- Неопределенный интеграл
- Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной
- Правила вычисления первообразных:
- Производная, первообразная, интеграл. задания 7 профильного егэ по математике
- Решу егэ
- Связь между графиками функции и ее первообразной:
- Таблица первообразных
- Формула ньютона — лейбница
Неопределенный интеграл
Если функция $у=f(x)$ имеет на промежутке $Х$ первообразную $у=F(x)$, то множество всех первообразных $у=F(x) С$, называют неопределенным интегралом функции $у=f(x)$ и записывают:
$∫f(x)dx$
Определенный интеграл – это интеграл с пределами интегрирования (на отрезке)
$∫_a^bf(x)dx$, где $a,b$ — пределы интегрирования
Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной
Площадь $S$ фигуры, ограниченной осью $Oх$, прямыми $х=а$ и $х=b$ и графиком неотрицательной функции $у=f(x)$ на отрезке $[a;b]$, находится по формуле
$S=∫_a^bf(x)dx$
Правила вычисления первообразных:
- Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$, то $F(x) G(x)$ — первообразная для $f(x) g(x)$.
- Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ — первообразная для $k$ $f(x)$.
- Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, $а, k, b$ — постоянные величины, причем $k≠0$, то ${1}/{k}$ $F(kx b)$ — это первообразная для $f(kx b)$.
Пример:
Найти первообразную для функции $f(x)=2sinx {4}/{x}-{cosx}/{3}$.
Решение:
Чтобы было проще найти первообразную от функции, выделим коэффициенты каждого слагаемого
$f(x)=2sinx {4}/{x}-{cosx}/{3}=2∙sinx 4∙{1}/{x}-{1/3}∙cosx$
Далее, воспользовавшись таблицей первообразных, найдем первообразную для каждой функции, входящих в состав $f(x)$
$f_1=sinx$
$f_2={1}/{x}$
$f_3=cosx$
Для $f_1=sinx$ первообразная равна $F_1=-cosx$
Для $f_2={1}/{x}$ первообразная равна $F_2=ln|x|$
Для $f_2=cosx$ первообразная равна $F_3=sinx$
По первому правилу вычисления первообразных получаем:
$F(x)=2F_1 4F_2-{1}/{3}F_3=2∙(-cosx) 4∙ln|x|-{1}/{3}∙sinx$
Итак, общий вид первообразной для заданной функции
$F(x)=-2cosx 4ln|x|-{sin x}/{3} C$
Производная, первообразная, интеграл. задания 7 профильного егэ по математике
Блок 1. Физический смысл производной
Блок 2. Анализ графика функции, касательные
| 3 | На графике дифференцируемой функции у=f(x) отмечены семь точек: х1 ,…, х7. Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. В ответе укажите количество этих точек. | Смотреть видеоразбор |
| 4 | На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек x1, x2, …, x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.  | Смотреть видеоразбор |
| 5 | На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой X0. Найдите значение производной функции f(x) в точке X0.  | Смотреть видеоразбор |
| 6 | На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой X0. Найдите значение производной функции f(x) в точке X0.  | Смотреть видеоразбор |
| 7 | На рисунке изображен график функции y = f(x) и отмечены точки -7, -3, 1, 5. В какой из этих точек значение производной этой функции наибольшее? В ответе укажите эту точку.  | Смотреть видеоразбор |
| 8 | На рисунке изображен график функции y = f(x), одна из первообразных которой равна F(x). Найдите разность F(4) — F(-1). | Смотреть видеоразбор |
| 9 | На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). | Смотреть видеоразбор |
| 10 | На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней. | Смотреть видеоразбор |
| 11 | На рисунке изображен график функции y = f(x). Касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой -1, проходит через начало координат. Найдите значение производной функции f(x) в точке -1.  | Смотреть видеоразбор |
| 12 | На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке x0. Уравнение касательной y=-2x-7. Найдите значение производной функции y=-frac{1}{4}f(x) 5x-3 в точке x0. | Смотреть видеоразбор |
| 13 | На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции f(x) отрицательна. | Смотреть видеоразбор |
| 14 | На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. | Смотреть видеоразбор |
| 15 | На рисунке изображен график функции и шесть точек на оси абсцисс: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6. В скольких из этих точек производная функции отрицательна? | Смотреть видеоразбор |
| 16 | Функция f(x) определена на интервале (-4; 6). На рисунке изображен ее график. В скольких целых точках ее производная положительна? | Смотреть видеоразбор |
Блок 3. Анализ графика производной
| 17 | На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-13;1]. | Смотреть видеоразбор |
| 18 | На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6;9]. | Смотреть видеоразбор |
| 19 | На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2] функция f(x) принимает наибольшее значение? | Смотреть видеоразбор |
| 20 | На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7; -3] функция f(x) принимает наименьшее значение? | Смотреть видеоразбор |
| 21 | На рисунке изображён график y = f′(x) производной функции f(x) и шесть точек на оси абсцисс: x1 , x2 , . . . , x6. В скольких из этих точек функция f(x) возрастает? | Смотреть видеоразбор |
| 22 | На рисунке изображен график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-3; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-2; 15]. | Смотреть видеоразбор |
| 23 | На рисунке изображен график производной функции f(x) и отмечены одиннадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11. В скольких из этих точек функция f(x) возрастает?  | Смотреть видеоразбор |
| 24 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-2x-11 или совпадает с ней.  | Смотреть видеоразбор |
| 25 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-17; 2). Найдите число точек минимума функции y=f(x).  | Смотреть видеоразбор |
| 26 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-4; 4). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-3x-11 или совпадает с ней. | Смотреть видеоразбор |
| 27 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество таких чисел x, что касательная к графику функции f(x) в точке x параллельна прямой y=2x-5 или совпадает с ней. | Смотреть видеоразбор |
| 28 | На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7; -2] функция f(x) принимает наибольшее значение?  | Смотреть видеоразбор |
| 29 | Функция f(x) определена на отрезке [-6; 6]. На рисунке изображен график ее производной. Найдите наибольшую длину промежутка возрастания функции f(x). | Смотреть видеоразбор |
| 30 | Функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [-5; 5]. На рисунке изображен график её производной. Найдите точку x, в которой функция принимает наименьшее значение, если f(-5) больше либо равна f(5).  | Смотреть видеоразбор |
Блок 4. Задачи на производную без готовых графиков
Блок 5. Первообразная, интеграл
| 33 | На рисунке изображен график функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3-21x^2-144x-frac{11}{4} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. | Смотреть видеоразбор |
| 34 | На рисунке изображен график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-8; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-5; 5].  | Смотреть видеоразбор |
| 35 | На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислить F(8)-F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x). | Смотреть видеоразбор |
| 36 | На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите intlimits_{-7}^{-1} f(x)dx | Смотреть видеоразбор |
| 37 | На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x) = x^3 30x^2 302x-frac{15}{8} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. | Смотреть видеоразбор |
| 38 | На рисунке изображен график одной из первообразных некоторой функции, определенной на интервале (-3;5). Пользуясь рисунком, определите число корней уравнения на отрезке [-2;4]  | Смотреть видеоразбор |
| 39 | На рисунке изображен график функции y = f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) — F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x). | Смотреть видеоразбор |
| 40 | На рисунке изображен график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-3; 5). Пользуясь графиком, определите число корней уравнения f(x)=0 на отрезке [-2; 4]. | Смотреть видеоразбор |
| 41 | На рисунке изображен график функции y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определенной на интервале (-3; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [1; 4].  | Смотреть видеоразбор |
| 42 | Значение первообразной F(x) функции f(x)=frac{7}{x} в точке 1 равно -11. Найдите F(e^2) | Смотреть видеоразбор |
Блок 6. Нестандартные задачи
Решу егэ
Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции 
Поэтому
![[F(b) минус F(a)= дробь: числитель: 1 плюс 6, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2=7.]](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/d7/d7c392b07b8f244f86226ec9a210e10d.svg)
Ответ:7.
Примечание Д. Д. Гущина.
В связи с возникающими у учителей вопросами, приведем аналитическое решение; излишне громоздкое для данной задачи, но раскрывающее смысл констант в записи неопределенного интеграла. Разобраться в нем будет полезно и ученикам, желающим глубже понять тему.
Пользуясь данным в условии графиком, запишем функцию в виде
Запишем выражение для первообразной:
Заметим, что первообразная является дифференцируемой, а потому и непрерывной функцией в каждой точке своей области определения. Следовательно, непрерывной в точке 3. Поэтому выражения для первообразных в точке 3 должны быть равными. Подставим 
в уравнение
получим:
откуда 
Следовательно,
Пока найдена непрерывная функция F, которая является первообразной функции f на луче 
и на полуинтервале ![(3; 8].](https://ege.sdamgia.ru/formula/svg/86/861cdb041408a228da03a7c3467aa755.svg)
Осталось изучить дифференцируемость F в точке 3. Найдем левостороннюю и правостороннюю производные:
Левосторонняя производная F в точке 3 равна правосторонней, а потому 
Теперь можно утверждать, что функция F является первообразной для f на всей области определения. Для ответа на вопрос задачи осталось найти разность значений первообразной в точках 8 и 2:
Ответ:7.
Пытливый читатель мог бы заинтересоваться тем, как «склеены» между собой ветви графика найденной первообразной в точке с абсциссой 3. Говоря более формально, необходимо узнать, каков угол между касательными лучами к ветвям графика функции f, проведенными в их общей точке. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим функции 
и 
Из приведенных выше рассуждений следует, что 
и 
Но система уравнений
есть условие касания графиков функций f и g в точке x0. Итак, для любого значения константы С1 прямая 
является касательной к параболе 
Более простой способ показать касание не связан с производной. Покажем, что прямая 
является касательной к параболе 
в точке 3. Действительно, уравнение 
то есть уравнение 
имеет ровно один корень, равный 3, а значит, для любого значения С эти прямая и парабола имеют единственную общую точку — точку касания.
Отметим дополнительно, что задания указанного типа должны быть знакомы учителям, например, по известной книге Галицкого М. Л., Мошковича М. М., Шварцбурда С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа (Москва, 1982): см. задание 4 из интересной, кстати, и самой по себе контрольной работы для 10 (11) класса с углубленным изучением математики.
Более простая задача приводится с решением в пособии Саакяна С. М. и др. Задачи по алгебре и началам анализа для 10−11 классов: необходимо найти общий вид первообразных функции 
К сожалению, приведенное авторами решение (см. ниже) нельзя признать полностью удовлетворительным, поскольку в нем не проверяется дифференцируемость найденной первообразной в точке 1. Предостерегаем читателя от этой ошибки.
Из более новых работ рекомендуем обратиться к учебнику М. Я. Пратусевича и др. Алгебра и начала математического анализа, 11 класс, стр. 96. В этом учебнике вопрос о первообразной функции 
разобран полностью без упущений.
Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2022. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2022. Вариант 1.
§
§
Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции Поэтому
Ответ:7.
Примечание Д. Д. Гущина.
В связи с возникающими у учителей вопросами, приведем аналитическое решение; излишне громоздкое для данной задачи, но раскрывающее смысл констант в записи неопределенного интеграла. Разобраться в нем будет полезно и ученикам, желающим глубже понять тему.
Пользуясь данным в условии графиком, запишем функцию в виде
Запишем выражение для первообразной:
Заметим, что первообразная является дифференцируемой, а потому и непрерывной функцией в каждой точке своей области определения. Следовательно, непрерывной в точке 3. Поэтому выражения для первообразных в точке 3 должны быть равными. Подставим в уравнение
получим:
откуда Следовательно,
Пока найдена непрерывная функция F, которая является первообразной функции f на луче и на полуинтервале Осталось изучить дифференцируемость F в точке 3. Найдем левостороннюю и правостороннюю производные:
Левосторонняя производная F в точке 3 равна правосторонней, а потому Теперь можно утверждать, что функция F является первообразной для f на всей области определения. Для ответа на вопрос задачи осталось найти разность значений первообразной в точках 8 и 2:
Ответ:7.
Пытливый читатель мог бы заинтересоваться тем, как «склеены» между собой ветви графика найденной первообразной в точке с абсциссой 3. Говоря более формально, необходимо узнать, каков угол между касательными лучами к ветвям графика функции f, проведенными в их общей точке. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим функции и Из приведенных выше рассуждений следует, что и Но система уравнений
есть условие касания графиков функций f и g в точке x0. Итак, для любого значения константы С1 прямая является касательной к параболе
Более простой способ показать касание не связан с производной. Покажем, что прямая является касательной к параболе в точке 3. Действительно, уравнение то есть уравнение имеет ровно один корень, равный 3, а значит, для любого значения С эти прямая и парабола имеют единственную общую точку — точку касания.
Отметим дополнительно, что задания указанного типа должны быть знакомы учителям, например, по известной книге Галицкого М. Л., Мошковича М. М., Шварцбурда С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа (Москва, 1982): см. задание 4 из интересной, кстати, и самой по себе контрольной работы для 10 (11) класса с углубленным изучением математики.
Более простая задача приводится с решением в пособии Саакяна С. М. и др. Задачи по алгебре и началам анализа для 10−11 классов: необходимо найти общий вид первообразных функции К сожалению, приведенное авторами решение (см. ниже) нельзя признать полностью удовлетворительным, поскольку в нем не проверяется дифференцируемость найденной первообразной в точке 1. Предостерегаем читателя от этой ошибки.
Из более новых работ рекомендуем обратиться к учебнику М. Я. Пратусевича и др. Алгебра и начала математического анализа, 11 класс, стр. 96. В этом учебнике вопрос о первообразной функции разобран полностью без упущений.
Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2022. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2022. Вариант 1.
Связь между графиками функции и ее первообразной:
- Если график функции $f (x) > 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ возрастает на этом промежутке.
- Если график функции $f (x) < 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ убывает на этом промежутке.
- Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).
Таблица первообразных
Первообразная нуля равна $С$
| Функция | Первообразная |
| $f(x)=k$ | $F(x)=kx C$ |
| $f(x)=x^m, m≠-1$ | $F(x)={x^{m 1}}/{m 1} C$ |
| $f(x)={1}/{x}$ | $F(x)=ln|x| C$ |
| $f(x)=e^x$ | $F(x)=e^x C$ |
| $f(x)=a^x$ | $F(x)={a^x}/{lna} C$ |
| $f(x)=sinx$ | $F(x)-cosx C$ |
| $f(x)=cosx$ | $F(x)=sinx C$ |
| $f(x)={1}/{sin^2x}$ | $F(x)=-ctgx C$ |
| $f(x)={1}/{cos^2x}$ | $F(x)=tgx C$ |
| $f(x)=√x$ | $F(x)={2x√x}/{3} C$ |
| $f(x)={1}/{√x}$ | $F(x)=2√x C$ |
Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$, то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x) C$
Формула ньютона — лейбница
Если функция $у=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то справедливо равенство
$∫_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$
