Введение
В условиях современных требований к выпускникам средней школы при поступлении в ВУЗы, профилирующие предметы которых связаны с математической наукой, ЕГЭ по математике профильного уровня расширен.
С 2022 года в него добавлено экономическая (банковская) задача. Эта задача ориентирована на реальную жизнь. В этих заданиях рассматриваются идеализированные жизненные ситуации, которые являются некоторыми текстовыми упрощениями, моделями, реально возникающих, например, при обращении в банк, покупке или продаже ценных бумаг, выпуск производственной продукции и получение прибыли.
За правильное решение задания № 17 на ЕГЭ можно получить три балла.
В своей работе я решила обратиться к рассмотрению решения таких задач, потому, что с одной стороны по ним представлено не много материала в открытых источниках, а с другой – было большое желание разобраться в их решении на собственном опыте.
Рассмотрим один из подходов к решению задач с «экономическим содержанием» с помощью таблицы на примере следующих задач.
Задачи для самостоятельного решения
- Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?
- Александр взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Александром. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.
Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Александром банку (сверх кредита)?
3) 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условие его выплаты таковы:
— 1-го числа каждого месяца долго возрастёт на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?
Примеры решения задач
1) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
-каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Решение:
Пусть 𝑛− срок кредита
Составим таблицу:
Очевидно, что наибольший годовой платёж будет в первом году (потому что платежи равномерно уменьшаются в течение 𝑛 лет)
Наибольший годовой платёж = 9 млн
𝑛 = 14
В таблице все значения становятся известными:
Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с помощью формулы суммы первых 𝑛 членов арифметической прогрессии)
Сумма первых n членов арифметической прогрессии 80,5
Ответ: 80,5 млн
2) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн рублей?
Решение:
Пусть 𝑛− срок кредита
Составим таблицу:
Очевидно, что наименьший годовой платёж будет в последнем году (потому что платежи равномерно уменьшаются в течение 𝑛 лет)
Наибольший годовой платёж = 1.25 млн
𝑛 = 9
В таблице все значения становятся известными:
Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с помощью формулы суммы первых 𝑛 членов арифметической прогрессии)
Сумма первых n членов арифметической прогрессии 20.25
Ответ: 20.25 млн
3) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?
Решение:
Пусть 𝑛− срок кредита
Составим таблицу:
Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с помощью формулы суммы первых 𝑛 членов арифметической прогрессии)
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Ответ: 10
4) 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 𝑟% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на
30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите 𝑟.
Решение:
Пусть 𝑥 − сумма кредита
Тогда 1,3𝑥 − общая сумма выплат, превышающая сумму кредита на 30%
Составим таблицу:
Общая сумма выплат (ОСВ) – это все основные платежи и все дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с помощью формулы суммы первых 𝑛 членов арифметической прогрессии)
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Ответ: 3
5) К 15 декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тыс. рублей меньше долга на 15-ечисло предыдущего месяца;
— к 15 –му числу 21 месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного погашения составит 1604 тыс. рублей.
S тыс.руб – сумма, которую планируют взять в кредит.
3%=0,03
№ | Долг по кредиту на начало месяца | Сумма, на которую возрастает долг на 1-е число каждого месяца | Выплата |
1. | s | s∙0,03=0,03 s | 30 0,03 s |
2. | s-30 | 0,03 (s-30) | 30 0,03 (s-30) |
3. | s-2∙30 | 0,03(s-2∙30) | 30 0,03(s-2∙30) |
4. | s-3∙30 | 0,03(s-3∙30) | 30 0,03(s-3∙30) |
5. | s-4∙30 | 0,03(s-4∙30) | 30 0,03(s-4∙30) |
… | …. | …. | … |
20 | s-19∙30 | 0,03(s-19∙30) | 30 0,03(s-19∙30) |
21 | s-20∙30 | 0,03(s-20∙30) | s-20∙30 0,03(s-20∙30) |
Итого: | 1604 тыс. рублей |
Составим и решим уравнение:
Общая сумма выплат представляет собой сумму суммы, которую планируют взять в кредит, и сумму сумм, на которые возрастает долг на 1-е число каждого месяца.
s 0,03 s 0,03 (s-30) 0,03(s-2∙30) …. 0,03(s-20∙30)=1604
s 0,03∙(s ( s-30) (s-2∙30) … (s-20∙30))=1604
s 0,03∙( 21s- (30 2∙30 …20∙30) =1604
30;2∙30;…;20∙30-арифметическая прогрессия, а1 =30, а21 =20∙30
S=
s 0,03∙( 21s-6300)=1604
1,63 s-189=1604
1,63s=1793
s=1793:1,63
s=1100
Ответ: 1100 тыс. Рублей
Решу егэ
Если искомая сумма составляет S рублей, то при коэффициенте ежегодной процентной ставки q, равной 1,31, фиксированная сумма 
которую клиент ежегодно должен возвращать в банк в течение 3 лет, составляет 
откуда 
Заметим, что 69 690 821 кратно 
Действительно, 
Ответ: 124 809 100 рублей.
Замечания:
1. В мировой практике существует и работает два способа (схемы) погашения кредитов: дифференцированная, при которой периодический платеж включает постоянную сумма для погашения основного долга по кредиту, к которой прибавляются проценты на оставшуюся часть долга, и аннуитетная при которой долг гасится равными платежами, как в условии данной задачи.
2. При аннуитетной схеме, как правило, бывает кратным 
либо фиксированная сумма, которую клиент обязан вносить в отчетный период, либо сумма взятого кредита. Возможен случай, когда та или другая сумма, указанная выше, кратна 
3. Прежде чем приступить к решению задачи, лучше проверить ожидаемые кратности, что облегчит дальнейшие вычисления.
Приведём другое решение.
Заметим, что ежегодный платеж равен 69 690 821 = 31 000 000 · 1,313.
Если искомая сумма составляет x рублей, то:
Решение уравнения:
Ответ: 124 809 100 рублей.
Ответ: 124 809 100 рублей. 124 809 100 рублей.
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 131.
Список литературы
1. Ященко И. В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2022 году. Базовый и профильный уровни. Методические указания / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин. – М.: МЦНМО, 2022. – 288 с.
Заключение
Я считаю введение таких задач чрезвычайно полезным так как, работая над моделями, сформулированными в условиях, они заставляют задумываться о реальной жизни. О том, что кредиты, отношения с банками, игра на бирже, колебания курсов ценных бумаг, начисление процентов дело сложное и требует больших знаний.
