1. Укажите варианты ответов, в которых даны верные характеристики фрагмента текста. Запишите номера этих ответов. 1) Строгая официальность текста предполагает полный отказ от разговорной и стилистичес

Страница дополняется! Последнее обновление было 17 апреля 2023 года.

С чего начать подготовку с нуля к решению 18 задания?

Для решения 18 задания вы должны знать основы следующих тем:

1. Доказательство от противного
2. Проценты и процентные пункты
3. Среднее арифметическое
4. Арифметическая прогрессия
5. Геометрическая прогрессия

Проверьте себя, даже если считаете, что хорошо знаете эти темы!

Как решать 18 задание

Существует всего 3 метода решения задания 18! В начале решения вы должны понять, какой из них собираетесь применять!

1. Привести пример

Если в задаче вопрос «может ли такое быть», «существует ли такое число» и т.д., и ответ «ДА», то в решении необходимо привести пример.

2. Доказательство от противного

Если в задаче вопрос «может ли такое быть», «существует ли такое число» и т.д., и ответ «НЕТ», то нужно доказывать от противного — предположить, что такое может быть и найти противоречие условиям.

3. Нахождение минимума и максимума

Если в задаче просят найти максимальное или минимальное значение, то вы должны выполнить 2 условия:

1. Привести пример этого максимального или минимального значения
2. Доказать, что больше (если спрашивают про максимальное) или меньше (если спрашивают про минимальное) значение быть не может

Полезный совет 1

Если в задаче вопрос «может ли такое быть», «существует ли такое число» и т.д., но вы не знаете, ответ «ДА» или «НЕТ», то попробуйте привести пример. Либо это у вас получится и задача будет решена, либо вы увидите, что что-то мешает и это поможет вам найти противоречие для доказательства от противного

Задачи про среднее арифметическое

Единственная формула, необходимая для решения этих задач: . Среднее арифметическое равно m отношению суммы значений элементов S к их количеству n.

Полезный совет 2

В 18 задании значения очень часто являются целыми, поэтому для решения задачи лучше переписать формулу в виде . Также большинстве задач про среднее арифметическое полезнее работать с суммой элементов, чем с их средним арифметическим.

Реальный вариант ЕГЭ по математике-2023 (профиль) с ответами и решениями. Это один из вариантов досрочного экзамена 28 марта 2023 года. Здесь вы можете увидеть, каков по сложности реальный профильный ЕГЭ по математике.

Часть 1

Ответом к заданиям 1–11 является целое число или конечная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предполагаются действительными, если отдельно не указано иное. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

1. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24º и 66º. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 21.

Решение: Пусть ∠C — прямой, CD — биссектриса, CM — медиана.

Так как медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то треугольник BMC — равнобедренный. Тогда имеем: ∠MCB = ∠ABC = 66º.
Так как CD — биссектриса, то ∠BCD = ∠ACD = 45º.
Тогда искомый угол равен

∠MCD = ∠MCB − ∠BCD = 66º − 45º = 21º

2. Найдите объем пирамиды, вписанной в куб, если ребро куба равно 3.

Ответ: 9.

Решение: Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания пирамиды на высоту:

V = 1/3 Sh

Площадь основания пирамиды равна площади грани куба:

S = 3² = 9

Высота пирамиды равна высоте куба, то есть длине его ребра. Значит, она равна 3. Тогда объем пирамиды равен

V = 1/3 · 9 · 3 = 9

3. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх команда «Физик» как минимум один раз начнет игру первой.

Ответ: 0,875.

Решение: Нужно найти вероятность того, что команда «Физик» хотя бы один раз начнет матч первой. Найдем сначала вероятность того, что команда ни разу не начинает матч первой, а потом посчитаем противоположную к ней вероятность. Перед началом матча судья бросает монетку, то есть вероятность того, что команда «Физик» не начинает матч, равна 0, 5. Тогда вероятность того, что команда не начинает ни один из трех матчей первой, равна

0, 5³ = 0, 125.

Найдем искомую вероятность:

1 − 0, 125 = 0, 875

4. Решите

Ответ: 0,76.

Решение: Пусть событие A : кофе закончился в первом автомате, событие B : кофе закончился во втором автомате, событие AB : кофе закончился в двух автоматах.
По условию мы знаем вероятности этих событий P(A) = P(B) = 0, 2, P(AB) = 0, 16.
Найдем вероятность того, что кофе закончился хотя бы в одном автомате:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 2P(A) − P(AB) = 2 · 0, 2 − 0, 16 = 0, 24

Тогда искомая вероятность — это противоположная вероятность:

1 − P(A + B) = 1 − 0, 24 = 0, 76

5. Решите уравнение 

Ответ: 8.

Решение: Уравнение в общем виде выглядит как  и оно равносильно

Условие A ⩾ 0 излишне, так как A = B², а B² ⩾ 0 как любое выражение в квадрате. Следовательно, исходное уравнение равносильно

4x + 32 = 64 ⇔ x = 8

6. Найдите 5 cos 2α, если sin α = −0, 4.

Ответ: 3, 4.

Решение: По формуле косинуса двойного угла

cos 2α = 1 − 2 sin² α

Тогда искомое значение равно

5 cos 2α = 5 · (1 − 2 sin² α) = 5 · (1 − 2 · (−0, 4)²) = 5 · (1 − 2 · 0, 16) = 5 · (1 − 0, 32) = 5 · 0, 68 = 3, 4

7. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4).
В какой точке отрезка [−7; −3] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Ответ: -7.

Решение: На указанном отрезке производная положительна, то есть функция возрастает. Тогда наименьшее значение функция f(x) принимает в левом конце отрезка в точке x = −7.

8. Водолазный колокол, содержащий ν = 2 моль воздуха при давлении p₁ = 1, 5 атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = ανT log₂ p₂ /p₁, где α = 5, 75 — постоянная, T = 300 К — температура воздуха. Найдите, какое давление p₂ (в атмосферах) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.

Ответ: 6.

Решение: Подставим все известные из условия величины в формулу:

6900 = 5, 75 · 2 · 300 · log₂ p₂/1, 5

23 = 11, 5 · log₂ p₂/1, 5

log₂ p₂/1, 5 = 23/11, 5

log₂ p₂/1, 5 = 2

p₂/1, 5 = 2²

p₂/1, 5 = 4

p₂ = 6

9. Один рабочий пропалывает грядку за 12 часов, а двое рабочих вместе пропалывают грядку за 4 часа. За сколько часов прополет грядку второй рабочий?

Ответ: 6.

Решение: Пусть x — скорость первого рабочего, а y — скорость второго рабочего.
По условию имеем:

Вычтем первое уравнение из второго, получим

y = 1/4 − 1/12 = (3 − 1)/12 = 1/6

Таким образом, второй рабочий пропалывает одну грядку за 6 часов.

10. На рисунке изображен график функции f(x) = a^x + b. Найдите значение x, при котором f(x) = 29.

Ответ: 5.

Решение: Найдем коэффициент b, подставив в уравнение функции точку (0; −2), через которую проходит график. Тогда

f(0) = −2 ⇔ a⁰ + b = −2 ⇔ 1 + b = −2 ⇔ b = −3

Теперь найдем основание a, подставив в уравнение функции точку (1; −1), через которую проходит график:

f(1) = −1 ⇔ a¹ − 3 = −1 ⇔ a = 2

Значит, теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид f(x) = 2x − 3,
тогда

f(x) = 2^x − 3 = 29
2^x = 32
2^x = 2⁵
x = 5

11. Найдите точку минимума функции y = x³ − 24x² + 11.

Ответ: 16.

Решение: Найдем производную функции:

y′ = (x³ − 24x² + 11)′ = 3x² − 48

Нули производной:

y′ = 0
3x² − 48x = 0
x(x − 16) = 0

Нули производной разбивают область определения функции (она равна R) на промежутки, на каждом из которых производная непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знак производной на каждом таком промежутке:

Следовательно, функция убывает на промежутке (0; 16) и возрастает на промежутке (16; +∞). Тогда точка минимума функции равна x = 16.

Часть 2

12. а) Решите уравнение

2 log²₃(2 cos x) − 5 log₃(2 cos x) + 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π;5π/2]

Ответ: а) ±π/6 + 2πк, к ∈ z

б) 11π/6; 13π/6

Решение: а) Сделаем замену t = log₃(2 cos x). Тогда уравнение примет вид

2t² − 5t + 2 = 0 ⇔ t = 1/2; 2

Сделаем обратную замену:

Первое уравнение совокупности равносильно

Второе уравнение не имеет решений, так как cos x ∈ [−1; 1]. Следовательно, ответ в пункте
а): x = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z.
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [π; 5π/2], с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [π; 5π/2], концы этой дуги и принадлежащие ей решения из серий пункта а).

Следовательно, на отрезке [π; 5π/2] лежат корни x =11π/6 и x =13π/6.

13. Дан тетраэдр ABCD. На ребре AC выбрана точка K так, что AK : KC = 3 : 7. Также на ребрах AD, BD и BC выбраны точки L, M и N соответственно так, что KLMN — квадрат со стороной 3.
а) Докажите, что ребра AB и CD взаимно перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости KLMN, если объем тетраэдра ABCD равен 100.

Ответ: 4,2.

Решение: а) Так как KLMN — квадрат, то KL = KN, KL ⊥ KN, KL || MN, KN || ML.
Докажем, что KN || AB. Аналогично будет доказываться, что KL || CD.
Плоскости KLM, ABC и ABD образуют теорему «домик». Следовательно, их линии пересечения KN, AB и ML либо параллельны друг другу, либо пересекаются в одной точке. Так как две из трех линий KN и ML друг другу параллельны, то и третья линия AB им параллельна. Следовательно, KN || AB || ML.
Значит и KL || CD || MN. Так как KLMN — квадрат, то KL ⊥ KN. Следовательно, AB ⊥ CD. Что и требовалось доказать.

б) Докажем мини-задачу: если a и b — противоположные ребра тетраэдра, d — расстояние между ними, α — угол между ними, то объем этого тетраэдра равен 1/6 abd sin α.
Рассмотрим призму MNKPM₁N₁K₁P₁, в основании которой лежит четырехугольник MNKP, диагонали которого соответственно равны и параллельны двум противоположным ребрам данного тетраэдра: MK = a, NP = b, ∠(MK, NP) = α. Тогда расстояние между основаниями призмы равно d. Значит, объем этой призмы

V = d · 1/2ab sin α

Распишем, чему равен объем данного тетраэдра M₁NK₁P :

Заметим, что так как AB || (KLM), то расстояние от любой точки прямой AB до этой плоскости будет одинаковым.
Проведем CS ⊥ AB. Тогда AB ⊥ (CSD). Проведем SP ⊥ CD. Пусть SP ∩ (KLM) = H. Тогда SH ⊥ (KLM), так как SH ⊥ KN || AB и SH ⊥ KL || CD. Следовательно, SH — искомое расстояние.
Из △CKN ∼ △CAB следует, что KN = 7/10AB = 3. Следовательно, AB =30/7. Аналогично KL = 3/10CD = 3, откуда CD = 10. Из доказанной формулы следует, что объем тетраэдра ABCD равен

V = 1/6 · CD · AB · SP · sin 90º ⇔ 100 = 1/6 · 30/7 · 10 · SP ⇔ SP = 14

Так как по теореме Фалеса AK : KC = SF : FC = SH : HP = 3 : 7, то SH : SP = 3 : 10.
Тогда

SH = 3/10SP = 4, 2

14. Решите неравенство

Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 2) ∪ (log₂ 6; 3]

Решение: Преобразуем левую часть:

Сделаем замену 2^x = t > 0. Тогда получим

Заметим, что t² − 8t + 7 = (t − 1)(t − 7), а t² − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4). Тогда

Сократим левую часть на (t − 1), запомнив, что t ≠ 1.

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Пересекая с условиями t > 0 и t ≠ 1, получаем t ∈ (0; 1) ∪ (1; 4) ∪ (6; 8].
Сделаем обратную замену:

0 < t < 1 ⇔ 0 < 2^x < 1 ⇔ x < 0

1 < t < 4 ⇔ 1 < 2^x < 4 ⇔ 2⁰ < 2^x < 2² ⇔ 0 < x < 2

6 < t ⩽ 8 ⇔ 6 < 2^x ⩽ 8 ⇔ 2^log₂6 < 2^x ⩽ 2³ ⇔ log₂ 6 < x ⩽ 3

Таким образом, x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; 2) ∪ (log₂ 6; 3].

15. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с долгом на конец предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Известно, что сумма всех выплат составила 375 000 рублей. Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами?

Ответ: 221 400 рублей

Решение: Так как по условию процентная ставка составляет 25%, то каждый январь долг становится в 1 + 1/4 = 5/4 раз больше долга на конец предыдущего года. Составим таблицу, отслеживающую изменения, связанные с долгом, где за S рублей примем сумму, взятую в кредит, а за x рублей — ежегодный платеж.

Так как после последнего платежа долг выплачен полностью, то получаем следующее уравнение (в левой части разность последних ячеек 3-его и 4-ого столбцов):

По условию задачи общая сумма выплат равна

Подставим это значение x в полученное нами уравнение и выразим S:

Следовательно, в кредит было взято 221 400 рублей.

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

a) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.

Ответ:

Решение: а) Проведем через точку A общую касательную l к окружностям.
Рассмотрим меньшую окружность. Мы знаем, что угол между хордой и касательной к окружности равен половине дуги, заключенной между ними, значит, угол между AM и l равен вписанному углу AKM.

Рассмотрим большую окружность. По аналогичным соображениям угол между AC и l равен углу ABC.
Тогда, так как точки A, M и C лежат на одной прямой, то ∠AKM = ∠ABC.

Таким образом, по признаку параллельных прямых KM || BC.
б) Пусть O₁ и O₂ — центры большей и меньшей окружностей соответственно. Проведем радиус O₂P. Заметим, что ∠BPO₂ = 90º, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Опустим перпендикуляр O₁S на BC. В равнобедренном треугольнике BO₁C отрезок O₁S — высота, а значит и медиана. Тогда   BS = SC.
По теореме Пифагора для треугольника BO₁S :

O₁S² = BO²₁ − BS² = 10² − 8² = 6² ⇒ O₁S = 6

Так как отрезки O₁O₂ и O₂P — радиусы меньшей окружности, то

O₁O₂ = O₂P = 5

Рассмотрим прямоугольную трапецию O₂PSO₁.
Пусть O₂H — перпендикуляр к O₁S, тогда O₂HSP — прямоугольник и

O₁H = O₁S − HS = O₁S − O₂P = 6 − 5 = 1

Следовательно, по теореме Пифагора

Тогда

Так как хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку A, относятся как их диаметры, то KM — средняя линия в треугольнике ABC. Тогда KL — средняя линия в треугольнике ABP и ML — средняя линия в треугольнике ACP, следовательно

По теореме о произведении отрезков хорд имеем:

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных решения.

Ответ: a ∈ (−3; +∞) \ {0; 2; 6; 12}

Решение: Перепишем уравнение в виде системы

Будем рассматривать параметр a как переменную. Построим в системе координат xOa множество S решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами (x₀; a₀) принадлежит этому множеству S, то для исходной задачи это означает, что если параметр a принимает значение a₀, то x₀ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения a₀ параметра a, при каждом из которых ровно две из точек вида (x₀; a₀), где x₀ ∈ R, принадлежат множеству решений S, изображенному на плоскости xOa. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая a = a₀ имеет ровно две точки пересечения с множеством S.
Решением совокупности на плоскости xOa является объединение двух лучей, а решением уравнения a = x²−x является парабола. Следовательно, множеством S на плоскости xOa будет являться множество точек эти лучей за исключением тех точек параболы a = x² − x, которые являются точками пересечения параболы и этих лучей.
Найдем точки пересечения луча a = 3x − 3, x ⩾ 0, и параболы a = x² − x:

Найдем точки пересечения луча a = −5x − 3, x < 0, и параболы a = x² — x:

Изобразим множество S на плоскости xOa (получим множество всех точек двух лучей с выколотыми точками A, B, C, D):

Таким образом, горизонтальная прямая a = a₀ пересекает множество S в двух точках, если a₀ > −3 и a₀ ≠ 0; 2; 6; 12. Следовательно, ответ

a ∈ (−3; +∞) \ {0; 2; 6; 12}.

18. Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.
а) Может ли Егор за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см?
б) Может ли Егор за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см?
в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в 300 см на части по 1 см?

Ответ: а) Да
б) Нет
в) 9

Решение: а) Да, Егор может за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см.
Первым ходом он разделит линейку на две части по 8 см.
Вторым ходом он отрежет от обеих частей по 4 см и получит четыре части по 4 см.
Третьим ходом Егор отрежет от всех частей по 2 см и получит восемь частей по 2 см.
Четвертым ходом он отрежет от всех частей по 1 см и получит требуемое.
б) Пусть у Егора в какой-то момент есть x частей линейки. Тогда после следующего действия у него будет не более 2x частей. Таким образом, за ход Егор максимум может удвоить количество частей. Значит, за 5 ходов у Егора будет не более 2⁵ = 32 частей. Но если линейка длиной в 100 см поделена на части по 1 см, то у Егора должно быть 100 частей.
Значит, Егор не сможет за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см.
в) Из пункта б) мы понимаем, что Егору нужно хотя бы 9 действий, так как 300 > 2⁸ = 256.
Приведем пример на 9 действий:
Первым действием Егор отрежет часть длиной в 44 см и получит две части: 256 см и 44 см.
Вторым действием Егор отрежет от части в 256 см часть длиной в 128 см и получит три части: две по 128 см и одну 44 см.
Третьим действием Егор отрежет от частей в 128 см части длиной в 64 см и получит пять частей: четыре по 64 см и одну 44 см.
Четвертым действием Егор отрежет от всех частей часть длиной в 32 см и получит десять частей: девять по 32 см и одну 12 см.
Пятым действием Егор отрежет от частей в 32 см часть длиной в 16 см и получит 19 частей: 18 по 16 см и одну 12 см.
Шестым действием Егор отрежет от всех частей часть длиной в 8 см и получит 38 частей: 37 по 8 см и одну 4 см.
Седьмым действием Егор отрежет от частей в 8 см часть длиной в 4 см и получит 75 частей по 4 см.
Восьмым и девятым действиями Егор поделит все части пополам и в итоге получит 300 частей по 1 см.

18. У Пети дома лежат по 100 монет номинала 1, 2, 5 и 10 рублей. Он хочет купить пирожное в магазине без сдачи, но до момента покупки Петя не знает, сколько стоит пирожное.
а) Может ли Петя выбрать дома 16 монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до 100 рублей?
б) Может ли Петя выбрать дома 5 монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до 25 рублей?
в) Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если он знает, что пирожное стоит не более 100 рублей?

Ответ: а) Да
б) Нет
в) 13

Решение: а) Петя может взять десять монет номиналом 10. Тем самым он сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого кратна 10.
Еще Петя возьмет одну монету номиналом 5 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого кратна 5.
Петя возьмет одну монету номиналом 1 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 1 при делении на 5.
Петя возьмет две монеты номиналом 2 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 2 или 4 при делении на 5.
Еще Петя возьмет одну монету номиналом 1 и одну монету номиналом 2 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 3 при делении на 5.
Таким образом, Петя возьмет с собой 10 + 1 + 1 + 2 + 2 = 16 монет и сможет без сдачи оплатить пирожное стоимостью до 100 рублей.
б) Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 1 при делении на 5, Петя обязательно должен взять с собой монету номиналом 1.
Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 4 при делении на 5, Петя обязательно должен взять с собой две монеты номиналом 2.
Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 9 при делении на 10, Петя обязательно должен взять с собой монету номиналом 5.
Итого, Петя уже обязательно должен взять четыре монеты, которые в сумме дают 10 рублей.
Тогда максимум Петя можем взять с собой 20 рублей. Следовательно, Петя не может выбрать дома 5 монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до 25 рублей.
в) По соображениям из пункта б) Петя обязательно должен взять четыре монеты следующими номиналами: 1, 2, 2 и 5.

Чтобы оплатить пирожное стоимостью 100 рублей, Петя должен взять дома еще 90 рублей. Минимальное количество монет, которыми можно набрать 90 рублей — 9. Тогда Петя обязан взять с собой хотя бы 13 монет: 1, 2, 2, 5 и 9 монет по 10 рублей.
Докажем, что любую цену Петя сможет оплатить без сдачи. Очевидно, что он может оплатить любую стоимость, кратную 10. При этом, если стоимость не равна 100, то у него всегда останутся монеты 1, 2, 2 и 5. Тогда осталось доказать, что монетами 1, 2, 2 и 5 Петя может набрать любое число от 1 до 9.

1 = 1
2 = 2
3 = 1 + 2
4 = 2 + 2
5 = 5
6 = 5 + 1
7 = 5 + 2
8 = 5 + 1 + 2
9 = 5 + 2 + 2

Значит, Петя должен взять дома минимум 13 монет, чтобы гарантированно оплатить без сдачи пирожное стоимостью не более 100 рублей.

Решу ЕГЭ 2022 задание №9 по математике 11 класс профильный уровень с ответами и решением для практики и подготовки к экзамену.

Решу ЕГЭ 2022 линейные функции 9 задание математика с ответами:

Решу ЕГЭ 2022 парабола 9 задание профиль математика с ответами:

Решу ЕГЭ 2022 гипербола 9 задание профиль математика с ответами:

Решу ЕГЭ 2022 логарифмические функции 9 задание профиль математика с ответами:

Решу ЕГЭ 2022 иррациональные функции 9 задание профиль математика с ответами:

Решу ЕГЭ 2022 тригонометрические функции 9 задание профиль математика с ответами:

Как формулируется новое задание 9 ЕГЭ 2022 по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.

Как решать 9 задание ЕГЭ 2022 математика профиль видео теория:

1)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a3x+b x+c , где числа a, b и c — целые. Найдите a.

2)На рисунке изображён график функции вида f(x)= 2ax+b x+c , где числа a, b и c — целые. Найдите a.

3)На рисунке изображён график функции вида f(x)= ax+b x+c , где числа a, b и c — целые. Найдите a.

4)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x+b +c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(−22).

5)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x+b +c, где числа a, b и c — целые. Найдите решение уравнения f(x)=18.

6)На рисунке изображён график функции вида f(x)= 2ax+b x+c , где числа a, b и c — целые. Найдите a.

7)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x+b +c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(15).

8)На рисунке изображён график функции вида f(x)= a x+b +c, где числа a, b и c — целые. Найдите x, при котором f(x)=21.

9)На рисунке изображён график функции вида f(x)=log5(ax+b)+c, где числа a, b, c  — целые. Найдите наибольшее значение функции g(x)=−x2+ax+b.

10)На рисунке изображён график функции вида f(x)=log1.4(x−a)+b, где числа a, b  — целые. Найдите ab.

11)На рисунке изображён график функции вида f(x)=2ax+b, где числа a, b  — целые. Найдите сумму коэффициентов a+b, если f(1)=10.

12)На рисунке изображён график функции вида f(x)=log2(ax+b)+2, где числа a, b  — целые. Найдите сумму коэффициентов a+b.

13)На рисунке изображён график функции вида f(x)=ln(a+x)+b, где числа a, b  — целые. Найдите сумму коэффициентов a+b, если A(0;ln2e).

Задание №3 ЕГЭ 2022 по математике профиль прототипы с ответами

Задание №4 ЕГЭ 2022 по математике профиль прототипы с ответами

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

В этой статье мы расскажем, какие задачи встретились на ЕГЭ-2022 по математике под номером 18. Это последняя в варианте, самая сложная задача ЕГЭ. Тема – числа и их свойства.

В этом году они действительно были непростыми, нестандартными. Но есть и хорошая новость: в каждой из них пункт (а) решался за 3 минуты.

Начнем с наиболее стандартной из них, задачи 18 из московского варианта. Здесь мы можем ввести переменные и сделать «заготовку», то есть математическую модель для всех пунктов задачи.

1. ЕГЭ-2022, Москва.

С натуральным трехзначным числом проводят следующую операцию: из числа вычитают его сумму цифр и полученный результат делят на 3.

а) Может ли результатом выполнения операции быть число 201?

б) Может ли результатом выполнения быть число 251?

в) Сколько различных результатов можно получить, если применить данную операцию для всех трехзначных чисел от 600 до 999 включительно?

Сделаем «заготовку» для всех пунктов задачи.

Запишем число А в виде: .

По условию, .

а) Да, может быть

Подберем a и b.

Пусть . Заметим, что с – любое.

б) Нет, не может быть , так как а 251 не делится на 3, пришли к противоречию.

Выясним, какие значения может принимать m.

Так как a, b и с – цифры числа А,

то есть
то есть
Значит,

Числа m являются членами арифметической прогрессии, где

Найдем n – количество членов этой прогрессии.

Мы получили, что чисел вида не более 43, и они являются членами арифметической прогрессии где всего таких чисел не более 43.

Проверим, может ли быть

возможно при любое.

Получаем числа всего 10 чисел, для которых

Случай также возможен. Тогда

11 a + b = 108, подходят а = 9, b = 9, с – любое.

Проверим, может ли m быть равным любому члену арифметической прогрессии

Пусть . С другой стороны,

По условию, , то есть .

Тогда и

Пусть , где .

Так как b – цифра,

Это значит, что k может делиться на 11 без остатка. Или давать остаток от 1 до 9 от деления на 11. Но k не может давать остаток 10 от деления на 11.

Раньше мы нашли, что Исключим числа, дающие остаток 10 от деления на 11. Это 10, 21, 33, всего 3 числа. Получаем, что m может принимать не более 43 – 3 = 40 различных значений. Это оценка.

Для каждого m можно подобрать такие a и b, что условие задачи выполняется. Так, как мы сделали для m = 198 и m= 324.

Ответ: а) да; б) нет; в) 40.

В следующей задаче нет ни переменных, ни уравнений. А решение – это текст, сочинение-рассуждение на заданную тему : -) Напомним, что если в каком-либо пункте задачи 18 ответ «да», то нужно написать: «Да, может, вот пример». Если ответ «нет» — надо привести доказательство, почему не может такого быть.

2. ЕГЭ-2022, Санкт-Петербург В трех коробках лежат камни: в первой 101 камень, во второй 102, в третьей 104, в четвертой коробке камней нет.

За 1 ход берут по 1 камню из любых трех коробок и кладут в оставшуюся.

а) Может ли в 1 коробке получиться 101 камень, во второй 102, в третьей 100, в четвертой 4 камня?

б) Может ли оказаться 306 камней в четвертой коробке через некоторое количество ходов?

в) какое наибольшее количество камней может оказаться в первой коробке?

а) Да, может.

Сделаем следующие действия:

(101; 102; 104; 0);

(100; 101; 103; 3);

(99; 100; 102; 6);

(102; 99; 101; 5);

(101; 102; 100; 4).

б) Приведем решение И. В. Яковлева:

Такого случиться не может.

Допустим, такое произошло.

Всего камней 307. Если в четвертой коробке 306 камней, то значит, еще в какой-либо коробке находится 1 камень, и 2 коробки пустые.

После каждого хода четность числа камней в каждой коробке меняется на противоположную, поскольку либо в коробку добавляют 2 камня, либо убирают 1 камень.

Поэтому количества камней в коробках 1 и 2 не смогут стать равными (у них изначально была разная четность). Аналогично, не могут стать равными количества камней в коробках 1 и 3.

Значит, финальная ситуация обязательно 1, 0, 0, 306. Но после каждого хода количества камней в коробках 2 и 3 либо одновременно уменьшаются на 1, либо в одной из них -1, а в другой +3, так что количества камней в коробках 2 и 3 всегда отличаются не менее чем на 2. Противоречие.

Другой способ доказательства:

После каждого хода для количеств камней в любых двух коробках имеем -1, -1 или -1, +3. В обоих случаях остаётся неизменной разность остатков от деления этих чисел на 4. Исходно в первых трёх коробках эти остатки разные (а именно, 1, 2 и 0), то есть все три разности –- ненулевые. Значит, они будут ненулевыми после каждого хода, так что числа камней в первых трёх коробках всегда будут попарно различны. Следовательно, мы никогда не придём к ситуации, когда в двух из этих коробок нули (чтобы в четвёртой было 306).

в) Найдем наибольшее количество камней, которое может оказаться в первой коробке.

Все 307 камней не могут в ней оказаться, потому что тогда в остальных коробках будет 0 камней. В пункте (б) доказано, что это невозможно.

Предположим, что в 1-й коробке 306 камней. Тогда во 2-й коробке 1 камень, в 3-й и 4-й 0 камней. Другие случаи невозможны, поскольку только в 3-й и 4-й коробках количество камней изначально делилось на 4.

Но ситуация 306; 1; 0; 0 также невозможна, поскольку количества камней в коробках 2 и 3 всегда отличаются не менее чем на 2.

В первой коробке может быть 305 камней. Приведем пример, как это получить.

Первоначально в коробках: (101; 102; 104; 0).

Переложим 25 раз по одному камню из первых трех коробок в четвертую. Получим:

(76; 77; 79; 75). Следующие действия:

(75; 76; 78; 78);

(303; 0; 2; 2);

(302; 3; 1; 1);

(305; 2; 0; 0).

Ответ: а) да; б) нет; в) 305.

Еще одна задача, про числа на круге, была предложена на Дальнем Востоке и в других регионах России. Обратите внимание, что сюжеты задач разные, но во всех так или иначе используются понятия: делимость, четность, деление с остатком.

3. ЕГЭ-2022, Дальний Восток

По кругу расставлены N чисел так, что сумма трех последовательных чисел не делится на 3, а сумма четырех последовательных делится на 3.

а) Может ли N быть равно 240?

б) Может ли N быть равно 219?

в) Найдите наибольшее N, если числа различны и каждое меньше 340.

а) Да, может N = 240.

Например, по кругу расположены 60 четверок вида 1,1,2,2 или 1,2,1,2.

Сумма чисел в каждой тройке не делится на 3, а в каждой четверке делится на 3.

Возможен и такой вариант:

И в том, и в другом случае мы не ставим подряд три единицы или три двойки.

Посмотрим, какие вообще числа могут находиться на круге.

Пусть а, b, с и d – последовательные числа на круге, такие

что а + b + с — не делится на 3. Тогда а + в + с при делении на 3 дает остаток 1 или 2.

Сумма делится на 3, тогда где

Если из уравнения (3) вычесть уравнение (1), то получим – это означает, что при делении числа d на 3 получается остаток 2.

Если из уравнения (3) вычесть уравнение (2), то получим – это означает, что при делении числа d на 3 получается остаток 1.

Значит, число d при делении на 3 дает остаток 1 или 2.

Так как d – любое число на круге, то все числа на круге при делении на 3 дают остаток 1 или 2, то есть на круге все числа вида 3m + 1 или 3m + 2.

Так как по условию любые три подряд идущие числа не делятся на 3, значит, числа вида 3m + 1 не стоят три подряд, а стоят через одно или через два.

Аналогично, числа вида 3m + 2 не стоят три подряд, а стоят через одно или через два.

Обозначим числа, дающие при делении на 3 остаток 1, как (1).

Числа, дающие при делении на 3 остаток 2, обозначим как (2).

Других вариантов нет, так как сумма чисел в четверке должна быть кратна трем. Это значит, что если в ней 2 числа типа (1), то должно быть и 2 числа типа (2).

Предположим, что N = 129.

то есть на круге 32 четверки чисел и еще одно число, причем это может быть либо число типа (1), либо число типа (2). Где же оно может быть расположено?

А вот нигде не может!

Рассмотрим сначала первый вариант. Пусть наше число типа (1). Чтобы три числа типа (1) не стояли подряд, мы можем поставить его только между двумя числами типа (2). Но теперь вместе с тремя соседями слева или с тремя соседями справа оно дает четверку, в которой сумма не делится на 3.

Аналогично – если мы попытаемся добавить число типа (2).

Так же и во втором варианте. Куда бы мы ни добавили новое число, вместе с тремя соседями слева или с тремя соседями справа оно дает четверку, в которой сумма не делится на 3. Значит, 129 чисел на круге быть не может.

в) Найдем наибольшее количество чисел на круге при условии, что все они различны и не превосходят 340. Мы сказали, что это должны быть числа, которые при делении на 3 дают остаток 1 или остаток 2. В пункте (б) мы определили, как они должны быть расположены на круге.

Мы сказали также, что если N – количество чисел на круге, то N делится на 4.

Наибольшее число на круге – это число типа (2), и по условию, оно меньше 340. Числа типа (2) образуют арифметическую прогрессию

Так как , получим: , отсюда

Значит, на круге не более 113 чисел типа (2). Но тогда и чисел типа (1) столько же, то есть тоже не более 113. Всего на круге не более 113 + 113 = 226 чисел. Это оценка.

Приведем пример для 226 различных чисел на круге.

Ответ: а) да; б) нет; в) 226.

И еще одна задача из Санкт-Петербурга.

4. ЕГЭ-2022, Санкт-Петербург

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 27. Для каждых двух написанных чисел a и b таких, что а < b ни одно из написанных чисел не делится на b – а и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 4, 5, 6?

б) Среди написанных на доске чисел есть 5. Может ли N быть равным 7?

в) Найдите наибольшее значение N.

а) Нет, не может. Если на доске числа 4 и 5, то их разность равна 1. Но 5 делится на 1 – противоречие.

Аналогично, если на доске числа 5 и 6.

Если на доске числа 4 и 6, то их разность равна 2, но 4 делится на 2 – противоречие.

б) Если два числа дают одинаковые остатки при делении на число р, то их разность делится на р.

в) Из пункта (а) мы получили, что среди чисел на доске не может быть подряд идущих (например, 4 и 5 не могут быть на доске).

Если на доске только нечетные числа, разность любых двух из них четна, и ни одно из них не делится на эту разность.

От 1 до 27 ровно 14 нечетных чисел.

Есть еще одно условие: разность любых двух из них не должна делиться ни на одно из этих чисел.

Пусть на доске не менее 14 нечетных чисел. Если на доске есть число а ≤ 9, то хотя бы два из написанных чисел дают одинаковый остаток при делении на а, следовательно, их разность делится на а – противоречие.

Аналогично, если на доске не менее 10 чисел.

Поскольку все числа не превосходят 27, среди этих 10 чисел должно быть число а ≤ 9.

Но тогда не менее двух чисел на доске дают одинаковые остатки от деления на а, значит, их разность делится на а – противоречие. Значит, на доске не более 9 чисел. Это оценка.

Приведем пример для 9 чисел на доске.

11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27.

Разность любых двух из них четна и не делится ни на одно из этих чисел. Также ни одно из чисел не делится на разность каких-либо двух из них.

Ответ: а) нет, не может; б) нет, не может; в) 9.

Подробно о том, как решать задачи на числа и их свойства, читайте здесь. Это целый раздел сайта, посвященный нестандартным задачам.

А если хотите сами так же легко их решать – приходите на мой онлайн-курс и я вас научу.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Задача 18 на числа и их свойства на ЕГЭ-2022 по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
07.05.2023