Презентация.Решение некоторых логарифмических неравенств группы С3презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

Метод рационализации. Часть 2

Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические   выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Поэтому прежде чем мы начать знакомство с методом рационализации, вам хорошо следует разбираться  в равносильности.

Если Вам тема знакома, и Вы просто хотите уточнить приемы рационализации, – вам сюда.

Хотите постичь суть метода рационализации, – придется разбираться с этим примером + показать

Мы вплотную подошли к методу рационализации в логарифмических неравенствах.

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

Можно и видео посмотреть.

Здесь нет краткого решения неравенства методом рационализации, здесь подводка к методу, суть + показать

Метод рационализации в показательных неравенствах

Решение исходного неравенства  равносильно решению неравенства

Метод рационализации в неравенствах, содержащих модуль

Работая с неравенствами типа

Перейдем к равносильному неравенству:

Здесь  посмотреть краткую сводку-таблицу к теме “Рационализация неравенств”.

здесь предлагаю еще рассмотреть несколько примеров по теме “Рационализация неравенств”.

урок 10. Математика ЕГЭ

Метод рационализации (равносильности) необходим для успешной сдачи ЕГЭ по профильной математике. В экзаменационных вариантах попадаются неравенства, которые удобнее и быстрее всего решать именно методом рационализации. Довольно часто можно обойтись и без него, но тогда количество вычислений в решении увеличивается в несколько раз, что повышает вероятность ошибки.

Прежде чем приступить к его изучению нужно обязательно знать следующие темы:

Когда применяется метод рационализации?

Вторые неравенства в системах имеют строгий знак неравенства, так как это условия, накладываемые на знаменатель.

Согласитесь, решать две такие системы не очень приятное занятие. Хотя тут это вполне реально. Но что, если неравенства в системах будут значительно сложнее, или множителей будет не два, а больше. Тогда ваше решение будет очень громоздким. И вот тут на помощь приходит метод рационализации, или его еще называют методом равносильности. Он позволяет сократить вычисления в несколько раз.

Чуть ниже мы решим этот пример.

Второй случай, когда целесообразно применять метод рационализации, это когда в основании логарифмической или показательной функции лежит переменное основание. Показательных функций это касается в меньшей степени, а вот в логарифмах встречается часто. Например:

Значит, во-первых, переменное основание дает нам дополнительные условия в ОДЗ, про которые ни в коем случае нельзя забывать!

Проблема в том, что, так как основание переменное, оно может быть абсолютно любым в зависимости от (x). А следовательно, мы не знаем, менять нам знак неравенства или нет.

Даже в таком легком примере пришлось решать две системы плюс еще система с ОДЗ — не очень приятно. Здесь, опять же, выручает метод рационализации.

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

Перед тем, как приступить к изучению, немного поговорим про равносильные преобразования. Им не уделяют достаточно внимания в школе, кажется, что это очевидная штука. Но это очень важно.

Итак, равносильные преобразования — это преобразования, при которых не меняются корни уравнения или неравенства. Например, перенос слагаемого в неравенстве слева направо от знака неравенства — это ни что иное, как равносильное преобразование. Ведь если перенести слагаемое, не забыв при этом поменять перед ним знак, то корни неравенства или уравнения останутся теми же самыми — они не изменятся, их не станет больше и даже меньше их не будет. Корни уравнения после преобразования будут один в один, как до преобразования.

Вам, возможно, кажется, что я говорю очевидные вещи. Но равносильные преобразования бывают гораздо сложнее. Например, в методе рационализации мы как раз будем делать равносильные преобразования.

Рассмотрим применение метода рационализации для начала на простом примере:

А если основание от нуля до единицы — (0 lt х lt 1), то знак неравенства меняется на противоположный и ((х+5)) должно быть меньше (х). (Смотри (*)).

Именно эти два условия и описывает неравенство (**). Посмотрите на него внимательно. Для того, чтобы неравенство было верно, необходимо, чтобы произведение двух скобок было больше нуля. Это возможно в двух случаях: если скобки обе положительные, и если обе отрицательные.

И наоборот, если первая скобка отрицательна на ОДЗ при (0 lt x lt 1), то вторая скобка тоже должна быть отрицательной, чтобы выполнялось неравенство (**), то есть (2x+5 lt x). Случай, когда основания логарифмов меньше единицы, но больше нуля.

В случае, если у нас неравенство (**) со знаком меньше, а не больше, как в примере выше, рассуждения будут точно такими же, только произведение двух множителей (скобок) будет меньше нуля, при условии, что они разных знаков: первый множитель отрицательный, второй положительный и наоборот!

Дорешаем пример (**) при помощи метода интервалов:

C учетом ОДЗ получим:
Ответ: (xin(1;+infty)).

Метод рационализации для логарифмов в общем виде

Общая схема метода рационализации выглядит так:

Разберем несколько примеров применения метода рационализации в логарифмических неравенствах без полного решения. Просто посмотрим, как делаются равносильные преобразования, дорешивать до конца не будем.

Общий случай метода рационализации

Бывают логарифмические неравенства в виде произведения или частного различных множителей. В таких примерах обойтись без рационализации сложно. Разберем на примере:

Было бы здорово решить наше неравенство методом интервалов, но, к сожалению, метод интервалов применим только для линейных множителей (без всяких логарифмов, показательных функций, степеней и др.).

Обратите внимание, что неравенство ((x+3-1)(7-2x-1) ge 0 ) будет выполняться точно при таких же (x) на ОДЗ логарифма.

Рассмотрим еще более сложный пример на рационализацию:

Подставим получившееся преобразование в исходное неравенство:
$$ (x-1)*(x+3-1)(x+2-1)*(3-1)((x+3)^2-1) le 0;$$
Упростим выражения в скобках
$$ (x-1)*(x+2)(x+1)*2*(x+2)(x+4) le 0;$$
$$2 (x-1)*(x+2)^2*(x+1)*(x+4) le 0;$$

Решим методом интервалов с учетом ОДЗ:

Метод рационализации в показательных неравенствах

Посмотрим, как это работает на простом примере из обыкновенных показательных неравенств:

Чтобы во всем разобраться, нужно вспомнить, как решаются показательные неравенства. Первым делом приводим к одинаковому основанию: у нас в примере №7 слева и справа основание 5, поэтому с этим все хорошо. Дальше мы смотрим, больше ли основание единицы, если да, то просто вычеркиваем основание, сохраняем знак неравенства и сравниваем степени. А если меньше, то не забываем поменять знак неравенства на противоположный.

Это все эквивалентно обычному методу решения показательных неравенств с избавлением от основания. Здесь основания слева и справа одинаковые и меньше единицы, значит вычеркиваем их и меняем знак неравенства: (x+2le-2x-4). В методе рационализации у нас тоже все свелось к точно такому же неравенству.

Примеры №7 и 8 обычно не решают методом рационализации. Давайте разберем пример, в котором рационализация сильно упрощает решение:

Теперь разберем более общий случай применения метода рационализации. Дело в том, что часто встречаются смешанные неравенства, и в них кроме показательной функции бывают логарифмические, тригонометрические, линейные и т.д. В общем, намешана вся школьная программа. В таких случаях нам тоже может помочь рационализация.

Общее правило рационализации

Рассмотрим пример посложнее.

Формулы метода рационализации

Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.

Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.

Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №4 из ЕГЭ по профильной математике.

Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.

Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.

В уроке разбираем, что такое арифметический квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами. Выносим множитель из под знака корня. Избавляемся от иррациональности

Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.

Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.

Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.

Логарифмические неравенства в КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня встречаются довольно часто. При изучении заданий на неравенства им стоит уделить особое внимание. В этом разделе подробно рассмотрены примеры решения типовых заданий, а также метод рационализации для решения логарифмических и смешанных неравенств и их систем. Если Вы попали на эту страницу из поисковика и ещё не решали простейшие логарифмические неравенства, то пройдите по ссылкам из оглавления и ознакомтесь с предыдущими материалами по этой теме.

Если возникают вопросы — обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.

вторая система равносильна следующей:

В ответ включаем пересечение множеств ОДЗ и отрицательных интервалов.

Понятно, что последнее решение явно короче и понятнее. Что особенно ценно для условий экзамена, оно содержит меньше возможностей совершить ошибку из-за невнимательности.

Если основание логарифма фиксировано, не содержит неизвестной переменной, то метод рационализации применять тоже можно, но никакого «выигрыша» по сравнению с классическим решением простейших неравенств не будет. Разве что в случае, когда разность логарифмов входит множителем в другое неравенство. Рассмотрим пример, затем сформулируем правило.

Ответ представляет собой пересечение положительных интервалов с множеством допустимых значений.

Ответ: (x in (-0,6;-0,4) cup (4;+infty)).

Примеры неравенств из банка заданий ЕГЭ

Решаем эту систему неравенств на числовой оси

Вывод: (x in (-3;2)cup (2;3)).

Общее решение – пересечение отрицательных интервалов с областью допустимых значений переменной.

Задачи для самостоятельного решения

Эти задачи также даны с ответом и полным решением, которое временно скрыто. Сначала попробуйте решить неравенство самостоятельно, а затем пользуйтесь кнопками, чтобы сравнить ответ и посмотреть моё решение. Последнее не обязательно должно совпадать с вашим, бывают разные методы решения логарифмических неравенств и разные способы преобразования выражений, содержащих логарифмы.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

Презентация к уроку Решение некоторых логарифмических неравенств группы С₃ Составлена учащимися 11 «а» класса МБОУ СОШ № 37 г. Улан-Удэ 2010-2011 уч.г.

Решение логарифмических неравенств, содержащих модуль под знаком логарифма .

Решим уравнение замены : ( не удовл. ОДЗ ) Учитывая ОДЗ : x=-1 Ответ : x=-1

Задания для самостоятельного решения.

Решение логарифмических неравенств, содержащих модуль в основании .

Решение: Рассмотрим две системы : Решим первую систему:

Решим вторую систему: Из 1 и 2 следует: Ответ:

Решение логарифмических неравенств, содержащих показательную функцию под знаком логарифма .

Первый способ. Решение: Рассмотрим две системы :

Решим первую систему: Решим вторую систему: Из 1 и 2 следует: Ответ:

Второй способ. Решение: Ответ:

Решение логарифмических неравенств, содержащих показательную функцию в основании логарифма

Решим неравенство замены: 1. — + — + -2 0 2 t

2. -49 -1 x Из 1 и 2 следует

Ответ: С учетом ОДЗ найдем общее решение: -49 -5 -1 — 0 х

Задания для самостоятельного решения: 1. 2.

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические неравенства с числовым основанием

Задание
1

Уровень задания: Легче ЕГЭ

При :исходное неравенство равносильно неравенству

– сюда не вошёл (x = 0), следовательно, это и есть ответ.

Задание
2

По методу интервалов:

Задание
3

Сделаем замену (t = log_5 x):

Задание
4

Сделаем замену (log_2 x = t) с учётом того, что на ОДЗ (log_4 x = 0,5log_2 x):

Задание
5

Сделаем замену (t = log_2 x):

Задание
6

Сделаем замену (t = log_3 x):

Задание
7

Сделаем замену (t = ln x):

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Логарифмические уравнения — коротко о главном

Определение логарифмических уравнений

Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестные переменные находятся внутри логарифмов.

ОДЗ (Область допустимых значений) для логарифмического уравнения:

5 основных методов решения логарифмических уравнений:

1 метод. Использование определения логарифма:

2 метод. Использование свойств логарифма:

3 метод. Введение новой переменной (замена):

4 метод. Переход к новому основанию:

Берется логарифм от правой и левой частей уравнения.

Метод введения новой переменной

Я начну с рассмотрения первого метода. Как ты уже понял из названия, суть этого метода – ввести такую замену переменной, что твое логарифмическое уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить.

Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» — это сделать «обратную замену» : то есть вернуться от замененного к заменяемому. Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:

В этом примере замена прямо напрашивается сама собой! Ведь ясно, что если мы заменим ( displaystyle lgx) на ( displaystyle t), то наше логарифмическое уравнение превратится в рациональное:

Его ты без проблем решишь, сведя к квадратному:

( displaystyle left( 2+t
ight)+2left( 4-t
ight)=left( 4-t
ight)left( 2+t
ight))

( displaystyle t
e 4,t
e -2) (дабы знаменатель не обнулился ненароком!)

Упрощая полученное выражение, мы окончательно получим:

Теперь делаем обратную замену: ( displaystyle t=lgx), тогда из ( displaystyle 1=lgx) следует, что ( displaystyle x=10), а из ( displaystyle 2=lgx) получим ( displaystyle x=100)

Теперь, как и раньше, пришла очередь проверки:

Таким образом, числа ( displaystyle 10) и ( displaystyle 100) являются корнями нашего исходного уравнения.

Ответ: ( displaystyle 10,100).

Мне кажется, что основную идею ты уловил. Она не нова и распространяется не только на логарифмические уравнения.

Другое дело, что иногда довольно сложно сразу «увидеть» замену. Здесь требуется некоторый опыт, который придет к тебе после некоторых усилий с твоей стороны.

А пока что потренируйся в решении следующих примеров:

Готов? Давай проверим, что у тебя получилось:

Вначале решим второй пример.

Он как раз демонстрирует тебе, что не всегда замену удается сделать, что говорится, «в лоб». Прежде нам нужно немного преобразовать наше уравнение: применить формулу разности логарифмов в числителе первой дроби, и вынести степень в числителе второй.

Сделав это, ты получишь:

Теперь замена стала очевидной, не так ли?

при ( displaystyle t
e 1,t
e 0.)

Решив последнее уравнение, ты найдешь его корни:

Теперь давай попробуем решить третье уравнение

Этот примерчик позаковырестее, однако, я постараюсь решить его вообще не прибегая к замене переменной!

Давай опять, будем делать, что можно: а можно для начала разложить логарифм слева по формуле для логарифма отношения, а также вынести двойку вперед у логарифма в скобках. В итоге у меня получится:

Как решать такие уравнения, ты уже знаешь. Корень находится без труда, и он равен ( displaystyle 2). Напоминаю тебе о проверке!

Ну вот, теперь ты, как я надеюсь, научился решать достаточно сложные задачи, которые « в лоб» не одолеешь! Но логарифмические уравнения бывают еще более коварными! Вот например такие:

Здесь уже, увы, предыдущий способ решения не даст ощутимых результатов. Как ты думаешь, почему? Да, никакой «обратности» логарифмов здесь уже не наблюдается. Этот наиболее общий случай, конечно, тоже поддается решению, но мы уже применяем вот такую формулу:

Уж этой формуле все равно, имеется у вас «противоположность» или нет. Ты можешь спросить, а чему выбирать основание ( displaystyle c)? Мой ответ – это не имеет никакого значения. Ответ в итоге не будет зависеть от этого ( displaystyle c). Традиционно используют либо натуральный, либо десятичный логарифм. Хотя это и не принципиально. Я, например, буду применять десятичный:

( displaystyle lgxleft( lg 2+lg 3
ight)=lg 2lg 3)

( displaystyle lgxlg6=lg 2lg 3)

Отставлять ответ в таком виде – форменное безобразие! Давайте я вначале запишу по определению, что

Дальнейшие упрощения, увы, нам уже недоступны.

Давай сделаем проверку вместе:

( displaystyle 1=1)

Верно! Кстати, еще раз вспомни, из чего следует предпоследнее равенство в цепочке!

В принципе, решение этого примера тоже можно свести к переходу к логарифму по новому основанию, только тебя должно уже пугать то, что получится в итоге. Давай попробуем поступить разумнее: как можно лучше преобразуем левую часть.

Кстати, а как по-твоему я получил последнее разложение? Верно, я применил теорему о разложении квадратного трехчлена на множители, а именно:

Ну вот, теперь я перепишу мое исходное уравнение вот в таком виде:

А вот решить такую задачу нам уже вполне по силам!

Тебе осталось сделать проверку!

Следующее уравнение попробуй решить самостоятельно. Не торопись и будь внимателен, тогда удача будет на твоей стороне!

Готов? Давай посмотрим, что у нас получилось.

На самом деле, пример решается в два действия:

Таким образом, исходное уравнение свелось к простейшему:

( displaystyle x=5).

Проверка говорит о том, что данное число в самом деле является корнем уравнения.

Опишем непосредственно сам мини-максный метод

Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название? Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

Наша самая главная цель – это найти вот эту самую константу ( displaystyle A), чтобы далее свести уравнение к двум более простым. Для этого могут быть полезны свойства монотонности логарифмической функции, сформулированные выше.

Теперь давай рассмотрим конкретные примеры:

1. Вначале рассмотрим левую часть. Там стоит логарифм с основанием меньше ( displaystyle 0<a<1).

С другой стороны, по определению корня:

Таким образом, константа ( displaystyle A) найдена и равна ( displaystyle 0). Тогда исходное уравнение равносильно системе:

Таким образом, общий корень равен ( displaystyle 2), и данный корень будет корнем исходного уравнения. На всякий случай сделай проверку, чтобы убедиться в этом.

Ответ: ( displaystyle 2)

Давай сразу задумаемся, что здесь написано? Я имею в виду общую структуру. Здесь сказано, что сумма двух квадратов равна нулю. Когда это возможно? Только тогда, когда оба этих числа по отдельности равны нулю. Тогда перейдем к следующей системе:

Общих корней у первого и второго уравнений нет, тогда и исходное уравнение корней не имеет.

Давай вначале рассмотрим правую часть – она попроще. По определению синуса:

Теперь вернемся к левой части: рассмотрим выражение, стоящее под знаком логарифма:

Тогда наше исходное уравнение равносильно следующей системе:

Я не знаю, знаком ты или нет с решением тригонометрических уравнений, поэтому я сделаю так: решу первое уравнение (оно имеет максимум два корня), а потом результат подставлю во второе:

Теперь я подставлю его во второе уравнение:

( displaystyle 1=1.)

Ответ: ( displaystyle x=-3)

Ну как, теперь тебе стала ясна техника применения мини-максного метода? Тогда постарайся решить следующий пример самостоятельно.

Готов? Давай проверим:

Левая часть – сумма двух неотрицательных величин (единицы и модуля) а потому, левая часть не меньше единицы, причем она равна единице только тогда, когда

В то же время правая часть – это модуль (значит, больше нуля) произведения двух косинусов (значит не более единицы), тогда:

Я опять предлагаю решить первое уравнение и результат подставить во второе:

Данное уравнение корней не имеет.

Тогда исходное уравнение также не имеет корней.

Ответ: решений нет.