Задание 17. Задача с параметром. ЕГЭ 2023 по математике (профильной)

За это задание ты можешь получить 4 балла. На решение дается около 35 минут. Уровень сложности: высокий.
Средний процент выполнения: 4.2%
Ответом к заданию 17 по математике (профильной) может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

На координатной прямой точками отмечены числа . Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

На координатной прямой отмечены точки A, B, C,

Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. 

На координатной прямой отмечены точки A, B, C,. Про число  известно, что оно равно 

Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца, которые им соответствуют.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

На координатной прямой отмечены точки A, B, C,

Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. 

На координатной прямой отмечены точки A, B, C,

Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. 

На координатной прямой отмечены точки A, B, C,

Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. 

На координатной прямой отмечены точки A, B, C,

Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце. Установите соответствие между указанными точками и числами.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. 

На прямой отмечены точки 

Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца, которые им соответствуют.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

На координатной прямой отмечено число 

Расположите в порядке убывания числа:

В ответе укажите номера выбранных чисел в порядке убывания.

На координатной прямой отмечены числа 

Расположите числа в порядке убывания:

На координатной прямой отмечены числа 

Расположите в порядке возрастания числа

В ответе укажите номера выбранных Вами чисел, расположенных в порядке возрастания, без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

На координатной прямой отмечены числа 

Расположите числа в порядке возрастания:

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру. 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и множествами их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств слева соответствует одно из решений, изображённых на координатной прямой справа. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру. 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру. 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру. 

Проставьте в соответствие каждому неравенству множество его решений.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Поставьте в соответствие каждому неравенству множество его решений.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

На прямой отмечено число 

Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. 

На прямой отмечено число 

Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. 

 Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий отрезку номер.

На прямой отмечены точки A , B, C

Установите соответствие между указанными точками и числами из правого столбца, которые им соответствуют.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Подготовка к ЕГЭ по математике, 11 класс

Описание материала: Предлагаю вам статью, в которой показаны способы решения экономических задач на кредиты. Описаны два вида кредита: с аннуитетным платежом и дифференцированным платежом. Данный материал будет полезен для учителей математики 10-11 классов при подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня (задача 17).

Аннуитетный и дифференцированный платежи

1. Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные транши (платежи), растянутые на весь срок кредитования. В сумму транша включены: часть ссудной задолженности и начисленный процент. При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер транша всегда остается одинаковым.
2. Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате. Если в задаче присутствуют слова «равными платежами» или «долг уменьшается на одну и ту же величину», то речь идет о дифференцированном платеже.

Способы решения экономических задач на кредиты

Предлагаю рассмотреть решения экономических задач на кредиты доступными для учащихся способами.

Задачи на кредит с аннуитетным платежом

Задача 1.
1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение:

Ответ: 5 месяцев.

Задача 2.
31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5 годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение:
Дмитрий взял в банке кредит 4 290 000 рублей.

Дмитрий выплатил кредит за два года, поэтому сумма долга в конце второго года равна 0.
Получим уравнение:

Значит сумма платежа равна 2622050р.
Ответ: 2622050 рублей.

Задачи на кредит с дифференцированным платежом

При решении задач на кредиты с дифференцированным платежом начисляемые проценты за весь период кредитования можно вычислить с помощью формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии. И потом найти сумму общего платежа. Считаю, что этот метод будет прост и понятен для учащихся.

Задача 3
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму надо выплатить банку за первые 12 месяцев?
Решение:
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен 2400000:24=100000(р.)) и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается 100000р.
Сумма начисленных «процентов» за 12 месяцев (в млн. р.):

В скобках арифметическая прогрессия. Воспользовались формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии :

За 12 месяцев буде выплачена половина долга, то есть 1,2 млн р.
Значит за первые 12 месяцев банку нужно выплатить 1 200 000 + 666 000 = 1 866 000 р.
Ответ: 1 866 000 рублей.

Задача 4

15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Решение:
Пусть в банке взяли кредит S рублей. Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

) и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается на

Сумма начисленных процентов за 5 месяцев:

Всего банку будет выплачено S + 0,03S = 1,03S. Значит общая сумма выплаченных денег от суммы кредита составляет 103%.
Ответ: 103%.

Задача 5
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?
Решение:
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен 2400000:24=100000(р.)) и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается 100000р.

Сумма начисленных процентов за 12 последних месяцев (в млн):

В скобках арифметическая прогрессия. Воспользовались формулой:

За 12 месяцев буде выплачена половина долга, то есть 1,2 млн р.
Значит за последние 12 месяцев банку нужно выплатить 1 200 000 + 156 000 = 1 356 000 р.
Ответ: 1 356 000 рублей.

Задача 6
15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных процентов к остатку. В каждый месяц долг уменьшается на

Значит за 15 месяцев должны заплатить долг – S рублей и ежемесячных процентов, начисленных к остатку:

За 7 месяцев выплачено

Из этого условия найдём S.
Восьмая выплата состоит из величины ежемесячной выплаты долга

и процентов, начисленных на величину долга после седьмой выплаты:

Значит за весь срок кредитования будет выплачено 1 488 000 рублей.
Ответ: 1 488 000 рублей.

Задача 7
15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма взятая в кредит. Найдите r.

Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных к остатку процентов). В каждый месяц долг уменьшается на

Значит за 9 месяцев должны заплатить долг – S рублей плюс сумму процентов, начисленных к остаткам ежемесячно:

Значит кредит взят под 3% в месяц.
Ответ: 3%.

Задача 8
15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается на

Значит за 15 месяцев должны заплатить долг – S рублей и ежемесячных процентов, начисленных к остатку:

За 7 месяцев выплачено

Из этого условия найдём S.
Восьмая выплата состоит из величины ежемесячной выплаты долга

и процентов, начисленных на величину долга после седьмой выплаты:

В (1) подставим (2), получим: 1,08 ∙1 500 000 = 1620000
Значит за весь срок кредитования будет выплачено 1 620 000 рублей.
Ответ: 1 620 000 рублей.

Задача 9
15 января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь период кредитования?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается на

Значит за 18 месяцев должны заплатить долг – S рублей и сумму ежемесячных процентов, начисленных к остатку:

Значит сумма выплаченных банку денег составляет 119% от суммы долга.
Ответ: 119%.

Задача 10
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных к остатку процентов). В каждый месяц долг уменьшается на

За первый год кредитования следует выплатить:

Получим уравнение: 0,5925 S = 177750,
S = 300000
Значит в кредит взяли 300 000 рублей.
Ответ: 300 000 рублей.

Задача 11
15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что я сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 39% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных к остатку процентов). В каждый месяц долг уменьшается на

Значит за 25 месяцев должны заплатить долг –S рублей плюс сумму процентов, начисленных к остаткам ежемесячно:

Значит кредит взят под 3% в месяц.
Ответ: 3%.

Задача 12
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за последние 12 месяцев нужно выплатить банку 1597,5 тысяч рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных к остатку процентов). В каждый месяц долг уменьшается на

Значит за последние 12 месяцев должны заплатить долг –

рублей и ежемесячных процентов, начисленных к остатку:

Получим уравнение: 0,5325 S = 1597500; S = 3 00 000.
Значит планируется взять 3 000 000 рублей.
Ответ: 3 000 000 рублей.

Литература
И.В.Ященко. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. Издательство «Экзамен», М. 2017.

Рекомендуем посмотреть:

Урок математики в 4 классе






Конспект урока математики в 1 классе «Ознакомление с решением составных задач»






Конспект урока по математике, 2 класс. Решение задач






Конспект урока по химии. Решение расчетных задач, 10 класс

Похожие статьи:

Контрольная работа с дескрипторами для 2 класса по теме «Решение задач» по системе Л.В. Занкова

Задачи для практики

Задача 1

Решение

Множество положительных чисел будет решением этого неравенства, если точка пересечения обоих графиков лежит на оси $Oy$. Это произойдет при $a = 3$. Графическая иллюстрация приведена на рисунке.

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

График первого уравнения системы $t = a$ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.

Построим график второго уравнения.

1) При $x ≥ 2$ получим $(x — 2)(t + 4x — 10) = (x — 2)^3$,

$(x — 2)(t + 4x — 10 — (x — 2)^2) = 0$,

$(x — 2)(t — x^2 + 8x — 14) = 0$,

$x — 2 = 0$ или $t — x^2 + 8x — 14 = 0$.

$x = 2$ — вертикальная прямая.

$t = x^2 — 8x + 14$ — парабола с вершиной $(4; -2), t(2) = 2$.

2) При $x < 2$ получим $-(x — 2)(t + 4x — 10) = (x — 2)^3$,

$(x — 2)(t + 4x — 10 + (x — 2)^2) = 0$.

$x — 2 = 0$ не выполняется при $x < 2$.

$t + 4x — 10 + (x — 2)^2 = 0, t = -x^2 + 6$ — парабола с вершиной $(0; 6), t(2) = 2$.

На рисунке изображен график второго уравнения полученной системы.

Задача 4

Решение

Преобразуем данное уравнение.

Решим уравнение $x^2 — x(4a + 1) + 4a^2 + 4a — 4 = 0$.

1. При $D < 0$ уравнение корней не имеет.

Выполнено условие $x ≠ -4, x ≠ a$.

3. При $D > 0$ уравнение имеет два корня.

Проверим при каких значениях $a$ значения $x = -4$ и $x = a$ являются корнями уравнения $x^2 — x(4a + 1) + 4a^2 + 4a — 4 = 0$.

При $x = -4$ должно выполняться равенство $16 + 4(4a + 1) + 4a^2 + 4a — 4 = 0, a^2 + 5a + 4 = 0, a = -4, a = -1$.

При $x = a$ должно выполняться равенство $a^2 — 4a^2 — a + 4a^2 + 4a — 4 = 0, a^2 + 3a — 4 = 0, a = 1, a = -4$.

При $a = -1, a = 1$ исходное уравнение имеет единственный корень.

При $а=-4$, $D>0$ и корни $х=-4$ и $х=а$ совпадают, поэтому это значение параметра также подходит

Задача 5

Решение

Из рисунка видно, что искомые значения $p$ удовлетворяют условию $p_1 ≤ p < p_2$.

Задача 6

Найдите все целые значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(ax-2x+3)(4x^6-19x^4-x^2(5+4a)-a-17)=0$ имеет хотя бы один целый корень.

Решение

Рассмотрим два случая:

1) $ax — 2x+3 = 0$; при $x = 0$ получим $3=0$, это не верно.

При $x = 1$ получим $a = -1$,

при $x = -1$ получим $a = 5$,

при $x = 3$ получим $a = 1$,

при $x = -3$ получим $a = 3$.

2) $4x^6 — 19x^4 — 5x^2 — 4ax^2 — a — 17 = 0$,

$a(4x^2 + 1) = 4x^6 — 19x^4 — 5x^2 — 17$,

$x^2 = 0, x = 0, a = 0 — 0 — 17 = -17$;

Уравнение имеет хотя бы один целый корень при значениях $a$, равных $-17; -5; -1; 1; 3; 5$.

Задача 7

Найдите все целые значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(ax-2-x)(3x^5+7x^3+2x+4-3x^2a-a)=0$ имеет хотя бы один целый корень.

Решение

Рассмотрим два случая:

$x = 1; a — 2 — 1 = 0; a = 3;$

$x = -1; -a — 2 — (-1) = 0; a = -1;$

$x = 2; 2a — 2 — 2 = 0; a = 2;$

$x = -2; -2a — 2 — (-2); a = 0.$

Если $x = 0$, то $0 — 2 — 0 = 0$ не выполняется.

2) $3x^5 + 7x^3 + 2x + 4 — 3x^2a — a = 0,$

$a(3x^2 + 1) = 3x^5 + 7x^3 + 2x + 4,$

Получаем $x^2 = 1$ или $3x^2 = 1$ или $x^2 = 0$.

$x = 0$, тогда $a = 0 + 0 + 4 = 4$.

Целые корни есть при значениях $a: -2; -1; 0; 2; 3; 4$.

Задача 8

Найдите все значения $a > 0$, при каждом из которых система

имеет ровно $2$ решения.

Решение

Если $y ≥ 0$, то первое уравнение задаёт окружность $∅_1$ с центром в точке $C_1(4; 4)$ радиуса $3$, а если $y < 0$, то оно задаёт окружность $∅_2$ с центром в точке $C_2(4; -4)$ того же радиуса.

При $a > 0$ второе уравнение задаёт окружность $∅$ с центром в точке $C (0; 4)$ радиуса $a$. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при каждом из которых окружность $∅$ имеет ровно две общие точки с объединением окружностей $∅_1$ и $∅_2$.

Координаты точки касания окружностей $∅$ и $∅_2$ явно видны на чертеже: это точки $A_1(1; 4)$ и $B_1(7; 4)$. То есть при $a = CA_1=1$ и $a = CB_1=7$ окружности $∅$ и $∅_2$ касаются. При $a > 7$ и $a < 1$ окружности $∅$ и $∅_1$ не пересекаются, при $1 < a < 7$ окружности $∅$ и $∅_2$ имеют $2$ общие точки.

При $a < CA_2$ или $a > CB_2$ окружности $∅$ и $∅_2$ не пересекаются. При $CA_2 < a < CB_2$ окружности $∅$ и $∅_2$ имеют $2$ общие точки. При $a = CA_2 = 4√5 − 3$ или $a = CB_2 = 4√5 + 3$, окружности $∅$ и $∅_2$ касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность $∅$ с одной из окружностей $∅_1$ и $∅_2$ имеет $2$ общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как $1 < 4√5 − 3 < 7 < 4√5 + 3$, то условию задачи удовлетворяют значения $a ∈ (1; 4√5 − 3) ∪ (7; 4√5 + 3).$.

Задача 9

Найдите все значения $a > 0$, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Решение

Если $x ≥ 0$, то первое уравнение задаёт окружность $∅_1$ с центром в точке $C_1(3; 3)$ радиуса $2$, а если $x < 0$, то оно задаёт окружность $∅_2$ с центром в точке $C_2(−3; 3)$ того же радиуса.

При $a > 0$ второе уравнение задаёт окружность $∅$ с центром в точке $C (−3; 0)$ радиуса $a$. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при каждом из которых окружность $∅$ имеет единственную общую точку с объединением окружностей $∅_1$ и $∅_2$.

Из точки $C$ проведём луч $CC_1$ и обозначим $A_1$ и $B_1$ точки его пересечения с окружностью $∅_1$, где $A_1$ лежит между $C$ и $C_1$.

При $a < CA_1$ или $a > CB_1$ окружности $∅$ и $∅_1$ не пересекаются. При $CA_1 < a < CB_1$ окружности $∅$ и $∅_1$ имеют $2$ общие точки. При $a = CA_1 = 3√5 − 2$ или $a = CB_1 = 3√5 + 2$, окружности $∅$ и $∅_1$ касаются.

Координаты точки касания окружностей $∅$ и $∅_2$ явно видны на чертеже: это точки $A_2(−3; 1)$ и $B_2(−3; 5)$. То есть при $a = 1$ и $a = 5$ окружности $∅$ и $∅_2$ касаются. При остальных значениях параметра $a$ окружности $∅$ и $∅_2$ либо имеют $2$ общие точки, либо не имеют общих точек.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность $∅$ касается ровно одной из двух окружностей $∅_1$ и $∅_2$ и не пересекается с другой.

Так как $1 < 3√5 − 2 < 5 < 3√5 + 2$, то условию задачи удовлетворяют только числа $a = 1$ и $a = 3√5 + 2$.

Задача 10

Решение

Изобразим множество решений системы в системе координат $Oxa$. Решению соответствует заштрихованная область. При этом каждому фиксированному значению $a$ соответствует горизонтальная прямая. При фиксированном значении a решениями системы будут $x$, равные абсциссам тех точек горизонтальной прямой, которые лежат в заштрихованной области.

1) Из рисунка видно, что если горизонтальная прямая $a = a_0$ лежит ниже (не выше) точки $A$, то отрезок этой прямой в заштрихованной области идёт от графика $a = 2√x$ до графика $a = x$.

2) Если же горизонтальная прямая $a = a_0$ лежит выше точки $A$, то отрезок этой прямой в заштрихованной области идёт от графика $a = 2√x$ до окружности $a^2 + x^2 = 3$, при этом точки самой окружности в заштрихованную область не входят.

Задача 11

Решение

Если $y ≥ 0$, то $y^2 = 1−(x + 3)^2, (x + 3)^2 + y^2 = 1$.

Если $y < 0$, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность радиусом $1$ с центром в точке $(−3;0)$, лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение $y + ax = a + 1$ запишем в виде $y = −a(x−1) + 1$ — семейство прямых с угловым коэффициентом $−a$, проходящих через точку $M(1;1)$.

Рассмотрим рисунок. Видно, что система имеет единственное решение, если:

1) прямая $MC$ касается полуокружности, поэтому $−a = a_1 = 0$,

2) прямая и полуокружность имеют единственную общую точку, при этом $a_2 < −a ≤ a_3$.

Найдём $a_2$ из условия, что прямая $y = a_2(x−1) + 1$ проходит через точку $A(−4;0)$.

Найдём $a_3$ из условия, что прямая $y = a_3(x−1) + 1$ проходит через точку $B(−2;0)$.

Задача 12

Найдите все значения $a$, при которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Решение

Если $y ≥ 0$, то $y^2 = 2^2 — (x + 3)^2, (x + 3)^2 + y^2 = 2^2$.

Если $y < 0$, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность с центром в точке $(-3; 0)$ радиусом $2$, лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение $y-ax = 2-3a$ запишем в виде $y = a(x-3)+2$ — семейство прямых с угловым коэффициентом $a$, проходящих через точку $M (3; 2)$.

Рассмотрим рисунок. Видно, что прямая и полуокружность имеют две общие точки, если $a_1 < a ≤ a_2$. Прямая $BM$ касается окружности и является горизонтальной, поэтому её угловой коэффициент равен $0$, значит, $a_1 = 0$. Найдём $a_2$ из условия, что прямая $AM$ $y = a(x — 3) + 2$ проходит через точку $A(-5; 0)$.

Задача 13

Найдите все значения $a$, при которых система уравнений

имеет ровно три решения.

Решение

Уравнение $(x + 1)^2 = (y — 2)^2$ равносильно совокупности двух уравнений

Указанные окружности будут иметь ровно три общие точки с парой указанных выше пересекающихся прямых в том и только том случае, когда окружность проходит через точку пересечения этих прямых.

В таком случае точка $(-1; 2)$ лежит на окружности, значит, верно равенство $(-1 + 1)^2 + (2 — a)^2 = 3a^2 — 2a + 4$.

Отсюда получаем: $4 — 4a + a^2 = 3a^2 — 2a + 4; 2a^2 + 2a = 0; 2a ·(a + 1) = 0; $

$a = 0$ или $a = -1$.

Задача 14

Найдите все значения $a$, при которых система уравнений

имеет ровно три решения.

Решение

Уравнение $(x — 3)^2 = (y — 1)^2$ равносильно совокупности двух уравнений

Указанные окружности будут иметь ровно три общие точки с парой указанных выше пересекающихся прямых в том и только том случае, когда окружность проходит через точку пересечения этих прямых.

В таком случае точка $(3; 1)$ лежит на окружности, значит, верно равенство $(3 — a)^2 + (1 — 1)^2 = 3a^2 — 8a + 9$.

Отсюда получаем: $9 — 6a + a^2 = 3a^2 — 8a + 9; 2a^2 — 2a = 0; 2a ·(a — 1) = 0; a = 0$ или $a = 1$.

Задача 15

Решение

В левой части уравнения выделим целую часть

Задача 16

Решение

В левой части уравнения выделим целую часть

Оно равносильно системе

Задача 17

Решение

Возведём в квадрат обе части первого уравнения, учитывая, что $t ≥ 1$.

Решим систему графически в системе координат $tOa$.

Графики функций $a = -t^2 + 3t — 1$ и $a = t$ имеют единственную общую точку $t = 1$. Множество точек, удовлетворяющих неравенству $a < t$, представляет собой полуплоскость, лежащую ниже прямой $a = t$. $-t^2 + 3t — 1 = t, t^2 — 2t + 1 = 0, t = 1$.

Задача 18

Решение

$(x^2 + ax + 2)^2 = 4(4x^2 + ax + 1)$,

$x^4 + ax^3 + 2x^2 + ax^3 + a^2x^2 + 2ax + 2x^2 + 2ax + 4 = 16x^2 + 4ax + 4$,

$x^4 + 2ax^3 + x^2(a^2 — 12) = 0$,

$x^2(x^2 + 2ax + a^2 — 12) = 0$,

$x^2((x + a)^2 — 12) = 0$,

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо, чтобы числа $x_1, x_2, x_3$ были различными и для каждого из этих чисел выполнялось условие $x^2+ax+2 ≥ 0$.

Обозначим $g(x) = x^2 + ax + 2. g(0) = 2 > 0$. Числа $x_2 = -a + 2√3$ и $x_3 = -a — 2√3$ будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

Задача 19

Решение

$(x^2 + ax + 4)^2 = 20x^2 + 8ax + 16$,

$x^4 +ax^3+4x^2+ax^3+a^2x^2 +4ax+4x^2+4ax+16 = 20x^2+8ax+16$,

$x^4 + 2ax^3 + x^2(a^2 — 12) = 0$,

$x^2(x^2 + 2ax + a^2 — 12) = 0$,

$x^2((x + a)^2 — 12) = 0$,

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо выполнение условия (1) для чисел $x_1, x_2, x_3$ и выполнение условия, что эти числа различны.

Задача 20

Решение

Решим задачу графически. Построим графики первого и второго уравнения и определим, сколько точек пересечения они имеют при различных значениях параметра.

Найдём координаты точек $A, B$ и $C$.

Получаем $B(1; 5)$.

У точек $A$ и $C$ абсцисса равна $-5$, ординаты находим из уравнений прямой и гиперболы. $A(-5; 5)$ и $C(-5;-1)$.

При каждом значении $a$ уравнение $y = ax$ задаёт прямую с угловым коэффициентом $a$, проходящую через начало координат. Чтобы найти значение $a$, при котором такая прямая проходит через точку с указанными координатами, нужно подставить координаты в уравнение прямой.

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при $0< a ≤0.2; a = 5$.

Рекомендуемые курсы подготовки

Что нужно знать, чтобы решить задание 17

Для того, чтобы решить задачу необходимо составить математическую модель (уравнение, неравенство или функцию, которую нужно исследовать).

Для решения задач на кредиты, необходимо разобраться в основных схемах кредитования с дифференцированными и аннуитетными платежами. Часто для преобразования уравнения нужно знать формулы алгебраической и геометрической прогрессий.

В задачах на оптимизацию нужно уметь работать с функциями: брать производную, находить точки экстремумов.

Разбор сложных заданий в тг-канале