Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня ⋆ СПАДИЛО

а) Докажем, что плоскости $SBC$ и $KEF$ параллельны.

Введём прямоугольную систему координат, учитывая, что в основании правильной пирамиды квадрат $ABCD$ и угол между диагоналями квадрата прямой .

1. Найдём координаты точек $S, B, C , K , E, F$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ по теореме Пифагора $OA^2 = SA^2 — SO^2, OA = √{12^2 — 4^2} = 8√2. OC = OB = OD = OA = 8√2$, тогда сторона квадрата $AB = {OA}/{sin 45°} = {8√2}/{{1}/{√2}} = 16, AE = AB — BE = 16 — 12 = 4$.

Проведём $KN ‖ SO, SO ⊥ (ABC)$, тогда $KN ⊥ (ABC)$ и $KN ⊥ OA, △SAO ∼ △KAN$ по первому признаку подобия $(∠SOA = ∠KNA = 90°, ∠A$ — общий) ${AS}/{AK} = {SO}/{KN}, {12}/{3} = {4}/{KN}, KN = 1$.

В прямоугольном треугольнике $ANK$ по теореме Пифагора $AN^2 = AK^2 — KN^2, AN = √{3^2 — 1^2} = 2√2$, тогда $ON = OA — AN = 8√2 — 2√2 = 6√2. EN$ — проекция $KE$ на плоскость $ABC$, значит $△ANE$ прямоугольный и равнобедренный $EN = AN = 2√2$.

Получим $S(0; 0; 4), B(0; -8√2; 0), C (-8√2; 0; 0), K (6√2; 0; 1), E(6√2; -2√2; 0), F (-2√2; 6√2; 0)$.

2. Докажем, что векторы нормали к плоскостям $SBC$ и $KEF$ коллинеарны. Для плоскости $SBC$, вектор нормали ${n_1}↖{→}(a_1; b_1; c_1)$ перпендикулярен к обеим прямым $SB$ и $SC$, поэтому он должен быть перпендикулярен к векторам ${SB}↖{→}(0; -8√2; -4)$ и ${SC}↖{→}(-8√2; 0; -4)$.

Получим систему ${table {n_1}↖{→} · {SB}↖{→} = 0; {n_1}↖{→} ·{SC}↖{→} = 0;$ ${table · a_1 — 8√2 · b_1 — 4c_1 = 0; -8√2a_1 0 · b_1 — 4 · c_1 = 0;$ ${table-2√2b_1 — c_1 = 0; -2√2a_1 — c_1 = 0;$

Пусть $c_1 = -1$, тогда система примет вид ${table-2√2b_1 1 = 0; -2√2a_1 1 = 0;$

Её решение $a_1 = {√2}/{4}; b_1 = {√2}/{4}$.

${n_1}↖{→}({√2}/{4}; {√2}/{4}; -1)$ — вектор нормали плоскости $SBC$ .

Для плоскости $KEF$, вектор нормали ${n_2}↖{→}(a_2; b_2; c_2)$ перпендикулярен к обеим прямым $KE$ и $KF$, поэтому он должен быть перпендикулярен к векторам ${KE}↖{→}(0; -2√2; -1)$ и ${KF}↖{→}(-8√2; 6√2; -1)$.

Получим систему ${table {n_2}↖{→} · {KE}↖{→} = 0; {n_2}↖{→} · {KF}↖{→} = 0;$ ${table · a_2 — 2√2 · b_2 — 1 · c_2 = 0; -8√2a_2 6√2 · b_2 — 1 · c_2 = 0;$ ${table-2√2b_2 — c_2 = 0; -8√2a_2 6√2b_2 — c_2 = 0$.

Пусть $c_2 = -1$, тогда система примет вид ${table-2√2b_2 1 = 0; 8√2a_2 6√2b_2 1 = 0;$

Её решение $a_2 = {√2}/{4}; b_2 = {√2}/{4}$.${n_2}↖{→}({√2}/{4}; {√2}/{4}; -1)$ — вектор нормали плоскости $KEF$.

Векторы ${n_1}↖{→}$ и ${n_2}↖{→}$ равны, значит коллинеарны, следовательно плоскости $SBC$ и $KEF$ параллельны.

б) Искомый объём $V = {1}/{3}S · h$, где $S$ — площадь треугольника $SBC$, а высота пирамиды $h$ — это расстояние от точки $K$ до плоскости $SBC$.

1. $S = {1}/{2}SB · SC · sin α$, где $α$ — угол между прямыми $SB$ и $SC$. $cos α ={{SB}↖{→} · {SC}↖{→}}/{|{SB}↖{→}| · |{SC}↖{→}|} = {0 · (-8√2) (-8√2) · 0 (-4)(-4)}/{12 · 12} = {16}/{144} = {1}/{9}$.

$sin α = √{1 — cos^2α} = √{1 — {1}/{81}} = {4√5}/{9} · S = {1}/{2} · 12 · 12 · {4√5}/{9} = 32√5$.

2. Чтобы найти $h$ необходимо найти уравнение плоскости $SBC$. Оно имеет вид $ax by cz d = 0$, где ${n}↖{→}(a; b; c)$ — вектор нормали этой плоскости. Согласно пункту а), один из векторов нормали ${n_1}↖{→}({√2}/{4}; {√2}/{4}; -1)$. Значит, уравнение имеет вид ${√2}/{4}x {√2}/{4}y — z d = 0$. Чтобы найти значение $d$ подставим координаты точки $S(0; 0; 4)$ в это уравнение, получим $-4 d = 0, d = 4$, тогда ${√2}/{4}x {√2}/{4}y — z 4 = 0$ — уравнение плоскости $SBC$. Расстояние от точки $K(6√2; 0; 1)$ до плоскости $SBC$

$h = {|ax_0 by_0 z_0 d|}/{√{a_2 b_2 z_2}} ={|{√2}/{4} · 6√2 {√2}/{4} · 0 (-1) · 1 4|}/{√{({√2}/{4})^2 ({√2}/{4})^2 (-1)^2}} = {12√5}/{5}$, где $x_0, y_0, z_0$ — координаты точки $K$.

3. $V = {1}/{3} · 32√5 · {12√5}/{5} = 128$.