- За что дают баллы?
- Решу егэ
- С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в егэ по математике
- Сборник экономических задач по математике | материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме: | образовательная социальная сеть
- Тип 1. равные платежи
- Тип 2. равномерно убывающий долг
- Тип 3. долг, убывающий согласно табличке
- Тип 4. погашение кредита в два этапа.
- Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в егэ по математике
За что дают баллы?
Знание критериев оценивания экономической (банковской) задачи № 17 в ЕГЭ по математике поможетученику чувствовать себя увереннее, ведь выставление баллов — это не какая-то магия и не вредность экспертов. Все правила игры прописаны в нормативных документах.
17-ый номер стоит 3 балла. Чтобы узнать, как их присуждают, мы залезли в методические рекомендации для членов предметных комиссий.
Согласно пояснениям из документа, для получения одного балла мало просто обоснованно составить математическую модель по задаче, надо предложить правильный метод ее анализа.
Два балла получит школьник, который ошибся в вычислениях или не обосновал появление математической модели в решении. Например, согласно методическим рекомендациям, решение на 2 балла выглядит так:
А вот отсутствие промежуточных вычислений хоть и усложняет проверку, но баллы не снимает.
Идеально выполненная первая часть ЕГЭ по профильной математике принесет школьнику всего 62 тестовых балла. Добавим сюда пару ошибок по невнимательности, и останутся совсем крохи — баллов 50, не больше. Для поступления на бюджет мало, а значит необходимо планировать делать вторую часть!
Однако кредиты – не единственный прототип 17-го номера, и в следующий раз мы расскажем, как научить школьника решать задачи на оптимальный выбор и ценные бумаги.
Решу егэ
При удорожании коммунальных услуг на 100%, общая сумма увеличилась бы на 70%. А если бы электричество подорожало на 100%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 20%. Значит, в общем платеже на коммунальные услуги приходится 70%, а на электричество — 20%. Поэтому на телефон приходятся оставшиеся 10%.
Приведём другие решения.
1. Алгебраический подход.
Пусть плата за коммунальные услуги и электричество составляет х руб. в месяц, а за телефон — у руб. Если плата и за коммунальные услуги, и за электричество увеличится на 50%, эта часть оплаты составит 1,5x руб, что повлечет увеличение общей суммы платежа на 35% 10% = 45%. Тогда
Следовательно, 
откуда 
Это означает, что на телефон приходится 
часть от общей суммы платежа, а это составляет 10%.
2. Арифметика помогает алгебре.
Если все три вида предоставляемых услуг подорожают на 50%, то общая сумма платежа увеличится на 50%. Но из-за того, что платеж за услуги телефонии останется неизменным, общая сумма платежа после подорожания по остальным двум видам услуг будет на 50% − 35% −10% = 5% меньше. Эти 5% — доля телефонии в числе 50% оплаты за все услуги. Тем самым, доля оплаты за телефон составляет 5/50 или 10% от общей суммы.
3. Система линейных уравнений.
Обозначим за x долю общей оплаты, приходящейся на коммунальные услуги, за y — на электричество и за z — на телефон. Составим систему уравнений. Сумма всех оплат 
— первое уравнение. Увеличиваем в 1,5 раза коммунальные услуги: 
— второе уравнение. Увеличиваем в 1,5 раза оплату за электричество: 
— третье уравнение. Затем вычитаем из третьего уравнения первое, получаем 
отсюда 
Затем вычитаем из второго уравнения первое, получаем 
отсюда 
Подставляем в первое уравнение: 
отсюда 
или 10%.
Ответ: 10%.
Ответ: 10%.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 106.
С чего начать разбор экономической (банковской) задачи в егэ по математике
Экзамен немного утрирует реальную ситуацию, в жизни кредит работает сложнее. Однако грустно упускать возможность рассказать школьнику что-то из реальности! Если у вас есть опыт с кредитованием, самое время им поделиться. Если нет, то воспользуйтесь нашим:
- Например, расскажите, что клиенту придется сверх купить страховку на случай потери работоспособности, ведь банк не хочет терять прибыль даже если на заемщика кирпич упадет. Ваши ученики знают, как работает страховка?
- Расскажите о механизме аннуитетного платежа: как часть денег банк забирает себе в качестве дохода, то есть на погашение процентов за пользование кредитом; а на вторую часть уменьшает ваш долг. В реальности это разделение считается по специальной формуле, и совсем не в пользу заемщика.
- Например, по нашему опыту, в ипотеке на 10 лет из 20 тысяч ежемесячного платежа на первых порах всего 5 000 рублей идет в счет уменьшения долга, а 15 000 — забирает себе банк! Но каждый раз платеж чуть ребалансируется, и в счет долга идет чуть больше. Так в последних платежах через 10 лет в счет процентов идет буквально пара сотен, а все остальное гасит долг.
Хорошая новость в том, что в экзаменационных задачах подобной вакханалии не бывает. Долг и проценты или гасятся равномерно, или по заранее известному алгоритму, достаточно просто внимательно прочитать условие.
Еще одно частое упрощение в ЕГЭ — процент там обычно не годовой, а ежемесячный! То есть своим платежом заемщик гасит набежавший за этот месяц процент и уменьшает долг на заданную величину. Удобно.
Мы предлагаем научить школьника упорядочивать данные банковской задачи в ЕГЭ по математике с помощью таблицы. Табличка — не единственный способ решить 17-ый номер, кто-то использует последовательности, кто-то — считает прикладным методом как заправский бухгалтер.
Сборник экономических задач по математике | материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме: | образовательная социальная сеть
Министерства спорта РС(Я)
ГБОУ РС(Я) «Чурапчинская республиканская спортивная средняя
школа- интернат олимпийского резерва им.Д.П.Коркина»
Экономические задачи в заданиях ЕГЭ по математике
Сборник
экономических задач и задач на оптимизацию
по математике
Учитель математики: Слепцова А.Н.
Чурапча
2022
«Особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».
П. Л. Чебышев
Вступление
Начиная с 2022 года, в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня появилась новая экономическая задача №17. В данных задачах предлагается ознакомиться с разными схемами выплаты кредита банку со стороны заемщика.
Кредит – это ссуда, предоставленная банком заемщику под определенные проценты за пользование деньгами. Существует два вида платежей по кредиту: дифференцированный и аннуитетный.
Кроме задач о кредитах есть задачи на выбор оптимального решения. Эти задачи тесно связаны с практической деятельностью человека. Как добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени.
Решение задач о кредитах в настоящее время очень актуально, так как жизнь современного человека тесно связана с экономическими отношениями, в частности, с операциями в банке.
Задачи на нахождение ежегодной платы (транша).
Задача 1 (Тренировочная работа 1). 31 декабря 2022 года Василий взял в банке 5460000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?
Решение: S=5460000 — сумма кредита, х — ежегодная плата, r=20%
При начислении процентов оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент 1 0,2=1,2.
Год | Долг банку | Остаток после ежегодной выплаты |
0 | S | — |
1 | 1,2S | 1,2S — x |
2 | 1,2(1,2S — x) = 1,44S — 1,2x | 1,44S — 1,2x — x= 1,44S — 2,2x |
3 | 1,2(1,44S — 2,2x)=1,728S — 2,64x | 1,728S — 2,64x — x= 1,728S — 3,64x |
После третьего взноса кредит погашен полностью, значит, остаток равен нулю. Решаем полученное уравнение.
1,728S — 3,64x=0
3,64x=1,728∙5460000
x=2592000 Ответ: 2592000 рублей
Задача 2. (Тренировочная работа 42). 31 декабря 2022 года Дмитрий взял в банке 4290000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение : S = 4290000 — сумма кредита, r = 14,5%, х — ежегодная выплата
При начислении процентов оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент 1 0,145=1,145.
Год | Долг банку | Остаток после ежегодной выплаты |
0 | S | — |
1 | 1,145S | 1,145S — x |
2 | 1,145(1,145S — x) = 1,14522S — 1,145x | 1,14522S — 1,145x — х = 1,14522S — 2,145x |
После второго взноса кредит погашен полностью, значит, остаток равен нулю. Решаем полученное уравнение: 1,14522S — 2,145x = 0
2
.
Ответ: 2622050 рублей
При решении этих задач можно увидеть закономерность и, оформив решение в общем виде, получаем формулу.
S-сумма кредита,
р=, где a — процентная ставка,
х – сумма ежегодных выплат;
I год: S·p-х
II год:
III год:
IV год:
и т.д.
Задача 3. (Тренировочная работа 11) 31 декабря 2022 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре месяца)?
Решение. S = 6902000 — сумма кредита, r=12,5%, х — ежегодная выплата
Применяем формулу: , где
S-сумма кредита,
р=, где a— процентная ставка,
х – сумма ежемесячных выплат;
Ответ: 2 296 350 рублей.
Задачи на нахождение суммы кредита.
Задача 1. (Тренировочный вариант 6) 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 1370тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение: Пусть начальная сумма кредита равна S. По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов.
;
;
; …;
. — размеры долгов (остаток по кредиту на конец месяца), тогда ежемесячная выплата процентов выглядит следующим образом:
;
;
;
; …;
— ежемесячный %
Находим размеры выплат:
1-й месяц:
=
2-й месяц:
∙
=
3-й месяц:
∙
=
и.т.д . Замечаем, что выходит последовательность, которая уменьшается на 2. Тогда используя формулу n-го члена арифметической прогрессии аn = а1 d(n — 1) при а1=148, d= -2
находим 12-й месяц: а12 = 148 — 2(11 — 1) = 126, т.е. .
Так как нам известна сумма первых двенадцати месяцев составляем уравнение:
= 1370000
Вынесем за скобки общий множитель и воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии Sn =
S = = 2000000 Ответ: 2000000
Задача 2. (Тренировочная работа 18). 31 декабря 2022 года Василий взял в банке некоторую сумму кредит под 11% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11%), затем переводит в банк 3696300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение: Воспользуемся формулой: = 0, которую вывели при решении задач на нахождение ежегодной (ежемесячной) выплаты,
где p= 1 0,11=1,11, х = 3696300
0 → S =
=
= 6330000.
Ответ: 6330000рублей
Задача 3. (Тренировочная работа 15)15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования.
Решение: S — сумма кредита, r = 3%
Сперва нужно вычислить сумму кредита. Известно, что восьмая выплата = 99,2тыс. Находим размеры выплат:
1-й месяц:
=
2-й месяц:
∙
=
3-й месяц:
∙
=
….
8-й месяц: →
= 99200 → S = 99200∙
= 1200000, то есть планируется взять в кредит 1200000рублей.
Теперь, чтобы найти сумму которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии Sn = . Для этого сперва найдем пятнадцатую выплату:
а15 = 145 — 3∙14 = 103, т.е.
Общая сумма равна:
…
S
S15 = = 1860, т.е.
=
= 1488000
Ответ: 1488000
Задачи на вычисление процентной ставки.
Задача 1. (Тренировочная работа 19) 15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r?
Решение. Пусть S сумма кредита равна. Долг перед банком должен уменьшаться до нуля равномерно. Тогда последовательность размеров долга будет иметь вид:
;
;
…
. — остаток по кредиту на конец месяца
Найдем выплаты:
1 месяц:
S=
2 месяц:
……………………………………………
9 месяц:
Найдем сумму всех выплат. По условию общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит, значит: → 900 45r = 1035 → r = 3. Ответ: 3%
Задача 2. (Тренировочная работа 49). 31 декабря 2022 года Евгений взял в банке 1млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Евгений переводит очередной транш. Евгений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 540тыс. рублей, во второй 649,6 тыс. рублей. Найдите а?
Решение: S = 1000000, а — процентная ставка по кредиту.
В конце 1-го года долг составит:
∙ 1000000 — 540000 = 460000 10000а
В конце 2-го года:
∙(460000 10000а) — 649600 = 100а2 14600а — 189600
По условию, кредит будет погашен за два года, составляем уравнение:
100а2 14600а — 189600 = 0, сокращая на 100 получим
а2 146а — 1896 = 0. Решаем квадратное уравнение, находим дискриминант
Д = 1462 4∙1896 = 21316 7584 = 28900= 1702
а1 = , а2 =
.
Ответ: 12%
Задача 3. (Тренировочная работа 26). 15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Решение: S — сумма кредита r =5%
выплата за 1-й месяц:
2-й:
3-й: ; 4-й:
; 5-й:
.
Таким образом, за все 5 месяцев сумма выплат составит:
Из выражения видно, что первоначальная сумма кредита увеличилась на 1,15 раз, т.е. на 115%.
Ответ: 115%
Задача 4. (Демонстрационный вариант ЕГЭ 2022 ). 15 января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1млн. рублей. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число.
-со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2млн рублей.
Решение: Составим ежемесячные выплаты
01.02. — (1 )∙1 — 0,6
01.03. — (1 )∙0,6 — 0,4
01.04 — (1 )∙0,4 — 0,3
01.05 — (1 )∙0,3 — 0,2
01.06 — (1 )∙0,2 — 0,1
01.07 — (1 )∙0,1 — 0.
Найдем общую сумму выплат:
(1 )∙(1 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1) — (0,6 0,4 0,3 0,2 0,1) =
= (1 )∙2,6 — 1,6 =
1
По условию: 1 < 1,2
< 0,2, r <
r <
, т.е. ежемесячно долг возрастал на 7%
Ответ: 7%
Задача 5. (досрочное ЕГЭ, 16.04.16) В июле 2022 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2022,2022,2022 годов долг остается равным 4,2 млн рубле
— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите r, если долг выплачен полностью и общие выплаты равны 6,1 млн рублей.
Решение. Сумма выплат за первые три года равна:
4,2∙0,01∙r∙3 =0,126∙r
Сумма выплат за последние два года равна 2∙Х.
Так как общие выплаты равны 6,1 млн рублей, то составляем уравнение:
0,126∙r 2Х= 6,1 (1).
В январе 2020 года долг составит: 4,2 4,2∙0,01r= 4,2 (1 0,01r). После выплаты суммы Х долг станет равным:
4,2 (1 0,01r) – Х= 4,2t –Х, где t=1 0,01r.
В январе 2021 года долг составит (4,2t –Х)∙t. После выплаты суммы Х долг станет равным нулю:
(4,2t –Х)∙t – Х= 0 (2).
Из уравнения (2) выразим Х:
Х= и подставим в равенство (1):
12,6∙(t -1) 2 = 6,1;
t =1, 1. Значит, r = 10%
Ответ: 10%
Задача 6. (Вариант 6. Лаппо Л.Д. ЕГЭ 2022) Лев взял кредит в банке на срок 40 месяцев. По договору Лев должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется р% этой суммы, затем следует платеж Льва.
а) Ежемесячные выплаты подбираются, таким образом, чтобы долг уменьшался равномерно.
б) Известно, что наибольший платеж Льва был в 25 раз меньше первоначальной суммы долга. Найдите р.
Решение: S — сумма кредита, р — процентная ставка.
Ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов.
Выплата в 1-й месяц:
∙S и так как он будет наибольшим составим уравнение: (
∙S)∙25 = S →
p = 1, p = 1,5
Ответ: 1,5%
Задачи на нахождение количества лет выплаты кредита.
Задача 1. (Тренировочная работа 21) В июле Федор планирует взять в кредит 1,1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года Федор должен выплатить некоторую часть долга.
На какое минимальное минимальное количество лет Федор может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 300тысяч рублей?
Решение:
1) В конце первого года долг составит:
1100000∙1,1 — 300000 = 910000
2) В конце второго года долг составит:
910000∙1,1 — 300000 = 701000
3) В конце третьего года долг составит:
701000∙1,1 — 300000 = 471000
4) В конце четвертого года долг составит:
471000∙1,1 — 300000 = 218210
5) В конце пятого года долг составит:
218210∙1,1 — 300000 <img src="https://www.google.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chco=000000&chl= 0 , т.е. кредит будет погашен за 5 лет.
Ответ: 5 лет
Задачи на оптимизацию.
Задача 1. (Тренировочная работа 16). У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400ц/га, а на втором — 300ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300ц/га, а на втором — 400ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 5000руб. за центнер, а свеклу — по цене 6000руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Решение: Посчитаем доход фермера с 1-го поля:
1) если засеет на нем картофель, урожайность — 400ц/га, 1ц = 5000рублей
с 10 га он соберет 400ц/га∙10га = 4000ц тогда доход:
4000∙5000= 20000000рб = 20млн.
2) если засеет свеклу, урожайность — 300ц/га, 1ц = 6000 рублей
с 10 га он соберет 300∙10=3000ц, тогда доход:
3000∙6000 = 18000000рублей = 18млн.
Теперь посчитаем доход фермера со 2-го поля:
1) если засеет картофель, урожайность — 300ц/га
с 10 га он соберет 300∙10 = 3000 ц, тогда доход
3000∙5000 = 15000000 рублей = 15млн
2) если засеет свеклу, урожайность свеклы — 400ц/га
с 10 га он соберет 400∙10 = 4000ц, доход будет равен:
4000∙6000 = 24000000рублей = 24млн
Отсюда видно, что максимально возможный доход:
20млн 24млн = 44млн. Ответ: 44млн.
Задача 2 (Тренировочная работа 34). Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег может заработать в сутки на своем отеле предприниматель?
Решение:
Найдем стоимость 1м² стандартного номера = 2000:27=74руб.
Найдем стоимость 1м² номера «люкс» =4000:45=88=88
руб.
Так как стоимость 1м2 номера «люкс» дороже, то выгоднее разместить на этой площади больше номеров «люкс», и как можно меньше номеров стандартных. Начнем перебор количества номеров стандартных с наименьшей цифры.
Пусть стандартных номеров будет:
— 0, тогда 981:45≠ (нацело не делится), далее
— 1, тогда 981 — 27 = 954, 954:45≠ также нацело не делится, далее
— 2,тогда 981 — 54 = 927, 927:45≠ также не делится, идем далее
— 3,тогда 981 — 81 = 900, 900:45=20 — номеров «люкс»
Тогда в сутки отель может заработать:
20∙4000 3∙2000=80000 6000=86000 Ответ:86000
Задача 3. (Тренировочная работа 14) В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0.2 кг. алюминия или 0.1 кг. никеля. Во второй области для добычи х кг. алюминия в день требуется у² человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий или никель, причем 1 кг. алюминия можно заменить 1 кг. никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?
Решение: 1). В 1 области работают 250 рабочих, каждый работает по 5ч в сутки. За один час один рабочий добывает 0,2кг алюминия, или 0,1кг никеля, т.е в сутки могут добыть:
250∙5∙0.2= 250 кг. алюминия или
250∙5∙0,1=125 кг. никеля. Отсюда видно, что выгоднее будет, если все будут добывать алюминий.
2) Во второй области также работают 250 человек, также работают по 5ч в сутки. Для добычи х кг алюминия требуется х2 человеко-часов, а для добычи у кг никеля требуется у2 человеко-часов, т.е 250 рабочих нужно разделить таким способом, чтобы извлекался корень
=
=25 кг.(никель)
=
=25 кг.(алюминий)
250 25 25=300 кг.
Ответ: 300кг
Задача 4. (Тренировочная работа 20) В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3кг алюминия или 0,1кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда. Обе области поставляют добытый метал на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Решение: Решение начнем со второй области
100 рабочих нужно разбить так, чтобы извлекался корень, т.е
=
= 10кг алюминия
=
= 30кг никеля
Теперь 1 область: пусть х — число рабочих добывающих алюминий,
тогда 100-х число рабочих добывающих никель.
х∙10∙0,3 = 3х — кг алюминия
(100 — х)∙10∙0,1 = 100 — х -кг никеля.
Составим уравнение учитывая, что на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля: 10 3х = 2(30 100 — х),
10 3х = 260 — 2х
5х = 250, х = 50 — рабочих на добычу алюминия, следовательно 50 рабочих на добычу никеля
50∙10∙0,3 = 150 кг алюминия
50∙10∙0,1 = 50 кг никеля.
Тогда 150 50 10 30 = 240кг
Ответ: 240кг.
Задача 5. (Тренировочная работа 47). В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3кг алюминия или 1 кг никеля.
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Решение: Так как в 1-й шахте добывают больше никеля, то для наибольшей выгоды нужно, чтобы все рабочие добывали никель. Тогда
100∙5∙3 = 1500кг никеля будет добыто в 1-й шахте.
Пусть все 300 рабочих второй вахты добывают алюминий, тогда
300∙5∙3 = 4500кг алюминия будет добыто.
Так как для сплава нужно 2 раза больше алюминия, то рабочих второй шахты нужно распределить на добычу алюминия и никеля с учетом пропорции сплава.
Пусть х — число рабочих добывающих алюминий,
300 — х — число рабочих добывающих никель.
х∙5∙3 = 15х (кг) — алюминий
(300 — х)∙5∙1 = 1500 — 5х (кг) — никель
Составляем уравнение: 15х = 2(1500 — 5х 1500)
15х = 6000 — 10х
25х = 6000, х = 240 — количество рабочих добывающих алюминий, следовательно 60 рабочих добывают никель.
240∙5∙3 = 3600кг — алюминий
60∙5∙1 = 300кг — никель
Тогда 3600 300 1500 = 5400 кг. Ответ: 5400кг.
Задача 6. (ЕГЭ — 2022. Резервный день 28.06.2022г). Борис является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Борис платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.
Борису нужно каждую неделю производить 70 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?
Решение: Пусть х — единиц товара 1-го завода,
у — единиц товара 2-го завода.
Тогда, х у = 70, → х = 70 — у
500х2 200у2 = S
500(700 — у)2 200у2 = S
700у2 — 70000у 2450000 = S
700у2 — 70000у 2450000 — квадратный трехчлен примет наименьшее значение при у = = 50
Тогда S = 700∙502 — 70000∙50 2450000 = 700000
Ответ: 700000
Задача 7. (ЕГЭ — 2022. Резервный день). Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.
Антон готов выделять 900000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Решение: пусть х — на оплату труда рабочих 1-го завода, следовательно,
900000 — х — на оплату труда рабочих 2-го завода.
— часов работы 1-го завода
— часов работы 2-го завода
Количество произведенного товара за неделю =
и нужно найти наибольшее значение этого выражения, для этого найдем производную и найдем нули.
∙(-
) =
Решаем уравнение = 0
= 0,
, возводив в квадрат с двух сторон получим: 40(900000-х) = 50х, х = 400000.
=
= 40 — единиц товара 1 завод
=
= 50 — единиц товара 2 завод
40 50=90 единиц. Ответ: 90.
Разные задачи
Задача 1. (Тренировочная работа 13) 15 января планируется взять в кредит в банке на сумму 2,4млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?
Решение: S = 2400000. По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов.
;
;
; …;
. — размеры долгов (остаток по кредиту на конец месяца), тогда ежемесячная выплата процентов выглядит следующим образом:
;
;
;
; …;
— ежемесячный %
Находим размеры выплат:
1-й месяц:
=
2-й месяц:
∙
=
3-й месяц:
∙
=
и.т.д . Замечаем, что выходит последовательность, которая уменьшается на 2. Тогда используя формулу n-го члена арифметической прогрессии аn = а1 d(n — 1) при а1=148, d= -2
находим 13-й месяц: а13 = 148 — 2(13 — 1) = 126, т.е. и
24-й месяц: а24 = 148 — 2(24 — 1) = 102S, т.е.
Выплата за последние 12 месяцев: …
Вынесем за скобки общий множитель и воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии Sn = ∙n
S12= = 1356.
=
= 1356000
Ответ: 1356000рублей
Задача 2. (Тренировочная работа 12). В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 19000руб. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 3000 руб. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?
Решение: Продать ценную бумагу нужно в тот момент, когда 10% от стоимости станут составлять не меньше 3000 рублей, что возможно при стоимости бумаги не менее 30000 рублей. это произойдет через (19 3 3 3 3=31) четыре года. И в этот момент 10% от стоимости этой бумаги будут равны 3100 рублей, т.е. больше чем, 3000 рублей. Т.е. надо продать бумагу и положить счет в банке. 2001 4 = 2005.
Ответ: 2005 году
2 способ решения: аn =а1 (n-1)d, а=19000
d=3000
Ему будет выгодно отдать деньги в банк в том случае, если 10% от аn превышает d , т.е :
0,1 аn›3000
0,1(19000 3000(n-1))›3000 :0,1
19000 3000n-3000›30000
3000n›14000
n›=4
n=5 т.е бумагу можно продать в течении пятого года(сразу после 4-х лет)
Ответ:2005
Задача 3. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн. рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 20 млн. рублей.
Решение:
Пусть первоначальный вклад составляет S млн. руб., тогда:
В конце первого года на вкладе будет 1,1 S млн. руб.,
В конце второго года на вкладе будет 1,1 S∙1,1=1,21 S млн .руб.,
В конце третьего года на вкладе будет (1,21 S 3)∙1,1=1,331 S 3,3 млн. руб.,
В конце четвертого года на вкладе будет (1,331 S 3,3 3)∙1,1=1,4641S 6,93 млн. руб.,
Далее необходимо решить неравенство:
1,4641S 6,93 > 20
1,4641S > 20-6,93
1,4641S > 13,07
S > 13,07:1,4641
S > 8,93
S = 9 млн.руб. так как по условию S — целое число.
Сделаем проверку:
В конце первого года на вкладе будет 1,1∙9 = 9,9млн. руб.,
В конце второго года на вкладе будет 9,9∙1,1 = 10,89 млн. руб.,
В конце третьего года на вкладе будет (10,89 3)∙1,1 = 15,279 млн. руб.,
В конце четвертого года на вкладе будет (15,279 3)∙1,1 = 20,1069 млн. руб.
Задача 4. (Вариант 19. Лаппо Л.Д. ЕГЭ 2022) В мае 2022 года планируется взять кредит в банке на 6 лет в размере S млн. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый декабрь каждого года долг возрастает на 10%;
— с января по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в мае 2022, 2022 и 2020 годов долг остается равным S млн. рублей;
— выплаты в 2021, 2022 и 2023 годах равны между собой;
— к маю 2023 года долг будет выплачен полностью.
Найдите наибольшее целое S, при котором общая сумма выплат не превысит 13млн. рублей.
Решение: Сумма выплат за первые три года: 0,1S∙3 = 0,3S
Сумма выплат за последние три года: 3∙х = 3х
По условию сумма выплат не превысит 13 млн: 0,3S 3х ≤ 13 (1)
За последние три года долг станет равным нулю, т.е.
Sp3 — p2x — px — x = 0, p=1,1
S∙1,13 — 1,12x — 1,1x — x = 0
1,331S — 1,21x — 1,1x — x = 0
x = Полученное выражение подставим в (1)
0,3S 3∙ ≤ 13
S(0,3 ) ≤ 13, S ≤ 8,63 Ответ: 8 млн.
Тип 1. равные платежи
Особенность этого типа заданий в том, что заемщик всегда вносит одинаковые суммы.
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:— каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года;— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Очевидно, что эта схема должна оказаться у школьника в тетради. Ведь вы же знаете: того, чего нет в тетради, и на уроке-то не было!
Заполняем всю табличку. Учитываем обе ситуации из условия. Для наглядности каждую выделим жирной рамкой.
Теперь остался еще один непростой шаг — перейти от структурированных данных к математической модели. Дайте ученику возможность увидеть, что уже почти составил ее.
Мы получили два уравнения, которые подсветили в табличке оранжевым. Объединим их в систему и решим!
Напомните выпускнику о культуре вычислений! Порой эти задачи составлены так, что неудачная последовательность действий сделает их нерешаемыми без калькулятора. Потому не надо спешить делать первое попавшееся действие, пусть школьник тренируется думать на пару ходов вперед.
Например, разделим одно уравнение на другое, ведь так мы избавимся от одной неизвестной S:
Наше решение не зависит от суммы кредита, S сокращается.
По сути, мы получили уравнение с одной неизвестной, ведь платежи a и b знаем из условия. Выразим k:
Пожалуй, все, проще уже некуда. Подставляем значения!
Тут можно обратить внимание ученика на то, как составители экзамена на самом деле заботятся о нем! Ведь будь задачка хоть чуть-чуть другой, посчитать без калькулятора было бы невозможно.
Вспоминаем, что k=1 r/100, а найти нам надо r.
Ответ: 10%.
Не забудьте после решения расставить акценты в задаче:
Чтобы решить задачу и получить 3 балла, мы:— Воспользовались простым алгоритмом упорядочивания данных,— Составили математическую модель,— Нашли удобный способ решить ее, ВСЕ!Это и есть алгоритм решения банковской задачи.
Тип 2. равномерно убывающий долг
В прошлой задаче заемщик платил одинаковую сумму каждый месяц. Тут ему нужно уменьшать долг на одну и ту же величину. То есть за месяц пользования деньгами банк начислил на них процент, клиент теперь должен чуть больше. Своим платежом он оплатит банку проценты, чтобы заем стал таким, как ДО их начисления. А сверху внесет сумму, которая как раз и пойдет на то самое РАВНОМЕРНОЕ уменьшение долга.
15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.(Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Тут главный элемент в задаче — равномерно убывающий долг. Если мы взяли сумму S на 39 месяцев, и каждый месяц долг должен быть меньше на одинаковую величину, то что это за величина? Пусть правильный ответ 1/39 S даст ученик.
Проиллюстрируйте школьнику, как здорово работает наш алгоритм. Пусть выпускник проговаривает пункты вслух, а вы их выполняйте. Следите, чтобы каждый шаг подопечный фиксировал в тетради:
Продолжаем заполнять табличку. Пусть дальше пробует выпускник, ведь пока сам не попробуешь, не научишься:
Осталось увязать добытую информацию в уравнение или неравенство. Обратите внимание подопечного на то, что ненужных подробностей в задачах ЕГЭ не бывает! Единственная информация в задаче, которую мы до сих пор не использовали — общая сумма выплат. По условию она на 20% больше суммы кредита, то есть равна 1,2S:
Приведем подобные, вынесем общий множитель за скобку:
Решение в итоге снова не зависит от того, какую сумму взяли в долг. Разделим обе части на S и упростим выражение:
Ответ: 1%.
И снова все по нашему алгоритму, ничего нового, кроме него, мы не используем! Не забудьте излучать восторг, иначе школьник не проникнется мощью вашего метода решения.
Тип 3. долг, убывающий согласно табличке
Задача похожа на прошлую. Разница лишь в том, что кроме процентов нам каждый месяц придется гасить не равную долю долга, а долю согласно таблице.
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг(в млн рублей) | 1 | 0,9 | 0,8 | 0,7 | 0,6 | 0,5 | 0 |
Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн рублей.
Протестируем нашу универсальную табличку в третий раз, доверьте это непростое занятие школьнику. Пусть процессом командует он! По ответам будет ясно, ловит ли он суть.
Отличие от прошлого типа будет лишь в том, что в третий столбец мы будем записывать не равномерно убывающий долг, а перенесем остаток долга из таблицы условия. Чтобы не таскать по решению нули, считать будем в миллионах:
Чтобы долг убывал согласно табличке, нам снова каждый раз придется гасить набежавшие проценты и первые 5 месяцев добавлять сверху 0,1 млн. После останется погасить весь остаток.
Акцентируйте внимание на механизме погашения, для школьника он не всегда очевиден.
«По условию нам снова дана общая сумма выплат, значит достаточно просуммировать оранжевый столбец, и уравнение готово», — вероятно, подумает школьник. Подловите его! Уравнение в этой задаче — прямой путь потерять балл! Сумма выплат должна быть БОЛЬШЕ 1,2 млн. Отразим это в модели с помощью неравенства:
Подопечный должен быть уверен в каждом символе в бланке ответа. Даже не пригодившиеся промежуточные вычисления с ошибкой приведут к катастрофе.
Приведем подобные и вынесем общие множители за скобку:
Последний шаг – не забыть, что по условию процент должен быть целым и округлить в верную сторону.
Ответ: 5%.
Правильная математическая модель — это суперважно! К ней проверяющие обязательно придерутся.
Тип 4. погашение кредита в два этапа.
По сути, это та же прошлая задача, но месяцев больше
В 2022-2022 учебном году составителей экзамена посетило вдохновение, на свет родился вот этот тип банковских задач. Школьники были в шоке, и от страха завалили 17-ый номер. Хотя всего-то нужно было догадаться воспользоваться знаниями об арифметической прогрессии и достать из условия одно немного неочевидное дано!
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?
И снова пусть по возможности командует школьник. По крайней мере он уже точно в курсе, что происходит первые 13 месяцев.
Последовательно начисляем процент на остаток долга – считаем выплату – фиксируем остаток долга после выплаты. Сумму кредита возьмем за S.
Научите школьника не спешить с вычислениями. Например, вместо того чтобы написать S-600, мы пишем S-50*12, потому что так удобнее: нам сразу ясно, что речь идет о двенадцатом месяце. Да и потом вычисления будут проще, если мы оставим маленькие числа.
Осталось составить уравнение, и модель готова. В задаче нам снова дали сумму всех выплат:
Как обычно, сгруппируем отдельно слагаемые с r/100, отдельно слагаемые без них:
Вот именно последняя группировка всех платежей в счет долга и оказалась неочевидной. Без нее в задаче остается одна лишняя неизвестная величина, которая рушит все решение.
Осталось привести уравнение к решаемому виду. Для этого надо просуммировать то, что получилось в скобках. Если внимательно приглядеться, то видно, что это сумма арифметической прогрессии:
Посчитаем эту сумму:
Подставляем выражение для суммы в уравнение, заметим, что по условию r=2:
Мы сокращали дробь, пока это было возможно, и в итоге довольно просто получили ответ даже без калькулятора. Ваш подопечный должен научиться также!
Ответ: 700 тысяч.
Зачем использовать формулу суммы прогрессии, если можно посчитать вручную? Все верно, можно. Но это только в данном случае кредит взяли всего на 13 месяцев. А бывают прототипы, когда срок – 21 и больше месяцев. В какой-то момент считать вручную станет совсем долго и неудобно, потому воспользоваться формулой суммы – более универсальный метод.
Чем закончить разбор экономической (банковской) задачи № 17 в егэ по математике
Чтобы у ученика окончательно сложилась картинка занятия, пробегитесь еще раз по основным выводам:
- Повторите алгоритм заполнения таблицы и решения задачи (да, пятый раз);
- Повторите типы задач и механизм распределения платежа на проценты и долг;
- Напомните, как важно считать культурно и быть уверенным в каждой циферке в бланке;
- Проговорите, что математическая модель должна точно отражать условие задачи.
https://www.youtube.com/watch?v=IZfRrwmul1g
Как показывает практика, чем больше повторяешь, тем больше шансов, что в голове выпускника останется хоть что-то.
