Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике

Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике ЕГЭ

Неопределенный интеграл

Если функция $у=f(x)$ имеет на промежутке $Х$ первообразную $у=F(x)$, то множество всех первообразных $у=F(x) С$, называют неопределенным интегралом функции $у=f(x)$ и записывают:

$∫f(x)dx$

Определенный интеграл – это интеграл с пределами интегрирования (на отрезке)

$∫_a^bf(x)dx$, где $a,b$ — пределы интегрирования

Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной

Площадь $S$ фигуры, ограниченной осью $Oх$, прямыми $х=а$ и $х=b$ и графиком неотрицательной функции $у=f(x)$ на отрезке $[a;b]$, находится по формуле

$S=∫_a^bf(x)dx$ 

Правила вычисления первообразных:

  1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$, то $F(x) G(x)$ — первообразная для $f(x) g(x)$.
  2. Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ — первообразная для $k$ $f(x)$.
  3. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, $а, k, b$ — постоянные величины, причем $k≠0$, то ${1}/{k}$ $F(kx b)$ — это первообразная для $f(kx b)$.

Пример:

Найти первообразную для функции $f(x)=2sin⁡x {4}/{x}-{cos⁡x}/{3}$.

Решение:

Чтобы было проще найти первообразную от функции, выделим коэффициенты каждого слагаемого

$f(x)=2sin⁡x {4}/{x}-{cos⁡x}/{3}=2∙sin⁡x 4∙{1}/{x}-{1/3}∙cos⁡x$

Далее, воспользовавшись таблицей первообразных, найдем первообразную для каждой функции, входящих в состав $f(x)$

$f_1=sin⁡x$

$f_2={1}/{x}$

$f_3=cos⁡x$

Для $f_1=sin⁡x$ первообразная равна $F_1=-cos⁡x$

Для $f_2={1}/{x}$ первообразная равна $F_2=ln⁡|x|$

Для $f_2=cos⁡x$ первообразная равна $F_3=sin⁡x$

По первому правилу вычисления первообразных получаем:

$F(x)=2F_1 4F_2-{1}/{3}F_3=2∙(-cos⁡x) 4∙ln⁡|x|-{1}/{3}∙sin⁡x$

Итак, общий вид первообразной для заданной функции

$F(x)=-2cos⁡x 4ln⁡|x|-{sin x}/{3} C$

Производная, первообразная, интеграл. задания 7 профильного егэ по математике

Блок 1. Физический смысл производной

Блок 2. Анализ графика функции, касательные

3На графике дифференцируемой функции у=f(x) отмечены семь точек: х1 ,…,  х7. Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответе укажите количество этих точек.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
4На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек x1, x2, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
5На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой X0. Найдите значение производной функции f(x) в точке X0.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
6На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой X0. Найдите значение производной функции f(x) в точке X0.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
7На рисунке изображен график функции y = f(x) и отмечены точки -7, -3, 1, 5. В какой из этих точек значение производной этой функции наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
8На рисунке изображен график функции y = f(x), одна из первообразных которой равна F(x). Найдите разность F(4) — F(-1).
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
9На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
10На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
11На рисунке изображен график функции y = f(x). Касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой -1, проходит через начало координат. Найдите значение производной функции f(x) в точке -1.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
12На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке x0. Уравнение касательной y=-2x-7. Найдите значение производной функции y=-frac{1}{4}f(x) 5x-3 в точке x0.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
13На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
14На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
15На рисунке изображен график функции и шесть точек на оси абсцисс: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
16Функция f(x) определена на интервале (-4; 6). На рисунке изображен ее график. В скольких целых точках ее производная положительна?
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор

Блок 3. Анализ графика производной

17На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-13;1].
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
18На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;9].
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
19На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение?
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
20На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7; -3] функция f(x) принимает наименьшее значение?
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
21На рисунке изображён график y = f′(x) производной функции f(x) и шесть точек на оси абсцисс: x1 , x2 , . . . , x6. В скольких из этих точек функция f(x) возрастает?
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
22На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-3; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-2; 15].
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
23На рисунке изображен график производной функции f(x) и отмечены одиннадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11. В скольких из этих точек функция f(x) возрастает?
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
24На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-2x-11 или совпадает с ней.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
25На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-17; 2). Найдите число точек минимума функции y=f(x).
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
26На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 4). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-3x-11 или совпадает с ней.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
27На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество таких чисел x, что касательная к графику функции f(x) в точке x параллельна прямой y=2x-5 или совпадает с ней.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
28На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7; -2] функция f(x) принимает наибольшее значение?
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
29Функция f(x) определена на отрезке [-6; 6]. На рисунке изображен график ее производной. Найдите наибольшую длину промежутка возрастания функции f(x).
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
30Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [-5; 5]. На рисунке изображен график её производной. Найдите точку x, в которой функция принимает наименьшее значение, если f(-5) больше либо равна f(5).
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор

Блок 4. Задачи на производную без готовых графиков

Блок 5. Первообразная, интеграл

33На рисунке изображен график функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3-21x^2-144x-frac{11}{4} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
34На рисунке изображен график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-8; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-5; 5].
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
35На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислить F(8)-F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
36На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите intlimits_{-7}^{-1} f(x)dx
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
37На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x) = x^3 30x^2 302x-frac{15}{8} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
38На рисунке изображен график одной из первообразных некоторой функции, определенной на интервале (-3;5). Пользуясь рисунком, определите число корней уравнения на отрезке [-2;4]
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
39На рисунке изображен график функции y = f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) — F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
40На рисунке изображен график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-3; 5). Пользуясь графиком, определите число корней уравнения f(x)=0 на отрезке [-2; 4].
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
41На рисунке изображен график функции y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-3; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [1; 4].
Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике
Смотреть видеоразбор
42Значение первообразной F(x) функции f(x)=frac{7}{x} в точке 1 равно -11. Найдите F(e^2)Смотреть видеоразбор

Блок 6. Нестандартные задачи

Решу егэ

Решение.

Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике

Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции ABCD. Поэтому

[F(b) минус F(a)= дробь: числитель: 1 плюс 6, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2=7.]

Ответ:7.

Примечание Д. Д. Гущина.

В связи с возникающими у учителей вопросами, приведем аналитическое решение; излишне громоздкое для данной задачи, но раскрывающее смысл констант в записи неопределенного интеграла. Разобраться в нем будет полезно и ученикам, желающим глубже понять тему.

Пользуясь данным в условии графиком, запишем функцию в виде

f(x) = система выражений 2, если x меньше 3, дробь: числитель: 16, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби x, если 3 меньше или равно x меньше или равно 8. конец системы .

Запишем выражение для первообразной:

F(x) = система выражений 2x плюс C_1, если x меньше 3, дробь: числитель: 16, знаменатель: 5 конец дроби x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби x в квадрате плюс C_2, если 3 меньше или равно x меньше или равно 8. конец системы .

Заметим, что первообразная является дифференцируемой, а потому и непрерывной функцией в каждой точке своей области определения. Следовательно, непрерывной в точке 3. Поэтому выражения для первообразных в точке 3 должны быть равными. Подставим x=3 в уравнение

2x плюс C_1 = дробь: числитель: 16, знаменатель: 5 конец дроби x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби x в квадрате плюс C_2,

получим:

6 плюс C_1 = дробь: числитель: 48, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби плюс C_2,

откуда C_2 = C_1 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби . Следовательно,

F(x) = система выражений 2x плюс C_1, если x меньше 3, минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби x в квадрате плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: 5 конец дроби x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби плюс C_1, если 3 меньше или равно x меньше или равно 8. конец системы .

Пока найдена непрерывная функция F, которая является первообразной функции f на луче ( минус принадлежит fty; 3) и на полуинтервале (3; 8]. Осталось изучить дифференцируемость F в точке 3. Найдем левостороннюю и правостороннюю производные:

lim_x to 3 минус 0 дробь: числитель: F(x) минус F(3), знаменатель: x минус 3 конец дроби = lim_x to 3 минус 0 дробь: числитель: 2x плюс C_1 минус (6 плюс C_1), знаменатель: x минус 3 конец дроби = lim_x to 3 минус 0 дробь: числитель: 2x минус 6, знаменатель: x минус 3 конец дроби = 2;

lim_x to 3 плюс 0 дробь: числитель: F(x) минус F(3), знаменатель: x минус 3 конец дроби = lim_x to 3 плюс 0 дробь: числитель: минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби x в квадрате плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: 5 конец дроби x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби плюс C_1 минус ( минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 48, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби плюс C_1), знаменатель: x минус 3 конец дроби =
= lim_x to 3 плюс 0 дробь: числитель: минус (x в квадрате минус 16 x плюс 39), знаменатель: 5(x минус 3) конец дроби = lim_x to 3 плюс 0 дробь: числитель: (x минус 3)(13 минус x), знаменатель: 5(x минус 3) конец дроби = lim_x to 3 плюс 0 дробь: числитель: 13 минус x, знаменатель: 5 конец дроби = 2.

Левосторонняя производная F в точке 3 равна правосторонней, а потому F'(3) = 2 = f(3). Теперь можно утверждать, что функция F является первообразной для f на всей области определения. Для ответа на вопрос задачи осталось найти разность значений первообразной в точках 8 и 2:

F(8) минус F(2) = левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби умножить на 64 плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: 5 конец дроби умножить на 8 плюс C_1 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 умножить на 2 плюс C_1 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 64, знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 128, знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби минус 4 = 7.

Ответ:7.

Пытливый читатель мог бы заинтересоваться тем, как «склеены» между собой ветви графика найденной первообразной в точке с абсциссой 3. Говоря более формально, необходимо узнать, каков угол между касательными лучами к ветвям графика функции f, проведенными в их общей точке. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим функции g(x) = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби x в квадрате плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: 5 конец дроби x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби плюс C_1 и h(x) = 2x плюс C_1. Из приведенных выше рассуждений следует, что f(3) = g(3) и f'(3) = g'(3) = 2. Но система уравнений

 система выражений f(x_0) = g(x_0),f'(x_0) = g'(x_0) конец системы .

есть условие касания графиков функций f и g в точке x0. Итак, для любого значения константы С1 прямая y = h(x) является касательной к параболе y = g(x).

Более простой способ показать касание не связан с производной. Покажем, что прямая y = 2x плюс С является касательной к параболе g(x) = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби x в квадрате плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: 5 конец дроби x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби плюс С в точке 3. Действительно, уравнение  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби x в квадрате плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: 5 конец дроби x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 5 конец дроби плюс С = 2x плюс С, то есть уравнение x в квадрате минус 6x плюс 9 = 0, имеет ровно один корень, равный 3, а значит, для любого значения С эти прямая и парабола имеют единственную общую точку — точку касания.

Отметим дополнительно, что задания указанного типа должны быть знакомы учителям, например, по известной книге Галицкого М. Л., Мошковича М. М., Шварцбурда С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа (Москва, 1982): см. задание 4 из интересной, кстати, и самой по себе контрольной работы для 10 (11) класса с углубленным изучением математики.

Более простая задача приводится с решением в пособии Саакяна С. М. и др. Задачи по алгебре и началам анализа для 10−11 классов: необходимо найти общий вид первообразных функции y = |x минус 1|. К сожалению, приведенное авторами решение (см. ниже) нельзя признать полностью удовлетворительным, поскольку в нем не проверяется дифференцируемость найденной первообразной в точке 1. Предостерегаем читателя от этой ошибки.

Из более новых работ рекомендуем обратиться к учебнику М. Я. Пратусевича и др. Алгебра и начала математического анализа, 11 класс, стр. 96. В этом учебнике вопрос о первообразной функции y = |x минус 1| разобран полностью без упущений.

Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2022. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2022. Вариант 1.

§

§

Ре­ше­ние.

Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике

Раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2 равна пло­ща­ди вы­де­лен­ной на ри­сун­ке тра­пе­ции ABCD. По­это­му

[F(b) минус F(a)= дробь: чис­ли­тель: 1 плюс 6, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2=7.]

Ответ:7.

При­ме­ча­ние Д. Д. Гу­щи­на.

В связи с воз­ни­ка­ю­щи­ми у учи­те­лей во­про­са­ми, при­ве­дем ана­ли­ти­че­ское ре­ше­ние; из­лиш­не гро­мозд­кое для дан­ной за­да­чи, но рас­кры­ва­ю­щее смысл кон­стант в за­пи­си не­опре­де­лен­но­го ин­те­гра­ла. Разо­брать­ся в нем будет по­лез­но и уче­ни­кам, же­ла­ю­щим глуб­же по­нять тему.

Поль­зу­ясь дан­ным в усло­вии гра­фи­ком, за­пи­шем функ­цию в виде

f(x) = си­сте­ма вы­ра­же­ний 2, если x мень­ше 3, дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x, если 3 мень­ше или равно x мень­ше или равно 8. конец си­сте­мы .

За­пи­шем вы­ра­же­ние для пер­во­об­раз­ной:

F(x) = си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x плюс C_1, если x мень­ше 3, дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x в квад­ра­те плюс C_2, если 3 мень­ше или равно x мень­ше или равно 8. конец си­сте­мы .

За­ме­тим, что пер­во­об­раз­ная яв­ля­ет­ся диф­фе­рен­ци­ру­е­мой, а по­то­му и не­пре­рыв­ной функ­ци­ей в каж­дой точке своей об­ла­сти опре­де­ле­ния. Сле­до­ва­тель­но, не­пре­рыв­ной в точке 3. По­это­му вы­ра­же­ния для пер­во­об­раз­ных в точке 3 долж­ны быть рав­ны­ми. Под­ста­вим x=3 в урав­не­ние

2x плюс C_1 = дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x в квад­ра­те плюс C_2,

по­лу­чим:

6 плюс C_1 = дробь: чис­ли­тель: 48, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс C_2,

от­ку­да C_2 = C_1 минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Сле­до­ва­тель­но,

F(x) = си­сте­ма вы­ра­же­ний 2x плюс C_1, если x мень­ше 3, минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс C_1, если 3 мень­ше или равно x мень­ше или равно 8. конец си­сте­мы .

Пока най­де­на не­пре­рыв­ная функ­ция F, ко­то­рая яв­ля­ет­ся пер­во­об­раз­ной функ­ции f на луче ( минус при­над­ле­жит fty; 3) и на по­лу­ин­тер­ва­ле (3; 8]. Оста­лось изу­чить диф­фе­рен­ци­ру­е­мость F в точке 3. Най­дем ле­во­сто­рон­нюю и пра­во­сто­рон­нюю про­из­вод­ные:

lim_x to 3 минус 0 дробь: чис­ли­тель: F(x) минус F(3), зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби = lim_x to 3 минус 0 дробь: чис­ли­тель: 2x плюс C_1 минус (6 плюс C_1), зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби = lim_x to 3 минус 0 дробь: чис­ли­тель: 2x минус 6, зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби = 2;

lim_x to 3 плюс 0 дробь: чис­ли­тель: F(x) минус F(3), зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби = lim_x to 3 плюс 0 дробь: чис­ли­тель: минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс C_1 минус ( минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 48, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс C_1), зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби =
= lim_x to 3 плюс 0 дробь: чис­ли­тель: минус (x в квад­ра­те минус 16 x плюс 39), зна­ме­на­тель: 5(x минус 3) конец дроби = lim_x to 3 плюс 0 дробь: чис­ли­тель: (x минус 3)(13 минус x), зна­ме­на­тель: 5(x минус 3) конец дроби = lim_x to 3 плюс 0 дробь: чис­ли­тель: 13 минус x, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = 2.

Ле­во­сто­рон­няя про­из­вод­ная F в точке 3 равна пра­во­сто­рон­ней, а по­то­му F'(3) = 2 = f(3). Те­перь можно утвер­ждать, что функ­ция F яв­ля­ет­ся пер­во­об­раз­ной для f на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния. Для от­ве­та на во­прос за­да­чи оста­лось найти раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2:

F(8) минус F(2) = левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на 64 плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на 8 плюс C_1 минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на 2 плюс C_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 64, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 128, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус 4 = 7.

Ответ:7.

Пыт­ли­вый чи­та­тель мог бы за­ин­те­ре­со­вать­ся тем, как «скле­е­ны» между собой ветви гра­фи­ка най­ден­ной пер­во­об­раз­ной в точке с абс­цис­сой 3. Го­во­ря более фор­маль­но, не­об­хо­ди­мо узнать, каков угол между ка­са­тель­ны­ми лу­ча­ми к вет­вям гра­фи­ка функ­ции f, про­ве­ден­ны­ми в их общей точке. Чтобы от­ве­тить на этот во­прос, рас­смот­рим функ­ции g(x) = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс C_1 и h(x) = 2x плюс C_1. Из при­ве­ден­ных выше рас­суж­де­ний сле­ду­ет, что f(3) = g(3) и f'(3) = g'(3) = 2. Но си­сте­ма урав­не­ний

 си­сте­ма вы­ра­же­ний f(x_0) = g(x_0),f'(x_0) = g'(x_0) конец си­сте­мы .

есть усло­вие ка­са­ния гра­фи­ков функ­ций f и g в точке x0. Итак, для лю­бо­го зна­че­ния кон­стан­ты С1 пря­мая y = h(x) яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к па­ра­бо­ле y = g(x).

Более про­стой спо­соб по­ка­зать ка­са­ние не свя­зан с про­из­вод­ной. По­ка­жем, что пря­мая y = 2x плюс С яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к па­ра­бо­ле g(x) = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс С в точке 3. Дей­стви­тель­но, урав­не­ние  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс С = 2x плюс С, то есть урав­не­ние x в квад­ра­те минус 6x плюс 9 = 0, имеет ровно один ко­рень, рав­ный 3, а зна­чит, для лю­бо­го зна­че­ния С эти пря­мая и па­ра­бо­ла имеют един­ствен­ную общую точку — точку ка­са­ния.

От­ме­тим до­пол­ни­тель­но, что за­да­ния ука­зан­но­го типа долж­ны быть зна­ко­мы учи­те­лям, на­при­мер, по из­вест­ной книге Га­лиц­ко­го М. Л., Мош­ко­ви­ча М. М., Шварц­бур­да С. И. Углуб­лен­ное изу­че­ние ал­геб­ры и ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за (Москва, 1982): см. за­да­ние 4 из ин­те­рес­ной, кста­ти, и самой по себе кон­троль­ной ра­бо­ты для 10 (11) клас­са с углуб­лен­ным изу­че­ни­ем ма­те­ма­ти­ки.

Более про­стая за­да­ча при­во­дит­ся с ре­ше­ни­ем в по­со­бии Са­а­кя­на С. М. и др. За­да­чи по ал­геб­ре и на­ча­лам ана­ли­за для 10−11 клас­сов: не­об­хо­ди­мо найти общий вид пер­во­об­раз­ных функ­ции y = |x минус 1|. К со­жа­ле­нию, при­ве­ден­ное ав­то­ра­ми ре­ше­ние (см. ниже) нель­зя при­знать пол­но­стью удо­вле­тво­ри­тель­ным, по­сколь­ку в нем не про­ве­ря­ет­ся диф­фе­рен­ци­ру­е­мость най­ден­ной пер­во­об­раз­ной в точке 1. Предо­сте­ре­га­ем чи­та­те­ля от этой ошиб­ки.

Из более новых работ ре­ко­мен­ду­ем об­ра­тить­ся к учеб­ни­ку М. Я. Пра­ту­се­ви­ча и др. Ал­геб­ра и на­ча­ла ма­те­ма­ти­че­ско­го ана­ли­за, 11 класс, стр. 96. В этом учеб­ни­ке во­прос о пер­во­об­раз­ной функ­ции y = |x минус 1| разо­бран пол­но­стью без упу­ще­ний.

Производная, первообразная, интеграл. Задания 7 профильного ЕГЭ по математике

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2022. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2022. Вариант 1.

Связь между графиками функции и ее первообразной:

  1. Если график функции $f (x) > 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ возрастает на этом промежутке.
  2. Если график функции $f (x) < 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ убывает на этом промежутке.
  3. Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Таблица первообразных

Первообразная нуля равна $С$

ФункцияПервообразная
$f(x)=k$$F(x)=kx C$
$f(x)=x^m, m≠-1$$F(x)={x^{m 1}}/{m 1} C$
$f(x)={1}/{x}$$F(x)=ln|x| C$
$f(x)=e^x$$F(x)=e^x C$
$f(x)=a^x$$F(x)={a^x}/{lna} C$
$f(x)=sinx$$F(x)-cosx C$
$f(x)=cosx$$F(x)=sinx C$
$f(x)={1}/{sin^2x}$$F(x)=-ctgx C$
$f(x)={1}/{cos^2x}$$F(x)=tgx C$
$f(x)=√x$$F(x)={2x√x}/{3} C$
$f(x)={1}/{√x}$$F(x)=2√x C$

Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$, то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x) C$

Формула ньютона — лейбница

Если функция $у=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то справедливо равенство

$∫_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$

Оцените статью
ЕГЭ Live