?
Да ни к чему и не приведет: мешанина степеней, причем от некоторых будет довольно сложно избавиться.
А что же тогда нужно?
И что нам это даст? А то, что мы можем свести решение данного примера к решению достаточно простого показательного уравнения!
Вначале давай перепишем наше уравнение в виде:
Такие уравнения называются однородными (подробнее читай в теме «Однородные уравнения»).
Например, уравнение вида:
В общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию ( a)), при котором исходное уравнение превратится в следующее:
Давай рассмотрим следующий пример:
Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию ( 10):
( (1+lg(x))cdot lg(x)=1+lg(x))
Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу.
Давай потренируемся еще на одном примере:
Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию ( 4), тогда получим:
Однако мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах?
Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений, приведенных ниже
