Демоверсия ЕГЭ 2018 по математике (базовый уровень)

Демоверсия егэ 2022 математика базовый уровень с ответами

Изменения в КИМ ЕГЭ 2022 года по базовой математике в сравнении с 2022 годом отсутствуют.

Максимальный первичный балл за всю работу – 20.

Продолжительность ЕГЭ по математике базового уровня — 3 часа (180 минут).

Дополнительные материалы и оборудование

Перечень дополнительных устройств и материалов, пользование которыми разрешено на ЕГЭ, утвержден приказом Минобрнауки России. Необходимые справочные материалы выдаются вместе с текстом экзаменационной работы. При выполнении заданий разрешается пользоваться линейкой.

Система оценивания выполнения отдельных заданий и экзаменационной работы в целом

Правильное решение каждого из заданий 1–20 оценивается 1 баллом. Задание считается выполненным верно, если экзаменуемый дал правильный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби, или последовательности цифр.

Демонстрационный вариант предназначен для того, чтобы дать представление о структуре будущих контрольных измерительных материалов, количестве заданий, об их форме и уровне сложности.

В демоверсии представлено по несколько примеров заданий на каждую позицию экзаменационной работы. В реальных вариантах экзаменационной работы на каждую позицию будет предложено только одно задание.

Задания демонстрационного варианта не отражают всех вопросов содержания, которые могут быть включены в контрольные измерительные материалы в 2022 г.

Задание 10

Локатор батискафа, равномерно погружающего вертикально вниз, испускает ультразвуковые сигналы частотой 749 МГц. Приемник регистрирует частоту сигнала, отраженного от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением

где c = 1500 м/с – скорость звука в воде, f0 – частота испускаемого сигнала (в МГц), f – частота отраженного сигнала (в МГц). Найдите частоту отраженного сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

Задание 11

Весной катер идет против течения реки в 12/3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идет против течения в 1½ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Задание 12

Найдите точку максимума функции y = ln(x   4)2   2x   7.

Задание 15

Решите неравенство:

9x – 2 · 3x 1 4		2 · 3x 1 – 51	≤ 3x 5
3x – 5		3x – 9

Задание 19

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Задание 1

Поезд оправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут (время московское) и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?

Задание 13

а) Решить уравнение cos2x = 1 – cos(	π	– x)
	2

Задание 14

Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

Задание 16

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке С.

а) докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Задание 17

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Задание 18

Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система

Имеет единственное решение.

Задание 2

На рисунке точками показана средняя температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 г. По горизонтали указаны номера месяцев; по вертикали – температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

Сколько месяцев средняя температура была выше 18 градусов Цельсия?

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

Задание 4

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достается один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.

Задание 5

Найдите корень уравнения 3x – 5 = 81.

Задание 6

Треугольник ABC вписан в окружность с центром О. Угол BAC равен 32°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Задание 7

На рисунке изображен график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, … , x9.

Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек.

Задание 8

В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ выразите в см.

Задание 9

Найдите sin2α, если cosα = 0,6 и π < α < 2π.

Официальный
демонстрационный вариант егэ — 2022. базовый уровень

Решение

1. Проведем общую касательную к окружностям в точке K. Она пересекает AB в точке H.
2. AH = HK, HK = HB (по свойству касательных, проведенных из одной точке к окружности)
3. В ∆AKB, медиана KH равна половине стороны AB, значит он прямоугольный, с ∠AKB = 90°.
4. ∠AKB = ∠AKD = 90° (как смежные), значит ∠AKD опирается на диаметр AD. Тогда AD ⊥ AB.
5. ∠AKB = ∠CKB = 90° (как смежные), значит ∠BKCопирается на диаметр BC. Тогда BC ⊥ AB.
6. ледовательно AD || BC.

б) Пусть R = 4 радиус первой окружности с центром O1, а r = 1 – радиус второй окружности с центром O2.

1) Рассмотрим ∆СKB и ∆AKD: углы при вершине K прямые, ∠DAK = ∠ACB, как накрест лежащие при AD || BC и секущей AC. Значит ∆СKB ~ ∆AKD по двум углам.

2)	AK	=	KD	=	AD	=	2R	=	4	= k
	KC		BK		BC		2r		1

3) Отношение площадей подобных треугольников равно k2 (k – коэффициент подобия)

SAKD	= 16, SAKD = 16SBKC
SBKC

4) ∆AKB и ∆AKD имеют общую высоту AK, значит их площади относятся, как основания, к которым эта высота проведена.

5)

SAKD

=

DK

=

AD

=

4

, SBKA=

1

SAKD =

1

· 16SBKC = 4SBKC

SBKA

KB

BC

1

4

4

6) ∆DCK и ∆CKB имеют общую высоту CK, значит их площади относятся, как основания, к которым эта высота проведена.

SDKC	=	DK	=	4	, SDKC = 4SBKC
SBKC		KB		1

7) Найдем площадь трапеции ABCD:

SABCD = SDKA SAKB SCKB SDCK

SABCD = 16SBKC 4SCKB SCKB 4SCKB

SABCD = 25SCKB

8) Проведем к AD перпендикуляр O2S (высоту трапеции)

9) Из прямоугольного ∆O2SO1 по теореме Пифагора найдем O2S:

O2S = √(O2O1)2 – (O1S)2

O2S = √52 – 32 = 4

O2S = AB = 4

SABCD = 25SCKB

20= 25SCKB

SCKB = 0,8

SBKA= 4SBKC= 4 · 0,8 = 3,2.

Ответ: 3,2.