Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Пример:
Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx {1}/{x}$
Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′ ({1}/{x})’=15x^4 sinx-{1}/{x^2}$
2. Производная произведения.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x) f(x)∙g(x)′$
Пример:
Найти производную $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx 4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})’={f^'(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)’}/{g^2(x)}$
Пример:
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f'(x)={(5x^5)’∙e^x-5x^5∙(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4∙e^x-5x^5∙e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
Пример:
$f(x)= cos(5x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= — sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Пример:
Найдите точку минимума функции $y=2x-ln(x 11) 4$
Решение:
1. Найдем ОДЗ функции: $х 11>0; х>-11$
2. Найдем производную функции $y’=2-{1}/{x 11}={2x 22-1}/{x 11}={2x 21}/{x 11}$
3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю
${2x 21}/{x 11}=0$
Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю
$2x 21=0; x≠-11$
$2х=-21$
$х=-10,5$
4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.
$y'(0)={2∙0 21}/{0 11}={21}/{11}>0$
5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ — это точка минимума.
Ответ: $-10,5$
Пример:
Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$
Решение:
1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$
2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки
$30x^4-270x^2=0$
Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(х-3)(х 3)=0$
Приравняем каждый множитель к нулю
$x^2=0 ; х-3=0; х 3=0$
$х=0;х=3;х=-3$
3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$
Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$
4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
$y(-5)= 6∙(-5)^5-90∙(-5)^3-5=6∙(-3125) 90∙125-5= -18750 11250-5=-7505$
$y(-3)= 6∙(-3)^5-90∙(-3)^3-5=-1458 2430-5=967$
$y(0)= -5$
$y(1)= 6∙1^5-90∙1^3-5=6-90-5= -89$
Наибольшее значение равно $967$
Ответ: $967$
Алгоритм решения:
- Определяем область определения функции.
- Находим производную.
- Определяем, в каких точках производная равна 0.
- Исключаем точки, не принадлежащие области определения.
- Среди оставшихся точек ищем значения х, в которых функция имеет максимум.
- Записываем ответ.
Алгоритм решения:.
- Находим производную.
- Определяем, в каких точках производная равна 0.
- Исключаем точки, не принадлежащие заданному отрезку.
- Среди оставшихся точек ищем значения х, в которых функция имеет максимум.
- Находим значения функции на концах отрезка.
- Ищем среди полученных значений наибольшее.
- Записываем ответ.
Второй вариант задания (из ященко, №1)
[su_note note_color=”#defae6″]
Найдите точку минимума функции y = x – ln(x 6) 3.
[/su_note]
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2022)
[su_note note_color=”#defae6″]
Найти точку максимума функции y = ln(x 4)2 2x 7.
[/su_note]
Решение:
1. Вычисляем производную от функции, получим
2. Приравниваем производную к нулю:
Решение уравнения дает два
корня
– не принадлежит множеству действительных чисел
.
3. Значение
и остается одна точка
.
4. Вычисляем значения функции в точке -2 и на концах отрезка -3 и 1, получим:
Наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 48 в точке х=-2.
Ответ: 48.
Таблица производных некоторых элементарных функций:
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^{n-1}, n∈N$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| ${1}/x{^n}, n∈N$ | $-{n}/{x^{n 1}}, n∈N$ |
| $√^n{x}, n∈N$ | ${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $log_{a}x$ | ${1}/{xlna}$ |
Третий вариант задания (из ященко, №12)
[su_note note_color=”#defae6″]
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке [-3; 1].
[/su_note]
