Производная | ЕГЭ по математике (профильной) | Теория к заданию 7

Производная | ЕГЭ по математике (профильной) | Теория к заданию 7 ЕГЭ

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx {1}/{x}$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ ({1}/{x})’ = 15x^4 sinx — {1}/{x^2}$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x) f(x) · g(x)’$

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

$f'(x)=(4x)’·cosx 4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

$f(x)= cos(5x)$

$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Алгоритм решения:

  1. Приравняем уравнения касательной и функции.
  2. Упрощаем полученное равенство.
  3. Находим дискриминант.
  4. Определяем параметр а, при котором решение единственное.
  5. Записываем ответ.

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Задача 1

Катер должен пересечь реку шириной $L = 50$ м и со скоростью течения $u =2$ м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением $t = {L} / {u}ctgα$, где $α$ — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом $α$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше $25$ с?

Задача 12

Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом $q = 3{,}5 ⋅ 10^{-6}$ Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $v = 18$ м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции $B$ которого лежит в той же плоскости и составляет угол $α$ с направлением движения шарика.

Значение индукции поля $B = 5 ⋅ 10^{-3}$ Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная $F_{л} = qvBsin α$ (Н) и направленная вверх, перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $α ∈[0°;180°]$ шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $F_{л}$ была не менее чем $3{,}15 ⋅ 10^{-7}$ Н? Ответ дайте в градусах.

Задача 13

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $υ= 8$ молей воздуха объёмом $V_1=80$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = α υ Tlog _2 {V_1} / {V_2}$, где $α=5{,}75$ $ {Дж} / {моль ⋅ К}$ — постоянная, а $T = 280$ К — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $51520$ Дж.

Задача 14

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^a = const$, где $p$ (Па) — давление в газе, $V$ — объём газа в кубических метрах, $a$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ уменьшение в пять раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в $125$ раз?

Задача 15

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление $P$ (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P = {4mg} / {π D^2}$, где $m = 2700$ кг — общая масса навеса и колонны, $D$ — диаметр колонны (в метрах).

Задача 16

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=2{,}25 8t — 4t^2$ , где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

Задача 2

Груз массой $0{,}6$ кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону $v=v_0sin {2π t} / {T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T=24$ с — период колебаний, $v_0=1{,}4$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E = {mv^2} / {2}$, где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через $2$ секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Задача 20

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле $F_A = ρgl^3$, где $l$ — длина ребра куба в метрах, $ρ = 1000$ кг/м3 плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 9.8$ Н/кг).

Задача 5

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 25$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $10$ до $80$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $100$ до $150$ см.

Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение ${1} / {d_1} {1} / {d_2} = {1} / {f}$. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение

Из условия следует, что $d_1$ должно быть минимальным подходящим числом, таким что выполняется равенство ${1}/{d_1} {1}/{d_2} = {1}/{25}$. Так как $d_1 > 0$, то чем меньше $d_1$, тем больше ${1}/{d_1}$. Тогда нам нужно найти наибольшее значение ${1}/{d_1}$. Числа ${1}/{d_1}$ и ${1}/{d_2}$ положительны, их сумма равна ${1}/{25}$. Чем больше одно из указанных чисел, тем меньше другое. Найдём наименьшее значение ${1}/{d_2}$. Это значение равно ${1}/{150}$. В этом случае ${1}/{d_1} = {1}/{25} — {1}/{150} = {1}/{30} , d_1 = 30$. Число $30$ находится в пределах от $10$ до $80$, следовательно, это значение является ответом.

Ответ: 30

Задача 6

Два тела, массой $m=5$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=30$ м/с под углом $2α$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 sin^2 α$, где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в м/с.

Задача 7

Плоский замкнутый контур площадью $S = 0{,}8$ м$^2$ находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой $ϵ_{i} = aScos α$, где $α$ — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, $a=7{,}5 ⋅ 10^{-5}$ Тл/с — постоянная, $S$ — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в $м^2$). При каком минимальном угле $α$ (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать $3√ 3⋅10^{-5}$ В?

Задача 8

Рейтинг $R$ интернет-магазина книг вычисляется по формуле $R=r_{пок} — {r_{пок} — r_{экс}} / {(K 2)^m}$, где $m={0{,}05K} / {r_{пок} 4{,}5}$, $r_{пок}$ — средняя оценка магазина покупателями, $r_{экс}$ — оценка магазина, данная экспертами, $K$ — число покупателей, оценивших магазин.

Задача 9

Рейтинг $R$ интернет-магазина цифровой техники вычисляется по формуле $R=r_{пок} — {r_{пок} — r_{экс}} / {(K 1)^m}$, где $m={0{,}03K} / {r_{пок} 0{,}9}$, $r_{пок}$ — средняя оценка магазина покупателями, $r_{экс}$ — оценка магазина, данная экспертами, $K$ — число покупателей, оценивших магазин.

Решение

Посчитаем $m$ по формуле $m={0{,}03K} / {r_{пок} 0{,}9}$. Получим

$m={0{,}03⋅ 80} / {3{,}9 0{,}9}=0{,}5$.

Тогда $R=r_{пок} — {r_{пок} — r_{экс}} / {(K 1)^m}=3{,}9 — {3{,}9 — 2{,}1} / {81^{0,5}}=3{,}9-{1{,}8} / {9}=3{,}7$.

Ответ: 3.7

Как решать задание №7 егэ 2022 профиль по математике 11 класс?

1)При температуре 0 C рельс имеет длину 10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Правильный ответ: 25

2)Некоторая компания продает свою продукцию по цене pь500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v 300 руб., постоянные расходы предприятия f 700 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π .

Правильный ответ: 5000

3)После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле 2 h t  5 , где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с.

Правильный ответ: 1

4)Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле . Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Правильный ответ: 6

5)Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону 1,6 8 5 , где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

Правильный ответ: 1,2

6)Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю.

В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна 2 v P m g L , где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведѐрка в м/с, L — длина верѐвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g 10 м/с2 ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Правильный ответ: 2

7)В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону 2 2 0 0 2 2 g H t H gH k t k t , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, 0 H 20 м — начальная высота столба воды, 1 50 k — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g 10 м/с2 ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Правильный ответ: 50

8)В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону 2 H t at bt H 0 , где 0 H 4 м — начальный уровень воды, 1 100 a м/мин2 , и 2 5 b м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Правильный ответ: 20

9)Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой 2 y a x b x   , где 1 100 a   м -1 , b 1 — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землeй.

Правильный ответ: 90

10)Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением   2 T t T bt at    0 , где t — время в минутах, 0 T 1400 К, a  10 К/мин2 , b  200 К/мин.

Правильный ответ: 2

11)Для сматывания кабеля на заводе используют лебедку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону 2 2 t t , где t — время в минутах,   20 / мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а 2   4 / мин — угловое ускорение, с которым наматывается кабель.

Правильный ответ: 20

12)Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью 0 v  57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a 12 км/ч2 . Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением 2 0 2 at S v t   .

Правильный ответ: 30

13)Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью 0 v  20 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a  5 м/с2 . За t секунд после начала торможения он прошёл путь 2 0 2 at S v t   (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

Правильный ответ: 2

14)Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трех однородных соосных цилиндров: центрального массой m  8 кг и радиуса R 10 см, и двух боковых с массами M 1 кг и с радиусами R h  . При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в 2 кг см  , задается формулой.

Правильный ответ: 5

15)На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: 3 F g l A   , где l — длина ребра куба в метрах, 3  1000кг м — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g  9,8 Н/кг).

Правильный ответ: 2

16)На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: 3 F g r A   , где   4,2 — постоянная, r — радиус аппарата в метрах, 3  1000кг м — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g 10 Н/кг).

Правильный ответ: 2

17)Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвѐртой степени температуры: — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина.

Правильный ответ: 4000

18)Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f 30 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см.

Правильный ответ: 36

19)Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой 0 f 440 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону (Гц), где c — скорость звука в (в м/с).

Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c 315 м/с. Ответ выразите в м/с.

Правильный ответ: 7

20)По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна I R r , где — ЭДС источника (в вольтах), r 1 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в Омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания кз I r? (Ответ выразите в Омах.)

Правильный ответ: 4

21)Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: U I R , где U — напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в Омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 А.

Правильный ответ: 55

22)Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч 2, вычисляется по формуле = корень из 2la. Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.

Правильный ответ: 5000 

23)При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где 0 l 5 м — длина покоящейся ракеты, 5 c 3 10 км/с — скорость света, а v — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

Правильный ответ: 180000

24)Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле 500 Rh l , где R 6400 км — радиус Земли. На какой наименьшей высоте следует располагаться наблюдателю, чтобы он видел горизонт на расстоянии не менее 4 километров? Ответ выразите в метрах

Правильный ответ: 1,25

25)Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землей, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле 500 Rh l , где R 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 6,4 километров?

Правильный ответ: 1,4

26)Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле 500 Rh l , где R 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км.

Правильный ответ: 7

27)При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон k pV const , где p — давление в газе в паскалях, V — объем газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него 5 3 k ) из начального состояния, в котором 5 5 const 10 Па м , газ начинают сжимать.

Правильный ответ: 0,125

28)В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону, где m0 — начальная масса изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени 0 m 40 мг изотопа Z, период полураспада которого T 10 мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 5 мг?

Правильный ответ: 30

29)Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде a pV const , где p (Па) — давление в газе, V — объем газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объема газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

Правильный ответ: 2

30)Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объѐм и давление связаны соотношением , где 1 p и 2 p — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, V1 и V2 — объѐм газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях.

Правильный ответ: 0,05

31)Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре 6 C 2 10 Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением 6 R 5 10 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе 0 U 16 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением 0,7 — постоянная.

Правильный ответ: 2

32)Для обогрева помещения, температура в котором равна п T C 20 , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой в T C 60 . Расход проходящей через трубу воды m  0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры — теплоемкость воды, o Вт 21 м С — коэффициент теплообмена, а 0,7 — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м?

Правильный ответ: 30

33)Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени 3 моля воздуха объемом 1 V 8 л, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объема V2 . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением 5,75 постоянная, а T 300 К — температура воздуха. Какой объем V2 (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж?

Правильный ответ: 2

34)Мяч бросили под углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле 0 2 sin v t g . При каком наименьшем значении угла в градусах) время полета будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью 0 v 30 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g 10 м/с2 .

Правильный ответ: 30

35)Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н м) определяется формулой 2A — сила тока в рамке, Тл — значение индукции магнитного поля, l 0,5 м — размер рамки, N 1000 — число витков провода в рамке, — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции.

Правильный ответ: 30

36)Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону, где t — время в секундах, амплитуда 0 U 2 В, частота 120 / , c фаза 30 . Датчик настроен так, что если напряжение в нем не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Правильный ответ: 50

37)Независимое агентство намерено ввести рейтинг R новостных изданий на основе показателей информативности In, оперативности Op и объективности Tr публикаций. Каждый показатель оценивается целыми числами от -2 до 2. Аналитик, составляющий формулу, считает, что объективность публикаций ценится втрое, а информативность — вдвое дороже, чем оперативность.

Правильный ответ: 0,4

38)Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле , r — средняя оценка магазина покупателями, экс r — оценка магазина, данная экспертами, K — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 24, их средняя оценка равна 0,86, а оценка экспертов равна 0,11.

Правильный ответ: 0,71

39)Катер должен пересечь реку шириной L=50 м и со скоростью течения u=2 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением t= L u ctgα, где α — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом α (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 25 с?

40)Груз массой 0,6 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону v=v0sin 2πt T , где t — время с момента начала колебаний, T=24 с — период колебаний, v0=1,4 м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле E= mv2 2 , где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 2 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

41)Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле l=√ Rh 500 , где R=6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 2,4 км.

42)Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле l=√ Rh 500 , где R=6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 3,2 км.

43)Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f=25 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 10 до 80 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 100 до 150 см.

44)Два тела, массой m=5 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v=30 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле Q=mv2sin2α, где m — масса в килограммах, v — скорость в м/с.

45)Плоский замкнутый контур площадью S=0,8 м2 находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой ϵi=aScosα, где α — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, a=7,5⋅10−5 Тл/с — постоянная, S — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м2). При каком минимальном угле α (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать 3√3⋅10−5 В?

46)Рейтинг R интернет-магазина книг вычисляется по формуле R=rпок− rпок−rэкс (K 2)m , где m= 0,05K rпок 4,5 , rпок — средняя оценка магазина покупателями, rэкс — оценка магазина, данная экспертами, K — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 62, их средняя оценка равна 4,8, а оценка экспертов равна 3,2.

47)Рейтинг R интернет-магазина цифровой техники вычисляется по формуле R=rпок− rпок−rэкс (K 1)m , где m= 0,03K rпок 0,9 , rпок — средняя оценка магазина покупателями, rэкс — оценка магазина, данная экспертами, K — число покупателей, оценивших магазин.

48)Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне Tп=15°C, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой Tв=95°C. Расход проходящей через трубу радиатора воды m=0,3 кг/с. Проходя по трубе расстояние x м, вода охлаждается до температуры T, причём x=α cm γ log2 Tв−Tп T−Tп , где c=4200 Вт⋅с кг⋅°C — теплоёмкость воды, γ=35 Вт м⋅°C — коэффициент теплообмена, а α=2,5 — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 180 м.

49)В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R1=80 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R2 этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R1 Ом и R2 Ом их общее сопротивление даётся формулой Rобщ= R1R2 R1 R2 (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 80 9 Ом. Ответ выразите в омах.

50)Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом q=3,5⋅10−6 Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v=18 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол α с направлением движения шарика.

Значение индукции поля B=5⋅10−3 Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная Fл=qvBsinα (Н) и направленная вверх, перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла α∈[0°;180°] шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила Fл была не менее чем 3,15⋅10−7 Н? Ответ дайте в градусах.

51)Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени υ=8 молей воздуха объёмом V1=80 л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма V2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A=αυTlog2 V1 V2 , где α=5,75 Дж моль⋅К — постоянная, а T=280 К — температура воздуха.

52)Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде pVa=const, где p (Па) — давление в газе, V — объём газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в пять раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 125 раз?

53)Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле P= 4mg πD2 , где m=2700 кг — общая масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах).

54)Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=2,25 8t−4t2 , где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

55)Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности Tr публикаций, а также качества Q сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от −7 до 7. По решению составителей формула приняла вид:

56)Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности In, оперативности Op и объективности Tr публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от −4 до 4. По решению аналитиков формула приняла вид R= 2In 5Op 3Tr A . Найдите, каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг 50.

57)Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене p=900 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v=400 руб., постоянные расходы предприятия f=800000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q)=q(p−v)−f.

58)На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле FA=ρgl3, где l — длина ребра куба в метрах, ρ=1000 кг/м3 плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g=9.8 Н/кг).

Линейная функция

27953 При температуре 0ºC рельс имеет длину l0 = 10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону Производная | ЕГЭ по математике (профильной) | Теория к заданию 7Производная | ЕГЭ по математике (профильной) | Теория к заданию 7Производная | ЕГЭ по математике (профильной) | Теория к заданию 727954 Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 300 руб., постоянные расходы предприятия f= 700000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле Производная | ЕГЭ по математике (профильной) | Теория к заданию 7

Поделиться

Решу ЕГЭ задание №7 по математике 11 класс профильный уровень с ответами и решением для практики и подготовки к экзамену, а также видео о том, как решать 7 задание профиля ЕГЭ 2022 по математике.

Задача 7 —это задания связаны с физикой. За правильное выполненное задание дают 1 балл. Ответом к заданию 7 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.

Тренажер задания 7 профильного ЕГЭ по математике-2022 (с ответами). Здесь приведены прототипы задания 7 — задачи с физическим содержанием на линейные и квадратичные функции. Это задание на применение математических знаний при решении прикладных задач.

Решение

Найдём высоту $h_1$, стоя на которой наблюдатель видит горизонт на расстоянии $3{,}2$ км.

Решим уравнение $√ {{6400h_1} / {500}}=3{,}2$;

${64h_1} / {5}=3{,}2^2$;

$h_1={3{,}2^2⋅5} / {64}={3{,}2⋅5} / {20}=0{,}8$ (м).

Найдём высоту $h_2$, стоя на которой наблюдатель будет видеть горизонт на расстоянии $5{,}6$ км.

Решим уравнение: $√ {{6400h_2} / {500}}=5{,}6$;

${64h_2} / {5}=5{,}6^2$;

$h_2={5{,}6^2⋅5} / {8^2}=0{,}7^2⋅5=2{,}45$ (м).

Таким образом, наблюдателю надо подняться на $2{,}45-0{,}8=1{,}65$ (м).

Учитывая, что высота одной ступеньки равна $15$ см $= 0{,}15$ м, получим, что наблюдателю нужно подняться не менее чем на ${1{,}65} / {0{,}15}={165} / {15}=11$ (ступенек).

Пояснение: часто в этой задаче путают размерность высот $h_1$ и $h_2$. Обратите внимание, что в условии в первом предложении указано, что высота наблюдателя над землей измеряется в метрах.

Ответ: 11

Решение:

1. Координаты точки касания удовлетворяют обоим уравнениям: касательной и функции. Поэтому мы можем приравнять уравнения. Получим:

2. Упрощаем равенство, перенеся все слагаемые в одну сторону:

3. В точке касания должно быть одно решение, поэтому дискриминант полученного уравнения должен равняться нулю. Таково условие единственности корня квадратного уравнения.

4. Получаем:

Ответ: 4.

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

$v(t) = x'(t)$

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$

Оцените статью
ЕГЭ Live