ЕГЭ 2021 математика Ященко 36 вариантов, ответы 30 варианта с решением | Виктор Осипов

а) О — центр большей окружности, К — внутренняя точка касания, КО — диаметр меньшей окружности.

$$angle KBO$$ — прямой, т.к. опирается на диаметр окружности, значит, $$BObot KN$$. ВО — высота равнобедренного треугольника KNO. Тогда ВО — медиана треугольника KNO, В — середина КМ. $$angle KAO$$ — прямой, А — лежит на окружности с диаметром КО. Тогда $$AObot KM$$, АО — высота равнобедренного треугольника KMO. Отсюда А — середина КМ. АВ тогда — средняя линия $$triangle KMN, ABparallel MN$$.

$$triangle AKLsim triangle MKC$$ — по двум углам ($$angle AKL-$$ общий; $$angle KAL=angle KMC$$), следовательно $$frac{MC}{AL}=frac{KC}{KL}$$.

$$triangle LKBsim triangle CKN$$ ($$angle LKB-$$ общий; $$angle KLB=angle KCN$$), следовательно $$frac{CN}{LB}=frac{KC}{KL}$$.

Правые части этих равенств равны, будут равны и левые части. $$frac{MC}{AL}=frac{CN}{LB}to CN:MC=LB:AL$$.

б) Найти следует $$MN$$, если LB:LA=2:3, а радиус малой окружности равен $$sqrt{23}$$, $$frac{CN}{MC}=frac{LB}{AL}=frac{2}{3}$$; Пусть x — одна часть, тогда $$CN=2x, MC=3x, NM=5x$$.

В $$triangle MON$$ проведем высоту OH, она также является медианой. Значит, $$MH=HN=2,5x$$.

Из прямоугольного треугольника MOH по теореме Пифагора найдем OH.

$$OH^2=MO^2-MH^2;OH=R=2r=2sqrt{23};OH=sqrt{92-6,25x^2};$$ Q — центр вписанной окружности. Проведем $$ODbot QC,DC=OH$$. $$DC=sqrt{92-6,25x^2}, QD=QC-DC, QO=QC=r=sqrt{23}to $$ $$to QD=sqrt{23}-sqrt{92-6,25x^2}$$.

$$OD=CH=MH-MC=2,5x-2x=0,5x$$; Из прямоугольного треугольника $$QDO$$ по теореме Пифагора имеем $$QO^2=QD^2 DO^2;{left(sqrt{23}right)}^2={left(0,5xright)}^2 {left(sqrt{23}-sqrt{92-6,25x^2}right)}^2to $$ $$to 23=0,25x^2 23-2sqrt{23}sqrt{92-6,25x^2} 92-6,25x^2to $$ $$to 2sqrt{23}sqrt{92-6,25x^2}=92-6x^2to sqrt{23}sqrt{92-6,25x^2}=46-3$$.

Возведем обе части в квадрат, после преобразований получим $$9x^2-frac{529}{4}cdot x^2=0to x^2left(3x-frac{23}{2}right)left(3x-frac{23}{2}right)=0to x=0, x=frac{23}{6},x=-frac{23}{6}$$.

Удовлетворяют условию задачи только $$x=frac{23}{6}$$, тогда $$MN=5x=5cdot frac{23}{6}=frac{115}{6}$$.