Задание 20.
Следующие задания, в самом деле, нельзя назвать новыми, поскольку нынешним выпускникам они или им подобные текстовые задачи встречались на ОГЭ в 9-ом классе. Это было задание 21 во второй части варианта.
Задача.Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.
Решение.
Для решения задач на движение важны три параметра – расстояние, время в пути и скорость движения, которые обычно обозначаются символами (S,t) и (v) соответственно. Особенность задач на движение по реке состоит в том, что движение по течению и против течения надо рассматривать отдельно.
Итак, пусть собственная скорость лодки равна (x) км/ч, тогда
- по течению: (S = 30;(км),;v = x 1;(км/ч),;t = S/v = 30/(x 1) (час));
- против течения: (S = 30;(км),;v = x-1;(км/ч),;t = S/v = 30/(x-1) (час)).
Путешествие от А до В и обратно включает движение по течению и против. Можем определить суммарное время в пути. Оно составит
[frac{30}{x 1} frac{30}{x-1}.]
С другой стороны, лодка отсутствовала в пункте А
18−10 = 8 (часов)
, из которых 2 часа 30 минут, то есть 2,5 часа находилась в пункте В. Следовательно, в пути она находилась
8−2,5 = 5,5 (часов)
.
Определив одну и ту же величину двумя независимыми, способами можем составмит уравнение [frac{30}{x 1} frac{30}{x-1} = 5,5.]
Решаем уравнение
[frac{^{x-1/}30}{x 1} frac{^{x 1/}30}{x-1} = ^{(x-1)(x 1)/}5,5; \
30(x-1) 30(x 1) =5,5(x^2-1); \5,5x^2-60x -5,5 = 0; \11x^2 -120x -11 = 0, \D = 14400 484 = 14884, sqrt{D} = 122,\
x_1 =frac{120 -122}{22} =-frac{1}{11}; ;x_2 =frac{120 122}{22} = 11. ]
Так как собственная скорость лодки не может быть величиной отрицательной, то для ответа подходит только второй корень уравнения 11 (км/ч).
Ответ: 11
Замечение: Об оптимизации решения квадратных уравнений см. в статье «4,5 способа решения одного квадратного уравнения«.
Задача.В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
Задание 5.
Решение.
Поскольку шаг сетки равен 1 км, а ответ требуется дать как раз в квадратных километрах, то достаточно определить площадь озера в клеточках.
Правильным решением является следующее — ограничить исследуемый объект, в данном случае озеро, отрезками прямых линий (в других заданиях, может быть, дугами окружностей) так, чтобы приблизить его форму к простой геометрической фигуре, площадь которой легко определяется по клеткам.
В данном случае вертикальная линия в левой клетке проведена в середине квадрата, наклонные линии по диагоналям квадратов. Получаем примерно 0,5 1 0,5 0,5 0,5 = 3.
Выступающий за построенную границу участок озера и включенные внутрь береговые участки оцениваем «на глаз». Очевидно, что они приблизительно компенсируют друг друга и в совокупности создают погрешность не более полуклетки. Таким образом, округленный до целого числа ответ и есть 3.
Ответ: 3
Однако мне очень не нравится присутствие такого задания в варианте письменного экзамена, проверяемого с использованием специальных аппаратно- программных средств формально только по ответам, каковым является ЕГЭ по математике базового уровня.
Сколько раз я говорила ребятам, что этот экзамен не проверяет ваши физические возможности — остроту зрения, цветовосприятие, глазомер. Оказвается проверяет?Сколько уговаривала ориентироваться на узлы сетки, решая задачи «на клеточках», а если какой-то элемент чертежа не попадает в узел, то использовать для вычислений геометрические формулы.
Полагаю, что добрая половина выпускников на реальном экзамене в этом задании смогла бы получить ответ 4. Для этого достаточно мысленно подвигать клетки с озером, получить воображаемую структуру, например, такую как на этом рисунке. Оценить площадь «нового озера» в 3,5 клетки и по правилам округления чисел в ответ записать 4.
Вывод: по моему мнению, это задача не для ЕГЭ. Она была бы очень хороша для устного экзамена, для собеседования, для практических занятий, для письменного экзамена с возможностью обоснования ответа.
Изменения в 2022 году
Итак, насколько весомы и серьезны были изменения, проделанные экспертами со структурой ЕГЭ по базовой математике:
- Исключено задание №2, которое проверяло умение выполнять вычисления и преобразования;
- Включили новое задание №5, направленное на выявление умения выполнять действия с геометрическими фигурами;
- Добавлен номер 20, который проверяет умение строить и исследовать простейшие математические модели;
- Количество заданий увеличено с 20 до 21;
- В 2022 году максимальный балл за выполнение всей экзаменационной работы составляет 21.
Новые задания в егэ по базовой математике
Задание 5
Тут придется поработать с выражением. Чтобы точно получить балл, надо подготовиться ко всем возможным вариантам номера. Чтобы сдать базовую математику, нужно повторить и, самое главное, научиться применять:
- Формулы сокращенного умножения,
- Тригонометрические формулы,
- Формулы свойств корней,
- Формулы свойств логарифмов.
Задание 20
Здесь попадаются разные типы неочевидных задач на логику. Решение каждой нужно рассматривать отдельно и подробно.
Структура и темы заданий егэ по математике
В каких темах нужно быть подкованным, чтобы разобраться в структуре заданий ЕГЭ по базовой математике и не медлить с их решением? Поговорим про каждое!
Задание 1. Порядок проведения арифметических операций: действия в скобках, возведение в степень или извлечение корня, умножения и деления, вычитания и сложения; правила умножения и деления в столбик; правила вычисления обыкновенных дробей;
Задание 2. Свойства корней и степеней, операции с дробями;
Задание 3. Умениенаходить 1%, дробь от числа, число по его части;
Задание 4. Свойства корней и степеней, таблица степеней;
Задание 5.;
Задание 6. Единицы измерения величин, правила округления, проценты;
Задание 7. Виды уравнений, алгоритм решения квадратного уравнения, свойства корней, свойства логарифмов;
Задание 8. Формулы периметра прямоугольника, площади прямоугольника, периметра треугольника, площади треугольника, площади ромба, площади трапеции, длины средней линии трапеции;
Задание 9. Единицы измерения величин;
Задание 10. Определение и формулы теории вероятности;
Задание 11. Умение работать с каждым видом графиков;
Задание 12. Как создать комплект и выбрать наилучший вариант из предложенных;
Задание 13. Формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, теорема Пифагора;
Задание 14. Система координат, производная;
Задание 15. Формулы площади параллелограмма, треугольника, трапеции, ромба;
Задание 16. Определения основных понятий, базовые формулы, умение производить элементарные вычисления;
Задание 17. Неравенства, алгоритм решения неравенств;
Задание 18. Умение выстраивать логическую цепочку, анализировать и делать вывод;
Задание 19. Числа и их свойства, числовые наборы на карточках и досках, последовательности и прогрессии, сюжетные задачи, признаки делимости чисел;
Задание 20. Задача на логику: уметь строить и исследовать простейшие математические модели;
Задание 21. Задача на логику: уметь строить и исследовать простейшие математические модели.
Сегодня мы детально разобрали структуру ЕГЭ по базовой математике в 2022 году, посмотрели на изменения, познакомились с новыми заданиями. Желаем осилить всю важную теорию и справляться с практикой без труда! Удачи, ваш Умскул!
