Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня ⋆ СПАДИЛО

ЕГЭ

Алгоритм решения:

Пункт а)

  1. При помощи тригонометрических формул приводим уравнение к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию.
  2. Заменяем эту функцию переменной и решаем получившееся квадратное уравнение.
  3. Делаем обратную замену и решаем простейшие тригонометрические уравнения.

Пункт б)

  1. Строим числовую ось.
  2. Наносим на нее корни.
  3. Отмечаем концы отрезка.
  4. Выбираем те значения, которые лежат внутри промежутка.
  5. Записываем ответ.

Второй вариант задания (из ященко, №1)

[su_note note_color=”#defae6″]

а) Решите уравнение

.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

.

[/su_note]

Задание 13 егэ по математике (профильной) 2023: теория и практика

а) Докажем, что плоскости $SBC$ и $KEF$ параллельны.

Введём прямоугольную систему координат, учитывая, что в основании правильной пирамиды квадрат $ABCD$ и угол между диагоналями квадрата прямой .

1. Найдём координаты точек $S, B, C , K , E, F$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ по теореме Пифагора $OA^2 = SA^2 — SO^2, OA = √{12^2 — 4^2} = 8√2. OC = OB = OD = OA = 8√2$, тогда сторона квадрата $AB = {OA}/{sin 45°} = {8√2}/{{1}/{√2}} = 16, AE = AB — BE = 16 — 12 = 4$.

Проведём $KN ‖ SO, SO ⊥ (ABC)$, тогда $KN ⊥ (ABC)$ и $KN ⊥ OA, △SAO ∼ △KAN$ по первому признаку подобия $(∠SOA = ∠KNA = 90°, ∠A$ — общий) ${AS}/{AK} = {SO}/{KN}, {12}/{3} = {4}/{KN}, KN = 1$.

В прямоугольном треугольнике $ANK$ по теореме Пифагора $AN^2 = AK^2 — KN^2, AN = √{3^2 — 1^2} = 2√2$, тогда $ON = OA — AN = 8√2 — 2√2 = 6√2. EN$ — проекция $KE$ на плоскость $ABC$, значит $△ANE$ прямоугольный и равнобедренный $EN = AN = 2√2$.

Получим $S(0; 0; 4), B(0; -8√2; 0), C (-8√2; 0; 0), K (6√2; 0; 1), E(6√2; -2√2; 0), F (-2√2; 6√2; 0)$.

2. Докажем, что векторы нормали к плоскостям $SBC$ и $KEF$ коллинеарны. Для плоскости $SBC$, вектор нормали ${n_1}↖{→}(a_1; b_1; c_1)$ перпендикулярен к обеим прямым $SB$ и $SC$, поэтому он должен быть перпендикулярен к векторам ${SB}↖{→}(0; -8√2; -4)$ и ${SC}↖{→}(-8√2; 0; -4)$.

Получим систему ${table {n_1}↖{→} · {SB}↖{→} = 0; {n_1}↖{→} ·{SC}↖{→} = 0;$ ${table · a_1 — 8√2 · b_1 — 4c_1 = 0; -8√2a_1 0 · b_1 — 4 · c_1 = 0;$ ${table-2√2b_1 — c_1 = 0; -2√2a_1 — c_1 = 0;$

Пусть $c_1 = -1$, тогда система примет вид ${table-2√2b_1 1 = 0; -2√2a_1 1 = 0;$

Её решение $a_1 = {√2}/{4}; b_1 = {√2}/{4}$.

${n_1}↖{→}({√2}/{4}; {√2}/{4}; -1)$ — вектор нормали плоскости $SBC$ .

Для плоскости $KEF$, вектор нормали ${n_2}↖{→}(a_2; b_2; c_2)$ перпендикулярен к обеим прямым $KE$ и $KF$, поэтому он должен быть перпендикулярен к векторам ${KE}↖{→}(0; -2√2; -1)$ и ${KF}↖{→}(-8√2; 6√2; -1)$.

Получим систему ${table {n_2}↖{→} · {KE}↖{→} = 0; {n_2}↖{→} · {KF}↖{→} = 0;$ ${table · a_2 — 2√2 · b_2 — 1 · c_2 = 0; -8√2a_2 6√2 · b_2 — 1 · c_2 = 0;$ ${table-2√2b_2 — c_2 = 0; -8√2a_2 6√2b_2 — c_2 = 0$.

Пусть $c_2 = -1$, тогда система примет вид ${table-2√2b_2 1 = 0; 8√2a_2 6√2b_2 1 = 0;$

Её решение $a_2 = {√2}/{4}; b_2 = {√2}/{4}$.${n_2}↖{→}({√2}/{4}; {√2}/{4}; -1)$ — вектор нормали плоскости $KEF$.

Векторы ${n_1}↖{→}$ и ${n_2}↖{→}$ равны, значит коллинеарны, следовательно плоскости $SBC$ и $KEF$ параллельны.

б) Искомый объём $V = {1}/{3}S · h$, где $S$ — площадь треугольника $SBC$, а высота пирамиды $h$ — это расстояние от точки $K$ до плоскости $SBC$.

1. $S = {1}/{2}SB · SC · sin α$, где $α$ — угол между прямыми $SB$ и $SC$. $cos α ={{SB}↖{→} · {SC}↖{→}}/{|{SB}↖{→}| · |{SC}↖{→}|} = {0 · (-8√2) (-8√2) · 0 (-4)(-4)}/{12 · 12} = {16}/{144} = {1}/{9}$.

$sin α = √{1 — cos^2α} = √{1 — {1}/{81}} = {4√5}/{9} · S = {1}/{2} · 12 · 12 · {4√5}/{9} = 32√5$.

2. Чтобы найти $h$ необходимо найти уравнение плоскости $SBC$. Оно имеет вид $ax by cz d = 0$, где ${n}↖{→}(a; b; c)$ — вектор нормали этой плоскости. Согласно пункту а), один из векторов нормали ${n_1}↖{→}({√2}/{4}; {√2}/{4}; -1)$. Значит, уравнение имеет вид ${√2}/{4}x {√2}/{4}y — z d = 0$. Чтобы найти значение $d$ подставим координаты точки $S(0; 0; 4)$ в это уравнение, получим $-4 d = 0, d = 4$, тогда ${√2}/{4}x {√2}/{4}y — z 4 = 0$ — уравнение плоскости $SBC$. Расстояние от точки $K(6√2; 0; 1)$ до плоскости $SBC$

$h = {|ax_0 by_0 z_0 d|}/{√{a_2 b_2 z_2}} ={|{√2}/{4} · 6√2 {√2}/{4} · 0 (-1) · 1 4|}/{√{({√2}/{4})^2 ({√2}/{4})^2 (-1)^2}} = {12√5}/{5}$, где $x_0, y_0, z_0$ — координаты точки $K$.

3. $V = {1}/{3} · 32√5 · {12√5}/{5} = 128$.

Первый вариант задания (демонстрационный вариант2022)

[su_note note_color=”#defae6″]

а) Решите уравнение cos2x = 1-cos(п/2-x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5п/2;-п].

[/su_note]

Разбор задания 13 егэ по математике (профильный уровень)

Вебинар: задание 13 по математике

Лектор: Кулабухов Сергей Юрьевич, кандидат физико-математических наук, заместитель генерального директора издательства «Легион» по научно-методической работе, автор пособий по математике.

Основные типы заданий, разбор возможных затруднений при их выполнении.

презентация к видео

Из спецификации:

Задание 13  — Уметь решать уравнения и неравенства

Уровень сложности  — повышенный

Максимальный балл — 2

Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) — 2.1, 2.2

Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на профильном уровне, в минутах — 10

Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на базовом уровне, в минутах — 20

Связанные страницы:

Решение:

а)

1. По формулам приведения

.

2. Тогда данное уравнение примет вид:

3. Вводим замену

. Получаем:

Решаем обычное квадратное уравнение с помощью формул дискриминанта и корней:

Оба корня положительны.

3. Возвращаемся к переменной х:

Получили четыре семейства корней. Их бесконечно много.

б)

4. С помощью неравенств находим те корни, которые принадлежащие отрезку

:

Для корней

Получаем одно значение

.

Для корней

ни одного значения корней нет.

Для корней

есть одно значение

;

Для корней

есть одно значение

.

Ответ:

а)

;

б)

Третий вариант задания (из ященко, № 6)

[su_note note_color=”#defae6″]

а) Решите уравнение

.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку


.

[/su_note]

Оцените статью
ЕГЭ Live