Варианты ЕГЭ по математике профильный уровень 2017 год

Содержание

Демонстрационный вариант егэ по математике 2022 профильный уровень
Досрочный вариант егэ по математике профильный уровень
Егэ и гиа 2022 математика материалы для подготовки к экзамену
Егэ по математике (профиль) от 2 июня 2022 года | подготовка к егэ по математике

Демонстрационный вариант егэ по математике 2022 профильный уровень

Демоверсия ЕГЭ по математике 2022 профильный уровень

Официальными источниками информации при подготовке к ЕГЭ служат сайты:

Досрочный вариант егэ по математике профильный уровень

Досрочные варианты ЕГЭ по математике прошлых лет

Назначение демонстрационного варианта ЕГЭ по математике заключается в том, чтобы дать возможность любому участнику экзамена и широкой общественности составить представление о структуре будущих КИМ, количестве заданий, об их форме и уровне сложности.

Егэ и гиа 2022
математика материалы для подготовки к экзамену

На этой странице публикуются
материалы для подготовки к Единому государственному экзамену по
математике 2017. Все представленные материалы получены из открытых
источников и размещаются в ознакомительных целях.

НИКАКИХ «РЕАЛЬНЫХ» КИМов, НИКАКИХ «ОТВЕТОВ» ДО ОКОНЧАНИЯ ЭКЗАМЕНОВ

ЗДЕСЬ НЕТ, НЕ БЫЛО И НЕ БУДЕТ!

Традиционно напоминаю: я не решаю никому никаких задач,
ни за деньги, ни бесплатно, никаких «ответов» никуда не «скидываю».
Обсуждения задач — на
форуме.

Генераторы вариантов ЕГЭ и ГИА

Варианты ЕГЭ по математике профильный уровень 2017 год

Тренировочные варианты ЕГЭ

Тренировочные варианты составляются
в соответствии с демовариантом и по спецификации ЕГЭ по
математике 2016

Варианты публикуются еженедельно: в
субботу — вариант, в пятницу — ответы к нему.

Есть возможность
автоматической проверки 1-12 заданий варианта

ЕГЭ — 2022

Образцы вариантов публикуются только ПОСЛЕ
окончания экзамена в ознакомительных целях

Резервный день 28 июня
2022: Образец
варианта…
Обсуждение…

Основная волна 02 июня
2022:  Образец
варианта…
Обсуждение…       Вариант
301…
Вариант 337…

Досрочный ЕГЭ Резерв 14
апреля
2022:  Образец
варианта…
Обсуждение…

Досрочный ЕГЭ
31 марта
2022:  Образец
варианта…
Образец
варианта 2…
Обсуждение…

Часть «С» вариантов
последних лет.

Образцы вариантов ЕГЭ 2022 … См. также: Учебные пособия.

Все задания части С ЕГЭ 2016С подробными официальными решениями.

Все задания части С ЕГЭ 2022 С подробными официальными решениями.

Янборисова Р.Ш. Математика.
Краткий справочник.

Гущин Д.Д. Встречи
с финансовой математикой

Корогодова А.Б. Геометрические
задачи на ОГЭ и ЕГЭ. Сборник задач с подробными решениями.

Открытый банк ЕГЭ
Cборник заданий 1-14 Открытого Банка ЕГЭ-2022
с ответами.

В.П. Чуваков Квадратичная
функция,
Ускользающая парабола или задачи, сводящиеся к квадратичным,

Шары и
многогранники

А.Г.Корянов, А.А.Прокофьев
Планиметрические задачи на вычисление и доказательство
(задания 18 (С4))

С.К. Кожухов Уравнения и
неравенства с параметром

З.Л. Коропец, А.А. Коропец, Т.А. Алексеева

Математика. Нестандартные методы решения неравенств и их систем.

А.П. Власова, Н.В. Евсеева , Н.И. Латанова

Решение
уравнений в целых числах

А.П. Власова, Н.В. Евсеева , Н.И. Латанова

Показательная и логарифмическая функции в задачах и примерах

Диагностические и
тренировочные работы МИОО в формате ЕГЭ — 2017

а также различные пробные
варианты ЕГЭ

МИОO (Статград):
Тексты вариантов
диагностических работ не публикуются. Только обсуждения решений и
видеоразборы.

22.09 Тренировочная 11 кл	28.09 Тренировочная 10 кл	06.12 Диагностическая 10 кл	19.12 Диагностическая 10 кл
20.12 Тренировочная 11 кл	26.01 Тренировочная 11 кл	08.02 Тренировочная 10 кл	06.03 Тренировочная 11 кл
06.04 Диагностическая 10 кл	19.04 Тренировочная 11 кл	26.04 Диагностическая 10 кл	15.05 Диагностическая 10 кл

Диагностические и
тренировочные работы в формате ОГЭ (ГИА) — 2017

а также различные пробные
варианты ОГЭ (ГИА)

Тренировочные варианты: Варианты публикуются еженедельно в среду,
ответы — в понедельник.

Про ЕГЭ: Гостиничное дело - где учиться, профессии и зарплаты

Прототипы заданий
21-26 ОГЭ (ГИА) 2022…

ГИА последних лет: Образцы вариантов …

МИОО (Статград):
Тексты вариантов
диагностических работ МИОО не публикуются. Только обсуждения решений и
видеоразборы.

Литература для подготовки к
ЕГЭ и ГИА 2017

Варианты ЕГЭ по математике профильный уровень 2017 год

Посмотреть эти и другие книги и сделать
заказ можно
здесь…

Егэ по математике (профиль) от 2 июня 2022 года | подготовка к егэ по математике

14.1.Дана пирамида , в основании которой – трапеция , в основании которой – трапеция ABCD , причём $angle BAD angle ADC=90^{circ}.$
Плоскости
Плоскости (PAB) и и перпендикулярны плоскости основания пирамиды.

Прямые и и пересекаются в точке .
а) Доказать, что .
а) Доказать, что (PAB)perp (PCD).
б) Найти $V_{PKBC},$ если если AB=BC=CD=3, а высота пирамиды равна

Решение: показать

а) Заметим, так как $angle BAD angle ADC=90^{circ},$ то $angle AKD=90^{circ}.$ то $angle AKD=90^{circ}.$

Прямая лежащая в лежащая в (ABC), перпендикулярна линии пересечения перпендикулярных плоскостей а значит, по свойству перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна плоскости а значит, по свойству перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна плоскости PCD.

По признаку перпендикулярности плоскостей, раз плоскость содержит перпендикуляр содержит перпендикуляр к плоскости то плоскости то плоскости PAB,PCD перпендикулярны, что и требовалось доказать.

089

б) Как уже говорилось, значит, в частности, значит, в частности, ABperp PK.

Аналогично, используя то, что имеем, в частности, имеем, в частности, CDperp PK.

То есть перпендикулярна плоскости перпендикулярна плоскости ABC по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Поскольку трапеция равнобедренная, то равнобедренная, то angle KBC=angle KCB, то есть прямоугольный треугольник – равнобедренный, и поскольку его гипотенуза равна – равнобедренный, и поскольку его гипотенуза равна согласно условию, то $BK=KC=frac{3}{sqrt2}.$

Итак, $V_{BCKP}=frac{S_{BCK}cdot PK}{3}=frac{frac{9}{4}cdot 8}{3}=6.$

Ответ:.

14.2.На ребрах и и треугольной пирамиды отмечены точки отмечены точки и

соответственно, причем . Точки . Точки и – середины рёбер – середины рёбер и соответственно.

а) Докажите, что точки и и лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

Решение: показать

a) – средняя линия треугольника – средняя линия треугольника ACD,

Так как , то , то MNparallel AC.

По признаку параллельности прямых Это означает, что точки Это означает, что точки P,Q,M и лежат в одной плоскости.

Варианты ЕГЭ по математике профильный уровень 2017 год

б) $V_{ABCD}=frac{S_{ABC}cdot h}{3},$ где где – высота, опущенная из на на ABC.

Будем искать объем многогранника как сумму объемов пирамид как сумму объемов пирамид AMNCQ,

Треугольники подобны, коэффициент подобия – $frac{3}{4}.$ подобны, коэффициент подобия – $frac{3}{4}.$ Поэтому $S_{MBC}:S_{ABC}=9:16,$ то есть $S_{AMNC}=frac{7}{16}S_{ABC}.$ то есть $S_{AMNC}=frac{7}{16}S_{ABC}.$

Заметим, высота пирамиды (основание – (основание – AMNC ) – $frac{h}{2}$ (из подобия треугольников (из подобия треугольников DHC,QTC с коэффициентом $frac{1}{2}$ ( ( H,T – основания перпендикуляров к плоскости из из D,Q )).

$V_{AMNCQ}=frac{S_{AMNC}cdot frac{h}{2}}{3}=frac{frac{7}{16}S_{ABC}cdot frac{h}{2}}{3}=frac{7}{32}V_{ABCD}.$

С другой стороны $V_{ABCD}=frac{S_{ABD}cdot h'}{3},$ где где – высота, опущенная из на на ABD.

Заметим, высота пирамиды (основание – (основание – APM ) – $frac{h'}{2}$ (аналогично рассуждениям выше).

Тогда

$V_{APMQ}=frac{S_{APM}cdot frac{h'}{2}}{3}.$

Несложно заметить, $S_{APM}=frac{1}{2}cdot APcdot AMcdot sin A=frac{1}{2}cdot frac{AD}{2}cdot frac{AB}{4}cdot sin A=frac{1}{8}S_{ABD}.$

Стало быть, $V_{APMQ}=frac{frac{1}{8}S_{ABD}cdot frac{h'}{2}}{3}=frac{1}{16}V_{ABCD}.$

Итак, $V_{AMNCQP}=frac{7}{32}V_{ABCD} frac{1}{16}V_{ABCD}=frac{9}{32}V_{ABCD}.$

При этом объем второго многогранника есть $V_{ABCD}-frac{9}{32}V_{ABCD}=frac{23}{32}V_{ABCD}.$ есть $V_{ABCD}-frac{9}{32}V_{ABCD}=frac{23}{32}V_{ABCD}.$

Наконец, искомое отношение объемов многогранников – есть

Ответ: б).

14.3.Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом . Диагонали боковых граней . Диагонали боковых граней AA_1B_1B и равны равны и соответственно, соответственно, AB=13.

а) Докажите, что треугольник прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды

Решение: показать

a) по условию. по условию. CC_1perp A_1C_1 (призма – прямая). Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости – прямая). Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости A_1C_1perp CC_1B_1.

Но тогда ( ( BC_1in (CC_1B_1) ) по свойству прямой, перпендикулярной плоскости.

Итак, треугольник – прямоугольный.

Варианты ЕГЭ по математике профильный уровень 2017 год

б) Рассмотрим пирамиду как пирамиду с основанием как пирамиду с основанием A_1BC_1 .

Так как то расстояние от то расстояние от до плоскости равно расстоянию от равно расстоянию от до .

Построим в плоскости перпендикуляр перпендикуляр к Поскольку при этом Поскольку при этом A_1C_1 – перпендикуляр к то то A_1C_1perp CH. Итак, длина длина – длина высоты пирамиды , опущенной из , опущенной из на .

Так как $A_1C_1=sqrt{15^2-9^2}=12,$ то $S_{A_1BC_1}=54.$ то $S_{A_1BC_1}=54.$

Поскольку $S_{BCC_1}=frac{CBcdot CC_1}{2}=frac{CHcdot C_1B}{2},$ то $CH=frac{CC_1cdot CB}{C_1B}.$ то $CH=frac{CC_1cdot CB}{C_1B}.$

Далее,

$BC=sqrt{AB^2-AC^2}=sqrt{13^2-12^2}=5;$

$CC_1=sqrt{BC_1^2-BC^2}=sqrt{9^2-5^2}=2sqrt{14};$

$CH=frac{2sqrt{14}cdot 5}{9}=frac{10sqrt{14}}{9}.$

Итак, $V_{AA_1C_1B}=frac{S_{A_1BC_1}cdot CH}{3}=frac{54cdot frac{10sqrt{14}}{9}}{3}=20sqrt{14}.$

Ответ:

15.1.Решить неравенство

$frac{log_2(4x^2) 35}{log_2^2x-36}geq -1.$

Решение: показать

$frac{log_2(4x^2) 35}{log_2^2x-36}geq -1;$

$frac{log_2(4x^2) 35 log_2^2x-36}{log_2^2x-36}geq 0;$

$frac{log_2^2x log_2(4x^2)-1}{log_2^2x-36}geq 0;$

$frac{log_2^2x (2 log_2x^2)-1}{log_2^2x-36}geq 0;$

$frac{log_2^2x 2log_2|x| 1}{log_2^2x-36}geq 0;$

$frac{(log_2x 1)^2}{(log_2x-6)(log_2x 6)}geq 0;$

Применяем метод замены множителей:

$frac{(log_2x-log_2frac{1}{2})^2}{(log_2x-log_264)(log_2x-log_2frac{1}{64})}geq 0;$

$frac{(x-frac{1}{2})^2}{(x-64)(x-frac{1}{64})}geq 0,$ x>0;

$xin (0;frac{1}{64})cup$ { $frac{1}{2}$ { $frac{1}{2}$ }

Ответ: $(0;frac{1}{64})cup$ { $frac{1}{2}$ { $frac{1}{2}$ }

15.2. Решить неравенство

$frac{log_4(64x)}{log_4x-3} frac{log_4x-3}{log_4(64x)}geq frac{log_4x^4 16}{log_4^2x-9}.$

Решение: показать

$frac{log_4(64x)}{log_4x-3} frac{log_4x-3}{log_4(64x)}geq frac{log_4x^4 16}{log_4^2x-9};$

$frac{3 log_4x}{log_4x-3} frac{log_4x-3}{3 log_4x}geq frac{4log_4x 16}{(log_4x-3)(log_4x 3)}.$

Пусть

$frac{3 m}{m-3} frac{m-3}{3 m}geq frac{4m 16}{(m-3)(m 3)};$

$frac{(m 3)^2 (m-3)^2-4m-16}{(m-3)(m 3)}geq 0;$

$frac{m^2-2m 1}{(m-3)(m 3)}geq 0;$

$frac{(m-1)^2}{(m-3)(m 3)}geq 0.$

Обратная замена:

$frac{(log_4x-1)^2}{(log_4x-3)(log_4x 3)}geq 0;$

$frac{(log_4x-log_44)^2}{(log_4x-log_464)(log_4x-log_4frac{1}{64})}geq 0;$

Применяем метод замены множителей:

$frac{(x-4)^2}{(x-64)(x-frac{1}{64})}geq 0,$ x>0;

$xin (0;frac{1}{64})cup$ {{}

Ответ: $(0;frac{1}{64})cup$ {{}

16.1.Точка – середина боковой стороны – середина боковой стороны трапеции На стороне На стороне отмечена точка так, что так, что CKparallel AE. Прямые пересекаются в точке пересекаются в точке

Про ЕГЭ: Реальный ЕГЭ от 7 июня 2021. Основная волна. Вариант 1 | Подготовка к ЕГЭ по математике

а) Докажите, что

б) Найдите отношение оснований трапеции и и AD, если площадь треугольника составляет $frac{9}{64}$ составляет $frac{9}{64}$ площади трапеции

Решение: показать

а) Пусть – точка пересечения – точка пересечения AB,DC.

Пусть

Пусть коэффициент подобия – – .

Тогда

С учетом того, что – середина – середина CD, имеем: $CE=ED=frac{y(k-1)}{2}.$

Треугольники подобны по двум углам (угол подобны по двум углам (угол – общий, углы равны как соответственные углы при параллельных прямых равны как соответственные углы при параллельных прямых KC,AE и секущей ).

Тогда

$frac{FK}{FA}=frac{FC}{FE};$

$frac{FK}{kx}=frac{y}{y frac{y(k-1)}{2}};$

$FK=frac{2kx}{1 k};$

Замечаем, что Действительно,

$frac{x}{frac{2kx}{1 k}}=frac{y frac{y(k-1)}{2}}{ky};$

$frac{x}{frac{2kx}{1 k}}=frac{y yk}{2ky};$

$frac{k 1}{2k}=frac{k 1}{2k}.$

Учитывая, что у треугольников общий угол общий угол и , получаем, что , получаем, что Delta FKD подобен Откуда Откуда BEparallel KD.

Тогда по теореме о пропорциональных отрезках Так как Так как CE=ED, то и

Что и требовалось доказать.

б) Если – площадь треугольника – площадь треугольника BCF, то в силу подобия

$S_{AFD}=k^2S$ ( ( – из пункта (a)).

Тогда $S_{ABCD}=S(k^2-1)$ .

Согласно условию $S_{BCK}=frac{9S(k^2-1)}{64}.$

Так как $frac{S_{BCF}}{S_{BCK}}=frac{BF}{BK},$ то, используя данные пункта (а), получаем:

$frac{S_{BCF}}{S_{BCK}}=frac{k 1}{k-1}.$

Далее,

$frac{S}{frac{9S(k^2-1)}{64}}=frac{k 1}{k-1};$

$frac{64}{9(k^2-1)}=frac{k 1}{k-1};$

$frac{64}{9(k 1)}=k 1;$

$(k 1)^2=frac{64}{9};$

$k=frac{5}{3}.$

Итак,

Ответ:

16.2. Две окружности с центрами и и O_2 пересекаются в точках и и , причём точки и и O_2 лежат по разные стороны от прямой . Продолжения диаметра . Продолжения диаметра первой окружности и хорды этой окружности пересекают вторую окружности в точках этой окружности пересекают вторую окружности в точках и соответственно.

а) Докажите, что треугольники и и O_1AO_2 подобны.

б) Найдите , если , если angle DAE=angle BAC, радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и .

Решение: показать

а) Линия центров перпендикулярна прямой перпендикулярна прямой AB. Действительно, из равенства треугольников по трем сторонам вытекает равенство углов, например, по трем сторонам вытекает равенство углов, например, AO_1O_2,BO_1O_2; равенство указаных углов говорит о том, что содержит биссектрису угла содержит биссектрису угла O_1 треугольника а поскольку треугольник а поскольку треугольник ABO_1 равнобедренный, то

Угол опирается на диаметр опирается на диаметр первой окружности, поэтому $angle B=90^{circ}.$ То есть и То есть и CBperp AB.

Имеем:

Откуда

Также замечаем, что вписанный и центральный углы опираются на одну дугу, то есть опираются на одну дугу, то есть 2angle ADB=angle AO_2B. – биссектриса угла – биссектриса угла AO_2B, потому

Итак, треугольники и и O_1AO_2 подобны по двум углам.

б) Очевидно, – диаметр второй окружности (угол – диаметр второй окружности (угол – прямой, опирается на ).

Треугольники подобны по двум углам ( $angle B=angle D=90^{circ},angle DAE=angle BAC$ подобны по двум углам ( $angle B=angle D=90^{circ},angle DAE=angle BAC$ по условию).

$frac{AE}{AC}=frac{AD}{AB};$

$3=frac{AD}{3};$

Ответ:б)

16.3. Основания трапеции равны и и , а её диагонали равны и и .

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Решение: показать

17.1.В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг увеличивается на % по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.

Если ежегодно выплачивать по рублей, то кредит будет полностью погашен за рублей, то кредит будет полностью погашен за года, а если ежегодно выплачивать по рублей, то кредит будет полностью погашен за рублей, то кредит будет полностью погашен за года. Найдите .

Решение: показать

Пусть кредит взят на сумму рублей.

Пусть

Поскольку банковский процент – , то каждый январь остаток долга будет умножаться на коэффициент $frac{r 100}{100},$ , то каждый январь остаток долга будет умножаться на коэффициент $frac{r 100}{100},$ назовем его

Первая схема

В первый год после действия процента и первой выплаты в рублей на счету останется:

рублей,

во второй год после действия процента и выплаты в рублей на счету останется:

рублей

и так далее.

Наконец, четвертой выплатой в рублей кредит полностью погашается:

(1)

Вторая схема

В первый год после действия процента и первой выплаты в рублей на счету останется:

рублей,

Второй выплатой в рублей кредит полностью погашается:

(2)

Итак, из (1)

а из (2)

Тогда

$frac{p^4x}{p^2x}=frac{ a(p^3 p^2 p 1)}{b(p 1)};$

$p^2=frac{121}{100};$

$p=frac{11}{10}.$

Откуда

$frac{r 100}{100}=frac{11}{10};$

Ответ:

17.2. В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
– в январе каждого года долг увеличивается на % по сравнению с предыдущим годом

– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, на какую сумму взяли в кредит в банке, если известно, что кредит был выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат на рублей больше суммы взятого кредита.

Про ЕГЭ: 35 важнейших дат в истории России

Решение: показать

Пусть кредит был взят на сумму рублей.

После первого действия процента на счету окажется рублей.

Пусть размер платежа – рублей.

Тогда после первой выплаты долг составит рублей.

Процент срабатывает второй раз, на счету – После второй выплаты долг составит После второй выплаты долг составит (1,3^2cdot x-1,3cdot y-y) рублей.

Процент срабатывает третий раз, на счету –

Кредит был выплачен тремя равными платежами (за три года), потому

При этом согласно условию

Тогда

Откуда рублей.

Ответ:

17.3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму млн. рублей на неко- торый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на млн. рублей на неко- торый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на % по сравнению с концом преды- дущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила млн. рублей?

Решение: показать

Пусть кредит был взят на лет.

Первая выплата составила $frac{18}{n} 0,1cdot 18.$

Вторая выплата составила $frac{18}{n} 0,1cdot frac{18(n-1)}{n}.$

Третья выплата составила $frac{18}{n} 0,1cdot frac{18(n-2)}{n}.$

И так далее…

Последняя выплата составила $frac{18}{n} 0,1cdot frac{18}{n}.$

Общая сумма выплат:

$ncdot frac{18}{n} frac{0,1cdot 18}{n}(n (n-1) (n-2) ... 1)=18 1,8cdot frac{n 1}{2}cdot n=18 0,9(n 1).$

По условию общая сумма выплат после полного погашения кредита составила млн. рублей, поэтому

Ответ:

18.1. Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение

$sqrt{5x-3}cdot ln(x^2-6x 10-a^2)=0$

имеет ровно один корень на отрезке

Решение: показать

Необходимо найти значения , при которых данная система

$begin{cases} left[begin{gathered} 5x-3=0,& ln(x^2-6x 10-a^2)=0;& end{gathered}right& &frac{3}{5}leq xleq 3,& &x^2-6x 10-a^2>0;& end{cases}$

имеет одно решение.

$begin{cases} left[begin{gathered} x=frac{3}{5},& (x-3)^2=a^2;& end{gathered}right& &frac{3}{5}leq xleq 3,& &x^2-6x 10-a^2>0;& end{cases}$

$begin{cases} left[begin{gathered} x=frac{3}{5},& x=3pm a;& end{gathered}right& &frac{3}{5}leq xleq 3,& &(x-3)^2 1-a^2>0;& end{cases}$

Заметим, удовлетворяют последней строке системы.

Случай 1

$x=frac{3}{5}$ – единственное решение системы.

Тогда

$begin{cases} (frac{3}{5}-3)^2 1-a^2>0,& &left[begin{gathered} 3-a>3,& 3-aleq frac{3}{5};& end{gathered}right& &left[begin{gathered} 3 a>3,& 3 aleq frac{3}{5};& end{gathered}right& end{cases}$

$begin{cases} (a-frac{13}{5})(a frac{13}{5})<0,& &left[begin{gathered} a<0,& ageqfrac{12}{5};& end{gathered}right& &left[begin{gathered} a>0,& aleq-frac{12}{5};& end{gathered}right& end{cases}$

Случай 2

– единственное решение системы.

Тогда

$begin{cases} (frac{3}{5}-3)^2 1-a^2leq 0,& &frac{3}{5}leq 3-aleq 3,& &left[begin{gathered} 3 a>3,& 3 a<frac{3}{5};& end{gathered}right& end{cases}$

$begin{cases} (a-frac{13}{5})(a frac{13}{5})geq 0,& &0leq aleq frac{12}{5},& &left[begin{gathered} a>0,& a<-frac{12}{5};& end{gathered}right& end{cases}$

Нет значений , отвечающих системе.

Случай 3

– единственное решение системы.

Тогда

$begin{cases} (frac{13}{5}-3)^2 1-a^2leq 0,& &frac{3}{5}leq 3 aleq 3,& &left[begin{gathered} 3-a>3,& 3-a<frac{3}{5};& end{gathered}right& end{cases}$

$begin{cases} (a-frac{13}{5})(a frac{13}{5})geq 0,& &-frac{12}{5}leq aleq 0,& &left[begin{gathered} a<0,& a>frac{12}{5};& end{gathered}right& end{cases}$

Нет значений , отвечающих системе.

Итак,

Ответ:

19.1.На доске написано различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру , или на цифру . Сумма написанных чисел равна . Сумма написанных чисел равна 2454 .

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на и на и на .

б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на ?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на , может быть записано на доске?

Решение: показать

а) Нет, на доске не может быть написано поровну чисел, оканчивающихся на и на и на . В противном случае сумма таких чисел оканчивалась бы на ( ( 15cdot 2 15cdot 6=120 ), что противоречит условию.

б) Нет, среди чисел на доске не может ровно одно число заканчиваться на Это бы означало, что Это бы означало, что чисел должно оканчиваться на . Но даже если брать . Но даже если брать 2;12;22;... , то сумма таких слагаемых будет $frac{(2 282)cdot 29}{2},$ таких слагаемых будет $frac{(2 282)cdot 29}{2},$ то есть что больше что больше 2454.

в) Определим, какое наибольшее количество чисел, оканчивающихся на может быть записано на доске.

Пусть на доске чисел, оканчивающихся на чисел, оканчивающихся на Сумма таких чисел будет не меньше суммы набора таких чисел будет не меньше суммы набора 2;12;22;..;2 10(n-1).