Подтяните знания с репетитором за лето | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по математике (11 класс) на тему: | Образовательная социальная сеть

Предисловие для учителя

Для проведения диагностической работы по математике предлагается 7 вариантов учебно-тренировочных тестов, предназначенных для подготовки к ЕГЭ профильного уровня в 2022 году. Тесты составлены в соответствии с нормативными документами (кодификаторы элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников, спецификация, демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов и система оценивания экзаменационной работы), регламентирующими разработку контрольных измерительных материалов ЕГЭ по математике профильного уровня в 2022 году.

В 2022 году структура и содержание экзаменационной работы претерпели следующие изменения: из блока задач с кратким ответом исключены одна практикоориентированная задача и одна стереометрическая задача.

На выполнение диагностической работы отводится 165 минут (2 часа 45 минут). Проведение работы рекомендуется в первом полугодии 11 класса в соответствии с УМК по алгебре и началам анализа Мордковича А. Г. и УМК по геометрии Атанасяна Л. С.

План диагностической работы (учебно-тренировочного теста)

Выставление отметки за диагностическую работу не рекомендуется, так как цель работы – выявление уровня подготовленности обучающихся к решению задач ЕГЭ с детальным обнаружением пробелов в их знаниях и умениях по соответствующим темам. Результатом проведения работы должна стать коррекционная работа, включающая в себя индивидуальные рекомендации обучающимся.

Вариант 11

1. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 10%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Месячная плата за интернет составляет 800 рублей. Какую минимальную сумму положить в приемное устройство терминала, чтобы на счету фирмы, предоставляющей интернет-услуги, оказалась сумма, не меньшая 800 рублей?
2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 22 января.

3. Найдите площадь ромба, если его стороны равны 27, а один из углов равен .

4. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
5. Один из углов прямоугольного треугольника равен . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
6. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.
7. На рисунке изображены график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции  в точке .

8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1000  воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 20 см до отметки 22 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в .
9. Найдите значение выражения при .
10. Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой (в килограммах) от температуры до температуры (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы  кг. Он определяется формулой , где Дж/(кгК) — теплоёмкость воды, Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть кг воды от до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше . Ответ выразите в килограммах.
11. На изготовление 384 деталей первый рабочий затрачивает на 8 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 480 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
12. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .
13. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 

14.  Решите неравенство .
15. 31 декабря 2022 года Георгий взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a %), затем Георгий переводит в банк очередной транш. Георгий выплатил долг за два транша, переведя в первый раз 570 тыс. рублей, а во второй 599,4 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Георгию?

Вариант 12

1. Розничная цена учебника 138 рублей, она на 15% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 3150 рублей?
2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 24 января.

3. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен . Боковая сторона треугольника равна 13. Найдите площадь этого треугольника. 
4. В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
5. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.
6. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.
7. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?
9. Найдите значение выражения при .

10. К иcточнику c ЭДC  В и внутренним cопротивлением  Ом, хотят подключить нагрузку c cопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтcя формулой . При каком наименьшем значении cопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 50 В?
11. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 420 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 399 литров?
12. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 

14. Решите неравенство.

15. 31 декабря 2022 года Иван взял в банке 8540000 рублей в кредит под 13,5 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 13,5 %), затем Иван переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Иван мог выплатить долг двумя равными платежами (то есть за два года) ?

Вариант 13

1. Налог на доходы составляет от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 12180 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?
2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разницу между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 1999 году.

3. Найдите площадь ромба, если его стороны равны 49, а один из углов равен .

4. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Эстонии, 6 спортсменов из Латвии, 3 спортсмена из Литвы и 7 — из Польши. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Литвы.
5. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

6. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
7. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 5300  воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 20 см до отметки 29 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в .
9. Найдите значение выражения  при .
10. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу  тонн представляют собой две пустотелые балки длиной  метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой , где m — масса экскаватора (в тоннах), l — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте м/с). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 165 кПа. Ответ выразите в метрах.
11. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 675 литров она заполняет на 2 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 702 литра?
12. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .

14. Решите  неравенство .
15. 31 декабря 2022 года Геннадий взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a %), затем Геннадий переводит в банк очередной транш. Геннадий выплатил долг за два транша, переведя в первый раз 600 тыс. рублей, а во второй 550 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Геннадию?

Вариант 14

1. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разницу между наибольшей и наименьшей температурами в этот период.

3. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.
4. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
5. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
7. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1500  воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 28 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в .
9. Найдите значение выражения  при .
10. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой , где  — температура нагревателя (в градусах Кельвина),  — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя КПД этого двигателя будет не меньше , если температура холодильника  К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
11. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 624 литра она заполняет на 2 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 650 литров?
12. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
13. а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14. Решите неравенство .
15. 31 декабря 2022 года Владимир взял в банке некоторую сумму под 14 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14 %), затем Владимир переводит в банк 4548600 рублей. Какую сумму взял Владимир в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Вариант 15

1.  Цена на электрический чайник была повышена на 24% и составила 1860 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разницу между наибольшей и наименьшей среднемесячной температурами в 1994 году.

3. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 27. 

4. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Украины и 6 прыгунов из Канады. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что тридцатым будет выступать прыгун из Канады.
5. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

6. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.
7. Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 63 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.
9. Найдите значение выражения при .

10. К источнику с ЭДС  В и внутренним сопротивлением  Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, задаeтся формулой . При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 90 В? Ответ выразите в омах.
11. Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 928 литров она заполняет на 3 минуты быстрее, чем первая труба?
12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Дано уравнение .

а) Решите данное уравнение.

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку .

14. Решите неравенство .
15. 31 декабря 2022 года Василий взял в банке некоторую сумму под 11 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11 %), затем Василий переводит в банк 3696300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Вариант 16

1. Розничная цена учебника 156 рублей, она на 30% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 4600 рублей?
2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разницу между наибольшей и  наименьшей температурами воздуха 19 декабря.

3. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен . Боковая сторона треугольника равна 15. Найдите площадь этого треугольника.

4. В сборнике билетов по физике всего 25 билетов, в 13 из них встречается вопрос по оптике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по оптике.
5. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
6. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.
7. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1300  воды и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 20 см до отметки 23 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в .
9. Найдите значение выражения  при .

10. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу  тонн представляют собой две пустотелые балки длиной  метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой , где m — масса экскаватора (в тоннах), l — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте м/с). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 200 кПа. Ответ выразите в метрах.
11. Заказ на 168 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 2 детали больше?
12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

а) Решите уравнение 

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку 

14. Решите неравенство .
15. 31 декабря 2022 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5 %), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей мог выплатить долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) ?

Вариант 17

1. Налог на доходы составляет от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 10440 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?
2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Минске за каждый месяц 2003 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разницу между наибольшей и  наименьшей среднемесячными температурами в 2003 году.

3. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 30. 

4. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 участников из России, в том числе Егор Косов. Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России?
5. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен . Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
6. Найдите корень уравнения: Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
7. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 324 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 9 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.
9. Найдите значение выражения при .
10. Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой (в килограммах) от температуры до температуры (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы  кг. Он определяется формулой , где Дж/(кгК) — теплоёмкость воды, Дж/кг — удельная

теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть кг воды от до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше . Ответ выразите в килограммах.

11. Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 238 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?
12. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14. Решите неравенство .
15. 31 декабря 2022 года Дмитрий взял в банке 4290000 рублей в кредит под 14,5 % годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5 %), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий мог выплатить долг двумя равными платежами (то есть за два года) ?

Ответы к заданиям 1 -12