3 новых тренировочных варианта формата ЕГЭ 2023 по математике 11 класс базовый уровень задания с ответами и решением, дата проведения пробника ЕГЭ 13 апреля 2023 года. Контрольная диагностическая работа в формате ЕГЭ.
Задания и ответы с 1 варианта
1. На счету Настиного мобильного телефона было 79 рублей, а после разговора с Вовой осталось 40 рублей. Сколько минут длился разговор с Вовой, если одна минута разговора стоит 1 рубль 50 копеек?
2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
3. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 7 августа. Ответ дайте в градусах Цельсия.
5. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,5. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся неисправными.
6. В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России. Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 3 л молока, 2 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).
7. На графике изображена зависимость скорости движения легкового автомобиля от времени. На вертикальной оси отмечена скорость легкового автомобиля в км/ч, на горизонтальной — время в секундах, прошедшее с начала движения автомобиля.
8. На зимней олимпиаде сборная Канады завоевала медалей больше, чем сборная Нидерландов, сборная Беларуси — меньше, чем сборная Нидерландов, а сборная Швейцарии меньше, чем сборная Канады. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
9. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
10. Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил относительно земли равна 1,65 м, а наибольшая h2 равна 2,65 м. Ответ дайте в метрах.
11. Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
13. Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 9 и 2, а второго — 3 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?
15. Только 80% из 2500 выпускников города правильно решили задачу № 1. Сколько выпускников из этого города правильно решили задачу № 1?
19. Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.
20. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.
21. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
Задания и ответы с 2 варианта
1. Стоимость проездного билета на месяц составляет 650 рублей, а стоимость билета на одну поездку — 28 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 45 поездок. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы каждый раз покупала билет на одну поездку?
5. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 14 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?
6. В нескольких эстафетах, которые проводились в школе, команды показали следующие результаты. При подведении итогов для каждой команды баллы по всем эстафетам суммируются. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество баллов. Какое итоговое место заняла команда «Чемпионы»?
8. Повар испёк для вечеринки 45 кексов, из них 15 штук он посыпал марципаном, а 20 кексов посыпал сахарной пудрой. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Хотя бы 16 кексов посыпаны и сахарной пудрой, и марципаном. 2) Найдётся 10 кексов, которые ничем не посыпаны. 3) Не может оказаться больше 15 кексов, посыпанных и сахарной пудрой, и марципаном. 4) Если кекс посыпан сахарной пудрой, то он посыпан марципаном.
9. План местности разбит на клетки. Каждая клетка является квадратом размером 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
10. Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 12 км. Чему равно расстояние между городами A и B (в км), если на карте оно составляет 4 см?
11. Пять ступеней лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисунке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна 30 см, высота — 15 см, а ширина — 90 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
12. В параллелограмме ABCD диагональ AC в два раза больше стороны AB и ∠ACD = 19°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
15. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 10%. Книга стоит 270 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?
19. Вычеркните в числе 75416303 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
20. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 2 дня. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 1 день выполняет такую же часть работы, какую второй — за 2 дня?
21. В корзине лежат 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
Задания и ответы с 3 варианта
1. Для покраски 1 м2 потолка требуется 240 г краски. Краска продается в банках по 2,5 кг. Сколько банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 50 м2 ?
5. На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
6. Для группы иностранных гостей требуется купить 10 путеводителей. Нужные путеводители нашлись в трёх интернет-магазинах. Условия покупки и доставки даны в таблице. Определите, в каком из магазинов общая сумма покупки с учётом доставки будет наименьшей. В ответ запишите наименьшую сумму в рублях.
8. Известно, что берёзы — деревья, также известно, что все деревья выделяют кислород. Подсолнухи тоже выделяют кислород. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
9. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
10. Квартира состоит из комнаты, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры 3 м × 3,5 м, санузел — 2 м × 2 м, длина комнаты — 4,5 м. Найдите площадь коридора (в квадратных метрах).
11. В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 60 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
12. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
13. Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
15. В спортивном магазине любой свитер стоит 500 рублей. Сейчас магазин проводит акцию: при покупке двух свитеров — скидка на второй свитер 20%. Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух свитеров в период действия акции?
19. Сумма цифр трёхзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа (А + 6) также делится на 12. Найдите наименьшее возможное число А.
20. Грузовик перевозит партию щебня массой 60 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 4 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за пятый день, если вся работа была выполнена за 8 дней.
21. Клетки таблицы 6 на 4 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 19 пар соседних клеток разного цвета и 15 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
ответы математикответ математикаответы по математике классматематика класс учебник ответы
ЕГЭ профильный уровень
Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.
Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:
Основное логарифмическое тождество:
Основные формулы для логарифмов:
(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.
Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.
Простейшие логарифмические уравнения
Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.
Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение
Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.
2. Решите уравнение:
В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде
. Дальше все просто.
3. Решите уравнение:
Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.
4. Решите уравнение:
Область допустимых значений:
Представим 2 в правой части уравнения как
монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом
5. Решите уравнение:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:
Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.
6.Решите уравнение: .
Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:
7.Решите уравнение: .
Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.
Теперь можно «убрать» логарифмы.
— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие
8. Решите уравнение .
Вернемся к переменной х:
Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине
прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.
Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.
Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения
. Сделаем замену
Вернемся к переменной х. Получим:
. Мы нашли все корни исходного уравнения.
Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Логарифмические уравнения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.
Давайте повторим, что такое логарифмы:
Алгоритм решения логарифмических неравенств
Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду
Знак здесь может быть любой:
И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени
, знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что
Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения
Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение
Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.
Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.
Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»
Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?
Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.
Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?
Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.
Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.
Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому
Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.
А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.
Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть
, логарифмическая функция с основанием
монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:
, то
2x − 9 ≤ x.
Получим, что x ≤ 9.
В следующей задаче логарифмическое неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.
Теперь более сложные неравенства:
4. Решите неравенство
5. Решите неравенство
Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!
Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:
Упростим эту систему:
Это область допустимых значений неравенства.
Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что
Вернемся к переменной x:
7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов
Видим, что условие
Решаем неравенство методом интервалов:
Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:
8. Решите неравенство:
Неравенство равносильно системе:
9. Решите неравенство:
Выражение 5-x2навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:
Неравенство примет вид:
Если это условие выполнено, то и частное
А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2)2.
Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть
Аккуратно запишем ОДЗ
и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.
Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:
«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.
Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:
(это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.
10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.
Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.
Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.
Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.
11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.
Это пригодится вам при решении неравенства.
Упростим исходное неравенство:
Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что
в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.
Как же быть? Вспомним, что (x — 18)2=(18 — x)2. Тогда:
Вторая ловушка – попроще. Запись
Дальше – всё просто. Сделаем замену
Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда
Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.
Логарифмические неравенства повышенной сложности
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Логарифмические неравенства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
