Задачи на теорию вероятности и формула Бернулли

Привет! На связи методический отдел федеральной сети курсов ЕГЭ и ОГЭ Lancman School («Ланцман скул»). Сегодня мы расскажем о том, как готовиться в 2021-2022 учебном году к ЕГЭ по профильной математике. В конце статьи вас ждёт бонус: вебинар по теории вероятности. Наш преподаватель Дмитрий Корабейников расскажет, как решать задания ЕГЭ по профильной математике 2022 года при помощи формулы Бернулли.

Хочешь БЕСПЛАТНО разобрать с опытным преподавателем все детали новых усложнённых вариантов ЕГЭ по профильной математике 2022 года — приходи на пробное занятие в Lancman School. Мы 13 лет готовим к ЕГЭ на высокие баллы и знаем об экзаменах и поступлении в хорошие вузы буквально всё. Решишь продолжить готовиться к ЕГЭ вместе с нами весь год — дадим скидку после бесплатного пробного занятия. Любой вопрос смело пиши сюда.

Если ты живешь не в Москве, но хочешь заниматься с лучшими столичными репетиторами и сдать ЕГЭ на 80+ баллов, то регистрируйся на наши . В этом году мы включили в договор пункт, гарантирующий поступление на бюджет в любой вуз страны. Если ученик будет соблюдать все обговоренные условия, он обязательно поступит. В противном случае мы вернём деньги. Первое пробное занятие БЕСПЛАТНО.

В банке заданий ФИПИ появилось несколько новых задач по теории вероятностей. Часть из них крайне сложно решить без формулы, которую мало кто из одиннадцатиклассников знает. Это формула Бернулли. Выглядит она, конечно, страшновато:

Сейчас мы разберемся, что в ней значат все буквы и символы. А после решим задачу из банка ФИПИ с помощью этой формулы.

Pn(k) – вероятность, что событие наступит k раз в n испытаниях. Например, человек открывает 7 (n = 7) коробок. В каждой коробке с какой-то вероятностью p может оказаться приз. И по формуле Бернулли можно найти вероятность, например, того, что приз окажется в 3 (k = 3) коробках из 7.

Таких сочетаний получилось 6 шт. Это мы сосчитали вручную. Так делать не всегда удобно: сочетаний может оказаться слишком много.

Наверняка не все знают, как считается так называемый факториал числа: n! Нужно перемножить это число и все натуральные числа, идущие от 1 до этого числа. Поэтому, например,

Дальше нужно разобраться, что значат буквы p и q.

p и q – взаимообратные вероятности исхода какого-то события. Т.е. p + q = 1. Известный и понятный пример: шансы, что при броске монеты выпадет орел (p) или решка (q). Шанс выпадения орла p = 0,5. Шанс того, что орел не выпадет (а выпадет решка) q = 0,5. Всё сходится: p + q = 1.

Или такая ситуация: в коробке 7 красных карандашей и 3 синих. Обозначим вероятность случайно вытащить красный карандаш за p, а вытащить синий карандаш за q. В этой ситуации p = 0,7 и q = 0,3; p + q = 1.

Со всеми обозначениями разобрались, давайте теперь решим реальную задачу. Это №10 из профильного ЕГЭ по математике 2022.

Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Здесь вероятность выпадения орла p = 0,5. Тогда вероятность того, что орел не выпадет (а выпадет решка): q = 1 — p  = 0,5.

Всего 10 бросков, т.е. будем рассматривать сочетания из 10 объектов: n = 10.

Далее нам предстоит сравнить два случая: 1) «выпадет ровно 5 орлов», т.е. из n = 10 объектов мы выбираем сочетания по 5, k = 5; 2) «выпадет ровно 4 орла», т.е. из n = 10 объектов мы выбираем сочетания по 4, k = 4.

Попробуйте решить пару подобных задач самостоятельно, и такие новые задачи по теорверу вас больше не смутят. Но сперва выучите формулу Бернулли

Обожка поста: pixabay.com

Как решать 3 задание ЕГЭ по математике (профиль) правильно? Нужно будет повторить теорию вероятности, главная формула – P=A/n, где А – благоприятные исходы, а n – все исходы.

Важная информация

Решение 3 задания ЕГЭ по математике предполагает умение строить и исследовать простейшие математические модели. Ученик должен уметь моделировать реальные ситуации на языке теории вероятности и статистики, а также вычислять в простейших случаях возможные вероятности событий.

Без каких знаний невозможно разобраться, как решать 3 задание в ЕГЭ по математике (профиль)?Запоминайте:

Прежде чем мы будем разбираться, как решать 3 задание в ЕГЭ по математике, отметим, что процесс решения должен занимать примерно пять минут. При условии, что ученик владеет расширенными навыками. Максимальный балл за эту задачу – один.

Ну а теперь можно переходить непосредственно к работе над реальными задачками из экзамена по математике!

Решение заданий

В целом, только вы и сможете разобраться, как решать 3 задание ЕГЭ. в помощь вам – формула, общие знания предмета. А еще – наши примеры, которые вы можете использовать для прорешивания и подготовки к экзамену. Читайте, изучайте, запоминайте алгоритмы!

Задание №1

Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 шахматистов, среди которых 4 спортсмена из России, в том числе Федор Волков. Найдите вероятность того, что в первом туре Федор Волков будет играть с каким-либо шахматистом из России.

А теперь – разбор задания из 3 ЕГЭ по профильной математике:

Мы знаем общее количество участников – 16 человек, а также знаем, сколько участников из России – их четверо. Фёдор Волков также из России, помещаем его за игральный стол: теперь остается 15 участников (из них трое – из России).

Используем такую формулу: Р = количество нужных вариантов / общее число вариантов.

Считаем: Р = 3/15 = 0,2.

Задание №2

На олимпиаде по социологии 400 участников размещают в трёх аудиториях. В первых двух – по 170 человек в каждой, все остальные размещаются в третий аудитории. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник попадет именно в третью аудиторию.

Разбор 3 задания ЕГЭ по математике выглядит следующим образом:

Всего – 400 человек

В аудитории №1 – 170 человек

В аудитории №2 – 170 человек

В аудитории №3 – 400 – (170 + 170) = 60 человек

Итого: Р = 60/400 = 0,15

Задание №3

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,83. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,46. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 20 включительно.

Сначала примем за Х вероятность того, что в автобусе окажется от 10 до 20 человек включительно.

Соответственно: 0,83 – 0,46 + Х

Х = 0,83 – 0,46; Х = 0,37.

Задание №4

Дима, Вася, Петя, Надя и света бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру будет один из мальчиков.

Для начала считаем общее количество детей – их пятеро, трое из них – это мальчики.

Соответственно, решение выглядит так: Р = 3/5 = 0,6.

Задание №5

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что чистовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.

Общее количество часов, как уже известно из условия – 12. Нам необходимо сначала вычислить количество часов, соответствующее условию (от цифры 7 включительно и до цифры 1).

Представляем циферблат и видим, что это 7, 8, 9, 10, 11, 12 часов – то есть, 6 цифр.

Соответственно: Р = 6/12 = 0,5.

Задание №6

В фирме такси в наличии 45 легковых автомобилей, 18 из которых – чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках. Остальные машины – жёлтого цвета с чёрными надписями на боках. Найдите вероятность того, что не случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Мы знаем общее количество автомобилей, а также число автомобилей чёрного цвета с жёлтыми надписями. Сначала посчитаем, сколько фирме машин жёлтого цвета с чёрными надписями, для этого вычтем 18 из 45 и получим 27.

Далее все просто: Р = 27/45 = 3/5 или 0,6,

Задание №7

Научная конференция проводится в течение трёх дней. Всего запланировано 40 докладов – в первый день восемь докладов, а остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированном на последний день конференции?

Для начала давайте рассчитаем, сколько докладывай будет зачитываться в каждый из дней конференции. Исходя из условий задачи:

Итак, теперь мы знаем, что в третий день будут зачитываться 16 докладов. Соответственно, расчет такой: Р = 16/40 = 4/10 = 0,4.

Надеемся, что пошаговый разбор 3 задания ЕГЭ по математике (профиль) вам пригодится – и поможет хорошенько подготовиться к экзамену! Это достаточно простая задача, которую успешно решает 95% выпускников. Уверены, и вы сможете попасть в их число.

Этот раздел содержит первую часть задач по теории вероятностей, которые достаточно просты для того, чтобы их могли поместить не только в вариант экзамена ЕГЭ по математике профильного уровня, но и в вариант ЕГЭ базового уровня или в вариант ОГЭ для 9-го класса.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2022 года задания на проверку знаний элементов теории вероятностей могут встретиться под номером 11 для базового уровня и под номерами 2 и 10 для профильного уровня, а также в варианте ОГЭ для 9 класса.

Учиться решать такие задачи лучше поэтапно.

Задачи только на определение вероятности

Для решения большинства следующих задач достаточно повторить классическое определение вероятности события:

Вероятностью события А называется дробь

в числителе которой стоит число m элементарных событий, благоприятствующих событию А, а в знаменателе n — число всех элементарных событий.

Таким образом, чтобы решить задачу нужно подсчитать число благоприятствующих и число всех возможных элементарных событий. Вспомним — элементарные события (исходы испытания) попарно несовместимы и равновозможны. Иногда это очевидно, а иногда стоит задуматься. «Попарно несовместимы» означает, например, что один человек не может одновременно ехать в двух автобусах. Не являются «равновозможными», например, встречи на улице с динозавром и собакой.

Обратите внимание на формулировки. Часто бывает, что условия двух задач отличаются только одним словом, а решения могут быть прямо противоположными. И наоборот, казалось бы разные вопросы, но фактически об одном и том же. Будьте внимательны!

Не забудьте, что благоприятствующих событий не может быть больше, чем вообще всех возможных, а значит числитель дроби никогда не превысит знаменатель. В ответе на вопрос о вероятности события должно быть число, удовлетворяющее условию 0 ≤ P ≤ 1. Если вы получили другой ответ, он заведомо неверный.

На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Если «остальные места неудобны», то удобны именно упомянутые 12 + 18 = 30 мест. Пассажиру В. может достаться одно любое место из 300 мест в самолёте, значит всего возможных событий n = 300. Но «благоприятствующими» будут только те из них, когда пассажир В. попал на удобное место, таких событий, как и мест, m = 30.

P(A) = = 0,1.

В примере, который представлен выше, реализуется самое простое понятие элементарного события. Так как один человек способен занять только одно место, события независимы. А так как в условии специально оговорено, что при регистрации место выбиралось случайно, то равновозможны. Поэтому, фактически, мы считали не события, а места в самолёте.

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Определим, сколько всего рейсов должен совершить вертолет 30 : 6 = 5 (рейсов). Турист П. может полететь любым, но «благоприятствующим» будет только один из них — первый. Следовательно n = 5, m = 1.

P(A) = 1/5 = 0,2.

В этом примере, уже следует задуматься о том, что представляет собой элементарное событие. Здесь это сформированный рейс вертолёта. Один человек может попасть только на один рейс, т.е. только в одну группу из 6-ти человек, — события независимы. По условию задачи порядок рейсов случаен, т.е. все рейсы для каждой группы равновозможны. Считаем рейсы.

Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?

Выпишем в ряд заданные числа и отметим те из них, которые делятся на 3.

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Получается, что из 10 заданных чисел на 3 делятся 3 числа.Находим ответ по общей формуле

P(A) = 3/10 = 0,3.

Замечание. Этот способ решения относится к простейшему случаю, когда отрезок ряда короткий, и его легко выписать явно. Что будет, если задачу изменить, например, так:

Из множества натуральных чисел от 107 до 198 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?

P(A) = 31/92 ≈ 0,337

Теперь проверьте себя.

Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript.)

В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете вопрос по ботанике.

Событие A — «выбор билета с вопросом по ботанике». Выбрать можно только один билет (события попарно несовместимы), все билеты одинаковы (события равновозможны) и все билеты доступны школьнику (полная группа). Значит событие «выбор билета» является элементарным. Всего таких событий столько же, сколько билетов, т.е. n = 55. Благоприятствующих событий столько же, сколько билетов с вопросом по ботанике, т.е. m = 11. По формуле P(A) = 11/55 = 1/5 = 0,2.

Замечание: В самом деле «бытовая» ситуация настолько знакома и проста, что интуитивно понятно, какие события являются элементарными, и какие благоприятствующими. Дальше я не буду подробно описывать эту часть решения, если в этом не будет необходимости.

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Способ I. Событие A — «выбор билета без вопроса по неравенствам». Всего 25 билетов, если в 10 билетах есть вопрос по неравенствам, то в 25 — 10 = 15 билетах его нет. Таким образом, общее число возможных исходов n = 25, число исходов, благоприятствующих событию А, m = 15. По формуле P(A) = 15/25 = 3/5 = 0,6.

Способ II. Событие A — «выбор билета c вопросом по неравенствам». Также, как в задаче 1, получаем P(A) = 10/25 = 2/5 = 0,4. Но вопрос этой задачи противоположен вопросу задачи 1, т.е. нам нужна вероятность противоположного события В — «выбор билета без вопроса по неравенствам». Вероятность противоположного события вычисляем по формуле P(B) = 1 — P(A) = 1 — 0,4 = 0,6.

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая , окажется из Китая.

Событие A — «первой выступает гимнастка из Китая». Чтобы определить число исходов, давайте сначала задумаемся, что такое исход жеребьевки? Что будем принимать за элементарное событие? Если будем представлять себе процедуру, когда одна спортсменка уже вытащила шарик с номером выступления, а вторая должна что-то вытащить из оставшихся, то будет сложное решение с использованием условной вероятности. Ответ получить можно (см., например, способ II в задаче 6). Но зачем привлекать сложную математику, если можно рассмотреть «бытовую» ситуацию с другой точки зрения? Представим себе, что жеребьевка завершена, и каждая гимнастка уже держит шарик с номером в руке. У каждой только один шарик, на всех шариках разные номера, шарик с номером «1» только у одной из спортсменок. У какой? Организаторы жеребьевки обязаны сделать так, чтобы все спортсменки имели равные возможности получить этот шарик, иначе она будет несправедливой. Значит событие — «шарик с номером «1» у спортсменки» — является элементарным. Всего спортсменок n = 20, благоприятствующее событие — шарик с номером «1» у китаянки, всего спортсменок из Китая m = 20 — 8 — 7 = 5. По формуле P(A) = 5/20 = 1/4 = 0,25.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает , окажется из Швеции.

Аналогично предыдущей задаче. Событие A — «последним выступает спортсмен из Швеции». Элементарное событие — «последний номер достался конкретному спортсмену». Всего спортсменов n = 4 + 7 + 9 + 5 = 25. Благоприятствующее событие — спортсмен, которому достался последний номер, из Швеции. Всего спортсменов из Швеции m = 9. По формуле P(A) = 5/20 = 9/25 = 0,36.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что будет выступать прыгун из Парагвая.

Аналогично 2-ум предыдущим задачам. Событие A — «шестым выступает прыгун из Парагвая». Элементарное событие — «номер шесть у конкретного спортсмена». Всего спортсменов n = 25. Благоприятствующее событие — спортсмен, у которого номер «6», из Парагвая. Всего спортсменов из Парагвая m = 9. По формуле P(A) = 9/25 = 0,36.

Замечание: Последние три задачи, по сути, абсолютно одинаковы, но с первого взгляда их вопросы кажутся разными. Зачем? Чтобы запутать школьника? Нет, у составителей другая задача: на экзамене должно быть много разных вариантов одинаковой степени трудности. Итак, не надо пугаться «каверзного вопроса», надо рассматривать ситуацию, которая описывается в задаче, со всех сторон.

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Способ I. Событие A — «выступление представителя России состоится в третий день». Одно выступление можно считать элементарным событием, так как представители от всех стран равноправны (по одному от каждой страны). Всего n = 80 выступлений. В первый день 8 выступлений, в оставшиеся 5 — 1 = 4 дня по (80 — 8)/4 = 18 выступлений. Значит в третий день состоится 18 выступлений — это благоприятствующие для россиянина события, m = 18. По формуле P(A) = 18/80 = 9/40 = 0,225.

Способ II. Пусть событие A — «выступление представителя России состоится в третий день», событие B — «выступление представителя России не состоится в первый день», событие С — «выступление представителя России состоится в третий день при условии, что он не выступал в первый день». По определению условной вероятности P(A) = P(B)·P(C). Не выступят в первый день 80 — 8 = 72 человека. По формуле P(B) = 72/80 = 9/10 = 0,9. Если выступление представителя России не попадет на первый день, то он имеет одинаковые шансы выступить в любой из следующих 4-ёх дней (остальные выступления распределены равномерно, а значит дни равновозможны). По формуле P(C) = 1/4 = 0,25. Следовательно P(A) = 0,9·0,25 = 0,225.

Замечание: Задачи теории вероятностей часто решаются разными способами. Выбирайте для себя тот, который понятнее именно вам.

В среднем 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Событие A — «выбранный насос не подтекает». Всего насосов n = 1000. Из них 5 подтекают, значит не подтекают m = 1000 — 5 = 995. По формуле P(А) = 995/1000 = 0,995.

Фабрика выпускает сумки. В среднем 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Событие A — «купленная сумка качественная». Всего n = 100 + 8 = 108 сумок (100 качественных и 8 с дефектами). Качественных m = 100 сумок. По формуле P(А) = 100/108 = 0,9259259 ≈ 0,93.

Замечание 1: Сравните эту и предыдущую задачи. Как важно внимательно относиться к каждому слову в условии!
Замечание 2: Правила округления мы повторяли при решении текстовых задач.

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Событие A — «Руслан Орлов будет играть с бадминтонистом из России». Соревнования по бадминтону, обычно, проводятся с выбыванием, и только в первом туре участвуют все 26 бадминтонистов. Но число всех возможных исходов не равно 26, n = 26 — 1 = 25, потому что Руслан Орлов не может играть с самим собой. По той же причине m = 10 — 1 = 9, ведь Руслан Орлов входит в число 10 участников из России. По формуле P(А) = 9/25 = 0,36.

Задачи с использованием элементов комбинаторики

В этих задачах ответ также определяется по формуле P(A) = m/n, но подсчет числа n всех возможных событий и числа m благоприятствующих событий заметно труднее, чем в предыдущих случаях. Для этого используют различные методы перебора вариантов и вспомогательные рисунки, таблицы, графы («дерево возможностей»). Облегчить ситуацию могут правила сложения и умножения вариантов, а также готовые рецепты комбинаторики: формулы для числа перестановок, сочетаний, размещений.

Правило сложения: если некоторый объект A можно выбрать k способами, а объект B — l способами (не такими как А), то объект «или А или В» можно выбрать m + l способами.

Правило умножения: если объект А можно выбрать k способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от объекта А) l способами, то пары объектов А и B можно выбрать m·l способами.

Правило умножения еще называют «И-правилом», а правило сложения «ИЛИ-правилом». Не забывайте проверить независимость способов для «И» и несовместимость (не такими) для «ИЛИ».

Следующие задачи можно решать как перебором вариантов, так и с помощью формул комбинаторики.

Я даю несколько способов решения для каждой задачи, потому что одним способом её можно решить быстро, а другим долго, и потому что кому-то понятнее один подход, а кому-то другой. Но это не значит, что обязательно нужно разбирать все способы. Лучше хорошо усвоить один любимый. Выбор за вами.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет дважды.

Эту задачу можно решить несколькими способами. Рассмотрим тот, который соответствунт заголовку раздела, а именно только применением формул комбинаторики.

В каждом из пяти бросаний монеты может реализоваться один из исходов — орёл или решка — для краткости «о» или «р». Таким образом, результатом серии испытаний будет группа из пяти букв, составленная из двух исходных, а значит с повторениями. Например, «оорор» означает, что два раза подряд выпал орел, затем решка, снова орёл и снова решка. Следовательно, чтобы вычислить число всех возможных исходов, нужно подсчитать число размещений из n = 2 по k = 5 с повторениями, которое определяется по формуле

nk = nk;  25 = 25 = 32.

Благоприятствующие исходы — орел выпадет ровно два раза — представляют собой пятибуквенные «слова», составленные из трёх букв «р» и двух «о», которые могут стоять на разных позициях, например, «opppo» или «poopp», т.е. это перестановки с повторениями. Их число определяется по формуле

n = = = = 10,

где n = 5 количество переставляемых букв, no = 2 и np = 3 — число повторений букв «о» и «р», соответственно.

По формуле классической вероятности получим P = = 0,3125

Однако, если Вы не знаете этих формул, школьных экзаменов по математике не бойтесь. Не только на ОГЭ и базовом ЕГЭ, но и на ЕГЭ профильного уровня, обычно предлагают рассмотреть короткие серии испытаний. В таких случаях Вы сможете выписать и рассмотреть исходы явным образом. Пробуйте.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет

Способ II. Можно заметить, что условия испытания удовлетворяют схеме Бернулли с p = 1/2 и q = 1/2 и воспользоваться формулой
P(0) = C03·(1/2)0(1/2)(3-0) = 1·(1/2)3 = 1/8 = 0,125.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Способ II. Условия испытания удовлетворяют схеме Бернулли с p = 1/2 и q = 1/2, значит по формуле P(1) = C13·(1/2)1(1/2)(3-1) = 3·(1/2)1·(1/2)2 = 3/8 = 0,375.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет хотя бы один раз.

Способ II. По формуле Бернулли с учетом правила сложения (хотя бы 1 из 3-х = или 1, или 2, или 3) P(А) = P(1) + P(2) + P(3) = C13·(1/2)1(1/2)(3-1) + C23·(1/2)2(1/2)(3-2) + C33·(1/2)3(1/2)(3-3) = (3 + 3 + 1)·(1/2)3 = 7/8= 0,875.

Способ III. Событие «орел выпадет хотя бы один раз» противоположно событию «орел не выпадет ни разу.» Вероятность последнего равна 0,125. Мы определили её в задаче 10. Значит P(A) = 1 − 0,125 = 0,875 по формуле для вероятности противоположного события.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Воспользуемся правилом умножения для независимых испытаний. При каждом бросании возможны 2 исхода, значит при 4-ех бросаниях возможны 2·2·2·2 = 16 исходов. При каждом бросании орел не выпадет одним способом, значит при 4-ех бросаниях он не выпадет 1·1·1·1 = 1 одним способом. По формуле P(А) = 1/16 = 0,0625.

Замечание: Конечно, эту задачу можно было бы решить любым из способов, рассмотренных раньше. Но чем больше число возможных исходов, тем дольше и бессмысленнее решать перебором вариантов.

Cамый лучший способ при большом числе бросаний — формула Бернулли. Попробуйте применить её в этой задаче самостоятельно.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Способ II. Для этой задачи хорошо считать варианты с помощью таблички.

Замечание: Правила округления мы повторяли при решении текстовых задач.

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Способ II. Для этой задачи тоже можно посчитать варианты с помощью таблички, но уже 3-D!

Подробное решение лучше посмотреть в анимации.

Решение задач с применением таблиц

Вы можете увидеть видео решения этих задач на на youtube-канале Mathematichka

А если ваш браузер всё ещё поддерживает Flash, то вы лучше посмотреть анимированные графические решения

задачи 14    
   
и задачи 15

способом II — перебором вариантов с использованием таблиц. (Для просмотра щелкните по иконке.)

Постарайтесь рассмотреть эти примеры не только как решение конкретной задачи, но и как иллюстрацию к правилам сложения и умножения исходов испытаний, а также для того, чтобы окончательно определиться с выбором метода решения для экзамена. Как лучше — перебором вариантов или по формулам?

Но, если Вы всё ещё допускаете ошибки при решении задач на классическое определение вероятности, то, быть может, они имеют такое же происхождение, как в известном анекдоте про динозавра. В таком случае перейдите по ссылке к анализу логических ошибок.

Задачи на правила сложения и умножения вероятностей

Внимание: на сайте появился раздел Задачи на правила сложения и умножения вероятностей Чтобы посмотреть эти задачи, перейдите по ссылке.

Рекомендую почитать

• Лютикас В.С. Школьнику о теории вероятностей. — М. «Просвещение», 1976.
• Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Пер. с англ. — М. «Наука», 1985.

Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ по математике.

Обычно базовую математику выбирают ребята, у которых есть план: надо как можно скорее разделаться с бесполезным для поступления предметом и сосредоточиться на своем наборе вступительных. Из этой статьи вы узнаете, как сдать базовую математику максимально быстро и просто.

В этой статье:

Какие задания решать, чтобы сдать базовую математикуКакие задания мы не разобрали и почему

Как сдать базовую математику: инструкция

В этом материале мы сделаем акцент на простых номерах, которые принесут вам балл почти задаром! Они обозначены пометкой «Обязательно делать» — таких заданий 10. Как раз с запасом на ошибки, ведь минимум для сдачи базовой математики — 7 баллов.

Для тех, кто хочет получить выше тройки — это 12 баллов и выше, — мы дали рекомендации по еще 3 задачам. В сумме получается 13 номеров. Решите их все, и твердая четверка у вас в кармане.

Какие задания решать, чтобы сдать базовую математику

Проверяется ваше умение разделить случаи, когда требуется округлить величину в большую сторону, а когда — в меньшую.

Если вы ходите в магазин с наличными, то сталкиваетесь с подобными задачами каждый день. Разделим 100 рублей на стоимость одной упаковки йогурта. Не забывайте приводить все величины к одной размерности:

Так сколько баночек йогурта вам продадут? На 7 штук денег не хватает, значит, округлить полученную величину надо до целого в меньшую сторону. Математическое правило округление в этой задаче не поможет.

Если одна пачка рассчитана на 6 рулонов, то на 63 рулона:

63 : 6 = 10,5.

Но полпачки вам не продаст. Включаем логику: возьмем меньше — не хватит еще половины пачки на три последних рулона. Значит, округлить надо в большую сторону, взять клей с небольшим запасом. Математическое правило округления снова игнорируем.

Обязательно делать

Это задача на здравый смысл. Нужно соотнести величины с их возможными значениями.

Вряд ли грузовой автомобиль может весить как 3 шоколадки (300 г), а взрослый человек — 8 т.

Давайте вместе подберем значения.

Главное — внимательно перенести ответы в бланк: 3142.

Задание на работу с графиком, диаграммой или таблицей. Вооружайтесь карандашом, читайте условие с предельной внимательностью и безжалостно отмечайте нужные по условию значения на изображении в КИМ. Вы и представить не можете, сколько выпускников теряет тут баллы по невнимательности.

Мы ярко отметили уровень, соответствующий Амуру, в итоге посчитать все более длинные реки стало проще простого. У вас на экзамене будет так же наглядно!

Задание проверяет навык работы с формулами. Алгоритм решения напоминает решение задачек на уроке по физике:

Самое трудное тут — правильно выразить искомую величину. Для этого повторяем порядок выполнения арифметических операций, свойства умножения, тренируемся перекидывать через равно множители и слагаемые.

И да, в базе эта задача проста настолько, что даже перекидывать ничего не придется. Нужная величина уже будет слева от равно.

Простая задача на определение вероятности, которая поможет вам точно сдать базовую математику.

Решаем с помощью формулы:

Внимательно читайте вопрос: спрашивают вероятность купить исправную лампочку. Если из ста 3 неисправны, значит, остальные в порядке и подойдет любая из оставшихся 97. Это и есть наши благоприятные исходы из формулы.

97 : 100 = 0,97.

Будьте внимательны: иногда в задаче есть указание к округлению. Значит, ответ у вас выйдет некрасивый, в виде бесконечной десятичной дроби, которую вы округлите до нужного разряда.

Еще один подвох: формулировка с предлогом «на». К примеру, «На 100 лампочек 3 неисправны. Найдите вероятность купить неисправную». Подходящие исходы тут даны явно: 3 неисправные лампочки. А вот число всех исходов спрятано, и найти его будет нужно сложением исправных и неисправных лампочек: 100 + 3 = 103.

Задание проверяет навык чтения информации из таблицы и подбора подходящего по условию варианта.

Например, вы нашли вариант позвать первого, третьего и пятого переводчиков. Получите весь набор языков как раз за 12 тысяч. Но обратите внимание, что это решение далеко не единственное.

Задание 7

Мы не выделяем это задание в обязательные, так как для его выполнения понадобится навык анализа поведения функции по графику. Но, как его решать, сейчас коротко расскажем.

Запомним: точка максимума будет на «горке», точка минимума — в «ямке». Функция убывает, если идет вниз слева направо. Возрастает, если идет вверх слева направо.

Если не повезет, то придется вспомнить азы теории по производной.

Здесь все дело в касательных. Нужно внимательно к ним присмотреться. Если касательная к графику возрастает, то значение производной будет положительное, если убывает — отрицательное. Производная будет тем больше по величине (модулю), чем быстрее возрастает или убывает касательная.

Задача проверяет умение делать логичные выводы из утверждения. Иногда попадаются совсем простые задания, к таким даже дополнительно готовиться не надо.

Все, что от вас требуется, — схематично изобразить на черновике ясень, рябину и осину, указать известную разницу в высоте и внимательно сопоставить картинку с утверждениями.

Важно: не додумывайте дополнительные условия, не указанные в тексте задачи. Учитесь читать строго то, что написано.

Исходя из рисунка выше получаем, что верны только утверждения 1 и 4.

А бывают случаи, когда с визуализацией задачки придется постараться.

Тут иллюстрация не так очевидна, но нам помогут круги Эйлера. Этот инструмент позволяет наглядно изобразить множество объектов. В данном случае — школьников. Давайте прикинем, как ребята могут распределиться по кружкам.

Например, так. Тут из 20 человек на кружки в итоге ходят 13. Причем 10 из них очень активны и выбрали сразу два предмета. Трое ограничились только историей.

Конечно, возможны еще промежуточные варианты, но мы нарисовали два крайних. Теперь попробуем ответить на вопросы.

Так что для решения иногда мало логики — понадобится еще немного воображения. Потренируйтесь, и ваши шансы получить балл увеличатся.

Задание проверяет базовые навыки счета, которым учат в 5–6-м классах. Чтобы получить балл и сдать базовую математику, надо:

Уделите пару вечеров отработке алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных и десятичных дробей, и это задание у вас в кармане.

Задание 15

Составители экзамена проверяют ваш навык работы с процентами и единицами отношения. Такие задачи бывают четырех типов.

Тип 1. Найти часть от числа

Часть может быть выражена в процентах или сразу в виде дроби. Например, придется искать треть от чего-то.

Рассмотрим на примере реальной задачи из экзамена:

Прочувствуйте специфику задачи: нам известно целое — вся зарплата до вычета налога. А работать мы будем с кусочком — 13 процентами. Сколько это в рублях, нам еще предстоит узнать.

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно сделать три шага:

1. Перевести процент в десятичную дробь.

Для этого всегда надо количество процентов поделить на 100.

13 : 100 = 0,13.

2. Найти, сколько это от зарплаты в рублях.

Запоминаем главное правило для этого типа задач: чтобы найти дробь от числа, надо число умножить на эту дробь.

12 500 ∙ 0,13 = 1 625 (руб.) — налог, который удержат с зарплаты Ивана Кузьмича.

3. Ответить на вопрос задачи.

У нас просили зарплату после вычета налога, а не сам налог.

12 500 – 1625 = 10 875 (руб.).

Будьте внимательны: многие совершают ошибку именно на последнем шаге!

Тип 2. Найти число по его части

Прочувствуйте разницу с прошлой задачей: тут 124 — и есть 25%, то есть одна и та же величина выражена в процентах и в абсолютных величинах, в данном случае — в учениках. Просят узнать целое — 100%.

1. Переводим процент в десятичную дробь:

25 : 100 = 0,25.

2. Находим, сколько учеников всего.

Правило для этого типа задач: чтобы найти целое, надо часть разделить на дробь.

124 : 0,25 = 496 (уч.) — всего.

Тип 3. Найти, сколько процентов часть составляет от целого

Особенность подобных заданий: не дано процентов, есть только абсолютные величины. В данном случае — стоимость футболки в рублях.

1. Находим, какую долю новая цена составляет от первоначальной.

Запоминаем правило: чтобы найти, какую долю часть составляет от целого, надо часть разделить на целое.

680 : 800 = 0,85.

2. Переводим долю в процент.

В прошлых задачах мы уже дважды выполнили обратное действие. В этот раз сделаем наоборот: умножим полученную дробь на 100.

0,85 ∙ 100 = 85% — столько процентов новая цена составляет от старой.

3. Отвечаем на вопрос задачи.

Нас спросили, на сколько процентов цена снизилась, что стала 85% от первоначальной. Конечно, изначально она была 100%. Итого:

100 – 85 = 15%.

Тип 4. Задачи на соотношение

Если перефразировать условие, то за первого кандидата проголосовали 3 части избирателей, а за второго — 2 части. Особенность этих частей в том, что они одинаковые по величине.

Если одна будет состоять из 10 человек, то за первого кандидата будет 30, а за второго — 20.

1. Считаем общее количество частей:

3 + 2 = 5.

2. Узнаем, сколько голосов составляет одна такая часть.

Тут речь о процентах проголосовавших. Сколько всего проголосовало? Конечно, 100%! Значит, каждая из пяти частей «весит»

100 : 5 = 20%.

За проигравшего проголосовало меньше частей избирателей. В нашем случае 2.

20 ∙ 2 = 40%.

Решение этих задач удобнее всего оформить табличкой:

1 часть = 100% : 5 = 20%.

Если рассчитываете решать текстовую задачу, включите здравый смысл. Ответ всегда можно проверить на адекватность благодаря обычной логике.

Задание на решение выражения. На самом деле оно проверяет знание теории, так как в этом задании вам могут встретиться:

Ваша задача, соответственно, — знать:

Вы можете подробно ознакомиться с ними и научиться выводить в этой статье.

Обратите внимание: нужная теория будет в справочных материалах на экзамене, но это не поможет, если вы не научитесь применять ее для решения заданий. Практика обязательна!

В номере с уравнениями вам не встретятся тригонометрические. Зато вы точно увидите там:

Раскрываем скобки, если они есть, слагаемые с х переносим в одну сторону от равно, без х — в другую. Приводим подобные и решаем простейшее уравнение.

Бывают полные и неполные, всего надо повторить три алгоритма решения! А формула дискриминанта еще и в справочных материалах есть.

Это те, что с корнем. Чтобы избавиться от корня, возводим обе части уравнения в квадрат и решаем получившееся уравнение. Есть нюансы с областью допустимых значений: подставьте полученные корни в исходное уравнение и проверьте, выполняется ли равенство. Если нет, то подставленное значение решением не будет.

Ваша задача — с помощью формул свойств степеней привести уравнение к виду, когда слева и справа от равно в основании степени будет одно и то же число. После приравниваем показатели и решаем. Вот так:

С помощью формул свойств логарифмов приводим уравнение к виду, когда слева и справа от равно будет логарифм с одинаковым основанием. После приравниваем выражения под логарифмом и решаем.

Прелесть уравнений в том, что ответ всегда можно проверить подстановкой вместо x в уравнение. Не забывайте проверять, ведь это возможность убедиться на 100%, что вы не упустите заветный балл.

Задание 19

Если хотите сдать базовую математику и решить номер 19, надо ознакомиться со свойствами целых чисел и признаками делимости. Иногда решение можно найти даже подбором! Попробуйте — времени на базовом ЕГЭ вам точно хватит.

Для начала нужно запомнить все признаки делимости.

А теперь посмотрим на типичное задание 19.

Тут помогут признаки делимости. Отдельного признака для 12 нет, потому нам надо разложить его на множители, признаки делимости для которых есть.

Теперь проверим признак для 3: 7 + 5 + 1 + 5 + 7 + 6 = 31. Какое ближайшее число разделится на 3? Конечно, 30. Если мы вычеркнем единичку, все сойдется.

Другой вариант задания:

А задание такого типа можно попытаться подобрать, расположений не слишком много. Мы все же постараемся порассуждать, чтобы уменьшить количество возможных вариантов.

Чтобы число делилось на 10, оно должно заканчиваться на 0. Например, это получится, если сложить 7 + □7 + □□6. Уже немного легче. Остальное просто подберем. Под условие задачи подойдет 7 + 27 + 356 = 390.

Какие задания мы не разобрали и почему

Теперь вы знаете, как сдать базовую математику, решив всего семь заданий. Но некоторые номера базового ЕГЭ включают слишком большое разнообразие прототипов, и методы их решения не ограничиваются парой простых алгоритмов.

Например, в эту группу относятся все задания по геометрии: с 9 по 13. Чтобы решать геометрию, мало знать основные фигуры и формулы. Необходим навык, который вырабатывается только практикой. Однако у нас есть статья про окружность — в ней вы найдете много полезной информации.

Задание 18 обычно, хотя и не всегда, содержит неравенство.

Это объемный блок теории, которую тоже необходимо подкреплять практикой. Но, может, вам повезет и попадется задачка на расположение значений на числовой прямой.

Тут достаточно примерно прикинуть значения и аккуратно внести ответы в бланк. Ясно, что 7/3  больше 2, но меньше 3. Корень из 26 равен 5 с копейками, а степень –1 из 3/5 сделает 5/3, или чуть больше 1,5. Подобные задания надо пытаться делать обязательно!

Задание 20. С этим заданием ученики знакомы еще с 9-го класса, так как оно было под номером 21 на ОГЭ. Это текстовая задача:

В задании 21 на ОГЭ не было прогрессий, но они были в первой части на ОГЭ, так что ничего нового.

Задание 21. Здесь попадаются разные типы неочевидных задач на логику — чем-то они даже похожи на олимпиадные. Решение каждой нужно рассматривать отдельно и подробно. Если хотите прочитать о том, какие задачи бывают в 21-м номере, пишите в комментариях, и Maximum поделится своими методами решения!

Не знаете, какой вуз выбрать? Воспользуйтесь бесплатной консультацией в нашем центре. Что это такое? Все просто: вы расскажете о себе и о своих интересах. А специалист посоветует, на какие специальности обратить внимание, в какой вуз поступать, какие ЕГЭ сдавать. Так вы сэкономите время на подготовку и сможете выбрать образование, которое точно окажется для вас интересным и полезным!

Решение и ответы заданий из сборника по математике () И.В. . ГДЗ база для 11 класса. Полный разбор.

Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 11 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 15 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 9 литров маринада?

Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.

На диаграмме показана средняя цена алюминия во все месяцы 2021 годов. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали – средняя цена тройской унции золота в долларах США.

Определите по диаграмме, на сколько долларов США цена тройской унции золота в ноябре была выше, чем в апреле 2021 года.

Задание 5.В сборнике билетов по химии всего 15 билетов, в 6 из них встречаются вопрос по теме «Соли». Найдите вероятность того что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Соли».

Путешественник из Москвы хочет посетить четыре города Золотого кольца России: Владимир, Ярославль, Суздаль и Ростов Великий. Турагентство предлагает маршруты с посещением некоторых городов Золотого кольца. Сведения о стоимости билетов и маршрутах представлены в таблице.

Какие маршруты должен выбрать путешественник, чтобы побывать во всех четырёх городах и затратить менее 6000 рублей?В ответе укажите какой-нибудь один набор номеров маршрутов без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

На рисунках изображены графики функций и касательные, проведённые к ним в точках с абсциссой x0. Установите соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке x0.ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Фирма приобрела стеллаж, стол, проектор и ксерокс. Известно, что стеллаж дороже стола, а ксерокс дешевле стола и дешевле проектора. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Стол дешевле ксерокса. 2) Стеллаж дороже ксерокса. 3) Стеллаж и ксерокс стоят одинаково.4) Ксерокс – самая дешёвая из покупок.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м. Ответ дайте в метрах.

Вода в сосуде, имеющем форму правильной четырёхугольной призмы, находится на уровне  = 180 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы, у которого сторона основания втрое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, AB = 45, AC = 72. Найдите BD.

В треугольной пирамиде АВСD рёбра АВ, АС и АD взаимно перпендикулярны. Найдите объём этой пирамиды, если АВ = 3, АС = 18 и АD = 7.

В школе французский язык изучают 104 учащихся, что составляет 16% от числа всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе?

Найдите значение выражения (√15 – 8)(√15 + 8).

Задание 18.Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий решению номер.

Найдите четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 55, но меньше 65. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 18 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 6 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 33 часа после отплытия из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?

В доме всего десять квартир с номерами от 1 до 10. В каждой квартире живёт не менее одного и не более четырёх человек. В квартирах с 1-й по 6-ю включительно живёт суммарно 9 человек, а в квартирах с 4-й по 10-ю включительно живёт суммарно 22 человек. Сколько всего человек живут в этом доме?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2023. ФИПИ школе. Математика базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В. Ященко. 30 вариантов.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!

В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.

Решение и ответы заданий демонстрационного варианта ЕГЭ 2022 по математике (базовый уровень). Демоверсия ФИПИ для 11 класса. Демовариант.

Баночка йогурта стоит 14 рублей 60 копеек. Какое наибольшее количество баночек йогурта можно купить на 100 рублей?

Килограмм моркови стоит 40 рублей. Олег купил 1 кг 600 г моркови. Сколько рублей сдачи он должен получить со 100 рублей?

Для ремонта требуется 63 рулона обоев. Какое наименьшее количество пачек обойного клея нужно для такого ремонта, если 1 пачка клея рассчитана на 6 рулонов?

Задание 3.На диаграмме приведены данные о длине восьми крупнейших рек России (в тысячах километров). Первое место по длине занимает река Лена.На каком месте по длине находится река Амур?

В таблице представлены данные о стоимости некоторой модели смартфона в различных магазинах.Найдите наименьшую стоимость смартфона среди представленных предложений. Ответ дайте в рублях.

На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. На горизонтальной оси отмечены число, месяц, время суток в часах; на вертикальной оси — значение температуры в градусах Цельсия.

Определите по графику наибольшую температуру воздуха 19 февраля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2·R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите P (в ваттах), если R = 5 Ом и I = 7 А.

Задание 5.В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из России.

Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной?

Задание 6.Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу переводчиков. Сведения о кандидатах представлены в таблице.Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой переводчики вместе владеют четырьмя иностранными языками: английским, немецким, французским и испанским, а суммарная стоимость их услуг не превышает 12 000 рублей в день.В ответе укажите какой-нибудь один набор номеров переводчиков без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

В таблице приведены данные о шести чемоданах.

По правилам авиакомпании сумма трёх измерений (длина, высота, ширина) чемодана, сдаваемого в багаж, не должна превышать 203 см, а масса не должна быть больше 23 кг. Какие чемоданы можно сдать в багаж по правилам этой авиакомпании? В ответе укажите номера всех выбранных чемоданов без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице.Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.

В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя; на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.

В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 – кружок по математике. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Каждый ученик этого класса посещает оба кружка. 2) Найдётся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка. 3) Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике. 4) Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.

Во дворе школы растут всего три дерева: ясень, рябина и осина. Ясень выше рябины на 1 метр, но ниже осины на 2 метра. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Среди указанных деревьев не найдётся двух одной высоты.2) Ясень, растущий во дворе школы, выше осины, растущей там же.3) Любое дерево, помимо указанных, которое ниже ясеня, растущего во дворе школы, также ниже рябины, растущей там же.4) Любое дерево, помимо указанных, которое ниже рябины, растущей во дворе школы, также ниже ясеня, растущего там же.

На рисунке изображён план местности (шаг сетки плана соответствует расстоянию 1 км на местности). Оцените, скольким квадратным километрам равна площадь озера Великое, изображённого на плане. Ответ округлите до целого числа.

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах.