Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Содержание

Введение дополнительного угла
Четность тригонометрических функций
Тригонометрические тождества
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения.
Арккосинус
Арксинус
Арктангенс
Четность тригонометрических функций
Тригонометрические тождества
Формулы двойного угла
Формулы суммы и разности
Формулы произведения
Формулы сложения
Тригонометрические уравнения
Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения
Арккосинус
Арксинус
Арктангенс
Тригонометрические уравнения повышенной сложности. Приемы решения
Замена переменной и сведение к квадратному уравнению
Учет ОДЗ уравнения
Метод оценки
Однородные уравнения
Универсальная подстановка
Разложение на множители

Введение дополнительного угла

Этот метод применяется для уравнений вида acosx + bsinx=c. Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.

9. а) Решим уравнение: $\sqrt{3}sinx+cosx=2.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[0; 3\pi ].$

Делим обе части на 2:

$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx=1.$

$\displaystyle cos\frac{\pi }{6}sinx+sin\frac{\pi }{6}cosx=1.$

В левой части получили синус суммы:

б) Отметим на единичной окружности отрезок $[0; 3\pi ].$ и найденные серии решений.

Обратите внимание, что в этой задаче отрезок больше, чем полный круг. Как нам поступить? Один из способов – нарисовать рядом две окружности.

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике
Видим, что данному отрезку принадлежат точки: $\displaystyle x_{1}=\frac{\pi }{3}; x_{2}=2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}.$

10. а) Решите уравнение: $cosx+sinx=1.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[0; \pi ].$

Делим обе части на $\sqrt{2}:$

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}cosx+\frac{1}{\sqrt{2}}sinx=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:

$\displaystyle cos\frac{\pi }{4}cosx+sin\frac{\pi }{4}sinx=\frac{1}{\sqrt{2}};$

$\displaystyle cos\left ( x-\frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{\sqrt{2}};$

$\displaystyle x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n;$

$\displaystyle x_{1}=\frac{\pi }{2}+2\pi n; x_{2}=2\pi n, n\in Z.$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0; \pi ]$ с помощью единичной окружности. Отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Видим, что данному отрезку принадлежат точки 0 и $\displaystyle \frac{\pi }{2}.$

Покажем, как применяется метод введения дополнительного угла в общем случае.

Делим обе части на $\sqrt{a^{2}+b^{2}}:$

Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

$\displaystyle \left ( \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right )^{2}+\left ( \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right )^{2}=1.$

Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла $Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике$ :

$\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=cos\alpha , \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=sin\alpha.$

Соотношение (4) тогда приобретает вид:

$\displaystyle cos\alpha cosx+sin\alpha sinx=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

$\displaystyle cos(x-\alpha )=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.$

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол $\alpha .$

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ (${π}/{2}$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

$сos(90° + α)=sinα$

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить что:

если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($π/2$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos (90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

$сos (90° + α)=sinα$

$сos (90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования

Вычислить $cos 840°$

У косинуса период повторения $2π$ или $360°$, мы можем из угла вычитать количество градусов кратное периоду.

$cos 840°=cos(720°+120°)=cos 120°$

По формуле приведения представим $120°$ как $90°+30°$

$cos(90°+30°) = -sin30= — 0.5$

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс, нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения.

Арккосинус

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$, где $0≤а≤1$

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо к целые значения

Нам подходит $1.25$ – это и есть результат

Арксинус

$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$

1. $t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

$sin t = 0, t=πk;k∈Z$

Арктангенс

$arctg(-a)= — arctg a$

Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Задачи из сборников Ященко, 2021 год

Уравнения с модулем

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Простейшие тригонометрические уравнения 2

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть $tg x$ — помним, что он существует, только если ${cos x\ne 0}.$

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам $-4 \pi , -2 \pi , 0, 2 \pi , 4 \pi \dots$ Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$ , где $n$ — целое, а найти надо корни на отрезке $\left [\frac{5 \pi}{2};\frac{9 \pi}{2} \right ].$ На указанном промежутке лежит точка $4 \pi$ . От нее и будем отсчитывать. Получим: $x=4 \pi +\frac{\pi}{3}=\frac{13 \pi}{3}.$

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение $2{{sin}^2 \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}=-\sqrt{3}{cos x}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-3\pi \right.;\left.-\frac{3\pi }{2}\right]$

$2{{sin}^2 \left(\frac{\pi }{2}+x\right)}=-\sqrt{3}{cos x}$

Упростим левую часть по формуле приведения.

$2{{cos}^2 x+\sqrt{3}{cos x}=0}$

Вынесем ${cos x}$ за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Про ЕГЭ: ЕГЭ в 2021 году на 400 баллов сдал один выпускник

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок $\left[-3\pi \right.;\left.-\frac{3\pi }{2}\right].$

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения $-\frac{17\pi }{6};-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}.$

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам $-4 \pi , -2 \pi , 0, 2 \pi , 4 \pi \dots$ Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$ , где $n$ — целое, а найти надо корни на отрезке $[\frac{5\pi }{2};\frac{9\pi }{2}].$ На указанном промежутке лежит точка $4 \pi.$ От нее и отсчитываем.

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

2. а) Решите уравнение ${({27}^{{cos x}})}^{{sin x}}=3^{\frac{3{cos x}}{2}}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right].$

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

$3{cos x{sin x}}=\frac{3{cos x}}{2}$

$2{cos x{sin x-{cos x=0}}}$

${cos x({sin x-\frac{1}{2})=0}}$

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right].$

Отметим на тригонометрическом круге отрезок $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$ и найденные серии решений.

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки $x=-\frac{\pi }{2}$ и $x=\frac{\pi }{2}$ из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in z.$

Точки серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in z$ не входят в указанный отрезок.

А из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in z$ в указанный отрезок входит точка $x=\frac{\pi }{6}.$

Ответ в пункте (б): $-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{6} , \frac{\pi }{2}.$

3. а) Решите уравнение ${cos 2x}+{{sin}^2 x=0,5}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi }{2}\right.;\left.-2\pi \right].$

Применим формулу косинуса двойного угла: $\boldsymbol{\cos2\alpha =1-{2\sin}^2\alpha }$

$1-2{{sin}^2 x}+{{sin}^2 x}=0,5$

${{-sin}^2 x=-0,5}$

${{sin}^2 x=0,5}$

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi }{2}\right.;\left.-2\pi \right]$ с помощью двойного неравенства.

$-\frac{7\pi }{2}\le \frac{\pi }{4}+\pi n\le -2\pi$

$-\frac{7}{2}\le \frac{1}{4}+n\le -2$

$-3,75\le n\le -2,25$

$n=-3, x_1=\frac{\pi }{4}-3\pi =-\frac{11\pi }{4}$

$-\frac{7\pi }{2}\le -\frac{\pi }{4}+\pi n\le -2\pi$

$-\frac{7}{2}\le -\frac{1}{4}+n\le -2$

$-3,25\le n\le -1,75$

$n=-3, x_2=-\frac{\pi }{4}-3\pi =-\frac{13\pi }{4}$

$n=-2, x_3=-\frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{9\pi }{4}$

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in Z$ на отрезке $\left[-\frac{\pi }{2}\right.;\left.20\pi \right].$ Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение $\left({tg}^2x-3\right)\sqrt{11{cos x}}=0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right].$

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие ${11cos x}\ge 0$ заметно сразу. А условие ${cos x}\ne 0$ появляется, поскольку в уравнении есть ${tg x=\frac{{sin x}}{{cos x}}}.$

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Уравнение равносильно системе:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси $Y$ .

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Ответ в пункте а) $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n, n\in z$

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right].$

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение $\sqrt{{cos x+{sin x}}}({{cos}^2 x-\frac{1}{2})=0}$

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $[-\pi ;4\pi ].$

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых ${cos x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ или ${cos x}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых $tgx=-1.$

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Числа серии $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi n$ не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие ${cos x+{sin x}}\ge 0$ . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[-\pi ;4\pi ]$ любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

На отрезке $\left[-\pi ;0\right]$ нам подходит корень $x =-\frac{\pi }{4}$ .

На отрезке $\left[0;2\pi \right]$ нам подходят корни $x=\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4}$ .

На отрезке $\left[2\pi ;4\pi \right]$ — корни $x= \frac{9\pi }{4} ; \frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4}.$

Ответ в пункте б): $-\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{7\pi }{4};\frac{\pi }{4};\frac{9\pi }{4} ; \frac{11\pi }{4};\frac{15\pi }{4}.$

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание №12. Уравнения u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

В задании №5 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Арифметический квадратный корень

Корни и степени

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение $\frac{6}{13}x^2=19\frac{1}{2}$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь $\frac{6}{13}$ умножается на $x^2.$
А в правой части — смешанное число $19\frac{1}{2}.$ Его целая часть равна 19, а дробная часть равна $\frac{1}{2}.$ Запишем это число в виде неправильной дроби:

$19\frac{1}{2}=\ \frac{19\cdot 2+1}{2} = \frac{39}{2}.$

$\frac{6}{13}x^2=\frac{39}{2};$

$x^2=\frac{39\cdot 13}{2\cdot 6}=\frac{13\cdot 3\cdot 13}{2\cdot 6}=\frac{{13}^2}{4};$

$x=\pm \frac{13}{2};$

Выбираем меньший корень.

2. Решите уравнение $\left ( x-6 \right )^2=-24x.$

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

$\left ( x-6 \right )^2=-24x\Leftrightarrow x^2-12x+36=-24x\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^2+12x+36=0\Leftrightarrow \left ( x+6 \right )^2=0\Leftrightarrow x=-6.$

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как $\frac{4x-5}{4x-5}$ и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{5x-3}{4x-5}-\frac{4x-5}{4x-5}=0;$

$\frac{x+2}{4x-5}=0;$

$x= - 2.$

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

$\sqrt{\frac{6}{4{x}-54} } =\frac{1}{7}.$

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$\frac{6}{4{x}-{ 54}} =\frac{1}{49}.$

$4{x}-{ 54}={ 6}\cdot { 49};$

$4{x}=348;$

${ x}={ 87}.$

Условие Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике при этом выполняется.

5. Решите уравнение $\sqrt{72-x}=x.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

$\sqrt{72-x}=x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 72-x=x^2\\72-x \geq 0 \\x \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$

Мы получили, что $x=8$ . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

$72-x\ge 0.$

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: $x^2+x-72=0.$ Находят его корни: $x=8$ или $x=-9.$ Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение $\sqrt{45+4x}=x$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов:

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение $5^{x-7}=\frac{1}{125}.$

Вспомним, что $125 = 5{}^{3}.$ Уравнение приобретает вид: $5{}^{x}{}^{-}{}^{7 }= 5{}^{-}{}^{3}.$ Функция $y = 5^x$ монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

8. Решите уравнение ${\left(\frac{1}{49}\right)}^{x-8}=7.$

Представим ${\left(\frac{1}{49}\right)}^{ }$ как $7^{-2};$

${\left(7^{-2}\right)}^{x-8}=7;$

$7^{-2x+16}=7.$

Функция $y = 7^x$ монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

$-2x+16=1;$

$-2x=-15;$

$x=7,5.$

9. Решите уравнение $\left(\frac{1}{9} \right)^{{ x}-13} =3.$

Представим ${\textstyle\frac{1}{9}}$ в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что $\left({ a}^{{ m}} \right)^{{ n}} ={ a}^{{ mn}}.$

$\left(3^{-2} \right)^{{ x}-{ 13}} =3;$
$3^{-2{ x}+{ 26}} =3^{1} ;$

$-2{ x}+{ 26}={ 1};$

${ x}={ 12,5}.$

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел.

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

${{log}_5 \left(4+x\right)=2 }.$

Область допустимых значений: Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике . Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как ${{log}_5 25 }$ , чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

${{log}_5 \left(4+x\right)={{log}_5 25 } }.$

Функция $y = {{log}_5 x }$ монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

$4+x=25;$
$x=21.$

11. Решите уравнение: ${{log}_8 \left(x^2+x\right)={{log}_8 \left(x^2-4\right) } }.$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

12. Решите уравнение: $2^{{{log}_4 \left(4x+5\right) }}=9.$

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

${{log}_4 b }=\frac{{{log}_2 b }}{{{log}_2 4 }}=\frac{{{log}_2 b }}{2}.$

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

${{log}_{x-5} 49=2 }.$

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

$\small \left\{\begin{matrix} \left ( x-5 \right )^2=49\\x-50 \\x-5 \neq 1 \end{matrix}\right..$

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: $x=12$ и $x=-2.$

Очевидно, корень $x=-2$ является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения: $x=12.$

Про ЕГЭ: В России провели первый ЕГЭ по китайскому

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: $cos \frac{\pi (x+1)}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену $\frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=t.$ Получим: $cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Получаем решения: $t=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.$ Вернемся к переменной x.

$\frac{\pi (x+1)}{4}=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.$ Поделим обе части уравнения на $\pi$ и умножим на 4.

$x+1=\pm 1+8n, n\in Z;$

$\left[ \begin{array}{c}x=8n, n\in Z \\x=-2+8n \end{array}\right..$

Первой серии принадлежат решения $-8; 0; 8\dots$

Вторая серия включает решения $-2; 6; 14\dots$

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это $x = -2.$

15. Решите уравнение: $tg \frac{\pi \left( x+1\right)}{4}= -1.$ В ответе напишите наименьший положительный корень.

Сделаем замену $\frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=t.$ Получим: $tgt=-1.$ Решения этого уравнения:

$t=-\frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z.$ Вернемся к переменной х:

$\frac{\pi \left(x+1\right)}{4}=-\frac{\pi }{4}+\pi n, n \in Z.$ Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на $\pi$ .

$x+1=-1+4n;$

$x=-2+4n.$

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

$x=-2 ;2; 6\dots$ Наименьший положительный корень $x = 2.$

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.
Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

$tgα={sinα}/{cosα}$
$ctgα={cosα}/{sinα}$
$sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$tgα·ctgα=1$
$1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
$1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$

Формулы двойного угла

$sin2α=2sinα·cosα$
$cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α$
$tg2α={2tgα}/{1-tg^2α}$

Формулы суммы и разности

Формулы произведения

Формулы сложения

Данное выражение является синусом суммы

Задача (Вписать в ответ число)

Данное выражение является синусом суммы

Тригонометрические уравнения

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению
Разложение на множители
Введение дополнительного угла
Учет ОДЗ уравнения
Тригонометрические уравнения повышенной сложности.
Приемы решения

В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений и методах их решения. Тригонометрические уравнения чаще всего встречаются в задаче 12 ЕГЭ.

В вариантах ЕГЭ задача, где нужно решить уравнение, состоит из двух пунктов. Первый пункт – решение самого уравнения. Второй – нахождение его корней на некотором отрезке.

Некоторые из методов (например, замена переменной или разложение на множители) являются универсальными, то есть применяются и в других разделах математики. Другие являются специфическими именно для тригонометрии.

Необходимых формул по тригонометрии не так уж и много. Учите наизусть!
Тригонометрические формулы.

Любой метод решения тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы привести их к простейшим, то есть к уравнениям вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.

Если вы не помните, как решать простейшие тригонометрические уравнения, — читайте материал на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 1.

О том, что такое арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, — еще одна статья на нашем сайте: Простейшие тригонометрические уравнения,часть 2.

Теперь — сами методы. Теория и примеры решения задач.

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения

Арккосинус

$arcos(-a) = π-arccos⁡a$, где $0≤а≤1$

$t=±arccos ⁡ a+2πk; k∈Z$

$cos t =1, t = 2πk;k∈Z$

$cos t = -1, t=π+2πk;k∈Z$

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо $k$ целые значения

Нам подходит $1,25$ – это и есть результат

Арксинус

$arcsin(-a)= — arcsin a$, где $0≤а≤1$

$1. t_1 = arcsin a+2πk;k∈Z$

$t_2 = (π- arcsin a)+ 2πk;k∈Z$

$2. t=(-1)^n arcsin ⁡ a+πn; n∈Z$

$3.$ Частные случаи

$sin t = 0, t=πk;k∈Z$

Арктангенс

$arctg(-a)= — arctg a$

Уравнение $tg t = a$ имеет решение $t= arctg a+πk;k∈Z$

Тригонометрические уравнения повышенной сложности. Приемы решения

16. Рассмотрим такое уравнение: Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Сделаем замену Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике .

Как выразить Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике через t? Имеем:

откуда Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике . Получаем:

$t^{2}-1=t+1;$

$t^{2}-t-2=0;$

$t_{1}=-1; t_{2}=2.$

$\left[\begin{array}{c}cosx+sinx=-1\\cosx+sinx=2\\\end{array}\right. .$

Начнем со второго уравнения.

Так как $-1\leq sinx\leq 1$ и $-1\leq cosx\leq 1,$ то их сумма может быть равна 2, только оба слагаемых равны 1. Но на единичной окружности не существует точки, в которой одновременно синус и косинус равен единице. Значит, второе уравнение корней не имеет.

Решим первое уравнение методом введения дополнительного угла.

Для этого разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$ и получим:

$\displaystyle cosx+sinx=-1\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}cosx+\frac{1}{\sqrt{2}}sinx=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow cosx\cdot cos\frac{\pi }{4}+sinx\cdot sin\frac{\pi }{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow cos\left ( x+\frac{\pi }{4} \right )=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow x+\frac{\pi }{4}=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k, k\in Z;$

$\left[\begin{array}{c}\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi k, k\in Z\\x=-\pi +2\pi k, k\in Z\\\end{array}\right. .$

17. Помним формулы косинуса и синуса тройного угла:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Вот, например, уравнение:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Оно сводится к уравнению относительно Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике :

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Уравнение равносильно совокупности:

$\left[\begin{array}{c}sinx=0\\4sin^{2}x+4sinx-3=0\\\end{array}\right. .$

Решим второе уравнение с помощью замены sinx = t.

$\left[\begin{array}{c}\displaystyle sinx=-\frac{3}{2}\\\\\displaystyle sinx=\frac{1}{2}\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}x\in \O \\\\\displaystyle x=\frac{\pi }{6}+2\pi n, n\in Z\\\\\displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n, n\in Z\\\end{array}\right. .$

А решением первого уравнения sinx = 0 являются числа вида $x=\pi k, k\in Z.$

Интересно, что формулы синуса и косинуса тройного угла также могут пригодиться вам в решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ.

18. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса?

Выделяем полный квадрат!

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

19. А как быть с суммой шестых степеней?

Рассмотрим такое уравнение: Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике .

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.

В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом. Именно этому мы и учим на наших занятиях.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Тригонометрические уравнения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях — степенных, показательных, тригонометрических, логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.

1. а) Решите уравнение: $2cos^{2}x+5sinx=5.$
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 2\pi \right ].$

а) Рассмотрим уравнение $2cos^{2}x+5sinx=5.$

Преобразуем его, применив основное тригонометрическое тождество:

$2\left ( 1-sin^{2} x\right )+5sinx=5;$

$2sin^{2}x-5sinx+3=0.$

Заменяя sin x на t, приходим к квадратному уравнению:

$2t^{2}-5t+3=0.$

Решая его, получим:

$\displaystyle t_{1}=\frac{3}{2}, t_{2}=1.$

Теперь вспоминаем, что мы обозначили за t. Первый корень приводит нас к уравнению $\displaystyle sinx=\frac{3}{2}.$
Оно не имеет решений, поскольку $-1\leq sinx\leq 1.$

Второй корень даёт простейшее уравнение $sinx=1.$

б) Найдем корни уравнения на отрезке $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 2\pi \right ]$ с помощью двойного неравенства.

$\displaystyle -\frac{\pi }{2}\leq \frac{\pi }{2}+2\pi n\leq 2\pi .$

Разделим обе части неравенства на $\pi :$

$\displaystyle -\frac{1}{2}\leq \frac{1}{2}+2n\leq 2.$

Вычтем $\displaystyle \frac{1}{2}$ из обеих частей неравенства:

$-1\leq 2n\leq 1,5.$

Разделим на 2 обе части неравенства:

$-0,5\leq n\leq 0,75.$

Единственное целое решение – это n=0. Тогда $\displaystyle x=\frac{\pi }{2}$ — это единственный корень, который принадлежит отрезку $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; 2\pi \right ].$

2. а) Решите уравнение: $cos2x-5\sqrt{2}cosx-5=0.$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ -3\pi ; -\frac{3\pi }{2} \right ].$

Выразим косинус двойного угла по формуле $cos2x=2cos^{2}x-1.$

$2cos^{2}x-1-5\sqrt{2}cosx-5=0;$

$2cos^{2}x-5\sqrt{2}cosx-6 =0.$

Заменяя cos⁡x на t, приходим к квадратному уравнению:

$2t^{2}-5\sqrt{2}t-6=0;$

$D=50+48=98.$

$\displaystyle t_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}; t_{2}=3\sqrt{2}.$

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

2) $cosx=3\sqrt{2};$ нет решений, т. к. $3\sqrt{2}\textgreater 1.$

б) Отметим отрезок $\displaystyle \left [ -3\pi ; -\frac{3\pi }{2} \right ]$ и найденные серии решений на единичной окружности.

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка $\displaystyle x=-2\pi -\frac{3\pi }{4}=-\frac{11\pi }{4}.$

Ответ: а) $\displaystyle x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n, n\in Z.$
б) $\displaystyle -\frac{11\pi }{4}.$

3. а) Решите уравнение: $\displaystyle 8sin^{2}x-2\sqrt{3}cos\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )-9=0.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ -\frac{5\pi }{2}; -\pi \right ].$

а) Чтобы упростить уравнение $\displaystyle 8sin^{2}x-2\sqrt{3}cos\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )-9=0,$ применяем формулу приведения.

Так как $\displaystyle cos\left ( \frac{\pi }{2}-x \right )=sinx,$ получим:

$\displaystyle 8sin^{2}x-2\sqrt{3}sinx-9=0.$

Сделаем замену: $sinx=t.$ Получим квадратное уравнение:

$8t^{2}-2\sqrt{3}t-9=0;$

$\displaystyle \frac{D}{4}=3+72=75.$

$\displaystyle t_1={\frac{3\sqrt{3}}{4}}; t_{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Сделаем обратную замену.

1) $\displaystyle sinx={\frac{3\sqrt{3}}{4}}$ — нет решений, т. к. $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{4}}\textgreater 1.$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ -\frac{5\pi }{2}; -\pi \right ]$ , с помощью двойного неравенства.

Для серии решений $\displaystyle x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k, k\in Z$ получим:

$\displaystyle -\frac{5\pi }{2}\leq -\frac{\pi }{3}+2\pi k\leq -\pi;$

$\displaystyle -\frac{13}{12}\leq k\leq -\frac{2}{6}.$

Так как $k\in Z,$ то $\displaystyle k=-1; x=-\frac{7\pi }{3}.$

Для серии решений $\displaystyle x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ получим:

$\displaystyle -\frac{11}{12}\leq k\leq -\frac{1}{6}.$

У этого неравенства нет целых решенией, и значит, из второй серии ни одна точка в указанный отрезок не входит.

Ответ: а) $\displaystyle -\frac{\pi }{3}+2\pi k; -\frac{2\pi }{3}+2\pi k, k\in Z.$
б) $\displaystyle -\frac{7\pi }{3}.$

Учет ОДЗ уравнения

12. а) Рассмотрим уравнение: Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2} \right ].$

Перепишем уравнение в виде, пригодном для возведения в квадрат:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Тогда наше уравнение равносильно системе:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Решаем уравнение системы:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике . Серия не удовлетворяет этому неравенству, а серия удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике .

Ответ в пункте (а): Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2} \right ],$ с помощью двойного неравенства:

$\displaystyle \frac{-\pi }{2}\leq -\frac{\pi }{3}+2\pi n\leq \frac{3\pi }{2};$

$\displaystyle -\frac{1}{12}\leq n\leq \frac{11}{12}.$

Неравенство имеет единственное целое решение $n=0.$

Ответ: а) $\displaystyle -\frac{\pi }{3}+2\pi n, n\in Z.$
б) $\displaystyle -\frac{\pi }{3}.$

Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений, которые применяются в задаче 12 ЕГЭ.

Где же еще нам могут встретиться тригонометрические уравнения? Конечно, в задачах с параметрами. Или на олимпиадах по математике. Сейчас мы увидим еще несколько полезных приемов решения.

Метод оценки

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике .

13. Рассмотрим уравнение: Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в том случае, когда они равны единице одновременно:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике . Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.

Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

14. Рассмотрим уравнение: Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Умножаем на 21 и сокращаем на π:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.

Ответ: решений нет.

Это был тренировочный пример. А в задачах ЕГЭ решения есть всегда.

Посмотрите, как применяется метод оценки в задачах с параметрами.

15. Страшное с виду уравнение Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике также решается методом оценок.

В самом деле, из неравенства Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике следует, что .

Следовательно, Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда

$\left\{\begin{matrix}sin^{5}x=sin^{2}x\\cos^{8}x=cos^{2}x\\\end{matrix}\right. .$

Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

Перенесем в левую часть и вынесем общий множитель за скобки , получим:

$\left\{\begin{matrix}sin^{2}x(sin^{3}x-1)=0 \\cos^{2}x(cos^{6}x-1)=0 \\\end{matrix}\right. .$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Каждое уравнение равносильно совокупности:

$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{array}{c}sinx=0\\sinx=1\\\end{array}\right. \\\left[\begin{array}{c}cosx=0\\cosx=1\\cosx=-1\\\end{array}\right. \\\end{matrix}\right. .$

Это значит, что синус угла х равен нулю, а его косинус равен 0, 1 или -1.

Или синус угла х равен 1, а косинус этого угла равен 0, 1 или -1.

Такие углы легко найти на тригонометрическом круге. Найденные серии решений запишем в ответ.

Однородные уравнения

7. а) Решите уравнение: $sin^{2}x+2sinxcosx-3cos^{2}x=0.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $\displaystyle \left [ -\frac{3\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right ].$

Такое уравнение называется однородным.

Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене $a^{2}+2ab-3b^{2},$ степень каждого слагаемого равна двум. Мы помним, что степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей.

Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на $cos^{2}x$ .

Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.

Предположим, что cosx = 0. Тогда в силу уравнения и sinx = 0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cosx $\neq$ 0, и мы можем поделить обе его части на $cos^{2}x$ .

В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса: $tg^{2}x+2tgx-3=0.$

Сделаем замену: $tgx=t,$ получим:

$\left[\begin{array}{c}tgx=-3 \\tgx=1\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}x=-arctg3+\pi k, k\in Z \\\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z\\\end{array}\right..$

б) Отметим отрезок $\displaystyle \left [ -\frac{3\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right ]$ и найденные серии решений на единичной окружности.

О том, как отметить на единичной окружности точки из первой серии решений, то есть арктангенс минус трех, читайте здесь: Простейшие тригонометрические уравнения, часть 2.

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Видим, что данному отрезку принадлежат точки:

$x_{1}=-\pi -arctg3;$

$\displaystyle x_{2}=-\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4};$

$x_{3}= -arctg3;$

$\displaystyle x_{4}=\frac{\pi }{4}.$

8. а) Решите уравнение: $10sin^{2}x+5sinxcosx+cos^{2}x=3.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $\displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ].$

Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение $3(sin^{2}x+cos^{2}x):$

$10sin^{2}x+5sinxcosx+cos^{2}x=3(sin^{2}x+cos^{2}x);$

$7sin^{2}x+5sinxcosx-2cos^{2}x=0.$

Получили однородное уравнение второй степени.

Так как не существует такой точки на единичной окружности, в которой одновременно синус и косинус равнялись бы нулю, мы разделим обе части уравнения на $cos^{2}x\neq 0$ .

Выполним замену: tgx = y, получим:

$7y^{2}x+5y-2=0.$

$D=25+56=81;$

$\displaystyle y_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{14};\left[\begin{array}{c}y=-1\\\displaystyle y=\frac{2}{7}\\\end{array}\right. .$

Ответом в пункте (а) являются две серии решений.

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ],$ с помощью единичной окружности. Для этого отметим на ней данный отрезок и найденные серии решений.

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Видим, что данному отрезку принадлежит только точка $\displaystyle x_1=arctg\frac{2}{7}.$

Ответ: а) $\displaystyle -\frac{\pi }{4}+\pi k; arctg\frac{2}{7}+\pi k, k\in Z.$
б) $\displaystyle arctg\frac{2}{7}.$

Универсальная подстановка

Запомним две важные формулы:
Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике
Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной тригонометрической подстановки.

Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

11. а) Решите уравнение: Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[0; \pi ].$

Выражаем Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике , используя универсальную тригонометрическую подстановку:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Получаем кубическое уравнение:

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Оно имеет единственный корень Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике .

Стало быть, Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике , откуда .

Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике .

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[0; \pi ],$ с помощью двойного неравенства:

$\displaystyle 0\leq \frac{\pi }{4}+\pi n\leq \pi , n\in Z;$

$\displaystyle -\frac{1}{4}\leq n\leq \frac{3}{4}.$

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi }{4}+\pi n, n\in Z.$
б) $\displaystyle \frac{\pi }{4}.$

Универсальная тригонометрическая подстановка может также пригодиться при решении задач по планиметрии из второй части ЕГЭ. Поэтому формулы лучше выучить.

Разложение на множители

Во многих случаях уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части — ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

4. а) Решите уравнение: $sin2x=cosx.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $[-\pi; \pi ].$

а) Применяем формулу синуса двойного угла:

$2sinxcosx=cosx.$

Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что cos x обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель выносим за скобки:

$2sinxcosx-cosx=0;$

$cosx\left ( 2sinx-1 \right )=0.$

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: cosx = 0 и 2sinx — 1 = 0.

$\left[\begin{array}{c}cosx=0\\\displaystyle sinx=\frac{1}{2}\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+2\pi n, n\in Z\\\\\displaystyle x=\frac{\pi }{6}+2\pi n\\\\\displaystyle x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n\\\end{array}\right. .$

Все эти три серии решений являются ответом в части (а).

б) Отметим отрезок $[-\pi; \pi ].$ и найденные серии решений на единичной окружности.

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

Видим, что данному отрезку принадлежат точки $\displaystyle x_{1}=\frac{\pi }{6}; x_{2}=\frac{5\pi }{6}.$

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi }{6}+2\pi n; \frac{\pi }{2}+2\pi n; \frac{5\pi }{6}+2\pi n, n\in Z.$
б) $\displaystyle \frac{\pi }{6}; \frac{5\pi }{6}.$

5. а) Решите уравнение: $sin3x+sin7x=2sin5x.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \pi \right ].$

Применим формулу суммы синусов:

$2sin5xcos2x=2sin5x.$

Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:

$2sin5xcos2x-2sin5x=0;$

$2sin5x\left (cos2x-1 \right )=0.$

Решаем уравнение $sin5x=0$ :

Решаем уравнение $cos2x-1=0$ :

Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).

Поэтому ответ в пункте (а): $\displaystyle x=\frac{\pi n}{5}, n\in Z.$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ -\frac{\pi }{2}; \pi \right ],$ с помощью двойного неравенства:

$\displaystyle -\frac{\pi }{2}\leq \frac{\pi n}{5}\leq \pi;$

$\displaystyle -\frac{5}{2}\leq {n}\leq 5.$

Этот промежуток содержит 8 целых чисел: -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Для каждого из этих n найдем x. Получим 8 решений на данном промежутке:

$\displaystyle -\frac{2\pi }{5}; -\frac{\pi }{5}; 0; \frac{\pi }{5}; \frac{2\pi }{5}; \frac{3\pi }{5}; \frac{4\pi }{5}; \pi .$

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi n}{5}, n\in Z.$
б) $\displaystyle -\frac{2\pi }{5}; -\frac{\pi }{5}; 0; \frac{\pi }{5}; \frac{2\pi }{5}; \frac{3\pi }{5}; \frac{4\pi }{5}; \pi .$

6. В следующей задаче также применяется метод разложения на множители. Но это заметно не сразу.

а) Решите уравнение: $sin^{2}2x+sin^{2}3x=1.$
б) Найдите все корни уравнения на отрезке $\displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ].$

Используем формулу понижения степени: $\displaystyle sin^{2}\alpha =\frac{1-cos2\alpha }{2}.$

$\displaystyle \frac{1-cos4x}{2}+\frac{1-cos6x}{2}=1;$

$cos4x+cos6x=0.$

Применяем формулу суммы косинусов: $\displaystyle cos\alpha +cos\beta =2cos\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot cos\frac{\alpha -\beta }{2}.$

$\left[\begin{array}{c}cos5x=0\\cosx=0\\\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\displaystyle 5x=\frac{\pi }{2}+\pi n, n\in Z\\\\\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z\\\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\displaystyle x=\frac{\pi }{10}+\frac{\pi n}{5}, n\in Z\\\\\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z\\\end{array}\right. .$

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ],$ с помощью двойного неравенства:

Решив неравенство, получим: $-0,5\leq n\leq 2,5.$

Так как n ∈ Z, получим для n целые значения: 0, 1, 2.

Им соответствуют решения: $\displaystyle \frac{\pi }{10}; \frac{3\pi }{10}; \frac{\pi }{2}.$

2) Из серии решений $\displaystyle \frac{\pi }{2}+\pi k, k\in Z$ на указанном отрезке лежит только корень $\displaystyle x=\frac{\pi }{2}.$ Но он уже входит в первую серию решений.

Можно также заметить, что вся вторая серия решений является подмножеством первой.

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi }{10}+\frac{\pi n}{5}, n\in Z.$
б) $\displaystyle \frac{\pi }{10}; \frac{3\pi }{10}; \frac{\pi }{2}.$

Про ЕГЭ: Задание № 23. Лексика