Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

урок 10. Математика ЕГЭ

Задание15в21_1

1) Найдем ОДЗ:

Задание15в21_2

Решим неравенство 15x – 18 – 2x² > 0 методом интервалов:

2x² – 15x + 18 < 0

2x² – 15x + 18 = 0

D = 81

x₁ = 3/2, x₂ = 6

Задание15в21_3

Задание15в21_4

2) Преобразуем неравенство:

Задание15в21_5

Для решения данного неравенства лучше всего воспользоваться методом рационализации. Этот метод позволяет перейти от неравенства, содержащего сложное логарифмическое выражение к равносильному ему более простому рациональному неравенству, т. е. log_h₍_x₎f(x) – log_h₍_x₎g(x) равносильно рациональному выражению (h(x) – 1)(f(x) – g(x)).

Задание15в21_6

Решим неравенство методом интервалов:

Задание15в21_11

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

Задание15в21_9

Задание15в21_10

x = ± 1

15x – 18 – 3x² = 0

x₁ = 2, x₂ = 3

Учитывая ОДЗ, получим

Задание15в21_7

Задание15в21_8

Содержание

Оставить комментарий
Общий случай метода рационализации
Когда применяется метод рационализации?
Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)
Метод рационализации
Метод рационализации в показательных неравенствах
Метод рационализации в логарифмических неравенствах
Метод рационализации для логарифмов в общем виде
Общее правило рационализации
Формулы метода рационализации

Оставить комментарий

Яндекс.Метрика

Общий случай метода рационализации

Бывают логарифмические неравенства в виде произведения или частного различных множителей. В таких примерах обойтись без рационализации сложно. Разберем на примере:

Было бы здорово решить наше неравенство методом интервалов, но, к сожалению, метод интервалов применим только для линейных множителей (без всяких логарифмов, показательных функций, степеней и др.).

Обратите внимание, что неравенство $(x+3-1)(7-2x-1) \ge 0 $ будет выполняться точно при таких же $x$ на ОДЗ логарифма.

Метод рационализации

Рассмотрим еще более сложный пример на рационализацию:

Подставим получившееся преобразование в исходное неравенство:
$$ (x-1)*(x+3-1)(x+2-1)*(3-1)((x+3)^2-1) \le 0;$$
Упростим выражения в скобках
$$ (x-1)*(x+2)(x+1)*2*(x+2)(x+4) \le 0;$$
$$2 (x-1)*(x+2)^2*(x+1)*(x+4) \le 0;$$

Решим методом интервалов с учетом ОДЗ:

Метод равносильности в логарифмических неравенствах

Задание15в25_1

1)Найдем ОДЗ неравенства:

Задание15в25_2

Неравенство 4x² + 1 > 0 верно при любых значениях переменной.

Решим неравенство 3x² + 4x + 1 > 0 методом интервалов

3x² + 4x + 1 = 0

x₁ = — 1, x₂ = — 1/3

Задание15в25_3

x ϵ (- ∞; — 1); (- 1/3; + ∞)

Решим неравенство x² – 4x + 5 > 0 методом интервалов

x² – 4x + 5 = 0

D = — 4

Так как D < 0, то это означает, что график функции f(x) = x² – 4x + 5 не пересекает ось абсцисс.

Графиком функции f(x) = x² – 4x + 5 является парабола, ветви которой направлены вверх,

то неравенство x² – 4x + 5 > 0 верно при любых значениях переменной.

Решим неравенство x² – 4x + 5 ≠ 1

x² – 4x + 4 ≠ 0

Объединяя все полученные решения, находим ОДЗ неравенства: x ϵ (- ∞; — 1); (- 1/3; 2); (2; + ∞).

Задание15в25_4

(x² – 4x + 5 – 1)(4x² + 1 – 3x² – 4x – 1) ≤ 0

(x² – 4x + 4)(x² – 4x) ≤ 0

Решим неравенство методом интервалов:

(x² – 4x + 4)(x² – 4x) = 0

x² – 4x + 4 = 0 или x² – 4x = 0

x² – 4x + 4 = 0

x² – 4x = 0

x(x – 4) = 0

x₁ = 0, x₂ = 4

Учитывая ОДЗ, получим

Задание15в25_5

Метод рационализации — это процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).

Позволяет перейти от выражения f к выражению g, сохранив все решения.

Метод рационализации для логарифмических неравенств

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Здесь мы сравниваем значения относительно друг друга и допускаем случай, когда одно значение больше, а другое меньше и наоборот. Один из способов сравнения двух величин – это вычесть из одного другое. Если разность будет больше нуля, значит, первое число было больше. В первой скобке мы вычитаем из основания единицу. Это значит, что мы сравниваем основание с 1. Во второй скобке мы из одного под логарифмического выражения вычитаем другое, т.е. снова сравниваем их.

Пример. Решите неравенство Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Воспользуемся методом рационализации:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Нам нужно найти такие х, при которых левое выражение меньше правого. В записанном неравенстве, если основание больше единицы, первая скобка будет положительна, и если первое подлогарифмическое выражение будет меньше второго, то их разность будет меньше 0, т.е. вторая скобка будет меньше нуля и это как раз те решения, что нужны нам по условию. Если же основание будет меньше единицы, первая скобка будет отрицательна, что изменит общий знак неравенства. Так же мы действовали, когда писали равносильный переход в виде двух случаев для логарифмического неравенства.

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

С учетом ОДЗ получаем решение неравенства: Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Из рассмотренного метода рационализации вытекают следствия:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Пример. Решите неравенство: Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Применим метод рационализации:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

С учетом ОДЗ: Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Метод рационализации для неравенств с модулем

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

При сравнении двух чисел по модулю нас не интересует знак числа, поэтому можем от знака избавиться при помощи чётной степени. избавит нас от знака. При дальнейшей работе с полученным неравенством выполнять возведение в квадрат не обязательно, лучше применить формулу разности квадратов.

Пример. Решите неравенство

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Решение. Воспользуемся методом рационализации:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Решением неравенства является интервал (-3;1)

Пример. Решите неравенство

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Решением неравенства является промежуток Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Метод рационализации для иррациональных неравенств

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Пример. Решите неравенство Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике .

ОДЗ (находим ОДЗ для меньшего из выражений, ОДЗ для большего выражения выполнится автоматически):

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Воспользуемся методом рационализации:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

С учетом ОДЗ получаем окончательное решение неравенства: Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Метод рационализации для показательных неравенств

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Для показательно-степенных неравенств действуют те же правила, что и для логарифма. При основании, большем 1, знак неравенства мы можем сохранить, при основании меньше единицы, знак неравенства должен измениться при переходе к степеням. Тогда мы можем записать это, как произведение двух скобок, в первой мы будем сравнивать основание с единицей, а во второй – значения показателей степеней.

Пример. Решите неравенство

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Воспользуемся методом рационализации:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Видим, что решением является промежуток: Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

С учетом ОДЗ: Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Сведем все рассмотренные равносильные преобразования в таблицу

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Позволяет перейти от выражения f к выражению g, сохранив все решения.

Метод рационализации для логарифмических неравенств

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Пример. Решите неравенство Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Воспользуемся методом рационализации:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

С учетом ОДЗ получаем решение неравенства: Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Из рассмотренного метода рационализации вытекают следствия:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Пример. Решите неравенство: Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Применим метод рационализации:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

С учетом ОДЗ: Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Метод рационализации для неравенств с модулем

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Пример. Решите неравенство

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Решение. Воспользуемся методом рационализации:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Решением неравенства является интервал (-3;1)

Пример. Решите неравенство

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Решением неравенства является промежуток Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Метод рационализации для иррациональных неравенств

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Пример. Решите неравенство Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике .

ОДЗ (находим ОДЗ для меньшего из выражений, ОДЗ для большего выражения выполнится автоматически):

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Воспользуемся методом рационализации:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Метод рационализации для показательных неравенств

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Пример. Решите неравенство

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Воспользуемся методом рационализации:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Видим, что решением является промежуток: Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

С учетом ОДЗ: Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Сведем все рассмотренные равносильные преобразования в таблицу

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Про ЕГЭ: Тренировочные варианты для подготовки к ЕГЭ базового уровня по математике 2018 г с ответами

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021

Уравнения и неравенства с модулем

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

1. Решите неравенство:

$\frac{{ 2}}{{ 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 1}}{ +}\frac{{ 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 2}}{{ 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 3}} \geq { 2.}$

Тогда ${ 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 1=t+1}$ , а ${ 0,5x}\sqrt{{ 5}}{ -}{ 3=t-1}.$

$\frac{{ 2}}{{ t+1}}{ +}\frac{{ t}}{{ t-1}} \geq { 2};$

$\frac{{ 2}{ t}{ -}{ 2+}{{ t}}^{{ 2}}{ +}{ t}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}}{ -}{ 2} \geq{ 0};$

$\frac{{{ t}}^{{ 2}}{ +3}{ t}{ -}{ 2-2}{{ t}}^{{ 2}}{ +2}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} \geq { 0};$

$\frac{{ 3}{ t}{ -}{{ t}}^{{ 2}}}{{{ t}}^{{ 2}}{ -}{ 1}} \geq { 0};$

$\frac{{ t}\left({ t}{ -}{ 3}\right)}{\left({ t}{ -}{ 1}\right)\left({ t}{ +1}\right)}\le { 0}.$

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

$\left[ \begin{array}{c}{ -}{ 1 \textless t}\le { 0} \\{ 1 \textless t}\le { 3} \end{array}\right..$

Вернемся к переменной x: $\left[ \begin{array}{c} -1 \textless 0,5x\sqrt{5}-2\leq0 \\ 1 \textless 0,5x\sqrt{5}-2\leq 3 \end{array} \right. .$

$\left[ \begin{array}{c} {{2}\over{\sqrt{5}}} \textless x\leq {{4}\over{\sqrt{5}}}\\ {{6}\over{\sqrt{5}}} \textless x\leq {{10}\over{\sqrt{5}}} \end{array} \right. .$

2. Решите неравенство $2^x+17\cdot 2^{3-x}\le 25.$

$2^x+17\cdot \frac{8}{2^x}\le 25.$

Сделаем замену $2^x=t,t \textgreater 0.$ Получим:

$t+17\cdot \frac{8}{t}-25\le 0.$ Умножим неравенство на $t \textgreater 0.$

$t^2-25t+136\le 0.$

Дискриминант квадратного уравнения $t^2-25t+136=0.$

$D={\left(-25\right)}^2-4\cdot 136=625-544=81.$ Значит, корни этого уравнения: $\left[ \begin{array}{c}t_1=17 \\t_2=8 \end{array}.\right.$

Разложим квадратный трехчлен $t^2-25t+136$ на множители.

$t^2-25t+136\le 0 \Longleftrightarrow \left(t-17\right)\left(t-8\right)\le 0.$

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

$8\le t\le 17$ . Вернемся к переменной x.

$8\le 2^x\le 17.$

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

$2^3\le 2^x\le 2^{{{\log }_2 17}};$

$3\le x\le {{\log }_2 17};$

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ.

3. Решите неравенство $2^{2x-x^2-1}+\frac{1}{2^{2x-x^2}-1}\le 2.$

Сделаем замену $2^{2x-x^2}=t,t \textgreater 0.$ Получим:

$\frac{t}{2}+\frac{1}{t-1}-2\le 0;$

$\frac{t^2-t+2-4t+4}{2\left(t-1\right)}\le 0;$

$\frac{t^2-5t+6}{t-1}\le 0;$

$\frac{\left(t-2\right)\left(t-3\right)}{t-1}\le 0.$

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

$\left[ \begin{array}{c}t \textless 1 \\2\le t\le 3 \end{array} .\right.$

Вернемся к переменной $x:\left[ \begin{array}{c}2^{2x-x^2} \textless 1 \\{2\le 2}^{2x-x^2}\le 3 \end{array}.\right.$

Первое неравенство решим легко: $2x-x^2 \textless 0.$ С неравенством ${2\le 2}^{2x-x^2}$ тоже все просто. Но что делать с неравенством $2^{2x-x^2}\le 3$ ? Ведь $3 = 2^{{{\log }_2 3}}.$ Представляете, как трудно будет выразить х?

Оценим $t=2^{2x-x^2}.$ Для этого рассмотрим функцию $t\left(x\right)=2^{2x-x^2}.$

Сначала оценим показатель степени. Пусть $z\left(x\right)=2x-x^2.$ Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом $y(1) = 1.$

Мы получили, что $z\left(x\right)\le 1.$

Тогда $2^{z\left(x\right)}\le 2$ , и это значит, что $t\left(x\right)\le 2.$ Значение $t\left(x\right)=3$ не достигается ни при каких х.

Но если ${2\le 2}^{2x-x^2}$ и $2^{2x-x^2}\le 2$ , то $2^{2x-x^2}=2.$

$\left[ \begin{array}{c} 2x-x^2 \textless 0\\ 2x-x^2=1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x(x-2) \textgreater 0\\ x^2-2x+1=0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x \textless 0\\ x \textgreater 2\\(x-1)^2=0\end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x \textless 0\\ x \textgreater 2\\ x=1\end{array}. \right.$

4. Решите неравенство $2{{log}_{\frac{1}{2}} \left(1-x\right) \textless {{log}_{\frac{1}{2}} \left(3x+1\right)}}.$

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

$2log_{{1}\over{2}}(1-x) \textless log_{{1}\over{2}}(3x+1)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-x \textgreater 0\\3x+1 \textgreater 0 \\(1-x)^2 \textgreater 3x+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \textless 1\\x \textgreater -{{1}\over{3}} \\ 1+x^2-2x \textgreater 3x+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \textless 1\\x \textgreater {-{{1}\over{3}}} \\ x^2-5x \textgreater 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \textless 1\\ x \textgreater {-{{1}\over{3}}} \\ x(x-5) \textgreater 0 \end{matrix} .\right.$

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство $2{{{log}_2}^2 {{cos}^2 x+7{{log}_2 {cos x} \geq 1}}}.$

$2{{{\log }_2}^2 {{\cos }^{{ 2}} x+7{{\log }_2 {\cos x} \geq 1}}}.$

$2\cdot {\left(2t\right)}^2+7t-1 \geq 0;$

$8t^2+7t-1 \geq 0;$

$D=7^2-4\cdot 8\cdot \left(-1\right)=49+32=81;$

$t_1=\frac{-7-9}{16}=-1;$

$t_2=\frac{-7+9}{16}=\frac{1}{8}.$

$(t+1)(t-{{1}\over{8}})\geq 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} t \leq -1 \\ t \geq {{1}\over{8}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} log_2\,cosx \leq-1 \\ log_2\,cosx \geq {{1}\over{8}} \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left[ \begin{array}{c} cosx\leq{{1}\over{2}} \\ cosx\geq\sqrt[8]{2} \end{array} \right. \\ cosx \textgreater 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 0 \textless cosx\leq{{1}\over{2}}.$

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство: ${{\log }_{{ 3-x}} \frac{{ x+4}}{{\left({ x-3}\right)}^{{ 2}}}} \geq { -2}.$

$log_{3-x}\frac{x+4}{(x-3)^2}\geq-2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3-x \textgreater 0\\3-x\neq1 \\ {x+4\over (x-3)^2} \textgreater 0 \\ log_{3-x} {{x+4}\over(x-3)^2}+2\geq 0 \end{matrix} .\right.$

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что ${\left({ a-b}\right)}^{{ 2}}{ =}{\left({ b-a}\right)}^{{ 2}}{ }$ . Используем также условия ${ 3-x \textgreater 0}; \, { x+4 \textgreater 0.}$

$\left\{\begin{matrix} x \textless 3\\x\neq2 \\ x+4 \textgreater 0 \\ log_{3-x}(x+4)-log_{3-x}(3-x)^2+2\geq0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \textless 3\\x\neq2 \\ x \textgreater -4 \\ log_{3-x}(x+4)\geq0 \end{matrix}.\right.$

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, ${{\log }_{{ a}} {\left({ b}\left({ x}\right)\right)}^{{ 2}}{ =2}{{\log }_{{ a}} \left|{ b}\left({ x}\right)\right|}}.$

Согласно методу замены множителя, выражение ${{ log}}_{{ 3-x}}\left({ x+4}\right)$ заменим на $\left({ 3-x-1}\right)\left({ x+4-1}\right).$

$\left\{ \begin{array}{c}{ x}\ne { 2} \\{ -}{ 4}{ \textless x \textless 3} \\\left({ 2-x}\right)\left({ x+3}\right) \geq { 0} \end{array}.\right.$

Решить ее легко.

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

${{\log }_2 \left(x-5\right)+{{\log }_3 x\leq 4}}.$

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

${{\log }_2 \left(9-5\right)={{\log }_2 4=2}};$

${{\log }_3 9=2};$

${{\log }_2 \left(9-5\right)+{{\log }_3 9=4}}.$

Функции $y_1=log_2 \left(x-5\right)$ и $y_2 =log _3 x$ — монотонно возрастающие, следовательно, их сумма также является монотонно возрастающей функцией и каждое свое значение принимает только один раз.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции ${{{ y=}\log }_2 \left(x-5\right)+{{\log }_3 x}}$ равно 4, при $x \textless 9$ значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом $x \textgreater 5$ , то есть x принадлежит ОДЗ.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 14. Неравенства u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

В задании №17 в ЕГЭ по профильной математике, вместо ожидаемой текстовой задачи на кредиты, иногда встречаются оптимальный выбор. Этот вид задач считается более сложным по сравнению с кредитами. Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, нужно научиться их решать.

Тут требуется умение искать наибольшие и наименьшие значения функции, обычно зависящей от нескольких переменных. Эти переменные, как правило, связаны дополнительными условиями.

Вам обязательно понадобится умение искать производные и исследовать функции на экстремумы. Нужно знать, что такое ограниченные, возрастающие и убывающие функции. Если вы умеете решать 12-й и 7-й номера из ЕГЭ, то вам повезло – все необходимое для решения инструменты уже у вас в руках. А те, кто не умеет считать производные, то настоятельно рекомендуем сначала разобраться с первой частью экзамена и только потом переходить на более сложные задачи, такие, как №17.

Основной подход к решению заключается в следующем. Необходимо составить функцию, задающую нужную зависимость – если нужно найти максимальную или минимальную прибыль, значит это должна быть функция, описывающая прибыль, если нужен максимальный выпуск продукции на заводе, значит функция должна задавать количество продукции выпускаемой заводом, нужно найти оптимальное расстояние – наша функция будет описывать расстояние. Внимательно, функция может зависеть сразу от нескольких переменных. После того, как вы смогли записать функцию, нам предстоит ее исследовать.

На самом деле, тут нет какой-то сухой теории, которую можно прочить и научиться решать задачи на оптимальный выбор. Поэтому давайте учиться на примерах. Сначала разберем простые, поймем алгоритм решения, а потом перейдем к более сложным, которые могут встретиться на экзамене.

Напомню, что функция принимает наибольшее или наименьшее значения в точках, где ее производная равна 0. Значит ищем производную от $Р$ и приравниваем к 0.

И ищем $Х$, при котором производная равна $0$:

Что мы такое нашли? При этом значении $Х$ (количестве рабочих) прибыль будет либо максимальна, либо минимальна. Это точка экстремума, а какая именно, мы пока не знаем.

Давайте это определим. Напоминаю, если производная отрицательная, то функция убывает, если положительна, то возрастает. Если подставить значения меньшее $10$ в нашу производную, например $1$:

$$ 4\cdot\left(-2\right)\cdot\left(x-10\right) = 4\cdot\left(-2\right)\cdot\left(1-10\right)=4*18=72$$

Значение производной получилось больше 0:

Значит при $Х<10$ функция возрастает, а при $Х>10$ убывает. А значит $Х=10$ – это максимум. Мы получили, что максимальная прибыль будет, если на производстве будет задействовано всего 10 рабочих. Как так может быть? Казалось бы, чем больше рабочих, тем больше продукции выпускает завод, а значит и больше прибыль. Но в реальной жизни все не так просто – размеры завода ограничены, и если там будет слишком много людей, то они просто будут мешать друг другу делать свою работу, в результате выпуск продукции начнет снижаться или поднимутся расходы на производство.

Вернемся к задаче, а какая будет максимальная прибыль? Просто подставим $Х=10$ в функцию для прибыли:

Только что мы решили первую задачу на оптимальный выбор.

Разберем следующий пример:

Пусть опять у нас есть завод, на котором расходы на производство $y$ автомобилей составляет $Q=0,5y^2+y+7$ миллионов рублей в месяц. Если продавать каждый автомобиль за $S$ тысяч рублей, то при продаже всех произведенных за месяц автомобилей завод получит доход $S*y$, а заработает на этом прибыль (доходы минус расходы) — $S*y-Q$. Какую наименьшую цену продажи $S$ нужно установить, чтобы за 3 месяца завод получил прибыль 75 миллионов рублей?

Первым делом давайте составим функцию, описывающую зависимость прибыли от количества произведенной продукции и цены продажи, которую мы должны установить. Сразу 2 неизвестные!

И так, чтобы посчитать прибыль $P(y,S)$, зависящую от $у$ и $S$, нам нужно стоимость продажи одного автомобиля $S$ умножить на количество проданных машин $у$, получим общий доход, и вычесть все расходы $Q$, которые мы понесли при производстве (в условии, кстати, это написано — подсказка):

Проанализируем полученное выражение. Это квадратный многочлен. Если построить график относительно $у$, то это уравнение параболы. Как анализировать квадратные многочлены, можно посмотреть тут.

Так как коэффициент перед $y^2$ отрицательный, то ветки параболы направлены вниз. То есть, наибольшее значение нашей функции будет в вершине параболы. Можно по известным формулам найти вершину и значение функции и в ней, это и будет максимальное значение. А можно пойти по старому пути, как в примере 1, и посчитать производную. Число $S$ будем считать просто за константу, то есть берем производную относительно $у$:

Приравниваем производную нулю, чтобы найти точки экстремума:

Так как график исходной функции парабола с ветками вниз, то это точка максимума функции $P(x,S)$. Подставим $y=S-1$ в нашу функцию:

Мы получили — какую максимальную прибыль мы можем заработать в зависимости от $S$. Другими словами, подставляя различные значения стоимости автомобиля в нашу функцию, получим максимальную прибыль при данной стоимости продажи.

По условию задачи общая прибыль за 3 месяца должна быть не меньше чем 75 миллионов рублей. Запишем это в виде неравенства:

Осталось только решить это неравенство:

$S$ отрицательным быть не может, что это тогда за бизнес, где цена продаваемой продукции отрицательна. А значит при $S \ge9$ прибыль завода будет больше 75 миллионов рублей.

Про ЕГЭ: Более 220 петербургских выпускников сдали ЕГЭ по русскому языку на 100 баллов

Решим задачу на оптимизацию расстояния:

Два мотоциклиста подъезжают к перекрестку по двум перпендикулярным дорогам. Первый едет со скоростью 40 км/ч и до перекрестка ему осталось ехать 5 км, а скорость второго 30км/ч и ехать до перекрестка 3 км. Через какое время расстояние между мотоциклистами будет наименьшим?

Для решения задачи нам понадобится теорема Пифагора, ведь мотоциклисты едут по взаимно перпендикулярным дорогам, а значит расстояние между ними — это гипотенуза прямоугольного треугольника, а катеты – это расстояния от каждого мотоциклиста до перекрестка.

Пусть мотоциклисты уже находятся в пути $t$ часов. Тогда первый проедет расстояние:

До перекрестка осталось ехать

Мы получили прямоугольный треугольник с катетами $S_1$ и $S_2$. По теореме Пифагора выведем функцию, задающую расстояние между мотоциклистами:

Согласно условию задачи, нужно найти такое время $t$, чтобы расстояние $L$ было наименьшим. Для этого опять возьмем производную и исследуем функцию $L$ на экстремум:

Когда применяется метод рационализации?

Вторые неравенства в системах имеют строгий знак неравенства, так как это условия, накладываемые на знаменатель.

Согласитесь, решать две такие системы не очень приятное занятие. Хотя тут это вполне реально. Но что, если неравенства в системах будут значительно сложнее, или множителей будет не два, а больше. Тогда ваше решение будет очень громоздким. И вот тут на помощь приходит метод рационализации, или его еще называют методом равносильности. Он позволяет сократить вычисления в несколько раз.

Чуть ниже мы решим этот пример.

Второй случай, когда целесообразно применять метод рационализации, это когда в основании логарифмической или показательной функции лежит переменное основание. Показательных функций это касается в меньшей степени, а вот в логарифмах встречается часто. Например:

Значит, во-первых, переменное основание дает нам дополнительные условия в ОДЗ, про которые ни в коем случае нельзя забывать!

Проблема в том, что, так как основание переменное, оно может быть абсолютно любым в зависимости от $x$. А следовательно, мы не знаем, менять нам знак неравенства или нет.

Даже в таком легком примере пришлось решать две системы плюс еще система с ОДЗ — не очень приятно. Здесь, опять же, выручает метод рационализации.

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.

Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства). В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.

Например, уравнения (x − 3)² = 0 и x − 3 = 0 равносильны. Число 3 является единственным решением и того, и другого.

Уравнения $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ и $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ также равносильны. Оба они не имеют решений. Другими словами, множество решений каждого из них – пусто.

Уравнения $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ и $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ не являются равносильными. Решением первого уравнения является только x = 5. Решения второго – два числа: x = 5 и x = 1. Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.

Аналогичное определение – для неравенств.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.

Например, неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x-1)(x-3)%3E0″> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?\frac{x-1}{x-3}%3E0″> равносильны – ведь множества их решений совпадают. В этом легко убедиться с помощью метода интервалов.

Неравенства log_{2}5″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_{2}x%3Elog_{2}5″> и 5″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;5″> также равносильны при 0″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;0″>. Заметим, что внешне эти неравенства не похожи – одно из них логарифмическое, другое алгебраическое.

Другими словами, при x > 0 неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_{2}x-log_{2}5%3E0″> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?x-5%3E0″> имеют одинаковые решения. Если какое-либо число x > 0 является решением одного из них, то оно будет и решением второго.

А это значит, что при любом x > 0 выражение $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ будет иметь такой же знак, как и выражение x − 5. Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ , то при выполнении условия x > 0 его можно заменить на более простое x − 5 и получить неравенство, равносильное исходному.

Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.

Например, выражение вида $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ , где f и g – функции от x, a – число, можно заменить на более простое (f − g) (a − 1) – конечно, при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Доказательство легко провести самостоятельно.

А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче С3. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:

Конечно же, все выражения, которые содержат логарифмы, существуют при f, g, h > 0 и h ≠ 1.

Когда на ЕГЭ по математике вы применяете метод рационализации (замены множителя), – обязательно поясните, что вы им воспользовались. И не забудьте доказать соответствующую формулу. Иначе можно потерять балл.

Обратите внимание, что мы говорим о замене множителя в неравенствах вида Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике Знак здесь может быть любой: >, ≥, ≤. Правая часть обязательно должна быть равна нулю. И заменяем мы именно множитель (а не слагаемое, например). Иначе ничего не получится.

Перейдем к практике – к решению задач из вариантов ЕГЭ по математике Профильного уровня.

ОДЗ неравенства: $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ .

Применим метод рационализации. В соответствии с нашей таблицей, множитель $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ заменим на (2 − x − 1)(x + 2 − 1). Множитель вида $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ заменим на (x + 3 − 1)(3 − x − 1). Таким образом, от логарифмического неравенства мы перешли к рациональному:

(1 − x) (x + 1) (x + 2) (2 − x) ≤ 0.

Решим его методом интервалов:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Начнем с ОДЗ.

-2;\\ x\neq -1. \end{matrix}\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?\left\{\begin{matrix}&space;x\neq&space;0;\\&space;x%3E-2;\\&space;x\neq&space;-1.&space;\end{matrix}\right.»>

Заметим, что выражение $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ положительно при x ∈ ОДЗ. Умножим обе части неравенства на это выражение.
Упростим числитель правой части неравенства:

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$
Поделим обе части неравенства на 5^x > 0:

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ Неравенство уже намного проще, чем исходное. Но основания степеней разные! Чтобы применить метод рационализации, нам придется представить 2^{x − 1} в виде степени с основанием 3.

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ Неравенство примет вид:

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ Воспользуемся методом замены множителя. Множитель вида h^f −h^g можно заменить на (h − 1) (f − g). Да и логарифм в знаменателе можно заменить на выражение x + 1.

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ Оценим $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ . Это необходимо сделать, чтобы правильно расставить точки на числовой прямой.

Постараемся упростить это неравенство. Область допустимых значений

0;\\ x+1\neq 0. \end{matrix}\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?\left\{\begin{matrix}&space;x%3E0;\\&space;x+1\neq&space;0.&space;\end{matrix}\right.»>Отсюда следует, что x > 0. Это хорошо, потому что при данных значениях x выражение x + 1 строго положительно, следовательно, мы можем умножить на него обе части неравенства. Да и на x² тоже можно умножить обе части неравенства, и тогда оно станет проще:

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ Преобразуем числители выражений в левой и правой части и сделаем замену log₂x = t:

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ Теперь обе части неравенства можно сократить на 5^t > 0:

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$
$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$

Поскольку $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ , выражение 2^t−1 можно записать как 3^{(t−1)·log₃2}:

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ Заметим, что log₃2 − 2 < 0.

Мы получили квадратичное неравенство относительно t. Решим его:

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике Итак, t ≥ 1 или t ≤ log₃2 − 2.

Вернемся к переменной x:

4. Еще одна задача из той же серии:

0;\\ 32x\neq 1;\\ 0,25x\neq 1. \end{matrix}\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?\left\{\begin{matrix}&space;x%3E0;\\&space;32x\neq&space;1;\\&space;0,25x\neq&space;1.&space;\end{matrix}\right.»>

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$

Умножим обе части неравенства на 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log^{2}_{2}32x%3E0″>. Постараемся упростить числители выражений в левой и правой части:

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$
Поделим обе части неравенства на 0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?2^{log_{2}(4x)}%3E0.»>

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$
Хорошо бы сделать замену. Пусть log₂(4x) = t. Тогда:

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ Неравенство примет вид:

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$
Мы уже знаем, как представить число 7 в виде степени числа 2: $Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ Применим метод рационализации:

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$

4 < 7 < 8;

<img title="log_{2}4<log_{2}7

<img title="2<log_{2}7

<img title="0<log_{2}7-2

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

5. Еще одна задача-страшилка из того же сборника:

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$ Начнем с ОДЗ. Условий будет много – все выражения под логарифмами должны быть положительны, все основания логарифмов положительны и не равны единице, и еще знаменатель не равен нулю

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

0;\\ x\neq -5. \end{matrix}\right.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?\left\{\begin{matrix}&space;(x-1)^{2}-1\neq&space;0;\\&space;x(x+2)%3E0;\\&space;x\neq&space;-5.&space;\end{matrix}\right.»>

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$

Применим в левой части неравенства формулу перехода к другому основанию:

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$

Последовательно применим метод замены множителя, то есть метод рационализации.

Напомним, что множитель log_h f можно заменить на (h-1)( f-1), а множитель (log_h f — 1) — на (h — 1)( f — h):

$Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике$

$(x+5)^2(2x^2+10x+14)(-x^2-8x-15)\geq 0.$

Поскольку 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x+5)^{2}%3E0″> при x ∈ ОДЗ, а 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?2x^{2}+10x+14%3E0″> при всех x, получим:

$x^2+8x+15\leq 0.$

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

С учетом ОДЗ:

Посмотрим, чем поможет метод замены множителя в решении сложного показательного неравенства.

6. Решите неравенство: $\displaystyle \frac{{\rm 2}\cdot {{\rm 3}}^{{\rm 2x+1}}{\rm -}{{\rm 6}}^{{\rm x}}{\rm -}{{\rm 4}}^{{\rm x+1}}{\rm -}{\rm 9}}{{{\rm 9}}^{{\rm x}}{\rm -}{\rm 3}}\le {\rm 3.}$

$\displaystyle \frac{{\rm 2}\cdot {{\rm 3}\cdot {\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{{\rm 6}}^{{\rm x}}{\rm -}{\rm 4}\cdot {{\rm 2}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 3}\cdot {{\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 9+9}}{{{\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 3}}\le {\rm 0}.$

$\displaystyle \frac{{{\rm 3}\cdot {\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{{\rm 3}}^{{\rm x}}\cdot {{\rm 2}}^{{\rm x}}{\rm -}{\rm 4}\cdot {{\rm 2}}^{{\rm 2x}}}{{{\rm 3}}^{{\rm 2x}}{\rm -}{\rm 3}}\le {\rm 0}.$

Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень 2х. Поделим обе части неравенства на ${{\rm 2}}^{{\rm 2}{\rm x}}{\rm \textgreater 0.}$

$\displaystyle \newline \frac{3 \cdot \left (\frac{3}{2} \right )^{2x}-\left (\frac{3}{2} \right )^{x}-4}{3^{2x}-3}\leq 0;$

$\displaystyle \newline \, \newline 3 \cdot \left (\frac{3}{2} \right )^{2x}-\left (\frac{3}{2} \right )^{x}-4=0;$

$\displaystyle \newline \, \newline \frac{3\left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^x+1 \right )\left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^x-\frac{4}{3} \right )}{3^{2x}-3}\leq 0.$

Разложим числитель на множители.

$\displaystyle \newline \left ( \frac{3}{2} \right )^x=t; \, \,3t^2-t-4=0;$

$\displaystyle \newline \, \newline D=1+48=49, \, \, \, \sqrt{D}=7;$

$\displaystyle \newline \, \newline t=\frac{1\pm 7}{6}; \, t_1=-1; \, t_2=\frac{4}{3};$

$\displaystyle \newline \, \newline 3t^2-t-4=3\left ( t+1 \right )\left ( t-\frac{4}{3} \right ).$

Вернемся к неравенству:

$\displaystyle \frac{3\left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^x+1 \right )\left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^x-\frac{4}{3} \right )}{3^{2x}-3}\leq 0.$

Поскольку $\displaystyle {\left(\frac{3}{2}\right)}^x \textgreater 0$ , поделим обе части неравенства на $\displaystyle {\left(\frac{3}{2}\right)}^x+1 \textgreater 0.$

$\displaystyle \frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^x-\frac{4}{3}}{3^{2x}-3}\le 0.$

Применяя метод рационализации, множитель вида $h^f-h^g$ заменяем на $\displaystyle \left(h-1\right)\left(f-g\right).$

$\displaystyle \newline \, \newline \frac{x-log_{\frac{3}{2}}\frac{4}{3}}{x-\frac{1}{2}}\leq 0.$

Остается решить неравенство методом интервалов. Но как сравнить $\displaystyle \frac{1}{2}$ и ${{log}_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}\ }$ ?

Что больше? Давайте представим $\displaystyle \frac{1}{2}$ как логарифм с основанием $\displaystyle \frac{3}{2}:$

Про ЕГЭ: Между прошлым и будущим: портрет моего поколения — аргументы для итогового сочинения

$\displaystyle \frac{1}{2}={{log}_{\frac{3}{2}} {\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\ }={{log}_{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{3}{2}}\ };$

$\displaystyle \frac{4}{3}\ \vee \sqrt{\frac{3}{2}};$

$\displaystyle \ \frac{16}{9}\ \vee \frac{3}{2};$

$\displaystyle \ 32\ \vee \ 27;$

$\displaystyle 32 \textgreater 27,\$

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

7. Теперь логарифмическое неравенство. Обратите внимание, что здесь лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. И само неравенство, которое мы упрощаем, и область его допустимых значений мы записываем в одну систему. И решаем ее.

$\displaystyle {{log}_{3-x} \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}\ }\ge -2\ \textless \ =\ \textgreater \ \left\{ \begin{array}{c}3-x \textgreater 0 \\3-x\ne 1 \\\displaystyle \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2} \textgreater 0 \\\displaystyle {{log}_{3-x} \frac{x+4}{{\left(x-3\right)}^2}\ }+2\ge 0 \end{array}\right. .$

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что ${\left(a-b\right)}^2={\left(b-a\right)}^2\ .$

Используем также условия $\ 3-x \textgreater 0;\ \ x+4 \textgreater 0.$

$\left\{ \begin{array}{c}x \textless 3 \\x\ne 2 \\x+4 \textgreater 0 \\{log}_{3-x}\left(x+4\right)-{log}_{3-x}{\left(3-x\right)}^2+2\ge 0 \end{array}\right. \textless \ =\ \textgreater \ \left\{ \begin{array}{c}x \textless 3 \\x\ne 2 \\x \textgreater -4 \\{log}_{3-x}\left(x+4\right)\ge 0 \end{array}\right. .$

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря, ${{log}_a {\left(b\left(x\right)\right)}^2=2{{log}_a \left|b\left(x\right)\right|\ }\ }.$

Согласно методу замены множителя, выражение ${log}_{3-x}\left(x+4\right)$ заменим на $\left(3-x-1\right)\left(x+4-1\right).$

$\left\{ \begin{array}{c}x\ne 2 \\-4 \textless x \textless 3 \\\left(2-x\right)\left(x+3\right)\ge 0 \end{array}\right. .$

Решить ее легко.

8. А теперь неравенство с ловушкой. Мы надеемся, что вы помните — нельзя извлекать корень из неравенства.

Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов: $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right).$

$\displaystyle \left ( lg\frac{\left ( x+2 \right )^2\left ( x+5 \right )}{5}-lg\frac{x+5}{20} \right )\left ( lg\frac{\left ( x+2 \right )^2\left ( x+5 \right )}{5}+lg\frac{x+5}{20} \right ) \textless 0.$

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

$\left\{ \begin{array}{c}\displaystyle lg\frac{{\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right)\cdot 20}{5\cdot \left(x+5\right)}\cdot {lg \left(\frac{{\left(x+2\right)}^2\cdot {\left(x+5\right)}^2}{100}\right)\ } \textless 0 \\\displaystyle {\left(x+2\right)}^2\left(x+5\right) \textgreater 0 \\x+5 \textgreater 0 \end{array}\right. .$

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку х+5 положительно, то и выражение $(x+2)^2$ должно быть положительно.

Заметим, что решения неравенства $(x+2)^2\ \textgreater \ 0\$ — это все числа, кроме $x=\ -\ 2.$

$\left\{ \begin{array}{c}\displaystyle lg\left ( 4\cdot\left ( x+2 \right )^2 \right ) \cdot lg \left ( \frac{\left ( x+2 \right )^2 \cdot \left ( x+5 \right )^2}{100} \right ) \textless 0\\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right..$

По методу рационализации, каждый из множителей вида ${{log}_h f\ }$ заменяем на $\left(h-1\right)\left(f-1\right).$

$\newline \left\{ \begin{array}{c}\displaystyle \left(10-1\right)\cdot \left(4{\left(x+2\right)}^2-1\right)\cdot \left(10-1\right)\left(\frac{{\left(x+2\right)}^2\cdot {\left(x+5\right)}^2}{100}-1\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.\newline \textless \ =\ \textgreater \left\{ \begin{array}{c}\left(2x+4-1\right)\left(2x+4+1\right)\left(\left(x+2\right)\left(x+5\right)-10\right)\left(\left(x+2\right)\left(x+5\right)+10\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.\newline\textless \ =\ \textgreater \left\{ \begin{array}{c}\left(2x+3\right)\left(2x+5\right)\cdot x\cdot \left(x+7\right)\cdot \left(x^2+7x+20\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right.\newline \textless \ =\ \textgreater \left\{ \begin{array}{c}\left(2x+3\right)\left(2x+5\right)\cdot x\cdot \left(x+7\right) \textless 0 \\x \textgreater -5 \\x\ne -2 \end{array}\right. .$

Просто равносильные преобразования. Выражение $x^2+7x+20$ положительно всегда — так как в уравнении $x^2+7x+20=0$ дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.

Задание 14. Неравенства — профильный ЕГЭ по математике

Больше неравенств: Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Метод рационализации

Метод рационализации (равносильности) необходим для успешной сдачи ЕГЭ по профильной математике. В экзаменационных вариантах попадаются неравенства, которые удобнее и быстрее всего решать именно методом рационализации. Довольно часто можно обойтись и без него, но тогда количество вычислений в решении увеличивается в несколько раз, что повышает вероятность ошибки.

Прежде чем приступить к его изучению нужно обязательно знать следующие темы:

Свойства степеней и показательных функции
Свойства логарифмов
Решение показательных уравнений и показательных неравенств
Решение логарифмических уравнений и логарифмических неравенств
Метод замены переменной
Метод интервалов

Метод рационализации в показательных неравенствах

Посмотрим, как это работает на простом примере из обыкновенных показательных неравенств:

Чтобы во всем разобраться, нужно вспомнить, как решаются показательные неравенства. Первым делом приводим к одинаковому основанию: у нас в примере №7 слева и справа основание 5, поэтому с этим все хорошо. Дальше мы смотрим, больше ли основание единицы, если да, то просто вычеркиваем основание, сохраняем знак неравенства и сравниваем степени. А если меньше, то не забываем поменять знак неравенства на противоположный.

В нашем примере основание $5>1$ поэтому решение всего неравенства сводится к решению $2x-3 \ge x+4$. Обратите внимание на (**): оно представляет из себя произведение двух скобок $(5-1)$ и $((2x-3)-(x+4))$, а произведение будет больше нуля когда? Когда множители либо оба положительны, либо оба отрицательны.

Так как очевидно $(5-1)>0$, то второй множитель $((2x-3)-(x+4))$ тоже должен быть больше нуля, чтобы все неравенство было верным. Или другими словами, должно выполняться: $2x-3 \ge x+4$, что то же самое, если бы мы решали без всякой рационализации.
Можно вообще все показательные неравенства решать рационализацией. Она дает вам право не обращать внимания на основание (больше или меньше единицы). Посмотрим еще простой пример:

Это все эквивалентно обычному методу решения показательных неравенств с избавлением от основания. Здесь основания слева и справа одинаковые и меньше единицы, значит вычеркиваем их и меняем знак неравенства: $x+2\le-2x-4$. В методе рационализации у нас тоже все свелось к точно такому же неравенству.

Примеры №7 и 8 обычно не решают методом рационализации. Давайте разберем пример, в котором рационализация сильно упрощает решение:

метод рационализации в показательных неравенствах

Теперь разберем более общий случай применения метода рационализации. Дело в том, что часто встречаются смешанные неравенства, и в них кроме показательной функции бывают логарифмические, тригонометрические, линейные и т.д. В общем, намешана вся школьная программа. В таких случаях нам тоже может помочь рационализация.

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

Перед тем, как приступить к изучению, немного поговорим про равносильные преобразования. Им не уделяют достаточно внимания в школе, кажется, что это очевидная штука. Но это очень важно.

Итак, равносильные преобразования — это преобразования, при которых не меняются корни уравнения или неравенства. Например, перенос слагаемого в неравенстве слева направо от знака неравенства — это ни что иное, как равносильное преобразование. Ведь если перенести слагаемое, не забыв при этом поменять перед ним знак, то корни неравенства или уравнения останутся теми же самыми — они не изменятся, их не станет больше и даже меньше их не будет. Корни уравнения после преобразования будут один в один, как до преобразования.

Вам, возможно, кажется, что я говорю очевидные вещи. Но равносильные преобразования бывают гораздо сложнее. Например, в методе рационализации мы как раз будем делать равносильные преобразования.

Рассмотрим применение метода рационализации для начала на простом примере:

Оказывается, вместо решения логарифмического неравенства с переменным основанием, я могу решить равносильное ему обыкновенное неравенство на ОДЗ, и корни будут абсолютно такие же:
$$(x-1)((2x+5)-x)>0; \qquad (**)$$
$$(x-1)(x+5)>0;$$

Давайте попробуем разобраться, почему корни получившегося неравенства будут совпадать на ОДЗ с корнями исходного логарифмического неравенства.

Действительно, если основание логарифмов больше единицы — $x > 1$, то знак неравенства (*) должен сохраниться или, другими словами, $(2х+5)$ должно быть больше $x$.

А если основание от нуля до единицы — $0 \lt х \lt 1$, то знак неравенства меняется на противоположный и $(х+5)$ должно быть меньше $х$. (Смотри (*)).

Именно эти два условия и описывает неравенство (**). Посмотрите на него внимательно. Для того, чтобы неравенство было верно, необходимо, чтобы произведение двух скобок было больше нуля. Это возможно в двух случаях: если скобки обе положительные, и если обе отрицательные.

Первая скобка положительна при $x>1$, тогда, чтобы неравенство (**) было верным, необходимо выполнение условия $2x+5>x$. Один в один случай, когда основания логарифмов больше 1.

И наоборот, если первая скобка отрицательна на ОДЗ при $0 \lt x \lt 1$, то вторая скобка тоже должна быть отрицательной, чтобы выполнялось неравенство (**), то есть $2x+5 \lt x$. Случай, когда основания логарифмов меньше единицы, но больше нуля.

В случае, если у нас неравенство (**) со знаком меньше, а не больше, как в примере выше, рассуждения будут точно такими же, только произведение двух множителей (скобок) будет меньше нуля, при условии, что они разных знаков: первый множитель отрицательный, второй положительный и наоборот!

Дорешаем пример (**) при помощи метода интервалов:

метод интервалов в логарифмических неравенствах

C учетом ОДЗ получим:
Ответ: $x\in(1;+\infty)$.

Метод рационализации для логарифмов в общем виде

Общая схема метода рационализации выглядит так:

Разберем несколько примеров применения метода рационализации в логарифмических неравенствах без полного решения. Просто посмотрим, как делаются равносильные преобразования, дорешивать до конца не будем.

Общее правило рационализации

Рассмотрим пример посложнее.

метод рационализации

Формулы метода рационализации

Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №4 из ЕГЭ по профильной математике.

Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.

Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.

В уроке разбираем, что такое арифметический квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами. Выносим множитель из под знака корня. Избавляемся от иррациональности

Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.

Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.

Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.