Задача 2.2
Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3 t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5 t единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 6 800 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Пожалуй, школьнику может быть трудно осознать, что время работы в этой задаче — это не просто t, а t2. Еще, вероятно, ему захочется вспомнить формулу работы, но тут она совершенно ни к чему:
Предприниматель хочет заработать побольше, а для этого надо произвести и продать больше товара. Но при этом и заплатить рабочим хочется меньше. Из-за того, что производительность на одном заводе выше, и товары производятся быстрее, а оплата труда та же, имеет смысл нагрузить его чуть больше. Надо посчитать, как именно следует распределить производство между заводами.
С одной стороны, нам интересно максимально много товара:
Если для ученика индексы при t станут неожиданностью, объясните, что работать на заводах будут разное количество времени.
С другой — у Григория есть ограничения по бюджету:
До сих пор мы не могли исследовать функцию производства товара на максимум, ведь переменных там было две, и ни одну из них зафиксировать мы не могли. Но теперь мы можем выразить, к примеру, t1 из второго уравнения, и тогда анализ станет возможным.
Ура! С этого момента школьник точно в курсе, что делать, дайте ему поработать самостоятельно.Ищем производную и приравниваем к нулю:
Ваш подопечный помнит, как правильно оформляется дробно-рациональное уравнение? Несмотря на то, что ОДЗ в данном случае никак на ответ не повлияет, не стоит рисковать и забывать про него.
Обратите внимание школьника: мы не стали перемножать большие числа. Потому что знаем: скоро придется делить.
И снова повод убедиться, не забывает ли подопечный проверять тут знаки интервалов подстановкой.
Мы нашли количество рабочих часов на втором заводе. Дайте выпускнику сориентироваться в решении. Что делать дальше?
Осталось ответить на вопрос задачи:
Ответ: 680 единиц товара.
Решаем задание №17. оптимизация. профильный егэ
Решение
Пусть
(x) — количество лет, которые Алексей держал ценную бумагу
(y) — количество лет, которые Алексей держал деньги на банковском счету.
Очевидно (x y=15 ) или (y=15-x)
Доход за (x) лет удержания денег в ценной бумаге: (Сцб=19000 x*3000).
Доход за (y) лет удержания денег на банковском счету: (Сб=(1900 3000*x)*y*0,1 )
Таким образом? целевая функция имеет вид Сцб Сб= (19000 x*3000 (1900 3000*x)*y*0,1)
Подставим в выражение полученное ранее значение (y), имеем (19000 x*3000 (1900 3000*x)*(15-x)*0,1=1900 3000x 1900*1,5 3000x*1,5-190x-300x^2=) (2850 3000x 1900 4500x-190x-300x^2=-300x^2 7310x 4750)
Возьмем производную от полученного выражения, приравняем ее нулю и найдем (x).
Имеем (-600x 7310=0) (x=12)
Действительно ли в этой точке максимум, проверим окрестности точки (x=12).
Производная в точке 10 положительная, т. е. функция возрастает. В точке (x=20) призводная отрицательная, функция убывает.
Точка (x=12) — точка максимума.
Ответ: 12.
Решу егэ
Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце кода k, то в конце двадцать пятого года на его счёте будет 
тыс. рублей.
Найдем производную полученного выражения:
Заметим, что найденная производная равна нулю в единственной точке 
положительна при 
и отрицательна при 
Следовательно, 
возрастает на ![[1;k_max ]](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/4c/4cd1262b22f9d3ad1c391e2dc4a11ddb.svg)
и убывает на ![[k_max ;25].](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/c0/c0a45e175808e1fe88130e7451e36e17.svg)
Из условия известно, что продавать бумаги необходимо в конце 11 года, следовательно, доход, полученный при продаже бумаг в конце 11 года, больше, чем доход, который мог бы получить фонд при продаже бумаг в конце 10-го года и в конце 12 года. Из выясненного выше характера монотонности функции можно заключить, что выполнение неравенств 
и 
гарантирует, что 
для всех значений k, отличных от 11. А значит, необходимо и достаточно найти решения системы неравенств:
(*)
Примечание. В решении нельзя ограничиться только решением неравенств (*). Из того, что доход при продаже бумаг в конце 11 года больше, чем доход при их продаже в конце 10 и 12 годов не следует, что этот доход больше, чем при продаже в любой другой год, а именно это оговорено в условии. Однако можно обойтись без производной.
Например, рассмотрим разность предполагаемых доходов от продажи ценных бумаг в конце года 
и года k:
Первый множитель положителен, второй может менять знак. Положительность произведения означает, что 
доход, который получит фонд, продав ценные бумаги в конце года k, меньше дохода при их продаже в следующем году. Отрицательность произведения означает, что 
доход, который получит фонд, продав ценные бумаги в конце года k, больше дохода, который можно получить при продаже бумаг в следующем году.
Пусть 
Поскольку 
уравнение имеет единственный корень на положительной полуоси, и потому если для некоторого натурального числа k выполнено неравенство 
то для любого 
выполнено неравенство 
Из этого следует, что если доход при продаже акций в какой-то год оказался менее выгодным, чем доход при их продаже в предыдущий год, то и во все последующие годы продавать акции будет менее выгодно.
Поскольку ценные бумаги нужно продавать строго в конце одиннадцатого года, должны быть одновременно выполнены неравенства 
и 
то есть 
и 
Значит, 
и 
откуда 
Ответ:
Источник: ЕГЭ по математике 28.06.2022. Резервная волна. Восток (C часть)
Финансовая математика в егэ: задачи на вклады и ценные бумаги
На самом деле это еще один «подарочный» прототип. Обычно это довольно простая задача на проценты, но нюансы, конечно, есть. Преподавателю придется сконцентрировать снимание школьника на трех вещах:
- Механизм работы вкладов и ценных бумаг. Даже если школьник может представить себе, как работает вклад, то ценные бумаги, вероятно, вообще темный лес. Как показывает, практика, каждое незнакомое слово в условии дает 50 к панике и увеличивает шансы того, что к задаче не приступят вовсе.
Предложите школьнику воспользоваться демо-режимом в каком-нибудь брокерском приложении. Например, «Сбербанк Инвестор» позволяет целый месяц торговать на виртуальном брокерском счете и дает на это 400 тысяч виртуальных рублей. Может, именно ваш ученик станет следующим Уорреном Баффетом!
- Оформление. Каждый символ в бланке ответа должен быть выверен. Например, частая ошибка оформлять математическую модель уравнением, когда в условии стоит формулировка «не больше» или «не меньше». За такие погрешности школьник лишится баллов за 17 номер.
- Вычисления. Преподаватель должен демонстрировать культуру вычислений с самой первой встречи с учеником. Какой смысл в выверенных алгоритмах решения, если подопечный закопается в цифрах? Научите школьника не спешить, продумывать расчеты на пару ходов вперед. Зачем умножать, если в следующем действии придется делить, и все лишнее сократится? Зачем считать дискриминант до конца, если из получившегося огромного числа придется извлекать нетабличный корень?
Финансовая математика в егэ: задачи на оптимальный выбор
Ну вот мы и добрались до самого неприятного варианта. Во-первых, тут надо уметь работать с условием текстовых задач. Во-вторых, бегло владеть методом исследования функций с помощью производной. И если второе укладывается в алгоритм, то первое далеко не всегда.
Если в задачах с кредитами набор прототипов очень ограничен, и там трудно придумать что-то новое, то на задачах на оптимальный выбор народ разгулялся. Тут может происходить всё что угодно:
- Покупка и продажа ценных бумаг;
- Движение двух объектов по перпендикулярным траекториям;
- Строительство заводов и оплата труда рабочим;
- Деление огорода под посадки…
Хорошая новость в том, что далеко не все задачки, которые вам попадутся, могут встретиться на экзамене. Большинство самых страшных номеров — это усложненные варианты от Александра Ларина. Ими вполне можно развлечь сильного ученика, но не стоит пугать ими того, кто «плавает».
Мы рассмотрим 2 самых распространенных прототипа:
- Первый — из демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2021 года,
- Второй — более древний, но зато математическая модель из него встречается в задачах ФИПИ чаще всего.
Подведём итог
Мы рассмотрели 2 оставшихся прототипа 17 номера ЕГЭ по математике.
В первом случае выпускник будет работать с задачкой на проценты, где для него мало нового. Во втором ему придется вытащить из условия функцию для анализа с помощью производной.
Учитывайте, что текстовые задачи — довольно трудный для подростков формат работы, потому сопротивление ожидаемо. Однако, только экономическую задачу можно уместить всего в пару уроков разбора, все остальные номера займут гораздо больше времени! Нельзя упускать такую возможность подготовиться и урвать пару дополнительных драгоценных баллов. Донесите это до ученика, и…
Пусть удача всегда будет с вами!
(с) Голодные игры
