Задачи с параметром в ЕГЭ по математике. Задания 18 профильного ЕГЭ (часть 2)

Задачи с параметром в ЕГЭ по математике. Задания 18 профильного ЕГЭ (часть 2) ЕГЭ

Основное логарифмическое тождество:

$a^{log_{a}b}=b$

Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠1$

Задачи с параметром в егэ по математике. задания 18 профильного егэ (часть 2)

Блок 1. Введение

Блок 2. Координатно-параметрический метод

Блок 3. Преобразование графиков

Блок 4. Системы с параметром

Блок 5. Квадратичная функция

5.1Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство |frac{x^2 ax 1}{x^2 x 1}| lt 3 выполняется при всех значениях xСмотреть видеоразбор
5.2При каких значениях p вершины парабол y=-x^2 2px 3 и y=x^2-6px p расположены по разные стороны от оси x?Смотреть видеоразбор
5.3Найти все значения a, при каждом из которых f(x)=x^2-|x-a^2|-5x имеет хотя бы одну точку максимумаСмотреть видеоразбор
5.4Найдите все значения параметра a при каждом из которых множество значений функции y=frac{3x 3-2ax}{x^2 2(2a 1)x 4a^2 4a 2} содержит отрезок [0;1]Смотреть видеоразбор
5.5Найти все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции y=frac{5a-15x ax}{x^2-2ax a^2 25} содержит отрезок [0;1]Смотреть видеоразбор
5.6Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство |frac{x^2 x-2a}{x a}-1| le 2 не имеет решений на интервале (1;2)Смотреть видеоразбор
5.7Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение frac{a^3-(x 2)a^2 xa x^2}{a x} = 0 имеет ровно один кореньdQwQ&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №5.7″>Смотреть видеоразбор
5.8Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции y=frac{cos{x}-a}{cos{2x}-4}содержит число −2Смотреть видеоразбор
5.9Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (4cos{x}-3-a)cos{x}-2,5cos{2x} 1,5=0 имеет хотя бы один корень7:EWQT&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №5.9″>Смотреть видеоразбор
5.10Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 4^{|x|}=frac{7a}{a-5}cdot 2^{|x|}-frac{12a 17}{a-5} имеет ровно два различных корняPQvXCTARj<0=&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №5.10″>Смотреть видеоразбор
5.11Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства frac{a-(a^2-2a-3)cos{x} 4}{sin^2{x} a^2 1} lt 1 содержит отрезок [-frac{pi}{3}; frac{pi}{2}]Смотреть видеоразбор

Блок 6. Расположение корней квадратного уравнения

Блок 7. Аналитический метод

Блок 8. Функциональные методы

8.1Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^2 (a 7)^2=|x-7-a| |x a 7| имеет единственный кореньСмотреть видеоразбор
8.2Найти все значения параметра a, при каждом из которых система begin{cases} ax^2 4ax-8y 6a 28 le 0 \ ax^2-6ay-8x 11a-12 le 0 end{cases} имеет ровно одно решениеU4z`8W0H&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №8.2″>Смотреть видеоразбор
8.3Найдите все значения параметра alpha из интервала (0; pi), при каждом из которых система begin{cases} x^2 y^2-4(x y)sin{alpha} 8sin^2{alpha} = 2sin{alpha}-1 \ frac{x}{y} frac{y}{x} = 2sin{alpha} 4sin^2{alpha} end{cases} имеет единственное решениеСмотреть видеоразбор
8.4Найдите все неотрицательные значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства 1 le frac{2a x^2-4log_{frac{1}{3}}(4a^2-4a 9)}{5sqrt{18x^4 7x^2} 2a 4 (log_{frac{1}{3}}(4a^2-4a 9))} состоит из одной точки и найти это решение.3?CQDaR9zdo`oB&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №8.4″>Смотреть видеоразбор
8.5Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 8x^6 (a-|x|)^3 2x^2-|x| a=0 имеет более трёх различных решений.K7s^0O&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №8.5″>Смотреть видеоразбор
8.6Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x^10 (a-2|x|)^5 x^2-2|x| a=0 имеет более трёх различных решений.Смотреть видеоразбор
8.7Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 64x^6-(a-3x)^3 4x^2 3x=a имеет более одного корня.Смотреть видеоразбор
8.8Найти все значения параметра a, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел x и y , удовлетворяющих неравенству 5|x-2| 3|x a| le sqrt{4-y^2} 7Смотреть видеоразбор
8.9Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение (log_7(2x 2a)-log_7(2x-2a))^2-8a(log_7(2x 2a)-log_7(2x-2a)) 12a^2 8a-4 имеет ровно два корня.Смотреть видеоразбор
8.10Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение a^2-10a 5sqrt{x^2 25}=4|x-5a|-8|x| имеет хотя бы один кореньСмотреть видеоразбор
8.11Найти все значения параметра a, при которых уравнение (a 2)^2 cdot log_3(2x-x^2) (3x-1)^2 cdot log_{11}(1-frac{x^2}{2})=0 имеет решениеСмотреть видеоразбор
8.12При каких значениях параметра a уравнение ax^6=e^x имеет одно положительное решение?6dKGGa90EN&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №8.12″>Смотреть видеоразбор

Блок 9. Разные задачи с параметром

9.1Найти все значения параметра a, при которых уравнение sqrt{1-(x^2-4x-a^2 2a 3)^6} sqrt{1 (x^2-4x-a^2 2a 3)^6} = 2 имеет только один положительный кореньСмотреть видеоразбор
9.2Найти все положительные значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение f(x)=2x^3-3ax^2 5 на отрезке, заданном неравенством |x-2| le 1, не меньше, чем −3Смотреть видеоразбор
9.3Найдите все значения параметра b , при каждом из которых для любого a неравенство (x-a-2b)^2 (y-3a-b)^2 lt frac{1}{2} имеет хотя бы одно целочисленное решение (x, y).p0VQVIg@02IUB6K4U6&header=Задание 22 ЕГЭ по математике №9.3″>Смотреть видеоразбор
9.4Найти все a, при каждом из которых уравнение sqrt{a-9cos^4{x}}=sin^2{x} имеет решениеСмотреть видеоразбор
9.5Найдите наибольшее целое значение a, при котором уравнение 3x^2-12x 3a 9=4sin{frac{4x-x^2-a-3}{2}} cdot cos{frac{x^2-2x-a-1}{2}} имеет ровно два различных решенияСмотреть видеоразбор
9.6Найдите все целые отрицательные значения параметра a, при каждом из которых существует такое действительное число b>a, что неравенство 21b ge 6|a b|-3|b-2|-|a-b|-9|a^2-b 2| 16 не выполненоСмотреть видеоразбор

Логарифмические неравенства:

1. Определить ОДЗ неравенства.

2. По свойствам логарифма преобразовать неравенство к простому виду, желательно получить с двух сторон логарифмы по одинаковому основанию.

3. Перейти к подлогарифмическим выражениям, при этом надо помнить, что:

а) если основание больше единицы, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства остается прежним;

b) если основание меньше единицы, то при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный;

с) если в основании находится переменная, надо рассмотреть оба варианта.

4. Решить неравенство.

5. Выбрать решения с учетом ОДЗ из п.1

При решении логарифмических неравенств с переменной в основании легче всего воспользоваться тождественными преобразованиями:

$log_{a}f > b ↔ {table (f-a^b)(a-1) > 0; f > 0; a > 0;$

$log_{a}f log_{a}g > 0 ↔ {table(fg-1)(a-1)> 0; f > 0,g > 0; a > 0;$

$log_{a}f b > 0 ↔ {table(fa^b-1)(a-1) > 0; f > 0; a > 0;$

Мы рекомендуем подойти к рассмотрению данных задач по следующей схеме:

  • задачи, основанные на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена;
  • применение теоремы Виета в задачах с параметром;
  • расположение корней квадратного трехчлена относительно заданных точек;
  • более сложные задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.
  • Неравенства с параметром

    Если имеется неравенство вида $F(a,x) ≤ G(a,x)$ то оно будет иметь одно решение, если $F'(a, x)=G'(a, x)$.

    Системы уравнений:

    Выделяют четыре основных метода решения систем уравнений:

    1. Метод подстановки: из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.
    2. Метод алгебраического сложения: путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.
    3. Метод введения новых переменных: ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.
    4. Графический метод решения: из каждого уравнения выражается $«у»$, получаются функции, графики которых необходимо построить и посмотреть координаты точек пересечения.

    Регулярно тренируйтесь в решении задач

    Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно Зарегистрироваться.Вы можете:


    Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

    Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

    Решу егэ

    Решение.

    Заданное уравнение приведем к виду  корень из (x) в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7 минус 5 корень из (7x минус x) в квадрате = корень из (a) в квадрате минус 11a плюс 18.

    Рассмотрим функцию f(x)= корень из (x) в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7 минус 5 корень из (7x минус x) в квадрате .

    Найдем область ее определения.

    Разложим на множители многочлен Q(x)=x в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7. Попытаемся найти хотя бы один его целый корень, если он имеется. Целыми корнями Q(x) могут быть только числа: 1; минус 1;7; минус 7. Заметим, что числа 1; минус 1 таковыми не являются. При x=7Q(x)=343 минус 1176 плюс 826 плюс 7=0. Значит, число 7 является корнем многочлена Q(x). Делением «уголком» Q(x) на x минус 7 получим x в квадрате минус 17x минус 1. Вычислим корни квадратного трехчлена x в квадрате минус 17x минус 1.

    x в квадрате минус 17x минус 1=0 равносильно x= дробь: числитель: 17pm корень из (289 плюс 4) , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 17pm корень из (293) , знаменатель: 2 конец дроби .

     система выражений  новая строка x в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7 больше или равно 0 , новая строка x(x минус 7) меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка (x минус 7) умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 17 минус корень из (293) , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 17 плюс корень из (293) , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка больше или равно 0 , новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно 7  конец системы . равносильно 0 меньше или равно x меньше или равно 7.

    Заметим, что:

     дробь: числитель: 17 минус корень из (293) , знаменатель: 2 конец дроби меньше 0 поскольку 17 минус корень из (293) меньше 0 равносильно 17 меньше корень из (293) равносильно 289 меньше 293 (неравенство верно).

     дробь: числитель: 17 плюс корень из (293) , знаменатель: 2 конец дроби больше 7 так как  дробь: числитель: 17 плюс корень из (293) , знаменатель: 2 конец дроби больше 7 равносильно 17 плюс корень из (293) больше 14 (неравенство очевидное).

    Итак, D(f)= левая квадратная скобка 0;7 правая квадратная скобка .

    Найдем нули функции f(x). Для этого решим систему:

     система выражений  новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно 7 , новая строка x в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7 минус 175x плюс 25x в квадрате =0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно 7 , новая строка x в кубе плюс x в квадрате минус 57x плюс 7=0 конец системы ..

    Поскольку (x в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7)vdots ( минус 7) минус это показано выше; 175 минус 25 в квадрате =(25(7 минус ))vdots ( минус 7), то и разность

    ((x в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7) минус (175 минус 25 в квадрате ))vdots ( минус 7).

    Делением «уголком» получим, что (x в кубе плюс x в квадрате минус 57 плюс 7):( минус 7)=x в квадрате плюс 8x минус 1. Далее:

    x в квадрате плюс 8x минус 1=0 равносильно x= минус 4pm корень из (16 плюс 1) равносильно x= минус 4pm корень из (17) . минус 4 минус корень из (17) notin левая квадратная скобка 0;7 правая квадратная скобка .

    Таким образом, число  корень из (17) минус 4 делит область определения функции на два промежутка знакопостоянства функции f(x): левая круглая скобка 0; корень из (17) минус 4 правая круглая скобка и  левая круглая скобка корень из (17) минус 4;7 правая круглая скобка . Найдем эти знаки.

    Заметим , что 0,1 меньше корень из (17) минус 4. Действительно, 0,1 меньше корень из (17) минус 4 равносильно 4,1 меньше корень из (17) равносильно 16,81 меньше 17.

    f(0,1)= корень из (0,001 минус 0,24 плюс 11,8 плюс 7) минус корень из (17,5 минус 0,25) = корень из (18,561) минус корень из (17,25) больше 0.

    Итак, на  левая круглая скобка 0; корень из (17) минус 4 правая круглая скобка f(x) больше 0.

    Очевидно, что  корень из (17) минус 4 меньше 1 меньше 7.

    f(1)= корень из (1 минус 24 плюс 118 плюс 7) минус корень из (175 минус 25) = корень из (102) минус корень из (150) меньше 0.

    На  левая круглая скобка корень из (17) минус 4;7 правая круглая скобка f(x) меньше 0.

    Если f(x)=0, то уравнение будет иметь два корня: 7 и  корень из (17) минус 4. То есть решение не единственное. Значит, значения a=2 и a=9 — не подходят.

    Если f(x) меньше 0, то уравнение  корень из (x) в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7 минус 5 корень из (7x минус x) в квадрате = корень из (a) в квадрате минус 11a плюс 18 вообще не будет иметь корней, так как правая часть преобразованного уравнения обязана быть неотрицательной.

    Следовательно, искомые значения параметра a будем искать только при выполнении условия f(x) больше 0, т. е. при x принадлежит левая круглая скобка 0; корень из (17) минус 4 правая круглая скобка .

    Теперь наша задача заключается в нахождении области значений функции f(x) на [0; корень из (17) минус 4].

    Имеем: f(0)= корень из (7) ,f( корень из (17) минус 4 )=0. Значит, E(f)=[0; корень из (7) ].

    Однако, в силу того, что требуется найти значения параметра a, при которых заданное уравнение имеет единственный корень, то функция f(x) на отрезке [0; корень из (17) минус 4] каждое свое значение должна принимать лишь один раз, т. е. функция f(x) на рассматриваемом отрезке обязана быть либо монотонно возрастающей, либо монотонно убывающей. Докажем, что она является монотонно убывающей.

    Рассмотрим функцию f_1(x)= корень из (x) в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7 на отрезке [0;1]

    Найдем ее производную. f_1 в степени (prime ) (x)= дробь: числитель: 3x в квадрате минус 48x плюс 118, знаменатель: 2 корень из (x) в кубе минус 24x в квадрате плюс 118x плюс 7 конец дроби . Знаменатель на рассматриваемом интервале в нуль не обращается (это было показано выше). Следовательно, критические точки, если они есть, могут быть только в тех точках, в которых обращается в нуль числитель производной функции. Найдем эти значения.

    3 в квадрате минус 48 плюс 118=0 равносильно x= дробь: числитель: 24pm корень из (576 минус 354) , знаменатель: 3 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 24pm корень из (222) , знаменатель: 3 конец дроби .

    Докажем, что эти корни не принадлежат промежутку (0;1).

    Действительно,  дробь: числитель: 24 минус корень из (222) , знаменатель: 3 конец дроби больше 1 равносильно 24 минус корень из (222) больше 3 равносильно 21 больше корень из (222) равносильно 442 больше 222; дробь: числитель: 24 плюс корень из (222) , знаменатель: 3 конец дроби больше 1.

    Итак, на рассматриваемом отрезке функция критических точек не имеет.

    f_1(0)= корень из (7) ,f_1(1)= корень из (102) , следовательно, функция f_1(x)на промежутке [0 ;1] монотонно возрастает.

    Рассмотрим функцию f_2(x)=5 корень из (7 минус x) в квадрате на том же отрезке [0;1].

    Эта функция имеет единственную критическую точку x_0= дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби больше 1. По характеру изменения значений функции её также отнесем к числу монотонно возрастающих, поскольку f_2(0)=0,f_2(1)=5 корень из (6) .

    Заметим главное: скорость возрастания функции f_2(x), очевидно, будет больше, нежели скорость возрастания функции f_1(x), поскольку значения функции f_1(x) и f_2(x) уже в точке  корень из (17) минус 4 станут равными. И отсюда следует, что функция

    f(x)=f_1(x) минус f_2(x)

    монотонно убывает на [0;1]. Говоря по-другому, функция f(x), будучи разностью двух функций: f_1(x) (уменьшаемая) и f_2(x) (вычитаемая). Обе функции монотонно возрастающие. При этом при бесконечно малом приращении значения аргумента на [0;1], начиная от точки 0, уменьшаемая функция получит меньшее приращение, чем вычитаемая функция при таком же приращении аргумента. В силу этого разность f_1(x) минус f_2(x)на отрезке на [0;1] будет убывать от точки к точке (в противном случае равенство значений названных функций не будет достигнуто при = корень из (17) минус 4).

    Коли f(x) монотонно убывает на [0;1], то она будет монотонно убывать и на  левая круглая скобка 0; корень из (17) минус 4 правая круглая скобка .

    На заключительном этапе исследования задачи найдем решение неравенства 0 меньше или равно корень из (a) в квадрате минус 11a плюс 18 меньше или равно корень из (7) относительно а.

    0 меньше или равно корень из (a) в квадрате минус 11a плюс 18 меньше или равно корень из (7) равносильно 0leqslanta в квадрате минус 11a плюс 18 меньше или равно 7 равносильно система выражений  новая строка a в квадрате минус 11a плюс 18 меньше или равно 7 , новая строка a в квадрате минус 11a плюс 18 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка a в квадрате минус 11a плюс 11 меньше или равно 0 , новая строка a в квадрате минус 11a плюс 18 больше или равно 0 конец системы . равносильно

     равносильно система выражений  новая строка дробь: числитель: 11 минус корень из (121 минус 44) , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 11 плюс корень из (77) , знаменатель: 2 конец дроби , новая строка совокупность выражений aleqslant2,ageqslant9 конец системы .  конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 11 минус корень из (77) , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно aleqslant2,9leqslanta меньше или равно дробь: числитель: 11 плюс корень из (77) , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

    Ответ: левая квадратная скобка дробь: числитель: 11 минус корень из (77) , знаменатель: 2 конец дроби ;2 правая круглая скобка cup левая круглая скобка 9; дробь: числитель: 11 плюс корень из (77) , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка

    Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42.

    Свойства логарифмов:

    Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

    1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:

    $log_{а}b^m=mlog_{a}b$;

    $log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b$.

    $log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$

    2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

    $log_a(bc)=log_{a}b log_{a}c$

    3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

    $log_a{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$

    4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

    $log_{a}b·log_{c}d=log_{c}b·log_{a}d$, если $a, b, c, d >0, a≠1, b≠1$.

    5. $c^{log_{a}b}=b^{log_{a}b}$, где $а, b, c > 0, a≠1$

    6. Формула перехода к новому основанию

    $log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$

    7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

    $log_{a}b={1}/{log_{b}a}$

    При решении систем, содержащих логарифмические уравнения, часто удается, избавившись от логарифма, заменить одно или оба уравнения системы рациональными уравнениями. После этого надо выразить одну переменную через другую и после постановки получить уравнение с одной переменной.

    Системы иррациональных уравнений

    Основные методы решения систем, содержащих иррациональные уравнения, ничем принципиально не отличаются от методов решения других систем: это метод алгебраического сложения, замена переменной в пределах одного уравнения или всей системы, подстановка. Единственная особенность – надо расписать ОДЗ каждого уравнения, а в конце решения выбрать решение системы с учетом ОДЗ.

    Чтобы решить иррациональное уравнение, необходимо:

    1. Преобразовать заданное иррациональное уравнение к виду

    $√{f(x)}=g(x)$ или $√{f(x)}=√{g(x)}$

    2. Обе части уравнение возвести в квадрат

    $√{f(x)}^2={g(x)}^2$ или $√{f(x)}^2=√{g(x)}^2$

    3. Решить полученное рациональное уравнение.

    4. Сделать проверку корней, так как возведение в четную степень может привести к появлению посторонних корней. (Проверку можно сделать при помощи подстановки найденных корней в исходное уравнение.)

    Системы, содержащие показательные уравнения

    Свойства степеней

    1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

    $a^n·a^m=a^{n m}$

    2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

    $a^n:a^m=a^{n-m}$

    3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

    $(a^n)^m=a^{n·m}$

    4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

    $(a·b)^n=a^n·b^n$

    5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

    $({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$

    6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

    $a^0=1$

    Основные методы решения систем, содержащих показательные уравнения, ничем принципиально не отличаются от методов решения других систем: это метод алгебраического сложения, замена переменной в пределах одного уравнения или всей системы, подстановка. Единственная особенность – положительность выражения $a^{f(x)}$, которую полезно учитывать, вводя соответствующее ограничение при замене переменной.

    Показательные неравенства, сводящиеся к виду $a^{f(x)} ≥ a^{g(x)}$:

    1. Преобразовать показательное уравнение к виду $a^{f(x)} ≥ a^{g(x)}$

    2. Перейти показателям степеней, при этом если основание степени меньше единицы, то знак неравенства меняется на противоположный, если основание больше единицы – знак неравенства остается прежним.

    3. Решить полученное неравенство.

    4. Записать результат.

    Показательные неравенства, которые можно разложить на множители или сделать замену переменной.

    1. Для данного метода во всем неравенстве по свойству степеней надо преобразовать степени к одному виду $a^{f(x)}$.

    2. Сделать замену переменной $a^{f(x)}=t, t>0$.

    3. Получаем рациональное неравенство, которое можно решить методом интервалов путем разложения на множители выражения.

    4. Делаем обратную замену с учетом того, что $t>0$. Получаем простейшее показательное неравенство $a^{f(x)}=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

    Следующая тема курса – графические методы решения задач с параметром

    Существует два принципиально различных подхода – построение графиков функций или уравнений в плоскости (x; y) или в плоскости (x; a). Кроме того, для графического метода решения задач с параметром в плоскости (x; y) необходимо рассмотреть различные виды преобразования графиков – обычно это параллельный перенос, поворот прямой и гомотетия.


    На этом перечень методов решения задач с параметрами, разумеется, не заканчивается, но анализ вариантов КИМ ЕГЭ профильного уровня и практика показывают, что в настоящее время этого достаточно для успешного решения задачи № 18 на экзамене.

    В заключение отметим, что выстроить подобный курс самостоятельно, без преподавателя, обычный школьник не сможет, даже имея под рукой хорошие учебные пособия по методам решения задач с параметром. Здесь необходима помощь опытного наставника, который сможет подобрать нужные задачи и выстроить траекторию движения школьника по ним.

    Заметим, кстати, что весьма эффективным инструментом для изучения именно методов решения задач с параметром являются интерактивные тренажеры с пошаговым разбором решения.

    Работая с таким тренажером, школьник одновременно учится выстраивать логику решения задачи с параметром и контролирует правильность выполнения каждого шага решения. Это очень важное умение, так как одна из основных сложностей в решении задачи с параметром состоит в том, что необходимо на каждом шаге решения понимать, что означают уже полученные результаты и что (в зависимости от этих результатов) еще остается сделать, чтобы довести решение до конца.

    Тригонометрические тождества

    1. $tgα={sinα}/{cosα}$

    2. $ctgα={cosα}/{sinα}$

    3. $sin^{2}α cos^{2}α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

    Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

    $sinα=±√{1-cos^{2}α}$

    $cosα=±√{1-sin^{2}α$

    4. $tgα·ctgα=1$

    5. $1 tg^{2}α={1}/{cos^{2}α}$

    6. $1 ctg^{2}α={1}/{sin^{2}α}$

    Уравнения с многочленами

    Многочлен может обозначаться записью $Р(х)$ — это означает, что многочлен зависит от «х», если записать $Р(х 1)$ — это означает, что в многочлене вместо «х» надо сделать замену на скобку $(х 1)$

    Пример:

    Найдите значение выражения: $4(p(2x)−2p(x 3))$, если $p(x)=x−6$

    Решение:

    В данном условии задан многочлен, зависящий от «х», как $p(x)=x−6$.

    Чтобы было понятнее, назовем исходный многочлен основной формулой, тогда, чтобы записать $p(2x)$, в основной формуле заменим «х» на «2х».

    $p(2x)=2х-6$

    Аналогично $p(x 3)=(х 3)-6=х 3-6=х-3$

    Соберем все выражение: $4(p(2x)−2p(x 3))=4((2х-6)-2(х-3))$

    Далее осталось раскрыть скобки и привести подобные слагаемые

    $4((2х-6)-2(х-3))=4(2х-6-2х 6)=4·0=0$

    Ответ: $0$

    Формулы двойного угла

    1. $sin2α=2sinα·cosα$

    2. $cos2α=cos^{2}α-sin^{2}α=2cos^{2}α-1=1-2sin^{2}α$

    3. $tg2α={2tgα}/{1-tg^{2}α}$

    Формулы суммы и разности

    $cosα cosβ=2cos{α β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

    $cosα-cosβ=2sin{α β}/{2}·sin{β-α}/{2}$

    $sinα sinβ=2sin{α β}/{2}·cos{α-β}/{2}$

    $sinα-sinβ=2sin{α-β}/{2}·cos{α β}/{2}$

    Формулы произведения

    $cosα·cosβ={cos{α-β} cos{α β}}/{2}$

    $sinα·sinβ={cos{α-β}-cos{α β}}/{2}$

    $sinα·cosβ={sin{α β} sin{α-β}}/{2}$

    Формулы сложения

    $cos(α β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ$

    $cos(α-β)=cosα·cosβ sinα·sinβ$

    $sin(α β)=sinα·cosβ cosα·sinβ$

    $sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ$

    Решение тригонометрического уравнения с параметром рассмотрим на примере.

    Пример:

    Найдите все значения параметра с, при каждом из которых уравнение $3cos⁡2x-2sin⁡2x=c$ имеет решение.

    Решение:

    Преобразуем данное уравнение к виду

    $√{3^2 (-2)^2}(cos⁡2xcosφ-sin⁡2xsinφ)=c$

    Воспользуемся тригонометрической формулой и свернем второй множитель как косинус суммы

    $√{13}cos⁡(2x φ)=c$, где $φ=arccos{3}/{√{13}}$

    Уравнение $√{13}cos⁡(2x φ)=c$ имеет решения тогда и только тогда, когда $-1≤ {c}/{√{13}} ≤ 1$, домножим полученное неравенство на $√{13}$ и получим

    $-√{13} ≤ c ≤ √{13}$

    Ответ: $-√{13} ≤ c ≤ √{13}$

    Чему нужно научиться, решая задачи с параметром

    В первую очередь – правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида:

    Если с несложными задачами такого вида школьник справляется неплохо, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа:

    «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.

    Следующий шаг, который мы рекомендуем, – тщательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество исследовательских задач, разнообразных по форме и содержанию, чем и пользуются составители вариантов КИМ ЕГЭ.

    Оцените статью
    ЕГЭ Live