Решение экономических задач на кредиты

ЕГЭ

Рекомендуем посмотреть:

Урок математики в 4 классеКонспект урока математики в 1 классе «Ознакомление с решением составных задач»Конспект урока по математике, 2 класс. Решение задачКонспект урока по химии. Решение расчетных задач, 10 класс

Решу егэ

Решение.

Пусть начальная сумма кредита равна S0, тогда переплата за первый месяц равна  дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0. По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшиться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты, равной S0/14, и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов, равной

 дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0, дробь: числитель: 13, знаменатель: 14 конец дроби умножить на дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0,..., дробь: числитель: 2, знаменатель: 14 конец дроби умножить на дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби умножить на дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0.

Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдём полную переплату по кредиту:

 дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 13, знаменатель: 14 конец дроби плюс ... плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби S_0 умножить на дробь: числитель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 14= дробь: числитель: 3r, знаменатель: 40 конец дроби S_0.

По условию общая сумма выплат на 15% больше суммы, взятой в кредит, тогда:

0,075rS_0=0,15S_0 равносильно r=2.

Ответ: 2.

Примечание Дмитрия Гущина.

Укажем общие формулы для решения задач этого типа. Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S, причём каждый платежный период долг сначала возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего платежного периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Тогда величина переплаты П и полная величина выплат В за всё время выплаты кредита даются формулами

П = дробь: числитель: r, знаменатель: конец дроби 100 умножить на дробь: числитель: n плюс 1}2 S_0, В = S_0 плюс П = S_0 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: {, знаменатель: r конец дроби (n плюс 1), знаменатель: 200 конец дроби правая круглая скобка .

В условиях нашей задачи получаем:  дробь: числитель: r(n плюс 1), знаменатель: 200 конец дроби S_0 = 0,15S_0, откуда для n = 14 находим r = 2.

Доказательство формул (для получения полного балла его нужно приводить на экзамене) немедленно следует из вышеприведённого решения задачи путём замены 14 месяцев на n месяцев и использовании формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Ответ: 2.

Источник: ЕГЭ — 2022. Основная волна по математике 04.06.2022. Вариант Ларина.

§

Ре­ше­ние.

Если ис­ко­мая сумма со­став­ля­ет S руб­лей, то при ко­эф­фи­ци­ен­те еже­год­ной про­цент­ной став­ки q, рав­ной 1,31, фик­си­ро­ван­ная сумма Phi, ко­то­рую кли­ент еже­год­но дол­жен воз­вра­щать в банк в те­че­ние 3 лет, со­став­ля­ет Phi= дробь: чис­ли­тель: Sq в кубе , зна­ме­на­тель: q в квад­ра­те плюс q плюс 1 конец дроби , от­ку­да S= дробь: чис­ли­тель: Phi умно­жить на (q в квад­ра­те плюс q плюс 1), зна­ме­на­тель: q в кубе конец дроби .

За­ме­тим, что 69 690 821 крат­но 1,31 в кубе . Дей­стви­тель­но, 69690821:1,31=53199100;

53199100:1,31=40610000;40610000:1,31=31000000.

S= дробь: чис­ли­тель: 69690821 умно­жить на (1,31 в квад­ра­те плюс 1,31 плюс 1), зна­ме­на­тель: 1,31 в кубе конец дроби =31000000 умно­жить на 4,0261=40261 умно­жить на 3100=124809100.

Ответ: 124 809 100 руб­лей.

За­ме­ча­ния:

1. В ми­ро­вой прак­ти­ке су­ще­ству­ет и ра­бо­та­ет два спо­со­ба (схемы) по­га­ше­ния кре­ди­тов: диф­фе­рен­ци­ро­ван­ная, при ко­то­рой пе­ри­о­ди­че­ский пла­теж вклю­ча­ет по­сто­ян­ную сумма для по­га­ше­ния ос­нов­но­го долга по кре­ди­ту, к ко­то­рой при­бав­ля­ют­ся про­цен­ты на остав­шу­ю­ся часть долга, и ан­ну­и­тет­ная при ко­то­рой долг га­сит­ся рав­ны­ми пла­те­жа­ми, как в усло­вии дан­ной за­да­чи.

2. При ан­ну­и­тет­ной схеме, как пра­ви­ло, бы­ва­ет крат­ным q в сте­пе­ни n либо фик­си­ро­ван­ная сумма, ко­то­рую кли­ент обя­зан вно­сить в от­чет­ный пе­ри­од, либо сумма взя­то­го кре­ди­та. Воз­мо­жен слу­чай, когда та или дру­гая сумма, ука­зан­ная выше, крат­на q в сте­пе­ни (n минус 1) плюс q в сте­пе­ни (n минус 2) плюс ... плюс q плюс 1.

3. Пре­жде чем при­сту­пить к ре­ше­нию за­да­чи, лучше про­ве­рить ожи­да­е­мые крат­но­сти, что об­лег­чит даль­ней­шие вы­чис­ле­ния.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

За­ме­тим, что еже­год­ный пла­теж равен 69 690 821 = 31 000 000 · 1,313.

Если ис­ко­мая сумма со­став­ля­ет x руб­лей, то:

Ре­ше­ние урав­не­ния:

1,31 в кубе (x минус 1,31 в квад­ра­те умно­жить на 31000000 минус 1,31 умно­жить на 31000000 минус 31000000)=0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но x минус 1,31 в квад­ра­те умно­жить на 31000000 минус 1,31 умно­жить на 31000000 минус 31000000=0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но x=1,31 в квад­ра­те умно­жить на 31000000 плюс 1,31 умно­жить на 31000000 плюс 31000000 рав­но­силь­но x=31000000 умно­жить на (1,31 в квад­ра­те плюс 1,31 плюс 1) рав­но­силь­но

x=3100 умно­жить на 10000 умно­жить на (1,7161 плюс 2,31) рав­но­силь­но x=3100 умно­жить на 10000 умно­жить на 4,0261 рав­но­силь­но x=31 умно­жить на 40261 умно­жить на 100 рав­но­силь­но x = 124 809 100.

Ответ: 124 809 100 руб­лей.

Ответ: 124 809 100 руб­лей. 124 809 100 руб­лей.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 131.

§

Ре­ше­ние.

Пусть на­чаль­ная сумма кре­ди­та равна S0, тогда пе­ре­пла­та за пер­вый месяц равна  дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S_0. По усло­вию, еже­ме­сяч­ный долг перед бан­ком дол­жен умень­шить­ся рав­но­мер­но. Этот долг со­сто­ит из двух ча­стей: по­сто­ян­ной еже­ме­сяч­ной вы­пла­ты, рав­ной S0/14, и еже­ме­сяч­ной рав­но­мер­но умень­ша­ю­щей­ся вы­пла­ты про­цен­тов, рав­ной

 дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S_0, дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S_0,..., дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S_0, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S_0.

Ис­поль­зуя фор­му­лу суммы чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, найдём пол­ную пе­ре­пла­ту по кре­ди­ту:

 дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S_0 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби плюс ... плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби S_0 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 14 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 14= дробь: чис­ли­тель: 3r, зна­ме­на­тель: 40 конец дроби S_0.

По усло­вию общая сумма вы­плат на 15% боль­ше суммы, взя­той в кре­дит, тогда:

0,075rS_0=0,15S_0 рав­но­силь­но r=2.

Ответ: 2.

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Ука­жем общие фор­му­лы для ре­ше­ния задач этого типа. Пусть на n пла­теж­ных пе­ри­о­дов (дней, ме­ся­цев, лет) в кре­дит взята сумма S, причём каж­дый пла­теж­ный пе­ри­од долг сна­ча­ла воз­растёт на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да, а затем вно­сит­ся опла­та так, что долг ста­но­вит­ся на одну и ту же сумму мень­ше долга на конец преды­ду­ще­го пла­теж­но­го пе­ри­о­да. Тогда ве­ли­чи­на пе­ре­пла­ты П и пол­ная ве­ли­чи­на вы­плат В за всё время вы­пла­ты кре­ди­та да­ют­ся фор­му­ла­ми

П = дробь: чис­ли­тель: r, зна­ме­на­тель: конец дроби 100 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: n плюс 1}2 S_0, В = S_0 плюс П = S_0 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: r конец дроби (n плюс 1), зна­ме­на­тель: 200 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

В усло­ви­ях нашей за­да­чи по­лу­ча­ем:  дробь: чис­ли­тель: r(n плюс 1), зна­ме­на­тель: 200 конец дроби S_0 = 0,15S_0, от­ку­да для n = 14 на­хо­дим r = 2.

До­ка­за­тель­ство фор­мул (для по­лу­че­ния пол­но­го балла его нужно при­во­дить на эк­за­ме­не) не­мед­лен­но сле­ду­ет из вы­ше­при­ведённого ре­ше­ния за­да­чи путём за­ме­ны 14 ме­ся­цев на n ме­ся­цев и ис­поль­зо­ва­нии фор­му­лы суммы n пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Ответ: 2.

Источник: ЕГЭ — 2022. Основная волна по математике 04.06.2022. Вариант Ларина.

Оцените статью
ЕГЭ Live