Решение экономических задач на кредиты

Если ис­ко­мая сумма со­став­ля­ет S руб­лей, то при ко­эф­фи­ци­ен­те еже­год­ной про­цент­ной став­ки q, рав­ной 1,31, фик­си­ро­ван­ная сумма ко­то­рую кли­ент еже­год­но дол­жен воз­вра­щать в банк в те­че­ние 3 лет, со­став­ля­ет от­ку­да

За­ме­тим, что 69 690 821 крат­но Дей­стви­тель­но,

Ответ: 124 809 100 руб­лей.

За­ме­ча­ния:

1. В ми­ро­вой прак­ти­ке су­ще­ству­ет и ра­бо­та­ет два спо­со­ба (схемы) по­га­ше­ния кре­ди­тов: диф­фе­рен­ци­ро­ван­ная, при ко­то­рой пе­ри­о­ди­че­ский пла­теж вклю­ча­ет по­сто­ян­ную сумма для по­га­ше­ния ос­нов­но­го долга по кре­ди­ту, к ко­то­рой при­бав­ля­ют­ся про­цен­ты на остав­шу­ю­ся часть долга, и ан­ну­и­тет­ная при ко­то­рой долг га­сит­ся рав­ны­ми пла­те­жа­ми, как в усло­вии дан­ной за­да­чи.

2. При ан­ну­и­тет­ной схеме, как пра­ви­ло, бы­ва­ет крат­ным либо фик­си­ро­ван­ная сумма, ко­то­рую кли­ент обя­зан вно­сить в от­чет­ный пе­ри­од, либо сумма взя­то­го кре­ди­та. Воз­мо­жен слу­чай, когда та или дру­гая сумма, ука­зан­ная выше, крат­на

3. Пре­жде чем при­сту­пить к ре­ше­нию за­да­чи, лучше про­ве­рить ожи­да­е­мые крат­но­сти, что об­лег­чит даль­ней­шие вы­чис­ле­ния.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

За­ме­тим, что еже­год­ный пла­теж равен 69 690 821 = 31 000 000 · 1,31³.

Если ис­ко­мая сумма со­став­ля­ет x руб­лей, то:

Ре­ше­ние урав­не­ния:

Ответ: 124 809 100 руб­лей.

Пусть на­чаль­ная сумма кре­ди­та равна S₀, тогда пе­ре­пла­та за пер­вый месяц равна По усло­вию, еже­ме­сяч­ный долг перед бан­ком дол­жен умень­шить­ся рав­но­мер­но. Этот долг со­сто­ит из двух ча­стей: по­сто­ян­ной еже­ме­сяч­ной вы­пла­ты, рав­ной S₀/14, и еже­ме­сяч­ной рав­но­мер­но умень­ша­ю­щей­ся вы­пла­ты про­цен­тов, рав­ной

Ис­поль­зуя фор­му­лу суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, найдём пол­ную пе­ре­пла­ту по кре­ди­ту:

По усло­вию общая сумма вы­плат на 15% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит, тогда:

Ответ: 2.

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Ука­жем общие фор­му­лы для ре­ше­ния задач этого типа. Пусть на n пла­теж­ных пе­ри­о­дов (дней, ме­ся­цев, лет) в кре­дит взята сумма S, причём каж­дый пла­теж­ный пе­ри­од долг сна­ча­ла воз­растёт на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да, а затем вно­сит­ся опла­та так, что долг ста­но­вит­ся на одну и ту же сумму мень­ше долга на конец преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да. Тогда ве­ли­чи­на пе­ре­пла­ты П и пол­ная ве­ли­чи­на вы­плат В за всё время вы­пла­ты кре­ди­та да­ют­ся фор­му­ла­ми

В усло­ви­ях нашей за­да­чи по­лу­ча­ем: от­ку­да для n = 14 на­хо­дим r = 2.

До­ка­за­тель­ство фор­мул (для по­лу­че­ния пол­но­го балла его нужно при­во­дить на эк­за­ме­не) не­мед­лен­но сле­ду­ет из вы­ше­при­ведённого ре­ше­ния за­да­чи путём за­ме­ны 14 ме­ся­цев на n ме­ся­цев и ис­поль­зо­ва­нии фор­му­лы суммы n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.