Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром

Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром ЕГЭ

Задание 17. уравнения и неравенства с параметром

Существует ровно три генеральных метода решения задач 17:

  • Метод перебора — классический перебор вариантов. Например, когда выражение под модулем больше нуля и когда меньше;
  • Графический метод — привлечение чертежа. Во многих задачах 17 достаточно начертить графики функций — и решение становится очевидным;
  • Метод следствий — нестандартный и, как правило, самый изощренный. Если в исходном условии удастся подметить что-нибудь полезное, в дальнейшем можно значительно упростить решение всей задачи.

Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.

Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)

Глава 1.
Графический подход
§ 1.
Вебинар по задачам 18: модуль и окружностиЗадание 17. Уравнения и неравенства с параметром
§ 2.
Как решать задачу 18: графический подходЗадание 17. Уравнения и неравенства с параметром
§ 3.
Задача 18: две окружности и модульЗадание 17. Уравнения и неравенства с параметром
§ 4.
Задача 18: пересечение графиков окружности и модуляЗадание 17. Уравнения и неравенства с параметром
§ 5.
Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром. Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром
Глава 2.
Аналитический подход
§ 1.
Задачи 18: Аналитическое решениеЗадание 17. Уравнения и неравенства с параметром
§ 2.
Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрамиЗадание 17. Уравнения и неравенства с параметром
§ 3.
Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром
Глава 3.
Нестандартные приемы
§ 1.
Задача 18: метод симметричных корнейЗадание 17. Уравнения и неравенства с параметром
§ 2.
Как увидеть симметрию корней в задаче 18?Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром
§ 3.
Метод мажорант в задаче 18Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром
§ 4.
Графическое решение сложных задач 18 с модулемЗадание 17. Уравнения и неравенства с параметром
§ 5.
Задание 18: Симметрия корней в системе уравненийЗадание 17. Уравнения и неравенства с параметром
§ 6.
Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18 Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром
§ 7.
Применение производной для отыскания точек пересечения графиковЗадание 17. Уравнения и неравенства с параметром
§ 8.
Продвинутый метод симметричных корнейЗадание 17. Уравнения и неравенства с параметром
§ 9.
Новая задача 18 с графическим решениемЗадание 17. Уравнения и неравенства с параметром
Про ЕГЭ:  Продолжительность экзаменов ЕГЭ 2022 — РЦМКО

Решу егэ

Решение.

Заданное уравнение приведем к виду  корень из (x) в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7 минус 5 корень из (7x минус x) в квадрате = корень из (a) в квадрате минус 11a плюс 18.

Рассмотрим функцию f(x)= корень из (x) в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7 минус 5 корень из (7x минус x) в квадрате .

Найдем область ее определения.

Разложим на множители многочлен Q(x)=x в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7. Попытаемся найти хотя бы один его целый корень, если он имеется. Целыми корнями Q(x) могут быть только числа: 1; минус 1;7; минус 7. Заметим, что числа 1; минус 1 таковыми не являются. При x=7Q(x)=343 минус 1176 плюс 826 плюс 7=0. Значит, число 7 является корнем многочлена Q(x). Делением «уголком» Q(x) на x минус 7 получим x в квадрате минус 17x минус 1. Вычислим корни квадратного трехчлена x в квадрате минус 17x минус 1.

x в квадрате минус 17x минус 1=0 равносильно x= дробь: числитель: 17pm корень из (289 плюс 4) , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 17pm корень из (293) , знаменатель: 2 конец дроби .

 система выражений  новая строка x в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7 больше или равно 0 , новая строка x(x минус 7) меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка (x минус 7) умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 17 минус корень из (293) , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 17 плюс корень из (293) , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0 , новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно 7  конец системы . равносильно 0 меньше или равно x меньше или равно 7.

Заметим, что:

 дробь: числитель: 17 минус корень из (293) , знаменатель: 2 конец дроби меньше 0 поскольку 17 минус корень из (293) меньше 0 равносильно 17 меньше корень из (293) равносильно 289 меньше 293 (неравенство верно).

 дробь: числитель: 17 плюс корень из (293) , знаменатель: 2 конец дроби больше 7 так как  дробь: числитель: 17 плюс корень из (293) , знаменатель: 2 конец дроби больше 7 равносильно 17 плюс корень из (293) больше 14 (неравенство очевидное).

Итак, D(f)= левая квадратная скобка 0;7 правая квадратная скобка .

Найдем нули функции f(x). Для этого решим систему:

 система выражений  новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно 7 , новая строка x в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7 минус 175x плюс 25x в квадрате =0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно 7 , новая строка x в кубе плюс x в квадрате минус 57x плюс 7=0 конец системы ..

Поскольку (x в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7)vdots ( минус 7) минус это показано выше; 175 минус 25 в квадрате =(25(7 минус ))vdots ( минус 7), то и разность

((x в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7) минус (175 минус 25 в квадрате ))vdots ( минус 7).

Делением «уголком» получим, что (x в кубе плюс x в квадрате минус 57 плюс 7):( минус 7)=x в квадрате плюс 8x минус 1. Далее:

x в квадрате плюс 8x минус 1=0 равносильно x= минус 4pm корень из (16 плюс 1) равносильно x= минус 4pm корень из (17) . минус 4 минус корень из (17) notin левая квадратная скобка 0;7 правая квадратная скобка .

Таким образом, число  корень из (17) минус 4 делит область определения функции на два промежутка знакопостоянства функции f(x): левая круглая скобка 0; корень из (17) минус 4 правая круглая скобка и  левая круглая скобка корень из (17) минус 4;7 правая круглая скобка . Найдем эти знаки.

Заметим , что 0,1 меньше корень из (17) минус 4. Действительно, 0,1 меньше корень из (17) минус 4 равносильно 4,1 меньше корень из (17) равносильно 16,81 меньше 17.

f(0,1)= корень из (0,001 минус 0,24 плюс 11,8 плюс 7) минус корень из (17,5 минус 0,25) = корень из (18,561) минус корень из (17,25) больше 0.

Итак, на  левая круглая скобка 0; корень из (17) минус 4 правая круглая скобка f(x) больше 0.

Очевидно, что  корень из (17) минус 4 меньше 1 меньше 7.

f(1)= корень из (1 минус 24 плюс 118 плюс 7) минус корень из (175 минус 25) = корень из (102) минус корень из (150) меньше 0.

На  левая круглая скобка корень из (17) минус 4;7 правая круглая скобка f(x) меньше 0.

Если f(x)=0, то уравнение будет иметь два корня: 7 и  корень из (17) минус 4. То есть решение не единственное. Значит, значения a=2 и a=9 — не подходят.

Если f(x) меньше 0, то уравнение  корень из (x) в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7 минус 5 корень из (7x минус x) в квадрате = корень из (a) в квадрате минус 11a плюс 18 вообще не будет иметь корней, так как правая часть преобразованного уравнения обязана быть неотрицательной.

Следовательно, искомые значения параметра a будем искать только при выполнении условия f(x) больше 0, т. е. при x принадлежит левая круглая скобка 0; корень из (17) минус 4 правая круглая скобка .

Теперь наша задача заключается в нахождении области значений функции f(x) на [0; корень из (17) минус 4].

Имеем: f(0)= корень из (7) ,f( корень из (17) минус 4 )=0. Значит, E(f)=[0; корень из (7) ].

Однако, в силу того, что требуется найти значения параметра a, при которых заданное уравнение имеет единственный корень, то функция f(x) на отрезке [0; корень из (17) минус 4] каждое свое значение должна принимать лишь один раз, т. е. функция f(x) на рассматриваемом отрезке обязана быть либо монотонно возрастающей, либо монотонно убывающей. Докажем, что она является монотонно убывающей.

Рассмотрим функцию f_1(x)= корень из (x) в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7 на отрезке [0;1]

Найдем ее производную. f_1 в степени (prime ) (x)= дробь: числитель: 3x в квадрате минус 48x плюс 118, знаменатель: 2 корень из (x) в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7 конец дроби . Знаменатель на рассматриваемом интервале в нуль не обращается (это было показано выше). Следовательно, критические точки, если они есть, могут быть только в тех точках, в которых обращается в нуль числитель производной функции. Найдем эти значения.

Про ЕГЭ:  Как выполнять задания 24–25 ЕГЭ-2022 по обществознанию | Фоксфорд.Медиа - Фоксфорд.Медиа

3 в квадрате минус 48 плюс 118=0 равносильно x= дробь: числитель: 24pm корень из (576 минус 354) , знаменатель: 3 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 24pm корень из (222) , знаменатель: 3 конец дроби .

Докажем, что эти корни не принадлежат промежутку (0;1).

Действительно,  дробь: числитель: 24 минус корень из (222) , знаменатель: 3 конец дроби больше 1 равносильно 24 минус корень из (222) больше 3 равносильно 21 больше корень из (222) равносильно 442 больше 222; дробь: числитель: 24 плюс корень из (222) , знаменатель: 3 конец дроби больше 1.

Итак, на рассматриваемом отрезке функция критических точек не имеет.

f_1(0)= корень из (7) ,f_1(1)= корень из (102) , следовательно, функция f_1(x)на промежутке [0 ;1] монотонно возрастает.

Рассмотрим функцию f_2(x)=5 корень из (7 минус x) в квадрате на том же отрезке [0;1].

Эта функция имеет единственную критическую точку x_0= дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби больше 1. По характеру изменения значений функции её также отнесем к числу монотонно возрастающих, поскольку f_2(0)=0,f_2(1)=5 корень из (6) .

Заметим главное: скорость возрастания функции f_2(x), очевидно, будет больше, нежели скорость возрастания функции f_1(x), поскольку значения функции f_1(x) и f_2(x) уже в точке  корень из (17) минус 4 станут равными. И отсюда следует, что функция

f(x)=f_1(x) минус f_2(x)

монотонно убывает на [0;1]. Говоря по-другому, функция f(x), будучи разностью двух функций: f_1(x) (уменьшаемая) и f_2(x) (вычитаемая). Обе функции монотонно возрастающие. При этом при бесконечно малом приращении значения аргумента на [0;1], начиная от точки 0, уменьшаемая функция получит меньшее приращение, чем вычитаемая функция при таком же приращении аргумента. В силу этого разность f_1(x) минус f_2(x)на отрезке на [0;1] будет убывать от точки к точке (в противном случае равенство значений названных функций не будет достигнуто при = корень из (17) минус 4).

Коли f(x) монотонно убывает на [0;1], то она будет монотонно убывать и на  левая круглая скобка 0; корень из (17) минус 4 правая круглая скобка .

На заключительном этапе исследования задачи найдем решение неравенства 0 меньше или равно корень из (a) в квадрате минус 11a плюс 18 меньше или равно корень из (7) относительно а.

0 меньше или равно корень из (a) в квадрате минус 11a плюс 18 меньше или равно корень из (7) равносильно 0leqslanta в квадрате минус 11a плюс 18 меньше или равно 7 равносильно система выражений  новая строка a в квадрате минус 11a плюс 18 меньше или равно 7 , новая строка a в квадрате минус 11a плюс 18 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка a в квадрате минус 11a плюс 11 меньше или равно 0 , новая строка a в квадрате минус 11a плюс 18 больше или равно 0 конец системы . равносильно

 равносильно система выражений  новая строка дробь: числитель: 11 минус корень из (121 минус 44) , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 11 плюс корень из (77) , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка совокупность выражений aleqslant2,ageqslant9 конец системы .  конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 11 минус корень из (77) , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно aleqslant2,9leqslanta меньше или равно дробь: числитель: 11 плюс корень из (77) , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

Ответ: левая квадратная скобка дробь: числитель: 11 минус корень из (77) , знаменатель: 2 конец дроби ;2 правая круглая скобка cup левая круглая скобка 9; дробь: числитель: 11 плюс корень из (77) , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42.

Оцените статью
ЕГЭ Live