Математика. Решебник. Подготовка к ЕГЭ-2013. Учебно-тренировочные тесты — Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.

Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

ЕГЭ-2022
МАТЕМАТИКА
ТРЕНАЖЁР
АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ, СТЕРЕОМЕТРИЯ
■ 1700 ЗАДАНИЙ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ
■ БАЗОВЫЙ И ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВНИ
■ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ВАРИАНТЫ
■ОТВЕТЫ КО ВСЕМ ЗАДАНИЯМ И ВАРИАНТАМ

Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

МАТЕМАТИКА
10-11 классы
ТРЕН АЖ ЁР ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ:

алгебра, планиметрия, стереометрия
БАЗОВЫЙ И ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВНИ
Издание четвёртое
Учебное пособие

Учеии_______ класса____
школы______

ЛЕГИОН
Ростов-на-Дону

2022

ББК 22.1 я721
М34

Рецензент
Дерезин С.В. — кандидат физико-математических наук

Авторский коллектив:
Е.Г. Коннова, Г.Л. Нужа, Л . С. Ольховая, Н .М . Резникова, Е .М . Фридман,
Д.И. Ханин

Математика. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ: алгебра, планиметрия, стереоМ34 метрия.Базовый и профильный уровни. 10—11-е к л а с с ы / под ред. Ф. Ф -Лысен­
ко, С. Ю. Кулабухова. — Изд. 4-е. — Ростов н /Д : Легион, 2022. — 272 с. — (ЕГЭ).
ISBN 978-5-9966-1172-0

Пособие предназначено для эффективной подготовки учащихся старших классов
к ЕГЭ по математике базового и профильного уровней. Оно может использоваться
для тематического и обобщающего повторения курса математики.
Пособие содержит:
• диагностическую работу, которая позволит выявить темы, требующие повто­
рения;

• 1700 заданий, сгруппированных в 3 модуля («Арифметика и алгебра», «Алгеб­
ра и начала анализа», «Геометрия»);
• варианты для самостоятельного решения в каждом разделе;
• итоговые работы для 10-го класса двух типов: без производной и без лога­
рифмов;
• ответы ко всем заданиям.
Формат тренировочной тетради удобен как для самостоятельной работы дома, так
и для работы в классе.

Б Б К 22.1 я721

ISBN 978-5-9966-1172-0

© О ОО «Легион», 2022

Содержание
Введение ……………………………………

g

Д иагн остич еская работа ……………………………………………………………………………………..

7

Тематические тренировочны е з а д а н и я ………………………………………………………………..

II

1. А р и ф м ети ка и алгебра …………………………………………………………………………….

11

1.1. Преобразование арифметических, алгебраических и тригонометриче­
ских выражений ……………………………………………………………………………………..

11

I. Подготовительные задания………………………………………………………….

11

II. Базовый экзам ен……………………………………………………………………….

12

III. Профильный экзамен………………………………………………………………..

17

Тренировочные варианты………………………………………………………………..

25

1.2. Практический расчёт, оценка и прикидка…………………………………………………..

27

I. Подготовительные задания………………………………………………………….

27

II. Базовый экза м ен ………………………………………………………………………

27

III. Профильный экзамен……………………………………………………………….

29

Тренировочные варианты……………………………………………………………….

31

1.3. Проценты и отношения…………………………………………………………………………….

33

I. Подготовительные задания………………………………………………………….

33

II. Базовый экзам ен……………………………………………………………………….

33

III. Профильный экзамен……………………………………………………………….

35

Тренировочные варианты……………………………………………………………….

37

1.4. Чтение графиков и д иагр ам м ……………………………………………………………………

39

I. Подготовительные задания………………………………………………………….

39

II. Базовый и профильный экзамены ………………………………………………

41

Тренировочные варианты………………………………………………………………..

49

1.5. Выбор лучшего варианта………………………………………………………………………….

57

I. Подготовительные задания………………………………………………………….

57

II. Базовый экзам ен………………………………………………………………………

58

Тренировочные варианты……………………………………………………………….

72

1.6. Теория вероятностей ……………………………………………………………………………….

76

I. Подготовительные задания………………………………………………………….

76

II. Базовый экзам ен………………………………………………………………………

76

III. Профильный экзамен……………………………………………………………….

78

Тренировочные варианты……………………………………………………………….

83

1.7. Уравнения ……………………………………………………………………………………………..

85

I. Подготовительные задания………………………………………………………….

85

——————————————————————————II. Базовый экзамен………………………………………………………………………..
III. Профильный экзамен………………………………………………………………..
Тренировочные варианты………………………………………………………………….
1.8. Текстовые задачи………………………………………………..
……………….
I. Подготовительные задания……………………………………………………………
II. Профильный экзамен …………………………………………………………………..
Тренировочные варианты……………………………………………………………………
1.9. Задания на соответствие………………………………………………………………………………
I. Подготовительные задания…………………………………………………………….
II. Базовый экзамен…………………………………………………………………………..
Тренировочные варианты…………………………………………………………………..
2. Алгебра и начала анализа …………………………………………………………………………….
2.1. Прикладные задачи ……………………………………………………………………………………..
I. Подготовительные задания……………………………………………………………..
II. Базовый экзамен…………………………………………………………………………..

об
gg
д^
„,
д^
д^

1Q2
1Q4
Ю4
Ю5
133
I 45
145
145
146
147

III. Профильный экзамен…………………………………………………………………..
Тренировочные варианты………………………………………………………………….. 162
2.2. Производная и исследование функций…………………………………………………………. 166

I. Подготовительные задания……………………………………………………………. 166
II. Профильный экзамен ………………………………………………………………….. 168
Тренировочные варианты………………………………………………………………….. 177
2.3. Наибольшее или наименьшее значения функций ………………………………………… 182
I. Подготовительные задания…………………………………………………………….. 182
II. Профильный экзамен ………………………………………………………………….. 182
Тренировочные варианты………………………………………………………………….. 187
3. Геометрия……………………………………………………………………………………………………… 189
3.1. Планиметрия……………………………………………………………………………………………….. 189
I. Базовый экзамен……………………………………………………………………………. 189
II. Профильный экзамен ………………………………………………………………….. 195
Тренировочные варианты……………………………………………………………………. 213
3.2. Стереометрия……………………………………………………………………………………………….. 216
I. Базовый экзамен………………………………………………………………………………216
II. Профильный экзамен ……………………………………………………………………. 220
Тренировочные варианты……………………………………………………………………. 232
3.3. Разные задачи………………………………………………………………………………………………..236
I. Базовый и профильный экзамены…………………………………………………… 236
Тренировочные варианты……………………………………………………………………. 241
Итоговые работы для 10 к л а с с а ………………………………………………………………………………. 243
О тветы ………………………………………………………………………………………………………………………..259

0

Дорогие старшеклассники!
Пособие поможет вам эффективно подготовиться к сдаче единого государственного эк­
замена. Подготовку к ЕГЭ рекомендуем начать уже в 10-м классе.
Как работать с этим пособием?
1. Выполните диагностическую работу, которая позволит вам выявить пробелы в знаниях.
Если у вас возникли трудности в решении, обратитесь к учителю или воспользуйтесь посо­
бием нашего издательства «Математика. 9-й класс. Тренажёр для подготовки к экзамену.
Алгебра, геометрия».
2. Задания основной части книги следует выполнять последовательно по мере прохожде­
ния соответствующей темы на уроке.
В пособии три раздела: «Арифметика и алгебра», «Алгебра и начала анализа», «Геомет­
рия». В каждом разделе есть задания подготовительного характера, задания для подготов­
ки к экзамену базового уровня и задания для подготовки к экзамену профильного уровня.
В конце каждого раздела приводятся тренировочные варианты, которые помогут определить
степень освоения каждой темы.
Предполагается, что подготовительные задания базового уровня вы выполните само­
стоятельно по образцу, рассмотренному на уроке. Необязательно выполнять все задания
подряд, выберите лишь те, которые вам интересны или решение которых вам непонятно. Со­
вет: не принимайтесь быстро за решение, сначала осмыслите текст задачи и постарайтесь
ответить на вопросы: что дано? в чём суть задачи? что надо найти?
Задания в пособии «парные» и построены по принципу «от простого — к сложному».
Возле каждого задания есть ячейка для ответа, а в конце книги приводятся ответы ко всем
заданиям. Если вы получили неверный ответ, не старайтесь подгонять его под готовый, а про­
верьте, правильно ли прочитан текст, нет ли в записях очевидных ошибок и описок, после
чего выполните работу ещё раз, контролируя каждый шаг решения задачи.
В разделе «Геометрия» имеются задания как базового, так и профильного уровней,
к большинству из них дан рисунок. Это позволит правильно разобрать и геометрически пред­
ставить текст условия и решить задачу.
3. Итоговые работы для 10-го класса в конце пособия дадут возможность оценить свои
знания и практику выполнения заданий. В зависимости от учебника вы изучили в 10-м классе
одну из двух тем: производная или логарифмы. Выберите те 4 варианта итоговой работы,
которые не содержат заданий на ещё не изученную тему.

Успехов вамI

6

М атем атика. 10—11 классы. Тренажёр д л я подготовки к Е Г Э

Уважаемые учителя и методисты!

Наше пособие представляет собой сборник тренировочных заданий для формирования
у учащихся устойчивых навыков решения задач как базового, так и повышенного уровней
сложности.
В начале книги помешена диагностическая работа, которая позволит вам выявить темы,
необходимые для повторения. Дайте каждому ученику возможность самостоятельно выпол­
нить эту работу. Анализ допущенных ошибок определит содержание задач и упражнений,
необходимых для повторения материала 9-го класса, являющегося базой для продолжения
изучения математики (вы можете воспользоваться пособием нашего издательства «Мате­
матика. 9-й класс. Тренажёр для подготовки к экзамену. Алгебра, геометрия»).
Все разделы книги имеют задания подготовительного характера, задания для подготовки
к экзамену базового уровня и задания для подготовки к экзамену профильного уровня.
Подготовительные задания базового уровня сложности желательно использовать во
время фронтального опроса или в виде устных упражнений на уроке. Задания для подго­
товки к экзамену базового уровня могут быть разобраны на уроке как типовые задачи.
Задания для подготовки к экзамену профильного уровня могут быть даны отдельным уча­
щимся в виде дополнительного материала на уроке или для занятий дома.
В разделе «Геометрия» почти все предлагаемые задания (базового и профильного уров­
ней) снабжены рисунком, что даст возможность каждому ученику сформировать правильное
геометрическое представление условия задачи.
Все задания в пособии построены по принципам «парного подобия» и «от простого —
к сложному».
Большое количество заданий по всем разделам позволит вам использовать пособие для
тематического и текущего контроля. Возле каждого задания есть ячейка для ответа, а в конце
пособия — ответы ко всем заданиям, что существенно облегчит проверку.
Для подготовки и проведения промежуточной аттестации предлагаем несколько вариан­
тов итоговой работы, из которых можно составить индивидуальные задания.
Конечно, решение об использовании заданий каждого уровня зависит от многих причин,
в том числе и от подготовки класса, поэтому порядок работы с книгой учитель определя­
ет сам.

Успехов вам в работе1
Замечания и предложения, касающиеся данной книги, можно присылать на адрес элек­
тронной почты legionrus@legionnjs.com

Диагностическая работа
Вариант I

1. Хозяйка купила 3 кг вишни для варенья по 150 руб. за килограмм и 3 кг сахара по
35 руб. 50 коп. за килограмм. Сколько рублей осталось у хозяйки после этих покупок, ес­
ли в кошельке у неё было 1500 рублей?
2. На оптовой базе закупили яблоки по цене 60 рублей за килограмм, а в магазине их продают
с наценкой 40%. Какую сумму надо заплатить в магазине за 4 кг яблок?
3. На соревнованиях по плаванию школьник проплыл 100 метров по 25-метровой дорож­
ке бассейна. На рисунке показан график зависимости расстояния между пловцом и линией
старта от времени движения. Определите, за какое время школьник проплыл первые 50 мет­
ров. Ответ дайте в секундах.

4. Независимое агентство каждый месяц определяет рейтинги R сайтов общеобразователь­
ных учреждений на основе показателей информативности In , оперативности Ор и дизайна D
страниц. Каждый отдельный показатель оценивается целыми числами от — 2 до 2. Итоговый
„
,
г, „г, ( 3 I n 2 0 р 4- D , гЛ
рейтинг вычисляется по формуле К = зи • I ———-g ———-г и I .
В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких сайтов общеобразователь­
ных учреждений. Определите наивысший рейтинг сайтов общеобразовательных учреждений,
представленных в таблице. Запишите его в ответе, округлив до целого числа.

Сайт

Информативность

Оперативность

А

2

-2

Дизайн
0

В

2

1

-2

С

1

1

2

D

1

2

1

8

Математика. 10—11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

5. На клетчатой бумаге с клетками 1 см х 1 см изображён четырёхугольник. Найдите его
площадь в квадратных сантиметрах.

6. В коробке лежат мобильные телефоны с одной и двумя сим-картами. В среднем на каждые
100 телефонов с одной сим-картой приходится 78 телефонов с двумя сим-картами. Галя до­
стаёт из коробки мобильный телефон. Найдите вероятность того, что этот телефон окажется
с двумя сим-картами. Результат округлите до сотых.
Q

7. Укажите наиболее близкий к нулю корень уравнения 4х 1 —— = 0 .
8. Основания трапеции равны 8 и 16. Найдите больший из отрезков, на которые делит сред­
нюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
9. Найдите значение выражения — — ‘ (4а ) при а = 4.

5а

10. При игре в бадминтон высота (в м), на которой находится волан, описывается формулой
h(t) = 2 5t — t 2. Сколько секунд волан находится на высоте не менее 6 метров?
11. Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 4 часа. За сколько часов может вспахать
поле первая бригада, работая самостоятельно, если ей необходимо на 6 часов меньше, чем
второй бригаде?

Диагност ическая работа

9

Вариант 2

1. Художник купил набор из 12 тюбиков масляной краски по 72 руб. 50 коп. каждый и набор
из 12 кисточек по 65 руб. за каждую. Сколько рублей сдачи он должен получить с пятиты­
сячной купюры?
2. При покупке месячного проездного билета на автобус школьникам предоставляется скид­
ка 20%. Сколько рублей будет стоить такой билет для взрослого, если для школьника он
стоит 250 рублей?
3. На графике показано изменение температуры воздуха в течение суток в декабре в горо­
де N. Определите температуру воздуха в городе в 20 часов.

4. Независимое агентство каждый месяц определяет рейтинги R новостных сайтов на ос­
нове показателей информативности In, оперативности Ор и объективности Тт публикаций.
Каждый отдельный показатель оценивается целыми числами от —2 до 2. Итоговый рейтинг
I
, , (2 1 п Ор 2Тт , Л
вычисляется по формуле R = 15 • I ———-^ ————M l .
В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких новостных сайтов. Опре­
делите наименьший рейтинг новостных сайтов, представленных в таблице. Запишите его в
ответе, округлив до целого числа.

X

Сайт

Информативность

Оперативность

Объективность

А

1

М

-1

-2
1

2
2

N

1

2

-1

S

2

2

-2

Математика. 1 0 — 1 1 классы. Тренажёр д ля подгот овки к Е Г Э

10
5.

На клетчатой бумаге с клетками 1 см х 1 см изображён треугольник. Найдите его площадь

в квадратных сантиметрах.

II
6. Перед праздниками подарки сотрудникам фирмы запаковали в одинаковые коробки. По­
дарки были двух видов — ежедневники и записные книжки. В среднем на каждые 50 еже­
дневников приходится 31 записная книжка. Миша берёт одну из коробок. Найдите вероят­
ность того, что в этой коробке окажется ежедневник. Результат округлите до сотых.
3
7. Укажите наиболее близкий к нулю корень уравнения 4z 7 Н— = 0 .
X

8. Основания трапеции равны 10 и 12. Найдите больший из отрезков, на которые делит сред­
нюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
t ~7 . (5#32
9. Найдите значение выражения——-1— <
— при 4 = 5.
г
41
10. Предмет с меньшей, чем у воды, плотностью был брошен в воду. Глубина, на которой
находился предмет, описывается формулой /i(t) = 6i — t

где

t — время в секундах,

h

—

глубина в метрах. Сколько секунд предмет находился на глубине более 5 метров?
11. Два трактора, работая вместе, могут вспахать поле за 4 часа. Это же поле первый трак­
тор может вспахать за 6 часов. За сколько часов это поле может вспахать второй трактор,
работая самостоятельно?

Тематические тренировочные задания
1. Арифметика и алгебра
1.1. Преобразование арифметических, алгебраических
и тригонометрических выражений
I. Подготовительные задания
Найдите значение выражения:
‘• 1 1
7
7

2 .-8- А
13
13
4 .А _ ±
15
15

54 50

6 .7 | 21

Ч

—

8′ 5| — 2|

“

М

г

1!

,о л Н

» • Зп

: п

1 3 .3 4,5 7,82

1 4 .5 4 ,7 5,63

1 5 .2 ,3 -1 0

1 6 .5 ,7 -2 0

17. 8,02 -2,5

18.6,04-3,5

19. 5,25 : 3,5

2 0 .1 8 ,7 5 : 7,5

2 1 . т/64

22. т / Ш

23. т/0^5 • т/8

24. т/5 ■т/45

25 М

!
9

2 7 . 22 ■З3

10
2 8 . 32 • 23

Математика. I О -II классы. Тренажёр д л я подготовки к ЕГЭ

29-Ь

„„ 53

75
30. —
73

31.1og28

32. log5 125

33.7log7 5

34. 10lg3

II. Базовый экзамен
В заданиях № 35-184 найдите значение данного выражения (ответ запишите либо целым
числом, либо десятичной дробью).

Обыкновенные дроби
35. 2 ^ 10 21

7

7

3 6 . з 1 15 б |
4
4
3 8.12 • ( — — — 12
12

— ( И

Н

40.
V7

— 4)
12/

_ I > ; 20
3 / 21

42. f i I Z V A
V9
1 8 / 36

43.-

44.

1 1

45.

1 3
46.

1 1
2^3

1

W
48- ( в — 4 ) — 5
2

47

50. ( з 5 — I — ) : 1
V 5
15/ 3

«■ f ( Н )
11

53. l l 5 . 5
2

2 3

55. 1 • ? 5
2 4

8

57. 5 . 2 _ хз
4 2
8

V ll T 5 )

54. — ^ • 5
9
3 3
56. 5 . 1 16
7 3
21
5 8 .—-1
2 3
3

Арифметика и алгебра

59-3
si
4 6 3
13 3 . 26
61. 9 ‘ 5 ‘ 27
63.

13 . 3 27
9 ‘ 5 ’ 26

65. 4,2 • 5,7 5,06
67.3,4 • 6,3 — 3,42
69.(1,4 2,7)-5,4
7 1 .(7 ,8 -2 ,3 )-4 ,2
73.2,4 1,82: 1,3
75.1,56 : 0,4 — 0,8
77.1,8 : 0,9 ■1,4
79.

2,8

5 ,2 -8

81.

3,6 3,2

83.

22,3 — 0,6
0,7

6,8

85. 2^ — 2 , 2 — ^
7
35
8 7 .5 | 2 |- 0 ,5
89. i • 0,77 1

13

Математика. 1 0 — П классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

14
9 2 . 3 ,6 ■ | — 2
91.

2 ,4 -1
9 4 .3 |

9 3 . 5 i — 0,49

0,18

9б-Й :0’14- !

9 5 4 :° ,6 — i

9 8 .|:|- ° ,3

9 9 .( з | 2 ,б ).7|

100. ( | 3 § ) -2 ,5 6

101. б | — 0 , 6 — ( — у )

,02Л| — 0’5 (-|)

1 0 3 . 0 , 3 6 : | 1,4
Э

1 0 4 . 0 , 4 8 : | 0 ,4 6

й

— £

)

,06-5’4: (2l H )
Арифметический корень

107. л /10 • V P

1 0 8 . л /2 0 ■ / 3 ( 5

Ю 9 .|/ 3 — / 2 7

ПО. § /1 2 — / 4 8

1 1 1. #

,1 2 . л / р

О

/5

/8

1 1 3 ./2 4 -3 2

1 14. л /5 4 — 2 2

115.

Щ
/2

1 1 6 .^ 1

j

/5 — / п

,,8 ./7 — ^ 1 3

л /3

л /20 • 11

/ 2 8 • 13

1 19. ( л / 2 0 — — / 5 ) — / 5

1 2 0 . (л /1 8 — / 2 ) / 2

1 2 1 ./1 2 -/0 7 )5

122. / 1 5 — / 0 7 5 5 3

1 23. (л /1 3 — 1) — (> /13 1 )

1 2 4 . ( / 1 7 — 1 ) — ( / 1 7 1)

Арифметика и алгебра

125. (v/2T-%/3) (v/2T v/3)
127.

129.
131.

л/7-л/63

6

5~в • 53

Ь~т
7 — 8 . 74

7-6

133. (1 ‘ Л
4-8

>35- З4

137. ^

З4

139.

: 32

72 ■З3

212

1 4 1 .Ш ^ .Ю 3

10-3

143. 5 • З3 4 • З3
145. Р’-6 — 1^
4 • 10“4
147.65 • 10 — 3,6 • 102
149. (5 • 10-4) ■(0,3 • 104)
151.63 1 0 — 4,6 102
153.5,4 • 103 4,1 ■104
155.5-10 6 — 102 3-103
157.4 -10 2 — 10-1 8 -102

15

Математика. 10-1 1 классы. Тренажёр дал подготовки к Е Г Э

1 5 9 .(-1 0 )6 ( — 1 0 ) 5 ( — 1 0 ) 3

l 6 0 . ( — l 0 ) ‘1 ( — l 0 ) 5 ( — l 0 ) 2

161. 5,3 • 10-2 4,6 ■10″1

162. 7,2 ■10-2 2,7 • 10-1

Логарифмы

163. 52 logs 4

164.321° ¾ 5

165.7|об7 3 ]

166. ll’°G ii 12 ‘

167. log3(log2 8)

168. log2(log7 49)

169. log12 0,6 log12 20

170. logn 0,5 logn 242

171. log2 88 —log2 11

172. log5 75 —log5 3

logs (137)

174.

73′»4ioiTi3″

logo(7°)
Ы

)

51og3 7

1 7 5 .1 o g ^ 7 2

176. lo g y jj 132

Тригонометрия

177.18v/3sin300°

178. 2 /3 sin 240°

179.36 у Д cos 315°

180. 46 — Л cos 225°

181. Найдите sinx, если cosx =
182. Найдите sinx, если cosx =

4

и 180° < x < 270°
и 90° < x < 180°

183. Найдите cosx, если sin x = i и 90° < x < 180°
184. Найдите cosx, если sin x = —

и 180° < x < 270°

17

Арифметика и алгебра

111. Профильный экзамен
В заданиях № 185— 322 найдите значение выражения (ответ запишите либо целым чис­
лом, либо десятичной дробью).

Рациональные выражения

1Я- 5,16-15,3
ВЬ’ 51,6 — 0,153
iRfi 24,2 ■35,6
“ 3,56 — 0,242
187. (9х2 4у2 — (Зх — 2у)2) : (4ху)
188. (25х2 4у2 —(5х — 2у)2) : (10xj/)
189. (7х — 15)(7х 15) — 49х2
190. (6у — 12)(12 6у) — 36у 2
191. (Пбху — (-7×2/6)) : (6уЪх)
192. (23xyz —(-Azxy)) : (3yzx)
193

. (9 ^ —

25

) . ( ^ — 3^ )

,94- ( 121“2 — 64К

и

^ 8 — П ^ 8 )

195. (46= — 49)

— Й Т ? ) 6 — I 8 ПРИ * i== : 363

196. (4Ь2 — 36)

— 2ь Т б ) — 6 8 при 6 = -1 7

197. g если У ° 1 ^ = 1

198. ™, если
= 1
п
1 1 т 9п
199. a 186 21 если а = 6
а 26 7
6

М атематика. 1 0 -1 1 классы. Тренажёр д л я подготовки К.ЕГЭ

« » — 17 Й 1? Г ,еы,и5 = 4
ОГ1
За —8Ь И _ 7
201.53а- 136 80,если 8 a _ 3b 1i
202.6а — 156 7, если

2а — 35 _ 4
— 3

а _ ь^

203. 3i 4j/ 9z, если 6х Зу = 15, 18z 5у = 7
204.2а 56 4с, если 4а 35 = 5, 8с 76 = 7
205. Зр(а) — 12а 7, если р(а) = 4а — 5
206. -£® -, если р(6) = ^56 —

— 7б) при 6 Ф (

Кб)

Арифметический корень
207. — Л — (V 26 /б)

208. (v/!0 —/Тбб) • / Ш

209. (-ч/ТЖ—vTT)(v’l5 vTT)

210. %/972 — 722

911

212 .

‘ У*?
VD^ 6

л/0772
v ^ 2 -у^б

— у/§
213. ^ 12
>3

2,4 J ^ 6_ J ^3

215.3- ^16- ^16

216. У Ш — ^121

217.

№

о,п

при s = 27

*19. — 6 *
yb

,

vfyy
27/77

„

при6>0

220. — v v f t при fc > О
/ l 6 v’lfe

,ч, —
1 8* —-—
У ^ 17?/Ж
Y v— при а >

“ I.

222. 2 3 ^ 6 7 ^ ¾

бт /Щ

при у = 0,8

О

при 6 > О

Арифметика и алгебра

19

Математика. 1 0 — 1 1 классы .

20
7^

240.
■494,:
241.

54,2 — 36,2
155,2
4 ^ — 5 11,8

242.

201°.8

2 4 3 .30’18 • 9°’41
2 4 4 .3 12 ■9 24
245.45-2,7 ■93’7 : 5- 1 ‘7
2 4 6 .122,8 : З0,8 • 20,4
247. а0,42 ■а0,74 • а 0,84 при a = 12
2 4 8 .68 Ь12 :Ь17 при 6=0,2
249. Ь-6
0 • 0Ь3 при Ь = 12

250.

при а = 0,8

а4,9

„ 7,23 , „ 5,46
2 5 1 — —— ПРИ 0 = 1 6

252. —
——— при
а = — —
„ З .И . _1.в1
Р
и
2 5 3 .2 ^ 8 ■г — 2 — ^ 19
254 . 3^

—

2 — 272

— ^

т 2л /б 2

255.
256.
257.

( хЖ
^ УГ

при 21 = 10

ь13

при 6 = 5

(9t)2’5

t2V i

при t > 0

Тренажёр д л я подготовки к ЕГЭ

21

Арифметика и алгебра
( n/ I O Ь ) 4 ^

258. i

t

„

—— при 6 > О

2Ш

259. -ггг=—з— при к = 900
vfc ■vfc
260.

при fc =

Логарифмы
2 6 1 . lo g 36216

2 6 2 . lo g 0i258

2 6 3 . 9 • 7 1оет8

2 6 4 . 8 1° 875

2 6 5 . 7 ‘°8« 36

2 6 6 . 8 108^ 25

2 6 7 . 163logl“5

2 6 8 . 4 9 1° 87^

J g l ° g 798

269.

■1

i l o g 8 75

270. — — r ,
l l lo5s 3

16 °8?2

2 7 1 . lo g 42 ,5 6 lo g 4 100

2 7 2 . lo g s 0 ,0 5 lo g s 2 5 0 0

2 7 3 . lo g 0 7 100 — lo g 0,74 9

2 7 4 . lo g n 7 7 — lo g l l 7

275.

2 7 6 . .1° ¾ 9^
lo g i 72

2 7 7 . 541og19 ^ 1 9

278- b g ^ 1 4

2 7 9 . (lo g 38 1 ) — ( l o g 5 125)

2 8 0 . lo g 736 ■lo g 649

2 8 1 .1 o g i 257 — l o g 70,8

2 8 2 . lo g 0.8 16 • lo g 4 l,2 5

2 8 3 . lo g Q( a 7 bu ), есл и lo g a b == — 5

2 8 4 . lo g a ( a 2 f>5), е с л и lo g (,a =

1
17

Математика. J O — 1 1 классы. Тренажёр д л я подготовки « Е Г Э

22

Тригонометрия

2 8 5 .3 — 2 cos2 х, если sin2 х = 0,4
286.7 4 sin2 х, если cos2 х = 0,1
287.1 5 tg 2 х, если sin2 х = 0,8
288.3 —ctg2 х, если cos2 х = 0,6
289. tg2 /3, если 8sin2/? — 15cos2/3 = 6
290. ctg2 /3, если 25sin2/? 44cos2/3 = 36
2 9 t.4 sin o , еслисово =

и a e ^7г;

292. -18 sin a , если cos a = ^

иa e

2тг^

293. 2 1 C0S7 , если sin 7 =

и 7 e ( ^ 27rj

294. — 3 3 cos7 , если sin 7 =

и 7 6 (^ 1 ^ )

295. tga, если cos oc =

2 тг)

иa G

296. tg /3, если sin /3 = — jL= и /3 e fir; — )
%/37

oQ7 802 sin 52°
‘ sin 308°
298

sin 47°
‘ sin 767°

2 gg 2022 cob 141°

cos 39°
3 QQ 105 cos47°

cos 133°
301 355t g 82°
tg98°

2 J

Арифметика и алгебра

23

207 tg 75°
tg 105°
8 cosfir — 7 ) 2 sinf Зж

303.—————,
V — -1
cos(7 ,
„
11 тг)
6 sin(a — 17тг) 5 cos
а)
3 0 4 . ——— :—- ———Р—±2 —— L
sm (a 9гг)

305.11 cos(7r /3 )- 3 s i n ^

p’j, если cos/3 =

306.13 sin(a —Юл-) —17 cos^—

, если sin a = —0,2

307. 36 sin 23° ■cos 23°
sin 46°

■

308.14 sin Щ cos Щ
309 98(sin227° — cos227°)

cos 54°
310.8/3 cos2 Щ—8-4/З sin2
25 sin 64°
sin 32° • sin 58°

311. 312.

31 sin 88°
cos 44° • cos 46°

313.1 0 t g l 9 ° t g l 0 9 °
314.15tg22°-tg68°
28
sin23 l° sin 259°

315. —

-16
cos226° cos2H 6°

316. —

8cos/3 —7sin/3 еслн<
6 sin/3 — l l cos/3′

31S.

; 1 3Ч sin
820
1 Шa Ш
Т ^ Г

C O SO
“l l Д
В Ч

6 sin 0: 22 cos a 2

, „ > |;„

-i

11

4

Г

319. t g a , если

l l s i n a —9 cos a
= 5
3 cos a sin a

320. tg a , если

4 sin a 5 cos a 3
12 sin a — 5 cos a 21

nn.

i

7tt

7tt

. 57Г

8

4

b

7Г

2тг

321. — 4 sin — • sin — • sin —
ала

Тренажёр ДЛЯ ПОДГОТОВКИ к Е ГЭ

Математика. 10-11 классы. Тренажера

24

i

47Г

322. —4 cos —• cos -=- • cos —
7
7
7

Арифметика и алгебра

25
Тренировочные варианты

Вариант 1
1. Найдите значение выражения 10,3 — 2,56.
2. Найдите значение выражения ((5х 7у)*12 — 25х2 — 49у2) : (10ху).
3. Найдите значение выражения (4722 — 1282) : 300.

4. Найдите значение выражения (36Ь2 — 121) ( — ———— —- ) .
‘ 6i> 1 1
6Ь —11/
5. Найдите значение выражения

6. Найдите значение выражения

2) . если д(х) = 51
д (х -1 )
, 10,59

при a = 3′

7. Найдите значение выражения / ( a 2)2 ^ /(а — 9)2 при — 2 ^ а < 9.

„о „

2 3 У ^ 1 2 2У Ж
-—
_Y v —
Ю ЧГш

8. Найдите значение выражения —
р

Вариант 2
1. Найдите значение выражения 17,4 — 19,78.

2. Найдите значение выражения ((6х 8у )2 — 36х25- 64у2) : (16ху).
3. Найдите значение выражения (3212 — 1792) : 50.
4. Найдите значение выражения (169с2 — 625) ( 13с _ 25 “ 13с 25 ) ‘
5. Найдите значение выражения ^

6. Найдите значение выражения

2) ’ еСЛИ ^ Х^ = 6* ‘

b7’43

при о —

6

7. Найдите значение выражения У ( ° — 6)2 / ( а 2)2 ПРИ- 2 < а < 68. Найдите значение выражения

5 3 1У ^ ?5 4 2 8У 1^
ю у

‘

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к Е Г Э

26

Вариант 3

1. Найдите значение выражения 4,2 Ю *12 3,5 5 -1 0 4 7.
2. Найдите значение выражения

(14у/2)2
49

3. Найдите значение выражения

( 1115)3 : х 13
121х49 : х 47 ‘

4. Найдите значение выражения 7х у —2z, если 11х Зу 5z = 18 и Зх —у —9z = 14.
10s i n a ) 2 4 cos^37r — g )
5. Найдите значение выражения

„ ,, ..
log1027
6. Найдите значение выражения . ° l tf „ .
lOgig 3
7. Найдите значение выражения 68 cos2

— 68sin2 ( ^ ) .

8. Найдите значение выражения logn asb3, если loga b = 52.

Вариант 4

1. Найдите значение выражения 2,87 • 102 51,4 ■104 5.
2. Найдите значение выражения
3. Найдите значение выражения

) ~х
289х63 : х 57

4. Найдите значение выражения 5х — 3у 2z, если 9х Зу 8z = — 8 и х — 9у — 4z = 12.
12 cos ( y
5. Найдите значение выражения ■

0 ) 9 2 sin (5 7 a- /3)
10 cos

6. Найдите значение выражения —
16
log23 2 ‘
7. Найдите значение выражения 26 cos2

(М

— 26 sin2

8. Найдите значение выражения loga а 7Ь4, если logn b = 46.

Арифметика и алгебра

27

1.2. Практический расчёт, оценка и прикидка
I. Подготовительные задания
1. Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Маша купила 2 кг клубники.
Сколько рублей сдачи она должна получить с 200 рублей?
2. Сырок стоит 17 рублей. Какое наибольшее число сырков можно купить
на 50 рублей?
3. Средний расход бензина на 100 км составляет 8 л. Сколько литров бен­
зина потребуется водителю, чтобы проехать 8500 км?
4. Принтер печатает одну страницу за 12 секунд. Сколько страниц можно
напечатать на этом принтере за 1 минуту?
5. В школе есть четырёхместные туристические палатки. Какое наименьшее
число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 10 человек?
6. Саша пробежал 50 м за 10 секунд. Найдите среднюю скорость Саши на
этой дистанции. Ответ выразите в километрах в час.

II. Базовый экзамен
7. Плавленый сырок стоит 9 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число
сырков можно купить на 80 рублей?
8. Теплоход рассчитан на 830 пассажиров и 35 членов команды. Каждая
спасательная шлюпка может вместить 60 человек. Какое наименьшее чис­
ло шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них
можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?
9. Для приготовления маринада для томатов на I литр воды требуется 14 г
лимонной кислоты. Лимонная кислота продаётся в пакетиках по 10 г. Ка­
кое наименьшее число пакетиков нужно купить хозяйке для приготовления
8 литров маринада?
10. Шоколадный батончик стоит 46 рублей. В понедельник в супер­
маркете действует специальное предложение: заплатив за два батончика,
покупатель получает три (один в подарок). Сколько батончиков можно по­
лучить за 340 рублей в понедельник?
11. На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов.
Астры стоят 20 рублей за штуку. У Вани есть 170 рублей. Из какого наи­
большего числа астр он может купить букет маме на день рождения?
12. В школе есть пятиместные туристические палатки. Какое наименьшее
число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 38 человек?

28

Математика. / О — П классы . Тренажёр д л я подготовки К’ЕГЭ

13. В общежитии техникума в каждой комнате можно поселить четырех
человек. Какое наименьшее количество комнат необходимо для поселения
75 иногородних студентов?
14. В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется
2350 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в
офис на 7 недель?
15. В доме отдыха 316 детей и 35 воспитателей. В автобус помешается не
более 42 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех
из дома отдыха в город?
16. Стоимость проездного билета на месяц составляет 1100 рублей, а стои­
мость билета на одну поездку — 30 рублей. Мария Сергеевна купила про­
ездной и сделала за месяц 44 поездки. На сколько рублей больше она бы
потратила, если бы покупала билеты на каждую поездку?
17. Шофёр за месяц проехал 9500 км. Стоимость 1 литра бензина — 34 руб­
ля. Средний расход бензина на 100 км составляет 8 литров. Сколько рублей
потратил шофёр на бензин за этот месяц?
18. В санатории на каждого отдыхающего полагается 60 г масла в день.
В санатории отдыхают 205 человек. Сколько килограммовых упаковок мас­
ла понадобится на весь санаторий на 7 дней?
19. Зимой килограмм винограда стоит 78 рублей. Настя купила 1 кг 500 г
винограда. Сколько рублей сдачи она должна получить с 500 рублей?
20. В школьную библиотеку привезли новые учебники для четырёх классов,
по 240 штук для каждого класса. Все книги одинаковы по размеру. В книж­
ном шкафу 7 полок, на каждой полке помещается 35 учебников. Сколько
шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?
21. На счету Мишиного мобильного телефона было 153 рубля, а после раз­
говора с Дашей осталось 63 рубля. Сколько минут длился разговор с Д а­
шей, если одна минута разговора стоит 2 рубля 50 копеек?
22. Выпускники 9 «А» покупают букеты цветов для последнего звонка: из
3 роз каждому учителю и из 5 роз классному руководителю и директору. Они
собираются подарить букеты 12 учителям (включая директора и классного
руководителя), розы покупаются по оптовой цене — 45 рублей за штуку.
Сколько рублей заплатят за все розы?
23. Каждый день во время конференции расходуется 80 пакетиков чая. Кон­
ференция длится 5 дней. Чай продаётся в пачках по 30 пакетиков в каждой.
Сколько пачек нужно купить на все дни конференции?
24. В доме, в котором живёт Саша, один подъезд. На каждом этаже по
4 квартиры. Саша живёт в квартире № 46. На каком этаже живёт Саша?

Арифметика и алгебра

29

25. В доме, в котором живёт Лёша, 9 этажей и несколько подъездов. На
каждом этаже находится по 6 квартир. Лёша живёт в квартире № 174. В ка­
ком подъезде живёт Лёша?
26. Поезд Ростов — М осква отправляется в 14:10, а прибывает в 7:10 на
следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пу­
ти?
27. Геннадий Анатольевич купил американский автомобиль, спидометр ко­
торого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна
1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр
показывает 75 миль в час? Ответ округлите до целого числа.
28. Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую ско­
рость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со
скоростью 76 км/ч? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.)
29. Для ремонта квартиры требуется 52 рулона обоев. Сколько пачек обой­
ного клея нужно купить, если одна пачка клея рассчитана на 7 рулонов?
30. В розницу один номер еженедельной газеты стоит 36 рублей, а полугодо­
вая подписка на эту газету стоит 780 рублей. За полгода выходит 25 номеров
газеты. Сколько рублей можно сэкономить за полгода, если не покупать
каждый номер газеты отдельно, а получать газету по подписке?
31. Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3100 руб­
лей. До установки счётчиков Владимир платил за воду (холодную и горячую)
ежемесячно 700 рублей. После установки счётчиков оказалось, что в сред­
нем за месяц он расходует воды на 350 рублей при тех же тарифах на воду.
За какое наименьшее количество месяцев при тех же тарифах на воду уста­
новка счётчиков окупится?

111. Профильный экзамен
32. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,4 г 3 раза в
день в течение 28 дней. В одной упаковке 20 таблеток по 0,4 г. Какого наи­
меньшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
33. Для приготовления клубничного варенья на 1 кг клубники нужно 1,3 кг
сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара следует купить, чтобы
сварить варенье из 15 кг клубники?
34. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 60 копеек. Счётчик
электроэнергии 1 января показывал 13 725 киловатт-часов, а 1 февраля
13 908 киловатт-часов. Какую сумму нужно заплатить за январь? Ответ
дайте в рублях.

^

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

з Г в обменном пункте 1 г р и в н а ^ и т 3 рубля 70 копеек. Отдыхающие обме-

———

няли рубли на гривны и купили 4 кг винограда по 6 гривен за 1 кг. Во сколько
рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

— J

36. Коля отправил S M S -сообщения с новогодними поздравлениями с в о и м __________
14 друзьям. Стоимость одного S M S -сообщения 1 рубль 60 копеек. Перед
отправкой сообщений на счету у Коли было 45 рублей. Сколько рублей

_________ _

осталось у Коли после отправки всех сообщений?
37. Ботинки для подростка стоили 3650 рублей. Во время новогодней распродажи цена снизилась до 2 920 рублей. На сколько процентов была сни­
жена цена?
38. Лыжник пробежал 100 м за 5 сек. Найдите среднюю скорость лыжника
на этой дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

__________

39. Для покраски 1 м2 пола требуется 270 г краски. Краска продаётся
в банках по 3 кг. Сколько банок краски нужно купить для покраски пола
площадью 70 м2?
40. Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка

—————

шириной 1,9 м. Сколько рулонов обоев нужно купить для оклейки прямо­
угольной комнаты размером 4,5 м на 6,3 м?

—————

41. На автозаправке клиент попросил залить полный бак бензина по цене

—————

33 руб. 50 коп. Он отдал кассиру 2000 рублей и получил сдачи 660 рублей.
Сколько литров бензина было залито в бак?

—————

42. В квартире, где проживает Варвара, установлен счётчик расхода холод­
ной воды. 1 ноября счётчик показывал расход 105 куб. м воды, а 1 декабря —
113 куб. м. Какую сумму должна заплатить Варвара за холодную воду за но­
ябрь, если цена 1 куб. м холодной воды 17 руб. 50 коп.?
43. Велосипедист проехал 120 м за 9 секунд. Найдите среднюю скорость
велосипедиста на этой дистанции. Ответ дайте в километрах в час.
44. Экипаж информирует пассажиров, что полёт проходит на высоте

—————

35 000 футов. Выразите высоту полёта в метрах, если известно, что 1 фут
равен 30,5 см.

__________

Арифметика и алгебра

31
Тренировочные варианты

Вариант 1
1. В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 4050 листов.
Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 4 недели?
2. Шофёр за месяц проехал 7800 км. Стоимость 1 литра бензина — 32 рубля. Средний
расход бензина на 100 км составляет 12 литров. Сколько рублей потратил шофёр на бензин
в этом месяце?
3. В доме один подъезд, на каждом этаже ровно б квартир. Вова живёт в квартире 52. На
каком этаже живёт Вова?
4. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции.
Ответ дайте в километрах в час.

Вариант 2
1. В лагере 427 детей и 55 воспитателей. В автобус помещается не более 43 пассажи­
ров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря на экскурсию в соседний
город?
2. На счету Диминого мобильного телефона было 343 рубля, а после разговора с Дашей
осталось 258 рублей. Сколько минут длился разговор с Дашей, если одна минута разговора
стоит 2 рубля 50 копеек?
3. В квартире, где проживает Александр, установлен прибор учёта расхода холодной во­
ды (счётчик). 1 сентября счётчик показывал расход 697 куб. м воды, а 1 октября

704 куб. м.

Какую сумму должен заплатить Александр за холодную воду за сентябрь, если цена 1 куб. м
холодной воды составляет 29 руб. 50 коп.? Ответ дайте в рублях.
4. Зимой килограмм персиков стоит 250 рублей. Маша купила 800 граммов персиков.
Сколько рублей сдачи она должна получить с 500 рублей?

Математика. 10-11 классы. Тренажёр дал подготовки к ЕГЭ

32

Вариант 3
1. В санатории на каждого отдыхающего полагается 9 г соли в день. В санатории отдыха­
ют 325 человек. Сколько килограммовых упаковок соли понадобится на весь санаторий на
15 дней?
2. Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в
час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 88 км в час? ( Считайте,
что 1 миля равна 1,6 км.)
3. Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка шириной 2,4 м.
Сколько рулонов обоев нужно купить для оклейки прямоугольной комнаты размером 2,7 м
на 5,1 м?
4. Поезд Ростов — Адлер отправляется в 21:20, а прибывает в 7:20 на следующий день
(время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

Вариант 4
1. Каждый день во время сессии в буфете расходуется 85 пакетиков кофе. Сессия длится
12 дней. Кофе продаётся в пачках по 40 пакетиков. Сколько таких пачек нужно купить на
все дни сессии?
2. В розницу один номер еженедельной газеты стоит 45 рублей, а полугодовая подписка
на эту газету стоит 950 рублей. За полгода выходит 24 номера газеты. Сколько рублей можно
сэкономить за полгода, если не покупать каждый номер газеты отдельно, а получать её по
подписке?
3. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,2 г 3 раза в день в течение
21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,1 г. Какого наименьшего количества
упаковок хватит на весь курс лечения?
4. На автозаправке Семён отдал кассиру 800 руб. и попросил залить полный бак бензи­
на. Цена бензина 32 руб. 40 коп. за литр. В качестве сдачи Семён получил 87 руб. 20 коп.
Сколько литров бензина было залито в бак?

Арифметика и алгебра

33

1.3. Проценты и отношения
I. Подготовительные задания

1. Альбом для рисования стоит 180 рублей. Сколько стал стоить альбом по­
сле понижения цены на 20%?
2. В классе 12 мальчиков, что составляет 60% от всех учащихся класса.
Сколько учащихся в этом классе?
3. Только 90% из 80 учеников 7-х классов школы верно решили уравнение.
Сколько учеников этой школы не справились с решением уравнения?
4. В начале учебного года в школе было 80 учащихся шестых классов, а к
концу года их стало 96. На сколько процентов увеличилось за учебный год
число учащихся?
5. Число посетителей сайта за месяц увеличилось вдвое. На сколько про­
центов увеличилось число посетителей сайта за этот месяц?
6. Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 2 : 3.
Сколько процентов деревьев в парке составляют хвойные?
II. Базовый экзамен
7. Цена на электрический самовар была повышена на 25% и составила
5680 рублей. Сколько рублей стоил самовар до повышения цены?
8. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная пла­
та работника равна 15 200 рублей. Какую сумму он получит после вычета
налога на доходы? Ответ дайте в рублях.
9. Упаковка слабосолёной рыбы форели стоит 200 рублей. Пенсионерам ма­
газин делает скидку 5%. Сколько рублей заплатит пенсионер за упаковку
этой рыбы?
10. Держатели дисконтной карты магазина женской одежды «Катерина»
получают при покупке скидку 5%. Платье стоит 18 500 рублей. Сколько руб­
лей заплатит держатель дисконтной карты за это платье?
11. И з 36 400 выпускников 95% решили верно задание В2. Сколько человек
решили задание В2?
12. И з 15 000 выпускников города правильно решили на Е Г Э задачу № 3
только 80%. Сколько выпускников из этого города правильно решили зада­
чу № 3?

34

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

13. Городской бюджет составлял 80 млн рублей, а расходы на о б р а з о в а н и е —————-составляли 15%. Сколько миллионов рублей потрачено на образование из
городского бюджета?
14. Государству принадлежит 70% акций предприятия, остальные акции

__________

принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты
налогов составила 20 млн рублей. Какая сумма из этой прибыли должна

__________

пойти на выплату частным акционерам? Ответ дайте в миллионах рублей.
15. В городе Д. живёт 1100000 жителей. Из них 16% детей и подростков.
Среди взрослых жителей 44% не работает (пенсионеры, студенты, домохо­
зяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей не работает?
16. В июне 1 кг клубники стоил 220 рублей, в июле клубника подешевела на
30%, а в августе ещё на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг клубники в августе?

__________

17. Покупатель заказал мебель для кухни стоимостью 35 000 рублей. Сбор-

——————

ка мебели на дому составляет 12% от стоимости мебели. Во сколько рублей
обойдётся мебель со сборкой?
18. Тетрадь стоит 32 рубля. Сколько рублей заплатит покупатель за 50 тет-

i——————

радей, если при покупке более 35 тетрадей магазин делает скидку 12% от
стоимости всей покупки.

——————

19. Магазин бытовой техники проводит акцию: «Любой чайник по цене

i——————

4000 рублей. При покупке двух чайников — скидка на второй 70%». Сколь­
ко рублей придётся заплатить за покупку двух чайников?

‘—————— 1

20. В школе девочки составляют 57% числа всех учащихся. Сколько в шко­
ле девочек, если их на 70 человек больше, чем мальчиков?
21. В школе девочки составляют 55% от числа всех учащихся. Сколько в

i——————

этой школе всего учащихся, если девочек в ней на 60 человек больше, чем
мальчиков?

1—————- 1

22. Клиент взял в банке кредит 30000 рублей на год под 15%. Он должен
погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем
чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами.
Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
23. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержа-

i——————

ния налога на доходы работница получила 19140 рублей. Сколько рублей
составляет заработная плата работницы?

I__________ _

24. В школе 165 учеников занимаются различными видами спорта, что со­
ставляет 20% от числа всех учащихся школы. Сколько учеников в школе?
25.15 учеников, что составляет 30% от учащихся начальной школы, учатся

i——————

также в музыкальной школе. Сколько всего учеников учится в начальной
школе?

I__________ _

Арифметика и алгебра

35

26. На городской конференции по результатам исследовательских работ
в различных областях знаний были награждены грамотами и подарками
63 ученика, что составило 15% участников конференции. Сколько человек
участвовало в этой конференции?
27. Футболка стоила 600 рублей. После повышения цены она стала стоить
690 рублей. На сколько процентов была повышена цена на футболку?
28. Четверть всех учеников первого класса посещали детский сад. Какой
процент от всех учеников класса составляют дети, которые ходили в детский
сад?
29. Число отдыхающих в санатории зимой уменьшилось в 5 раз по срав­
нению с летом. На сколько процентов уменьшилось число отдыхающих зи­
мой?
30. Число посетителей сайта увеличилось за март в два раза. На сколько
процентов увеличилось число посетителей сайта за март?
31. После уценки дивана его новая цена составила 0,52 от прежней цены.
На сколько процентов уменьшилась цена дивана в результате уценки?
32. Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 1 : 3.
^Сколько процентов лиственных деревьев в этом парке?
[33. Для приготовления джема взяли сахар и вишню в отношении 1 : 3. Какой
‘процент в джеме составляет сахар?
■34. На пост председателя городской думы претендовали два кандидата. В
голосовании приняли участие 210 человек. Голоса между кандидатами рас­
пределились в отношении 3 : 4. Сколько голосов получил победитель?
[35. Акции предприятия распределены между государством и частными ли■цами в отношении 7 : 8 соответственно. Общая прибыль предприятия после
уплаты налогов за год составила 60 млн. рублей. Какая сумма из этой при­
были должна пойти на выплаты частным акционерам? Ответ дайте в милли­
онах рублей.
36. Длины двух рек относятся как 3 : 4. Причём одна из них длиннее другой
на 12 км. Найдите длину большей реки. Ответ дайте в километрах.
III. Профильный экзамен

37. Флакон духов стоит 280 рублей. Какое наибольшее число флаконов
можно купить на 2000 рублей во время распродажи, когда скидка состав­
ляет 20%?

Математика. 10—II классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ
36
Г ^ Г р у ч к а стоит 60 рублей. Какое наибольшее число таких ручек

можно будет купить на 800 рублей после понижения цены на 10%?
39 Альбом для рисования стоит 180 рублей. Какое наибольшее число таких
альбомов можно будет купить на 900 рублей после понижения цены на 20%?
40 Магазин закупает эмалированные кастрюли по оптовой цене 350 руб­
лей за кастрюлю и продаёт с наценкой 25%. Какое наибольшее число таких
кастрюль можно купить на 3 000 рублей?
41. Оптовая цена учебника 190 рублей. Розничная цена на 30% выше опто­
вой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной
цене на 9 000 рублей?
42. Железнодорожный билет стоит 850 рублей. Стоимость билета для
школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа со­
стоит из 20 школьников и двух взрослых. Сколько рублей стоят билеты на
всю группу?
43. Розничная цена учебника 250 рублей, она на 25% выше оптовой цены.
Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на
15 500 рублей?
44. На рынке 1 кг картофеля стоит 60 рублей. Сколько рублей заплатит по­
купатель за 17 кг картофеля, если при покупке более 10 кг продавец делает
скидку на 10%?
45. Среди 60 000 жителей города 55% не интересуются хоккеем и никогда не
смотрят его даже по телевизору. Среди хоккейных болельщиков 70% смот­
рели матч по телевизору. Сколько жителей города смотрели этот матч по
телевизору?
46. При оплате услуг через платёжный терминал взимается комиссия 5%.
Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Коле надо заплатить за
стационарный телефон 400 рублей. Какую минимальную сумму он должен
положить в приёмное устройство терминала?
47. Ученик заработал 800 рублей, собирая макулатуру. Он решил на все
полученные деньги купить букет для своей мамы ко дню рождения. Какое
наибольшее количество роз сможет купить ученик, если удержанный с него
налог на доходы составляет 13%, розы стоят 80 рублей за штуку и букет дол­
жен состоять из нечётного числа роз?
48. Одна таблетка весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребён­
ку в возрасте до 5 месяцев врач прописывает 1,2 мг активного вещества на
каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует
дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?

Арифметика и алгебра

37

Тренировочные варианты

Вариант 1
1. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет
купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?
2. Мобильный телефон стоил 3500 рублей. Через некоторое время цену снизили до
2800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?
3. Футболка стоит 600 рублей. В мае цену на футболку понизили на 15%, а в октябре
повысили на 10%. Сколько рублей стала стоить футболка в октябре?
4. В школе мальчики составляют 40% от числа всех учащихся. Сколько в школе девочек,
если их на 120 человек больше, чем мальчиков?

Вариант 2

1. Линейка стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких линеек можно будет купить
на 150 рублей после понижения цены на 10%?
2. В школе 760 учеников, из них 20% — ученики начальной школы. Среди учеников сред­
ней и старшей школы 75% изучают физику. Сколько учеников в школе изучают физику, если
в начальной школе физика не изучается?
3. Налог на доходы составляет 17% от заработной платы. После удержания налога на
доходы Иван Петрович получил 20 750 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата
Ивана Петровича?
4. Тетрадь стоит 40 рублей. Сколько рублей заплатит покупатель за 12 тетрадей, если при
покупке более 10 тетрадей магазин делает скидку 15% от стоимости всей покупки?

Математика. 1 0 — 1 1 к л а с сы .

38

Тренажёр д л я п одгот овки к ЕГЭ

Вариант 3
1. Магазин закупает декоративные свечи по оптовой цене 80 рублей за штуку и продаёт
с наценкой 30%. Какое наибольшее число таких свечей можно купить в этом магазине на
830 рублей?
2. Среди 120000 жителей города 80% не интересуются хоккеем. Среди хоккейных бо­
лельщиков 85% смотрели по телевизору финал кубка Гагарина. Сколько жителей города
смотрели этот матч по телевизору?
3. Клиент взял в банке 42 000 рублей на год под 12%. Он должен погашать кредит, внося
в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы за год выплатить всю сумму, взятую
в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
4. В школе 180 учеников занимаются различными видами спорта, что составляет 45% от
числа всех учащихся школы. Сколько учеников в школе?

Вариант 4
1. Призёрами городской эстафеты стали 48 учеников, что составило 15% от числа участ­
ников. Сколько человек участвовало в эстафете?
2. Цена на майку была повышена на 15%, а затем снижена на 15%. Сколько рублей стала
стоить майка, если первоначальная цена её составляла 800 рублей?
3. В городе N живёт 1200 000 жителей. Из них 18% детей и подростков. Среди взрослых
жителей 45% не работает. Сколько взрослых жителей работает?
4. В июне 1 кг малины стоит 320 рублей, в июле она стала стоить 224 рубля. На сколько
процентов подешевела малина?

Арифметика и алгебра

39

1.4. Чтение графиков и диаграмм
I. Подготовительные задания
1. На графике изображена зависимость атмосферного давления (в мил­
лиметрах ртутного столба) от высоты над уровнем моря (в километрах).
Определите по графику, на какой высоте (в километрах) летит воздушный
шар, если барометр, находящийся в корзине шара, показывает давление
400 мм рт. ст.

2. На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воз­
духа в городе N каждый день с 1 по 10 июля 1992 года. По горизонтали
указываются дни месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия.
Для наглядности точки соединены линиями. Определите по рисунку наи­
меньшую среднесуточную температуру в периоде 1 по 10 июля. Ответ дайте
в градусах Цельсия.

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

40

3. На диаграмме показано распределение зон Западной Сибири по их площадям. По горизонтали приводятся названия зон, по вертикали

занимае­

мая площадь. Определите по графику, какое место занимает тундровая зона.

1419

4. На диаграмме показано количество посетителей некоторого сайта во все
дни с 1 по 11 июня. По горизонтали указываются дни месяца, по вертика­
ли — количество посетителей сайта в данный день. Определите по диаграм­
ме число месяца с наибольшим количеством посетителей.

500

0

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11

Дни месяца

—

Арифметика и алгебра

41

II. Базовый и профильный экзамены

5. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх
суток. По горизонтали указываются дата и время, по вертикали — темпера­
тура в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру
воздуха 19 декабря. Ответ дайте в градусах Цельсия.

6. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх
суток. По горизонтали указываются дата и время, по вертикали — темпера­
тура в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру
воздуха 20 декабря. Ответ дайте в градусах Цельсия.

7. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх
суток. По горизонтали указываются дата и время, по вертикали — темпе­
ратура в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наи­
большей и наименьшей температурами воздуха 19 декабря. Ответ дайте в
градусах Цельсия.
8. На рисунке жирными точками показано су­
точное количество осадков, выпавших в городе N с 1 по 13 ноября 1946 года. По горизонта­

8

ли указываются числа месяца, по вертикали —
количество осадков, выпавших в соответству-

4

ющий день, в миллиметрах. Для наглядности

^

жирные точки на рисунке соединены линией.
Определите по рисунку, какого числа впервые
выпало 7 миллиметров осадков.

Математика.

10- П

классы .

Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

9. На рисунке жирными точками показана це­
на нефти на момент закрытия биржевых торгов
во все дни с 10 по 20 июля. По горизонта­
ли указываются числа месяца, по вертикали —
цена барреля нефти в долларах США. Для на­
глядности жирные точки на рисунке соединены
линией. Определите по рисунку наименьшую
цену нефти на момент закрытия торгов в ука­
занный период (в долларах США за баррель).
10. На рисунке жирными точками показана
среднемесячная температура воздуха в горо­
де N за каждый месяц 1924 года. По гори­
зонтали указываются месяцы, по вертикали
температура в градусах Цельсия. Для нагляд­
ности жирные точки соединены линией. Опре­
делите по рисунку наименьшую среднемесяч­
ную температуру в периоде апреля по октябрь
1924 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
11. На рисунке жирными точками показано су­
точное количество осадков, выпавших в горо­
де N с 5 по 17 марта 2000 года. По горизонта­
ли указываются числа месяца, по вертикали —
количество осадков, выпавших в соответству­
ющий день, в миллиметрах. Для наглядности
жирные точки на рисунке соединены линией.
Определите по рисунку, сколько дней в тече­
ние данного периода не выпадало осадков.
12. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков,
выпавших в городе N с 9 по 25 апреля 2000 года. По горизонтали ука­
зываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших
в соответствующий день, в мил­
лиметрах. Для наглядности жир­
ные точки на рисунке соединены
линией. Определите по рисунку,
какое наибольшее суточное ко­
личество осадков выпало в пери­
оде 10 по 21 апреля. Ответ дайте
в миллиметрах.

Арифметика и алгебра

43

13. На рисунке жирными точка­

Т, С

ми показана среднесуточная тем­
пература воздуха в городе N каж ­

18

дый день с 5 по 18 июля 1981 года.

Л*

По горизонтали указываются чис­

14

ла месяца, по вертикали —

тем­

10

пература в градусах Цельсия. Для

6
5

наглядности жирные точки соеди­

7

9

11 13

нены линией. Определите по ри-

15 17
Дни месяца

сунку разность между наибольшей и наименьшей среднесуточными темпе­
ратурами за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.
14. На рисунке жирными точками
показано суточное количество осад­
ков, выпавших в городе N с 11
по 26 октября 2001 года. По гори­
зонтали указываются числа месяца,
по вертикали —

количество осад­

ков, выпавших в соответствующий
день, в миллиметрах. Для наглядно­
сти жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку,
в течение какого количества дней изданного периода выпадало менее 3 мил­
лиметров осадков.
15. На рисунке жирными точ­
ками показано суточное количе­
ство осадков, выпавших в горо­

2

:szs:

де N с 11 по 27 февраля 1994
года. По горизонтали указыва­
ются числа месяца, по вертика­
ли —

01

11

13

15

17 19

21

23

25

27

количество осадков, вы­

павших в соответствующий день,
в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены ли­
нией. Определите по рисунку, сколько дней выпадало более 2 миллиметров
осадков.

44

Математика. 10 -11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

16. На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура
воздуха в городе N каждый день с 7 по 20 июня 1980 года. По горизон­
тали указываются числа месяца, по вертикали

температура в градусах

Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по
рисунку, какая среднесуточная температура была 14 июня. Ответ дайте в
градусах Цельсия.
17. На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура
воздуха в городе N каждый день с 7 по 20 июня 1980 года. По горизон­
тали указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах
Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите
по рисунку, сколько дней за указанный период среднесуточная температу­
ра была ровно 2 0 °С.

18. Когда самолёт находится в горизонталь­
ном полёте, подъёмная сила, действующая на
крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого
самолёта. На оси абсцисс откладывается ско­
рость (в километрах в час), на оси ординат —
сила (в килоньютонах). Определите по рисун­
ку, чему равна подъёмная сила (в килоньюто­
нах) при скорости 250 км/ч.

F, кН

Арифметика и алгебра

45
19. В аэропорту чемоданы пассажиров под­
нимают в зал выдачи багажа по транспортёр­
ной ленте. При проектировании транспортёра
необходимо учитывать допустимую силу натя­
жения ленты транспортёра. На рисунке изоб­
ражена зависимость натяжения ленты от угла
наклона транспортёра к горизонту при расчёт­
ной нагрузке. На оси абсцисс откладывается
угол подъёма в градусах, на оси ординат — си­
ла натяжения транспортёрной ленты (в ньюто­
нах). При каком угле наклона сила натяжения
достигает 100 Н? Ответ дайте в градусах.
20. В ходе химической реакции количество ис­
ходного вещества (реагента), которое ещё не
вступило в реакцию, со временем постепен­
но уменьшается. На рисунке эта зависимость
представлена графиком. На оси абсцисс от­
кладывается время в минутах, прошедшее с
момента начала реакции, на оси ординат —
масса оставшегося реагента, который ещё не
вступил в реакцию (в граммах). Определите по
графику, сколько граммов реагента вступило в
реакцию за три минуты.
21. На графике изображена зави­
симость крутящего момента дви­
гателя от числа его оборотов в
минуту. На оси абсцисс отклады­
вается число оборотов в минуту,
на оси ординат —

крутящий мо­

мент в Н-м. Скорость автомобиля
(в км /ч) приближённо выражается
формулой и = 0,042п, где п — число оборотов двигателя в минуту. С ка­
кой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий
момент был не меньше 100 Н-м? Ответ дайте в километрах в час.

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

46
22. На графике изображена зави­
симость крутящего момента авто­
мобильного двигателя от числа его
оборотов в минуту. На оси абс­
цисс откладывается число оборотов
в минуту. На оси ординат

крутя­

щий момент в Н-м. Чтобы автомо­
биль начал движение, крутящий момент должен быть не менее 80 Н-м. Какого наименьшего числа оборотов
двигателя в минуту достаточно, чтобы автомобиль начал движение?
23. На графике показан процесс разогрева двига­
теля легкового автомобиля. На оси абсцисс откла­
дывается время в минутах, прошедшее с момента
запуска двигателя, на оси ординат

температу­

ра двигателя в градусах Цельсия. Определите по
графику, сколько минут двигатель нагревался от
температуры 50 °С до температуры 80 °С.
24. Мощность отопителя в автомобиле регули­
руется дополнительным сопротивлением, которое
можно менять, поворачивая рукоятку в салоне ма­
шины. При этом меняется сила тока в электриче­
ской цепи электродвигателя: чем меньше сопро­
тивление, тем больше сила тока и тем быстрее вра­
щается мотор отопителя. На рисунке показана за­
висимость силы тока от величины сопротивления. На оси абсцисс отклады­
вается сопротивление (в омах), на оси ординат — сила тока (в амперах). Ток
в цепи электродвигателя уменьшился с 10 до 4 ампер. На сколько омов при
этом увеличилось сопротивление цепи?
25.

На

показано

диаграмме
распределе­

ние выплавки

меди в

10 странах мира (в ты­
сячах тонн) в 2006 году.

1200(
1000
800

представленных

600

стран первое место по

400

Среди

выплавке меди занимали

200

С Ш А , десятое место —
Казахстан. Какое место
занимала Перу?

0

sf /

/

^£ / / £с?

Арифметика и алгебра

26. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в горо­
де N за каждый месяц 2000 года. По горизонтали указываются месяцы, по
вертикали

температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме

наименьшую среднемесячную температуру в 2000 году. Ответ дайте в граду­
сах Цельсия.
27. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в горо­
де N за каждый месяц 2000 года. По горизонтали указываются месяцы, по
вертикали —

температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме

наибольшую среднемесячную температуру в 2000 году. Ответ дайте в граду­
сах Цельсия.
28. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в горо­
де

N

за каждый месяц 2000 года. По горизонтали указываются месяцы, по

вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме
разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температура­
ми в 2000 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.
29. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в горо­
де N за каждый месяц 2000 года. По горизонтали указываются месяцы, по
вертикали —

температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме

наименьшую среднемесячную температуру во второй половине 2000 года.
Ответ дайте в градусах Цельсия.
30. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в горо­
де

N

за каждый месяц 2000 года. По горизонтали указываются месяцы, по

вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме,
сколько было месяцев с положительной среднемесячной температурой.
31. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в горо­
де

N

за каждый месяц 2000 года. По горизонтали указываются месяцы, по

вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме,
сколько было месяцев, когда среднемесячная температура не превышала
4 градусов Цельсия.

47

48

Математика. 1 0 —I I к л а с сы . Т рен аж ёр д л я подгот овки к Е Г Э

32. На диаграмме показано количество посетителей новостного сайта во все
дни с 4 по 23 февраля 2000 года. По горизонтали указываются дни месяца,
по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите
по диаграмме, какого числа количество посетителей сайта было наимень­
шим за указанный период.
33. На диаграмме показано количество посетителей новостного сайта во все
дни с 4 по 23 февраля 2000 года. По горизонтали указываются дни месяца,
по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите
по диаграмме, сколько раз количество посетителей сайта принимало наи­
большее значение.
34. На диаграмме показано количество посетителей новостного сайта во все
дни с 4 по 23 февраля 2000 года. По горизонтали указываются дни месяца,
по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите
по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей превы­
шает наименьшее количество посетителей за день.

Арифметика и алгебра

49

Тренировочные варианты

Вариант I
I. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в го­
роде К с 15 по 28 февраля 2005 года. На оси абсцисс откладываются дни, на оси ординат
— количество осадков в мм Определите по рисунку, сколько дней в течение данного периода
выпадало не менее 6 мм осадков.

2. На диаграмме показано распределение выплавки алюминия в 10 странах мира (в тыс.
тонн) в 2009 году. Среди представленных стран первое место занимал Бахрейн, десятое ме­
сто — Новая Зеландия. Какое место занимала Ю А Р ?
Тыс. т ,

ш

800
600
400

200
0

✓

f

/ / / /

^ £

-9 — 0,01Р. В таблице даны оценки каждого показателя для несколь­

ких моделей микроволновых печей. Определите, какая модель имеет наименьший рейтинг.
В ответе запишите значение этого рейтинга.
Модель печи

Средняя
цена

Функциональность

Качество

Дизайн
1

А

2900

1

0

Б

4800

3

1

1

В

2800

0

0

0

Г

5100

2

0

4

Арифметика и алгебра

73
Вариант 2
1. Строительной фирме нужно приобрести 95 кубометров пенобетона у одного из трёх
поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей придётся за­
платить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Стоимость
Поставщик

пенобетона
(руб .за 1 м3)

Стоимость
доставки

А

2900

12 500 руб.

Б

2950

10300 руб.

Дополнительные условия

При заказе на сумму больше
250 000 руб. доставка бесплатно

В

3030

2200 руб.

При заказе более 100 м3 доставка
бесплатно

2. При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фунда­
мента. каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн природного
камня и 10 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 6 тонн щебня и 46 меш­
ков цемента. Тонна камня стоит 1700 рублей, щебень стоит 940 рублей за тонну, а мешок
цемента стоит 260 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если вы­
брать наиболее дешёвый вариант?
3. Рейтинговое агентство определяет рейтинг соотношения цена — качество канцеляр­

Р и оценок функциональности
F, качества Q и дизайна D. Каждый отдельный показатель оценивается экспертами по
ских наборов. Рейтинг вычисляется на основе средней цены

6-балльной шкале целыми числами от 0 до 5. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле
Я = 20(Р

Q) 10D — ОДР. В таблице даны оценки каждого показателя для несколь­

ких канцелярских наборов. Определите, какая модель имеет наименьший рейтинг. В ответе
запишите значение этого рейтинга.

Канцелярский

Средняя

набор

цена

Функциональность

Качество

Дизайн

А

290

3

3

3

Б

600

5

5

4

В

840

4

2

5

Г

150

2

2

5

Математика. 1 0 — П классы. Тренажёр д л я подготовки к ЕГЭ

74

Вариант 3
1. В таблице указаны цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх
соседних магазинах.
Наименование продукта

А

Б

В

Пшеничный хлеб (батон)

14

15

16

Пельмени (1 кг)

114

135

127

Блины с мясом (1 упаковка)

92

84

102

Сметана (1 кг)

70

60

50

Фарш говяжий (1 кг)

380

340

290

Масло сливочное (1 упаковка)

62

51

79

Определите, в каком из этих магазинов окажется самым дешёвым следующий набор про­
дуктов: 2 к г пельменей, 3 к г сметаны, 2 упаковки сливочного масла, 5 батонов хлеба. В ответе
запишите стоимость данного набора продуктов в этом магазине (в рублях).
2. В трёх магазинах один и тот же фотоаппарат продаётся в кредит на разных условиях.
Условия приведены в таблице.
Цена

Первоначальный

Срок

Сумма

фотоаппарата

взнос

кредита

еж ем есячного

( р у б .)

(в % от цены)

(м ес.)

платежа (р у б .)

«Город Ц»

15000

40

12

1030

«Фотограф А.»

16020

50

6

1560

14000

20

12

1320

Салон

«Жизнь на
картинке»

Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дешевле всего (с учётом переплаты).
В ответе запишите эту сумму в рублях.
3. Вероника загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 90 М б за 16 се­
кунд. Виктория загружает файл размером 105 М б за 20 секунд, а Евгения загружает файл
размером 70 М б за 12 секунд. Сколько секунд будет загружаться файл размером 1260 М б на
компьютер с наибольшей скоростью загрузки?

Арифметика и алгебра

75

Вариант 4
1. В таблице указаны цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх
соседних магазинах.
Наименование продукта

А

Б

В

Гата (1 шт.)

10

9

12

Сладкая фруктовая слойка (1 шт.)

14

13

11

Слойка с мясом (1 шт.)

16

18

15

С ы р(1 кг)

260

310

290

Колбаса варёная (1 кг)

180

160

205

Масло подсолнечное (1 л)

62

78

71

Определите, в каком из этих магазинов окажется самым дешёвым следующий набор про­
дуктов: 2 гаты, 4 л подсолнечного масла, 2 кг сыра, 5 слоек с мясом. В ответе запишите
стоимость данного набора продуктов в этом магазине (в рублях).
2. В трёх магазинах один и тот же холодильник продаётся в кредит на разных условиях.
Условия даны в таблице.
Первоначаль­
Цена
Салон

холодильника
(р у б )

ный
взнос

С рок

Сумма

кредита

ежемесячного

(м ес.)

платежа (р у б .)

(в % от цены )
«Заморожу»

22000

30

12

1930

«Охладись»

21020

40

6

2110

«Ю жный
1380
12
25
19 600
ледокол»
Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дешевле всего (с учётом переплаты).
В ответе запишите эту сумму в рублях.
3. Валерия загружает на свой компьютер из Интернета файл размером 150 М б за 12 се­
кунд. Олеся загружает файл размером 200 М б за 17 секунд, а Полина загружает файл раз­
мером 180 М б за 14 секунд. Сколько секунд будет загружаться файл размером 3600 М б на
компьютер с наибольшей скоростью загрузки?

?fi

м . ~ и*т«КЯ. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

1.6. Теория вероятностей
I. Подготовительные задания
1. В ящике находятся один чёрный и три белых шара. Из ящика случайным
образом достали один шар. Найдите вероятность того, что он будет черным.

‘
—————-_

2. Симметричную монету бросают один раз. Найдите вероятность того, что
выпадет орёл.

1——————

3. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным ча-

——————

ем, одинаковые на вид, причём с чёрным чаем 3 пакетика, с зеленым чаем
7 пакетиков. Найдите вероятность того, что случайно выбранный пакетик из

__________

этой коробки окажется с зелёным чаем.
4. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают одно
го, который должен идти в магазин. Какова вероятность того, что в магазин
пойдёт Дима, входящий в состав группы?
5. Вероятность перегорания лампочки в течение года равна 0,07. Найдите
вероятность того, что в течение года эта лампочка не перегорит.

__________

6. На борту самолёта 78 мест, неудобных для пассажиров высокого роста.
Найдите вероятность того, что во время регистрации при случайном выборе
места высокому пассажиру достанется удобное место, если всего в самолёте
100 мест.

II. Базовый экзамен
7. В сборнике билетов по биологии всего 24 билета, в шести из них встреча­
ется вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбран­
ном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.
8. В сборнике билетов по математике всего 36 билетов, в девяти из них
встречается вопрос по геометрии. Найдите вероятность того, что в случайно
выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по геомет­
рии.
9. Таня, Света, Нина и Люся бросили жребий — кому начинать выступле­
ние на концерте. Найдите вероятность того, что выступление должна будет
начать Света.
10. В спортивном рюкзаке у Насти были вещи: шапка, шарф, телефон, ко­
шелёк и коньки. Вынимая коньки, Настя случайно выронила из рюкзака
одну из вещей. Найдите вероятность того, что потерялась шапка.

__________

Арифметика и алгебра

77

11.21 билет по геометрии содержит 3 вопроса по теме «Параллельные пря­
мые», 19 вопросов по теме «Треугольники», 10 вопросов по теме «Четы­
рёхугольники» и 10 вопросов по теме «Окружность». Найдите вероятность
того, что наугад взятый билет содержит вопрос по теме «Треугольники», ес­
ли в каждом билете не более 1 вопроса по этой теме. Ответ округлите до
десятых.
12. На ЕГЭ по истории учащихся рассаживают по пяти аудиториям. В од­
ном корпусе заполняют 3 аудитории по 40 человек, оставшихся школьников
размещают в двух аудиториях второго корпуса. При подсчёте выяснилось,
что всего было 240 учащихся. Найдите вероятность того, что случайно вы­
бранный ученик писал ЕГЭ в аудиториях второго корпуса.
13. В чемпионате по гимнастике участвуют 24 спортсменки: 6 из России,
8 из Италии, остальные

из Польши. Порядок, в котором выступают гим­

настки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка,
выступающая первой, окажется из Польши. Результат округлите до сотых.
14. В соревнованиях по фигурному катанию участвуют 3 спортсмена из Ки­
тая, 2 спортсмена из Японии, 1 спортсмен из Швеции и 4 —

из России.

Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Най­
дите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется
из Швеции.
15. На семинар приехали 9 учёных из Италии, 6 — из России и 5 — из И с­
пании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность
того, что восьмым окажется доклад учёного из России.
16. Конкурс исполнителей проводится в течение 8 дней. Всего заявлено
65 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день запланиро­
вано 9 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися
днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероят­
ность того, что выступление представителя России состоится в третий день
конкурса? Ответ округлите до сотых.
17. Научная конференция проводится в течение 3 дней. Всего запланиро­
вано 24 доклада: в первые два дня по 10 докладов, остальные доклады
распределены поровну между первой и второй половиной последнего дня.
Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что до­
клад профессора И. окажется запланированным в последний день после
обеда? Результат округлите до сотых.
18. На чемпионате по прыжкам с трамплина выступают 20 спортсменов,
среди них 6 прыгунов из России и 4 прыгуна из Алжира. Порядок выступ­
лений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым
будет выступать прыгун из Алжира.

78

Математика. 10- 1 I классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

19. В среднем из 1000 телефонов, поступивших в продажу, 8 неисправных.

Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля те­
лефон неисправен.
20. Завод выпускает электрочайники. В среднем на 100 качественных из-

_________

делий приходится шесть изделий со скрытыми дефектами. Найдите вероят
ность того, что купленный электрочайник окажется качественным. Р е э у л ь __________
тат округлите до сотых.
21. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.
Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно два раза.

__________

III. Профильный экзамен
22. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите ве­
роятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.

__________

23. Перед началом первого тура чемпионата по большому теннису участ­
ников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия.
Всего в чемпионате участвует 126 теннисистов, среди которых 26 участни­
ков из России, в том числе Иван Песков. Найдите вероятность того, что в

__________

первом туре Иван Песков будет играть с каким-либо теннисистом из Рос­
сии.
24. Если шахматист О. играет белыми, то он выигрывает у шахматиста С.
с вероятностью 0,36. Если О. играет чёрными, то О. выигрывает у С. с ве-

—————

роятностью 0,4. Шахматисты О. и С. играют две партии, причём во второй
партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что О. выиграет оба

—————

раза.
25. В конкурсе моделей участвуют 20 девушек. С помощью жребия их нужно
разделить на пять групп по четыре девушки в каждой. В ящике вперемеш-

—————

ку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4,
4, 4, 5, 5, 5, 5. Каждая участница тянет карточку. Какова вероятность, что

—————

Анжелика В. будет выступать в четвёртой группе?
26. На экзамене по истории школьнику достаётся один вопрос из списка
экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «В е ­
ликая Отечественная война», равна 0,6. Вероятность того, что это вопрос
на тему «Первая мировая война», равна 0,15. Вопросов, которые одновре­
менно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на
экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
27. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в
мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся.
Результат округлите до сотых.

—————

Арифметика и алгебра

79

28. В банке стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть
неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого автомата. Найдите
вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
29. У Пети два маркера. Вероятность использования одного маркера в те­
чение недели равна 0,4. Найдите вероятность того, что в течение недели хотя
бы один маркер не будет использован.
30. Вероятность того, что новый электрический утюг прослужит больше го­
да, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна
0,78. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но боль­
ше года.
31. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что
случайно нажатая цифра будет нечётной?
32. Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно
число. Какова вероятность того, что оно делится на 5?
33. Игральную кость бросают дважды. Сколько элементарных исходов
опыта благоприятствуют событию В — «сумма очков равна 6»?
34. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявлен­
ных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероят­
ность того, что группа из России будет выступать после группы из Польши
и после группы из Германии? Результат округлите до сотых.
35. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.
Найдите вероятность того, что наступит исход 0 0 (в первый раз выпада­
ет орёл, во второй — орёл).
36. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде
нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она
получает 3 очка, в случае ничьей —

1 очко, если проигрывает — 0 очков.

Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг
соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и про­
игрыша одинаковы и равны 0,35.
37. Из 3896 зёрен пшеницы взошли 1457 зёрен. Найдите частоту всхожести
семян пшеницы. Результат округлите до тысячных.
38. На борту самолёта 14 мест рядом с запасными выходами и 16 мест
за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для
пассажиров высокого роста. Пассажир А. высокого роста. Найдите вероят­
ность того, что во время регистрации при случайном выборе места пассажи­
ру А. достанется удобное место, если всего в самолёте 360 мест. Результат
округлите до тысячных.

Математика. 10 — 1 1 массы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ
80
39. В корзине 16 яблок, среди них три яблока сорта «антоновка». Яблоки

случайным образом раскладывают в две вазы по 8 штук в каждой. Найдите
вероятность того, что яблоки «антоновка» окажутся в одной вазе.
40. Вероятность того, что новый утюг-парогенератор в течение года посту­
пит в гарантийный ремонт, равна 0,03. В некотором городе из 500 проданных
утюгов-парогенераторов втечение года в гарантийную мастерскую поступи
ло 18 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт»
от его вероятности в этом городе?
41. Группу из 24 детей рассаживают в зале кукольного театра по 6 человек в
ряд (начиная с первого ряда). Найдите вероятность того, что мальчик Петя
будет сидеть во 2-м ряду.
42. Вероятность того, что на тесте по математике учащийся Алексей вер­
но решит больше 8 задач, равна 0,83. Вероятность того, что Алексей верно
решит больше 7 задач, равна 0,9. Найдите вероятность того, что Алексей
верно решит ровно 8 задач.
43. В салоне красоты три консультанта. Каждый из них занят с клиентом с
вероятностью 0,5. Найдите вероятность того, что в случайный момент вре­
мени все три консультанта заняты одновременно (считайте, что клиенты за­
ходят независимо друг от друга).
44. Домашняя электропечь ежедневно печёт хлебные булочки для завтра­
ка. Вероятность того, что во вторник съедят меньше 13 булочек, равна 0,85.
Вероятность того, что съедят меньше 8 булочек, равна 0,69. Найдите веро­
ятность того, что булочек будет съедено от 8 до 12.
45. По отзывам покупателей Сергей Игоревич оценил надёжность двух
интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из мага­
зина А, равна 0,6. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б,
равна 0,7. Сергей Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая,
что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероят­
ность того, что ни один магазин не доставит товар.
46. Перед началом футбольного матча капитаны команд тянут честный жре­
бий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда
«Вымпел» по очереди играет с командами «Факел», «Центр» и «Вулкан».
Найдите вероятность того, что «Вымпел» будет начинать только первую и
последнюю игры.
47. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то мо­
мент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая
стрелка застыла, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 10 часов

Арифметика п алгебра

48. Автоматическая линия изготавливает кружки. Вероятность того, что го­
товая кружка не соответствует требованиям, равна 0,04. Перед упаковкой
каждая кружка проходит систему контроля. Вероятность того, что система
забракует кружку с дефектом, равна 0,96. Вероятность того, что система по
ошибке забракует качественную кружку, равна 0,02. Найдите вероятность
того, что случайно выбранная изготовленная кружка будет забракована си­
стемой контроля.
49. Две фабрики выпускают одинаковые зеркала для ванной комнаты. П ер­
вая фабрика выпускает 65% этих зеркал, вторая — 35%. Первая фабрика
выпускает 4% бракованных зеркал, а вторая — 2% . Найдите вероятность
того, что случайно купленное в магазине зеркало окажется бракованным.
50. В торговом центре два одинаковых автомата продают чипсы. Вероят­
ность того, что к концу дня в автомате закончатся чипсы, равна 0,4. Веро­
ятность того, что чипсы закончатся в обоих автоматах, равна 0,24. Найдите
вероятность того, что к концу дня чипсы останутся в обоих автоматах.
51. Агрофирма закупает сливочное масло в двух хозяйствах. 45 % масла из
первого хозяйства — масло высшего сорта, 15 % масла из второго хозяйства
— высшего сорта. Всего категорию «высший сорт» получает 27% масла.
Найдите вероятность того, что купленное у этой агрофирмы масло окажется
из первого хозяйства.
52. Ковбой Джек попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреля­
ет из пристрелянного револьвера. Если Джек стреляет из непристрелянного
револьвера, то он попадаете муху с вероятностью 0,16. На столе лежит 8 ре­
вольверов, из них только 5 пристрелянных. Ковбой Джек видит на стене
муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в неё. Най­
дите вероятность того, что он промахнётся.
53. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел
по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел.
Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Веро­
ятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,2, а при
каждом последующем — 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, что­
бы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
54. При изготовлении гайки с внутренним диаметром 45 мм вероятность то­
го, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм,
равна 0,945. Найдите вероятность того, что случайная гайка будет иметь
диаметр меньше чем 44,99 мм или больше чем 45,01 мм.

81

Математика. 1 0 — 1 1 к л а с с ы . Тренаж ёр д л я п о д го т о вки к Е ГЭ

82
55. Чтобы поступить в университет на специальность «международная эко
номика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 85 баллов по каж
дому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык.
Чтобы поступить на специальность «экономика», нужно набрать не ме­
нее 85 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык
и обществоэнание. Вероятность того, что абитуриент М. получит не менее
85 баллов по математике, равна 0,5, по русскому языку — 0,7, по иностран­
ному языку — 0,6 и по обществознанию — 0,7. Найдите вероятность того,
что М. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специально­
стей.
56. На стекольном заводе 9% произведённых стаканов имеют дефект.
При контроле качества продукции выявляется 40% дефектных стаканов.
Остальные стаканы поступают в продажу. Найдите вероятность того, что
случайно выбранный при покупке стакан не имеет дефектов. Ответ округ­
лите до сотых.
57. В маленьком государстве Радость бывает два типа погоды: хорошая и
отличная — причём погода, установившись утром, держится неизменной
весь день. Известно, что с вероятностью 0,6 погода завтра будет такой же,
как и сегодня. Сегодня, 5 мая, погода отличная. Найдите вероятность того,
что 8 мая в стране Радость будет хорошая погода.
58. Всем пациентам с подозрением на воспаление хитрости делают ана­
лиз крови. Если анализ выявляет болезнь, то результат анализа называется
положительным. У больных пациентов анализ даёт положительный резуль­
тат с вероятностью 0,6. Если пациент не болен воспалением хитрости, то
анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02.
Известно, что 3 % пациентов, поступающих с подозрением на заболевание,
действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у
пациента, поступившего в клинику с подозрением на воспаление хитрости,
будет положительным.
Выход Д

59. На рисунке изображён лабиринт.
Кролик заползает в лабиринт в точ­
ке «Вход». Развернуться и ползти
назад кролик не может, поэтому на
каждом разветвлении кролик выби­

Вход <

ер

□
В ы ходА

рает один из путей, по которому ещё
Выход Г

не полз. Считая, что выбор дальней­
шего пути чисто случайный, опреде­
лите, с какой вероятностью кролик
придёт к выходу Г.

Выход Б

О

С
Выход В

Арифметика и алгебра

83
Тренировочные варианты

Вариант I

1. Лена засушила для гербария 6 ромашек, 10 маргариток и 4 астры. Случайным образом
из гербария взяли один цветок. Какова вероятность того, что вытащили не ромашку?
2. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той ж е цели по разу. Веро­
ятность попадания для первого стрелка равна 0,8, а для второго — 0,9. Найдите вероятность
поражения цели хотя бы один раз.
3. В кармане лежат 6 игральных кубиков белого цвета и 9 кубиков — чёрного. Наудачу
достаётся кубик и подкидывается. Какова вероятность того, что выпадет чётное число очков
на белом кубике?

Вариант 2

1. Из пакета, в котором 3 синих, 4 зелёных и 5 красных карандашей, наудачу достают
карандаш. Найдите вероятность того, что карандаш будет синего цвета.
2. Вероятность того, что электрочайник прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность
того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,72. Найдите вероятность того, что электро­
чайник прослужит меньше двух лет, но больше года.
3. У Пети 4 кубика красного цвета и 12 кубиков зелёного цвета. Наудачу достаётся кубик
и подкидывается. Какова вероятность того, что выпадет нечётное число очков на зелёном
кубике?

Математика. 1 0 — 1 1 классы. Тренажёр д л я подготовки к Е Г Э

84

Вариант 3
1. В коробки лежат шары разного цвета: 21 шар — зелёного, 19 шаров

белого. Какова

тр о я т! меть того, что наудачу взятый из коробки шар будет зелёного цвета?
2. На экзамене по геометрии ученику достаётся один вопрос из списка экзаменационных
и.’ ;юссж. Вероятность того, что это вопрос на тему «Треугольник», равна 0,3. Вероятность
то и. что этот вопрос на тему «Векторы», равна 0,18. Вопросов, относящихся одновременно
к эти двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене ученику достанется вопрос
по одной их этих двух тем.
3. Две фабрики выпускают одинаковые зеркала для ванной комнаты. Первая фабрика
выпускает 15% этих зеркал, вторая — 85%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных
зеркал, а вторая — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине зер­
кало окажется бракованным.

Вариант 4

1. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Какова вероятность того, что наудачу взятая
пуговица будет красного цвета?
2. В магазине стоят два автомата для покупки напитков и сладостей. Каждый из них
может быть неисправен с вероятностью 0,09 независимо от другого автомата. Найдите веро­
ятность того, что хотя бы один автомат исправен.
3. На стекольном заводе 5% произведённых стаканов имеют дефект. При контроле ка­
чества продукции выявляется 80% дефектных стаканов. Остальные стаканы поступают в
продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранный при покупке стакан не име
ет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Арифметика и алгебра

85

1.7. Уравнения
Найдите корень уравнения.
Если уравнение имеет более одного
корня, укажите больший из них.

1.38 1 = 72

2. х 45 = 90

3.17 — х = 10

4. х — 36 = 20

5.211 = 42

6. 54 9 х = 0

7.28 : х = 14

8.48 : х = 16

9. х : 25 = 4

10. г : 72 = 2

11. 7 9х = 4х —8

12.4 i — 1 = 14i 12

13. — = 3
X

14. — = 2

1 5 .^ = 4
1 2

16. — Ц- = 5
х —1

1 7 .^ = 7

18. [ х = 8
20. х 2 = 324

1
о
о
II
о

Найдите корень уравнения.
Если уравнение имеет более одного
корня, укажите меньший из них.

СО

I. Подготовительные задания

X

21. х 2 х = 0

22. х 2 — 4 х = 0

23. х 2 7х — 8 = 0

24. х 2 — 12х — 13 = 0

25. 52* — 1 = 5

2 6 .123- 1 = 125

27. log2 х = 3

28. log3( i 1) = 0

Математика. 10-11 классы. Тренажёрдля подготовки к ЕГЭ

86

II. Базовый экзамен

Найдите корень уравнения.

Найдите корень уравнения.

Если уравнение имеет более одного

Если уравнение имеет более одного

корня, укажите меньший из них.

корня, укажите больший из них.

Рациональные уравнения
29.2 7х = 5х 3

30.10 8х = 5х — 11

31.5х —1 = 8х 8

3 2 . 10х —7 = 5х 23

33.7 — 5(i 3) = 2

34.4(х 11) 8 = —21

35.2( i 7 ) 3 ( i — 1 ) = -18

36.7 ( х — 2 ) 3 ( х 8 ) — 1 = 0

3 7 .1 3 — 2 ( х 13) = 2 ( х — 3 )

38.5х —2(х 13) = 2(х —3)

З 9 .|х = 8 |
44 =
43
45.

40- п * = 1п

f

42 х — 8
‘ 15
5

1
— 1
Зх-10
2
3

_ £ =4
2

17 2х 3
‘ 2

Зх- 1
5

44′ 2 х — 7 » 5
46. Ц — 2-^ 2 = 5
3
4
18 ^ ~ ^
‘ 3

я 17
2

Квадратные уравнения
49. г 2 — 7 = 0
4

50. ^ — х2 — о

51. {2х —5)2 —4х2 = 0

52. 25х2 —(5х I)2 = 0

53. (Зх 4)2 = ( З х — 7 ) :

54. (2х — 2)2 = (2х — З)2

25

Арифметика и алгебра

87

Найдите корень уравнения.
Если уравнение имеет более одного
корня, укажите меньший из них.

Найдите корень уравнения.
Если уравнение имеет более одного
корня, укажите больший из них.

55. х2 18х = О

56. Зх2 —21х = 0

57. х2 — 16х 63 = О

58. х2 — 13х 40 = 0

59. х2 — х — 20 = 0

60. х2 — 5х — 50 = 0

61. 5х2 Зх —8 = 0

62. 2х2 7х —9 = 0

63. 2х2 Зх — 14 = 0

64. 2х2 —х —6 = 0

Иррациональные уравнения

65. УЗх — 26 = 2

66. V5x — 25 = 3

67. V25 — 2х = 3

68. J2x — 15 = 9

69. %/10х 3 — 7 = 0

70. >/8х 1 — 6 = 0

7,-/i5 i= 0’05

72

73. $ /х ^ 8 = — 3

/

1

_ 1

V45 21

3

74. у 2 x i l 5 _

Показательные уравнения

75.23х~4 = 22х 2

76. 571-6 = 58l_1

77.51 12 ■5~2 = 1

78.67-2т • 631 = 6

79. И 15″ 121 : ц з -io* = 1

80. 81_3 : 821 = 8

4

86

Математика. 10—11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

Найдите корень уравнения.
Если уравнение имеет более одного
корня, укажите меньший из них.

Найдите корень уравнения.
Если уравнение имеет более одного
корня, укажите больший из них.

8 1 .(1 )

8 2 .(1 )

=27

83.5I 12 = -L
25

=64

84. 24i 1 = i
4
Логарифмические уравнения

85. log3(2x — 5) = 3
86. log5(3 — х) = 2
87. log5(5 — 4z) = log5 x
88. log3(2x — 7) = log3 5
89. Iog7(x — 8 ) log7 2 = log7 10
90. loge(2x 11) — l0g6 2 = log6 14
91. log i (5 4x) = -2
92. log i (x 9) = -1
93. lg(7x) — lg(5x 1) = 0
94. lg(3z —5) —lgx = 0
95. ln(13x — 8 ) — ln(8x) = 0
96.

ln(5x) — ln(12x — 7) = 0

Арифметика и алгебра

89
III. Профильный экзамен

Найдите корень уравнения.

Найдите корень уравнения.

Если уравнение имеет более одного

Если уравнение имеет более одного

корня, укажите меньший из них.

корня, укажите больший из них.

Квадратные и кубические уравнения

97. (i 8)2 = 32х

9 8 . х 2 5 = (х 5 )2

99.

100. _
г „ — 1
7х2 2

х* —16

101.

f

= 1

10 2 . х =

1 17

х

—

21
4

1034 12=12й

104. х 2 = $
7
7

105. х2 7 = (х 7)2

10 6 . х 2 — 10 = ( 1 0 — х ) 2

107.4х2 23х —6 = 0

10 8 . 2 х 2 — 1 7 х — 9 = 0

109. ( х — 2 ) 3 = 8

1 1 0 . ( х — З )3 = —27

111. (х 4)3 = 27

112. ( х 8 ) 3 = — 8

Иррациональные уравнения

113. У — 8 8 — 19х = — х

11 4. / 8 7 х = х

П 5 ‘ / З х -5 1

1 1 6 ‘ / l 9 l 3 x = 0 ’25

6

117. v ^ x 11 = — 5
1 1 9 .^ 0 ,4 — 1 ,8 1 = — 1
121‘ j 9 l i i 4 — J 12х-23

11 8. ^ 5 х — 16 = 2
12°- l l ~ T x

,2 2 — / Зх 17

=

~ x

] /

П х 3

90

Математика.

10-11

классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

Найдите корень уравнения.

Найдите корень уравнения.

Если уравнение имеет более одного
корня, укажите меньший из них.

корня, укажите больший из них.

Если уравнение имеет более одного

Показательные уравнения

123. 116-1 = 1211

124.216-I 4 = 61

125.214-21 = i
8

126. 351-17 = —
27

127. 339-7l = 8121

128.545-1 = 6251

129.37 I = 8121

130. 97-1 = 8121

131.2^ = 4^2

132. 9I 1 = 27/3

133. |

134. ^ = 95-21
27

= 1251-2

1 3 5 .(1 )

= 34,

136. ( I ) » -6 = 721

137.310-31 = 0 ,7 5 -4 10-31

138. 34 5x = 0,09 • 104 51

139. 21оЕ4 1

1) ( ! ; ° ° )

B ) log5 x < — 1

2) (5; о о )

В ) log5 х > — 1

3> Н )

Г) log5 х

4)(0;5)

< 1

А

Б

В

Г

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой
соответствующий числу номер.
12. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом
столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства

Решения

A ) lo g 7 х

>

1

•> Н )

B ) lo g 7 x

<

— 1

2 ) (0 ;7 )

B ) lo g 7 x > — 1

3 ) (7; о о )

Г ) lo g 7 х

4) ( г 0°)

<

1

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой
соответствующий числу номер.

А

Б

В

Г

Математика. Ю -П классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

108

13. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом
столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Решения

Н еравенства
A )log5 x $ 1

1)

Б) log5 х ^ — 1

2)

*

0
а ш

В) log5 x С — 1

m m .

1
у

*

А

Б

В

Г

Л \\ г
5
х

3 )-

4 ) — /Л \\\\_____ *
0
5
X
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой
Г) log5 х > 1

соответствующий числу номер.

14. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом
столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Неравенства

Решения

A) log3 х > 0

1 ) ( — о о ;- 1 )

6 )3 -1 > 3

2 ) ( — 1 :0 )

B)

3) (1; оо)

— ^ —7

°

А

Б

В

Г

4) (—оо; —2) U (0; оо)

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой
соответствующий числу номер.

15. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом
столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Неравенства
A ) lo g4 x

>

0

Решения
1)0

< х <

Б )i~ x > 4

2)х <

B)^ < °

3)х > 1

Г) (х — 2 ) х > 0

4)х < -1

0

2

или х > 2

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой
соответствующий числу номер.

А

Б

В

Г

Арифметика и алгебра

109

,6. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом
столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Неравенства

Решения

A ) (х 1)(х 2) < 0

1 )х < — 2 , х > — 1

Б)^Ц >0

2 )х > -1

х 2
B ) (х 1)2(х 2) < 0

3) — 2 < х < — 1

А

Б

В

Г

4) х < — 2
Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой
соответствующий числу номер.

17. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом
столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Неравенства

Решения

A )х2 — 3 х — 1 0 ^ 0

1) [-5; 2]

Б ) х 2 — Зх — 10 ^ 0

2) (— со; -2] U [5; оо)

B ) х 2 3х — 10 5=0

3) (— оо; —5] U [2; оо)

Г ) х 2 3 х — 10

4) [-2; 5]

0

А

Б

В

Г

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой
соответствующий числу номер.

Числа и величины
18. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принад­
лежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

Числа

Отрезки

A ) 0,31-1

1) (6; 7]

Б ) log2 65

2) (3; 4]

»>!

3) [2; 3]

Г) у/7

4) [1; 2]

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой
соответствующий числу номер.

А

Б

В

Г

по

Математика. 1 0 — 1 1 классы. Тренажёр д л я подготовки к Е Г Э

19. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принад­
лежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.
О трезки

Ч исла

А )/П -% /3

1) [0; 1]

Б) 2 /Т Т : л/3

2) [1; 2]

Ъ ) / П — 2 у/2

3)[4; 5]

П (ч /3 ) 3 — 1

4) (3; 4]

А

Б

В

Г

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой
соответствующий числу номер.
20. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
Величины

В о зм о ж н ы е значения

А ) масса арбуза

1) 1,5 т

Б ) масса карандаша

2) 17 г

В ) масса автомобиля

3)100 т

Г) масса взрослого кита

4 )3 кг

А

Б

В

Г

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.
21. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
Величины

В о зм о ж н ы е значения

А)масса трамвая

1)15 г

Б ) масса шариковой ручки

2) 450 г

В) масса футбольного мяча

3) 1 кг

Г) масса литрового пакета сока

4) 15 т

А

Б

В

Г

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.
22. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
Величины

В о з м о ж н ы е значения

A ) площадь футбольного поля

1) 12800 кв. см

Б) площадь тетрадного листа

2 ) 354 кв. км

B ) площадь города Ростова-на-Дону

3) 7140 кв. м

Г) площадь письменного стола

4) 300 кв. см

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.

А

Б

В

Г

Арифметика и алгебра

111

23. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к кажаому

В еличины

В о з м о ж н ы е зна чен ия

A) площадь территории России

1) 17,1 млн. кв. км

Б) площадь одной стороны монеты

2) 1020 кв. см

B) площадь кухни

3 ) 9 кв. м

Г) площадь монитора компьютера

4) 300 кв. мм

А

Б

В

Г

жите номер её возможного значения.

24. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
Величины

В о з м о ж н ы е зна чен ия

A ) объём бассейна в спортивном

1) 1 л

комплексе «Олимпийский»

2) 2750 м3

Б) объём воды в озере Байкал

3 ) 23 615 км3

B) объём пакета молока

4 ) 350 л

А

Б

В

Г

Г) объём домашнего холодильника
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.
25. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
Возм ожны е значения

Величины
А)объём комнаты

1)100 м3

Б) объём воды в Ладожском озере

2 )2 5 см3

В ) объём бутылки растительного масла

3) 908 км3

Г) объём детского кубика

4) 1л

А

Б

В

Г

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.
26. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
Величины

Возможные значения

А ) длина экватора

1) 20 см

Б) длина футбольного поля

2)500 см

В)высота свечи

3)40000 км

Г) рост жирафа

4)105 м

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.

А

Б

В

Г

Математика. 10 — I I кл а с с ы . Т р е н а ж ё р д л я по дго т о вки к Е Г Э

112

27. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями, к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
Величины

В озм ож ны е значения

A ) время обращения Земли вокруг Солнца 1) 3 секунды
Б) продолжительность школьного урока

2) 3 ч 50 мин

B ) продолжительность горения спички

3 ) 365 дней

Г) время движения поезда «Сапсан» из

4 ) 0,75ч

А

Б

В

Г

Москвы в Санкт-Петербург
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.

28. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
Величины

В о зм о ж н ы е значения

A ) длина реки Волги

1) 3 мкм

Б) диаметр футбольного мяча

2) 22 см

B) длина типичной бактериальной клетки

3 ) 540 м

А

Б

В

Г

Г) высота Останкинской телевизионной 4 ) 3530 км
башни в Москве
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.

29. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
Величины

В о зм о ж ны е значения

А ) высота ворот для хоккея с шайбой

1) 20 м

Б) высота подъёмного крана

2)200 см

В ) дальность прыжка в длину с места

3) 1,22 м

Г) дальность полёта пули, выпущенной из 4) 1000 м
охотничьей винтовки
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.

А

Б

В

Г

Арифметика и алгебра
ИЗ
30. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
Величины

В о з м о ж н ы е значения

A) высота полёта пассажирского самолёта 1) 25 см
Б) высота школьного стола

2) 70 см

B) дальность полёта телевизионного спут­ 3 ) 35800 км
ника Земли

А

Б

В

Г

4) 11000 м

Г) длина альбома для рисования
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.
31. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями; к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
Величины

В о з м о ж н ы е значения

А) глубина колодца

1)150 см

Б) радиус цирковой арены

2) 6,5 м

В) высота окна

3)1200 см

Г) толщина лезвия бритвы

4) 0,07 мм

А

Б

В

Г

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.
32. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
Величины

Возм ож ны е значения

А)скорость муравья

1)6 км/с

Б) скорость улитки

2) 1,5 мм/с

В) скорость баллистической ракеты

3)0,2 м/с

Г)скорость автомобиля

4) 60 км/ч

А

Б

В

Г

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.
33. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
Величины

Возм ож ны е значения

А)температура льда в морозильной камере 1) 1500°
Б) температура таяния льда

2)0°

В(температура плавления стали

3)25°

Г) средняя температура воды на поверхно- 4 )-1 5 °
сти Гольфстрима
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.

А

Б

В

Г

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

114

34. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Возможные значения

Величины
А ) высота горы Эльбрус

1) 2700 см

Б ) высота сосны

2)5642 м

В ) высота девятиэтажного дома

3) 35 м

Г) длина радиуса Земли

4)6400 км

А

Б

В

Г

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.
35, Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Величины

Возможные значения

A ) площадь Краснодарского края

1) 6 га

Б) площадь города Севастополя

2) 39 тыс. кв. км

B) площадь дачного участка

3) 864 кв. км

Г) площадь почтовой марки

4) 150 кв. мм

А

Б

В

Г

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, ука­
жите номер её возможного значения.

Графики, рисунки, диаграммы, таблицы
36. На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа оборотов в
минуту. По горизонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, по вертикальной оси —
крутящий момент в Н м .

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу числа оборотов в ми­
нуту характеристику крутящего момента.

Арифметика и алгебра

115
И н те р в а л ы

ларактеристики

A ) 0-400 об/мин

1) при увеличении числа оборотов крутящий

5 ) 800-1200 об/мин

2) при увеличении числа оборотов крутящий

момент уменьшается

момент не меняется
B) 1200-2200 об/мин 3) при увеличении числа оборотов самый

А

Б

В

Г

быстрый рост крутящего момента
Г) 2200— 2800 об/мин

4) при увеличении числа оборотов крутящий
момент не превышает 20 Н-м

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

37. На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от време­
ни. По вертикальной оси отмечена скорость автобуса в км/ч, по горизонтальной — время в
минутах, прошедшее с начала движения автобуса.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характери­
стику движения автобуса на этом интервале.
Х а р а к те р и с т и к и

И нтервалы

A ) 2— 3 мин

1) скорость 60 км/ч на всём интервале

Б) 4 — 8 мин

2) была остановка длительностью 1 минута

B) 10-14 мин

3) скорость не меньше 40 км/ч на всём интер­

Г) 15 -18 мин

вале
4) была остановка длительностью 2 минуты

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А

Б

В

Г

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

116

38. На рисунке точками показано давление в городе N в течение трёх суток с 4 мая по 6 мая
2022 года. В течение суток давление измеряется 4 раза: в 0:00, в 6:00, в 12.00 и в 18:00.
По горизонтали указываются время суток и дата, по вертикали

давление в миллиметрах

ртутного столба. Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени
характеристику атмосферного давления в городе N в течение этого периода.
Периоды времени

Характеристики

А ) утро 4 мая (с 6 до 12 часов)

1) давление росло от 754 мм рт. ст. до

Б) ночь 5 мая (с 0 до б часов)

2) давление не изменялось

В ) день 5 мая (с 12 до 18 часов)

3) давление росло, но не превышало

Г) вечер 6 мая (с 18 до 0 часов)

4) давление падало

756 мм рт. ст.

762 мм рт. ст.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

Арифметика и алгебра

117

39. На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха в городе N в январе
2022 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — температура в гра­
дусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени
характеристику изменения температуры.
П ериоды времени

Характеристики

А ) 1 -7 января

1) среднесуточная температура не поднима­

Б) 8 -1 4 января

2) во второй половине недели среднесуточная

В) 15-21 января

3) среднесуточная температура достигала ме­

Г) 22— 28 января

4) среднесуточная температура достигала ме­

лась выше — 2 градусов
температура не изменялась
сячного минимума
сячного максимума
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

118

40. На рисунке точками изображён среднемесячный курс евро в период с июля 2022 года
по июнь 2022 года. По горизонтали указываются месяц и год, по вертикали

курс евро в

рублях. Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени
характеристику курса евро.
Характеристики

П ериоды врем ени

A) июль —сентябрь 2022 г.

1) курс евро падал в течение всех месяцев

Б) октябрь —декабрь 2022 г.

2) курс евро не превышал 60 руб. в течение

B) январь —март 2022 г.

3) после падения курса евро начал расти

Г) апрель —июнь 2022 г.

4) курс евро достиг максимума

периода
всех месяцев периода

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

Арифметика

и алгебра

119

41 . На рисунке точками показан годовой объём добычи угля в некоторой стране в период с
2005 по 2022 год. П о горизонтали указывается год, по вертикали — объём добычи угля в
миллионах тонн. Д ля наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени
характеристику добычи угля.
П е ри од ы времени

Х а р а кт е р и с т и к и

A )2 0 0 5 -2 0 0 7 гг.

1) период с максимальным показателем

Б) 2 008-2 010 гг.

2) объём добычи в этот период рос с каждым

В ) 2022—2022 гг.

3) период с минимальным показателем добычи

Г) 2 014-2 016 гг.

4) годовой объём добычи составлял не менее

добычи

годом
за 10 лет
200 млн т, но не более 225 млн т
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

Математика. 10-11классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

120

42. На рисунке показано изменение удельной теплоёмкости водного раствора некоторого ве­
щества в зависимости от температуры. По горизонтали указывается температура в градусах
Цельсия, по вертикали — удельная теплоёмкость в Д ж /(кг- °С ). Для наглядности точки со­
единены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому интервалу температур характе­
ристику изменения удельной теплоёмкости раствора на этом интервале.

о
Г)

О

О

>

И н те р в а л ы т е м п е р а т у р

Х а р а к т е р и с ти к и

1) удельная теплоёмкость возрастает и не превышает
4 2 1 0 Д ж /(кг-°С )

Б ) Ю …30°С

2) удельная теплоёмкость убывает быстрее всего

В ) 40…80°С

3) удельная теплоёмкость возрастает быстрее всего

Г) 80…100 °С

4 ) удельная теплоёмкость убывает и не доходит до
4180 Д ж /(кг- °С )

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

Арифметика и алгебра

121

43. На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа оборотов в
минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий
момент в Н-м.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу числа оборотов в ми­
нуту характеристику крутящего момента.
Интервалы

Характеристики

A ) 0 -1 0 0 0 об/мин

1) при увеличении числа оборотов крутящий момент

Б ) 2000-3 500 об/мин

2) крутящий момент момент находится в пределах от

B ) 4000— 4500 об/мин

3) крутящий момент принимает максимальное значение

Г) 5500-6000 об/мин

4) при увеличении числа оборотов крутящий момент не

уменьшается
60 Н м до 120 Н м

превышает 20 Н м
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

Математика. 1 0 -1 1 классы. Тренажёр д л я подготовки к ЕГЭ

122

44. На графике жирными точками показано суточное количество осадков (в мм), которые
выпадали с 1 по 13 апреля 2022 года в городе Новочеркасске. По горизонтали указываются
числа месяца, по вертикали •— количество осадков в миллиметрах, выпавшее в соответству­
ющий день.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие указанным ниже датам их характерис­
тики.
Д ата

Х арактеристи ки

А )3 апреля

1) осадков не было

Б ) 5 апреля

2) суточное количество осадков было наибольшим за

В ) 7 апреля

3) суточное количество осадков не было максималь-

периоде 1 по 13 апреля
ным за рассматриваемый период, но превысило
3,5 мм
Г) 9 апреля

4) суточное количество осадков равно 3 мм

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

Арифметика и алгебра

123

45 . На графике представлена зависимость расстояния между пешеходом и его домом от

времени. По горизонтали откладывается время в минутах, по вертикали —

расстояние в ки­

лометрах.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характери­
стику процесса изменения расстояния между пешеходом и его домом.
Интервалы времени

Характеристики

A ) 0— 10 мин

1) расстояние увеличивалось

Б ) 2 0 -3 5 мин

2 ) расстояние не изменялось

B ) 3 5 -4 5 мин

3) расстояние уменьшалось

Г) 50— 75 мин

4) расстояние было больше двух, но не более пяти
километров от дома

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

Математика. 1 0 -1 1 м а с с ы . Тренажёр д л я подготовки к ЕГЭ

124

46. На рисунке изображён график изменения температуры воды при нагревании. По гори­
зонтали указано время в минутах, по вертикали — значение температуры в градусах ЦельСИЯ.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характери­
стику процесса нагревания воды в течение этого интервала.
Интервалы времени

Характеристики

A ) 0 — 1 0 минут

1) температура росла быстрее всего

Б) 10—30 минут

2) температура не превышала 20 °С

В) 3 0 -4 0 минут

3) температура всё время превышала 90 °С

Г) 4 0 -5 0 минут

4) изменения температуры проходили в диапазоне 70 —95 °С

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

Арифметика и алгебра

125
47. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс
откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — темпе­
ратура двигателя в градусах Цельсия.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу температур характе­
ристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.
Характеристики

Интервалы времени
А ) 0 — 3 мин

1) интервал содержит точку максимума

Б) 3— 6 мин

2) температура не возрастает на всём интервале вре-

В ) 6— 9 мин

3) температура растёт медленнее всего

Г) 1 0 -1 5 мин

4) температура растёт быстрее всего

мени

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

126

48. На рисунке изображено число родившихся мальчиков и девочек за каждый календарный
месяц 2022 года в городском роддоме. По горизонтали указываются месяцы, по вертика­
ли — количество родившихся мальчиков и девочек (по отдельности). Для наглядности точки
соединены линиями.

число родившихся
мальчиков
число родившихся
девочек

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени
характеристику рождаемости в этот период.
Периоды времени

Характеристики

A ) январь — март

1) рождаемость девочек снижалась

Б) апрель — июнь

2) рождаемость мальчиков превышала рождаемость

B) июль — сентябрь

3) рождаемость девочек росла

Г)октябрь — декабрь

4) разность между числом родившихся мальчиков

девочек

и числом родившихся девочек в один из месяцев
этого периода достигает наибольшего значения за год
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

Арифметика и алгебра127
49. На диаграмме изображён среднемесячный курс евро в период с июля 2022 года по июнь
2022 года. По горизонтали указываются месяц и год, по вертикали — курс евро в рублях.

Пользуясь диаграммой, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов вре­
мени характеристику курса евро.
П ериоды времени
A) июль — сентябрь 2022 г

Характеристики
1) содержит месяце наибольшим курсом евро за период
с июля 2022 года по июнь 2022 года

Б) октябрь — декабрь 2022 г

2) содержит месяц с наименьшим курсом евро за пери­
од с июля 2022 года по июнь 2022 года

B) январь — март 2022 г
Г) апрель — июнь 2022 г

3 ) среднемесячный курс евро падал все месяцы периода
4) за весь период средний курс евро был больше 55 руб­
лей и меньше 65 рублей

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Математика. 1 0 -1 I классы. Тренажёр дли подготовки к ЕГЭ

128

50. На диаграмме изображено число родившихся мальчиков и девочек за каждый кален­
дарный месяц 2022 года в городском роддоме. По горизонтали указываются месяцы, по
вертикали — количество родившихся мальчиков и девочек (по отдельности).

□

число родившихся девочек

Пользуясь диаграммой, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов вре­
мени характеристику рождаемости в этот период.
Периоды времени

Характеристики

A) 1-й квартал года

1) рождаемость девочек была наименьшей за весь год

Б) 2-й квартал года

2) в каждом месяце девочек рождалось больше,

B) 3-й квартал года

3) в каждом месяце мальчиков рождалось больше, чем
девочек

Г) 4-й квартал года

4) рождаемость девочек почти не изменялась в течение
этого периода

чем мальчиков

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

^ифметню и алгебра______________________________________

51. В таблице указаны доходы

и расходы фирмы за 5 месяцев.

Месяц

Доход, тыс. руб.

Расход, тыс. руб.

Январь

130

105

Февраль

135

140

Март

140

125

Апрель

125

ПО

Май

120

100

Пользуясь таблицей, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени
характеристику доходов и расходов.
Характеристики

Периоды времени
A ) январь

1) расход в этом месяце больше, чем доход

Б) февраль

2) доходе января по май наибольший

B ) март

3) в периоде марта по май расход наименьший

Г) май

4) наибольшая разница между доходом и расходом

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

В

Б

Г

Производные
52. На рисунке изображены график функции и ка­
сательные, проведённые к нему в точках с абсцис­
сами А, В , С и D .
В правом столбце указаны значения производ­
ной функции в точках А , В , С и D . Пользуясь
графиком, поставьте в соответствие каждой точ­
ке значение производной функции в ней.
Точка Значение производной
А

1)2

В

2 )-4

С

3 )1,7

D

Л

4 )-2 ,3
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
В

С

D

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

130

53. На рисунке изображены график функции и каса­
тельные, проведённые к нему в точках с абсциссами
А , В , С u D. Ниже указаны значения производных в
этих точках. Пользуясь графиком, поставьте в соот­
ветствие каждой точке значение производной функции
в ней.
Точка Значение производной
А
В

6
2)1,5

С

3) —2

D

4 )0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ук
54. На рисунке изображён график функции у = f ( x ) и

1 1 1

y = f(* )

отмечены точки А, В, С и D на оси Ох. Пользуясь графи­
ком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики
функции и её производной.

Точка

J*л|
О

х

Л

X
1
А 1) ‘f 1 / (
у

DL

Х арактеристики функции и производной

А

1) значение функции в точке отрицательно, и значение производ­

В

2) значение функции в точке положительно, а значение производ-

С

3) значение функции в точке равно нулю, а значение производной

D

4) значение функции в точке положительно, и значение производ-

ной функции в точке отрицательно
ной функции в точке равно нулю
функции в точке отрицательно
ной функции в точке положительно
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

В

С

D

0

и алгебра
131

55. На рисунке изображён график функции у = / ( * ) . Числа Q
Ь с’ d и е эадаЮТ на оси 0 1 интервалы. Пользуясь графиком’
поставьте в соответствие каждому интервалу характеристик^
функции или её производной.

Интервалы

Характеристики функции

или производной

A ) (о; Ь)

1) Значения производной функции отрицательны в каждой

Б) (6; с)

2) Значения функции отрицательны в каждой точке интер-

B ) (с; 1

номер.
Ответ:

А

Б

В

Г

2. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом
столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства

Решения

:ж
:
0 _1_

A ) log2 x < 1

д:

B ) log2 x > — 1

-Aww»

B)log2 x < — 1
-n

f)l o g 2 x > 1

’

ШШЩ

о2_

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий числу
номер.
Ответ:

А

Б

В

Г

3. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому эле­
менту первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Величины

Возможные значения

А ) высота горы Эльбрус

1)65 см

Б) длина реки Волги

2)3530 км

В) рост жирафа

3)500 см

Г) высота овчарки в холке

4)5642 м

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного
значения.
Ответ:

А

Б

В

Г

,3 4

Математика. 1 0 — П классы . Тренажёр д л я подготовки к Е Г Э

4. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому эле­
менту первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
В о з м о ж н ы е зн а ч е н и я

В е л и чи н ы
A ) масса Земли

1 ) 12,5 г

Б) масса взрослого бегемота

2 ) 3500 г

B ) масса новорождённого ребёнка

3) 5,9726 • 1024 кг
4 )3т

Г) масса одной ягоды клубники

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного
значения.
А

Б

В

Г

5. На рисунке изображена зависимость движения рейсового автобуса от времени. По вер­
тикальной оси отмечена скорость автобуса в км/ч, по горизонтальной

время в минутах,

прошедшее с начала движения автобуса.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характери­
стику движения автобуса на этом интервале.
И нтер валы

Х а р ак те р и сти ки

A ) 1— 3 мин

1) была остановка длительностью 1 минута

Б ) 4— 7 мин

2) скорость не меньше 70 км/ч

B ) 13— 15 мин

3) скорость 50 км/ч на всём интервале

Г) 19 -22 мин

4) скорость не больше 40 км/ч

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:

А

Б

В

Г

Арифметика и алгебра

135

6. На рисунке точками показано атмосферное давление в городе N на протяжении трёх суток
с 5 марта по 7 марта 2022 года. В течение суток давление измеряется 4 раза: в 0:00, 6:00,
12:00 и 18:00. П о горизонтали указывается время суток и дата, по вертикали — давление в
миллиметрах ртутного столба. Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени
характеристику атмосферного давления в городе N в течение этого периода.
Характеристики

П ериоды времени
A ) ночь 5 марта(с 0 до 6 часов)

1) давление не изменилось

Б)день 6 марта(с 12 до 18 часов)

2) наибольший рост давления

B ) ночь 7 марта(с 0 до 6 часов)

3) давление

росло,

но

не

превышало

758 мм рт. ст.
Г) утро 7 марта (с 6 до 12 часов)

4) давление падало до 758 мм рт. ст.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

Математика.

136

10-11 классы .

Тренажёр лая подготовки к

ЕГЭ

Вариант 2
I . Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом.
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Решения

Неравенства
А )3 1 ^ 3

1 ) ( — 00: — 1]

Б ) ^ 3

2) (—оо; 1]

B>iH3

3) [-1 ; о о )

Пз1 1

1)0 < х < 0,2

Б ) log5 z >

2 ) х > 0,2

В) log5 г < 1

3 )х > 5

Г) logs х < — 1

4 )0 < х < 5

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий числу
номер.
А

Б

В

Г

3. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому эле­
менту первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Величины
A) площадь Ладожского озера

1) 300 кв. мм

Б) площадь балкона в жилом доме

2) 3 кв. м

B) площадь одной стороны монеты

3) 17,5 тыс. кв. м

Г) площадь тарелки

4) 600 кв. см

Возможные значения

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного
значения.
Ответ:

А

Б

В

Г

Арифметика и алгебра

137
4. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элег
п р п в п г о столбца п п л брп м тр __________________
В елич ины

В озм ож ны е значения

А) масса карандаша

1)3500 г

Б)масса кухонного холодильника

2) 15 г

В) масса новорождённого ребёнка

3) 17 т

Г) масса трамвая

4) 38 кг

ного значения.
Ответ:

А

Б

В

Г

5. На рисунке изображён график зависимости крутящего момента двигателя от числа обо­
ротов в минуту. На горизонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, на вертикальной
оси — крутящий момент в Н-м.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу числа оборотов в ми­
нуту характеристику крутящего момента.

________________________
Характеристики

И нтервалы

A ) 0—1000 об/мин

1) При увеличении числа оборотов крутящий мо­

Б) 1000-2500 об/мин

2) При увеличении числа оборотов крутящий мо­

B ) 2500—4000 об/мин

3) При увеличении числа оборотов крутящий мо­

Г )4000-6 0 0 0 об/мин

4) При увеличении числа оборотов наблюдается

мент уменьшается.
мент не меняется.
мент не превышает 20 Н-м.
самый быстрый рост крутящего момента.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:

А

Б

В

Г

Математика. 10 -11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

138

6. На рисунке точками показано атмосферное давление в городе N на протяжении трёх су­
ток с 4 мая по 6 мая 2022 года. В течение суток давление измеряется 4 раза: в 0:00, 6:00,
12:00 и 18:00. По горизонтали указывается время суток и дата, по вертикали

давление в

миллиметрах ртутного столба. Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени
характеристику атмосферного давления в городе N в течение этого периода.
Периоды времени

Характеристики

A ) утро 4 мая (с 6 до 12 часов)

1) давление не изменилось

Б ) вечер 5 мая (с 18до0 часов)

2) наибольший рост давления

B ) ночь 6 мая (с 0 до 6 часов)

3 ) давление падало

Г )д е н ь 5 мая(с 12до 18часов)

4) давление

росло,

но

760 мм рт. ст.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:

А

Б

В

Г

не

превышало

Арифметика и алгебра

139
Вариант 3
I. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце
Установите соответствие между
……….. . _

Неравенства
A) log3 х > 0

УСТ °ДН° из решении в правом.

—
Решения
1 )г < — 1

6 )5 -1 > 5

2) х < — 1 , х > 0

в>;тт°

3) — 1 < х < 0
4 )х > 1
I числу

номер.
А

Ответ:

Б

В

Г

2. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом
столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства

Решения

A )lo g7 x < 0

1) ( — 1; ° о )

5 )7 -1 < 7

2 )(0 ;1 )

В>

^

<

°

3 ) ( — о о ; 0) U (2 ; о о )

Г ) х ( х 1- 2 ) > °

4 ) (0 ; 2)

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий числу
номер.
Ответ:

А

Б

В

Г

3. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому эле­
менту первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

Величины
А ) объём бака для воды на даче

Возможные значения
1)0,5л

Б)объём комнаты

2) 50 л

В) объём банки сметаны

3)78 200 км3

Г) объём воды в Каспийском море

4) 75 мэ

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного
значения.
Ответ:

А

Б

В

Г

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

140

4. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями, к каждому эле­
менту первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
В о зм о ж н ы е значения

Величины

А)масса телевизора

1)8 кг

Б) масса футбольного мяча

2) 2,8 т

В) масса взрослого бегемота

3)20 мг

Г) масса дождевой капли

4)450 г

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного
значения.
А

Б

В

Г

5. На рисунке изображён график зависимости движения электрички от времени. На верти­
кальной оси отмечена скорость электрички в км/ч, на горизонтальной — время в минутах,
прошедшее с начала движения электрички.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характери­
стику движения электрички.
И нтервал ы врем ени

Х арактеристики

A ) 1 -3 мин

1) была остановка длительностью ровно 1 минута

Б ) 19— 22 мин

2) скорость не меньше 70 км/ч на всём интервале

B ) 14 -17 мин

3) скорость не больше 50 км/ч

Г) 18 -19 мин

4) скорость 60 км/ч на всём интервале

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:

А

Б

В

Г

if ,, иЬметика и алгебра
141
6. На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха в Ростове-на-Донув
„„варе 2022 года. П о горизонтали указываются числа месяца, по вертикали —

температура

в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени
характеристику изменения температуры.
П ериоды времени

Характеристики

A) 1 -7 января

1) среднесуточная температура не поднима­

Б) 8— 14 января

2) среднесуточная температура достигла ме­

B) 15— 21 января

3) в середине недели среднесуточная темпера­

лась выше 0 °С
сячного минимума
тура не изменялась
4) среднесуточная температура достигла ме­

Г) 2 2 -2 8 января

сячного максимума
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:

А

Б

В

Г

Математика. 1 0 — 1 1 к л а с с ы . Т р е н а ж ё р д л я по дго т о вки к Е Г Э

142

Вариант 4
1. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом.
Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Решения

Неравенства

п __ Д Ш ————►
^
х
1)
5

A) (я —5)(х —6) > 0

2) \Щ \Ш _____ „

Б
>|5| < °
B )^ > 0

3 )i m

m

—

u x

а;-5

Г) (х

—6)(х — 5)2 < 0

‘

5

6

х

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий числу
номер.
Ответ:

А

Б

В

Г

2. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом
столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
Решения

Неравенства
А) (х —3)(х —4) < 0

1) (4 ; о о )

Б)
>0
в ) » х — 4 )2 < о

2) (3; 4)
3) (—оо; 3)

X и
Г) ( i — 3)2(х — 4) > 0

4) (-о о ; 3) U (4; оо)

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий числу
номер.
Ответ:

А

Б

В

Г

3. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому эле­
менту первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
Величины

Возможные значения

А) масса куриного яйца

1)14 кг

Б )м асса взрослого кабана

2)2,5 мг

В) масса детской коляски

3)200 кг

Г) масса активного вещества в таблетке

4) 50 г

В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного
значения.
Ответ:

А

Б

В

Г

Арифметика и алгебра_________
■
————-

1*0

143

„„и™ первого столбца подберите соптВРт гТП,„ „ __ ______
В еличины

вждому эле

Возможные значения

А) площадь столешницы письменного стола
Б) площадь волейбольной площадки
В) площадь города Санкт-Петербурга
Г) площадь почтовой марки

1) 162 кв. м
2)0,9 кв. м
3)5,2 кв. см
4) 1439 кв. км

значения.
Ответ:

А

Б

В

Г

5. На рисунке показан график зависимости пройденного автомобилем расстояния от вре­
мени. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат —

расстояние i

километрах.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характери­
стику расстояния, пройденного автомобилем.
Характеристики

И нтервалы времени
А ) 1— 15 мин

1) Автомобиль стоял.

Б) 15— 30 мин

2) Расстояние увеличилось более чем на 30 км.

В) 30— 35 мин

3) Расстояние было не меньше 70 км в начале

Г) 4 5 -7 0 мин

4) Расстояние увеличилось на 10 км.

интервала и не меньше 90 км в конце.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А

Б

В

Г

Математика. 1 0 ^ 1 1 классы. Тренажёр д л я подготовки к Е Г Э

144

6. На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха в Ростове-на-Дону в
феврале 2022 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали

температура

в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени
характеристику изменения температуры.
Периоды времени

Характеристики

A ) 1 -7 февраля

1) Среднесуточная температура достигла ме­

Б ) 8 -1 4 февраля

2) Среднесуточная температура достигла ме­

B) 15— 21 февраля

3) Среднесуточная температура не поднима­

Г) 22— 28 февраля

4) Во второй половине недели среднесуточная

сячного максимума.
сячного минимума.
лась выше 0 °С.

температура не изменялась.
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:

А

Б

В

Г

2. Алгебра и начала анализа
2.1. Прикладные задачи
I. Подготовительные задания
I. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле Р = 2(а 6), где а и
1. —длина и ширина прямоугольника. Пользуясь этой формулой, найдите Р
(в см), если а = 12 см, 6 = 7 см.
2. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S = аЬ, где а и
(, — длина и ширина прямоугольника. Пользуясь этой формулой, найдите
S(в см2), если а = 5 см, 6 = 11 см.
3. Площадь треугольника вычисляется по формуле S = — , где а — сторо­
на треугольника, h

высота, проведённая к этой стороне. Пользуясь этой

формулой, найдите S (в см2), если а = 12 см, h = 5 см.
1

Среднее

арифметическое

трёх

чисел

вычисляется

по

формуле

I. _

А Ь С

,

Л —

——з—— . где а, о и с — заданные числа. Пользуясь этой форму­

лой, найдите к, если а = 20, Ъ = 13, с = 18.
5. Среднее геометрическое двух чисел вычисляется по формуле д = Va ■Ь,
где а и 6 — заданные числа. Пользуясь этой формулой, найдите д, если
о = 32, Ь = 2.
6. Длина окружности вычисляется по формуле С = 2пR, где R — радиус
окружности, я- — постоянная. Пользуясь этой формулой, найдите с, если
Д = 7,тг = 3,14.
7. Длина окружности вычисляется по формуле С = яД, где d, — диаметр
окружности, 7г — постоянная. Пользуясь этой формулой, найдите С, если
d = 8, тг = 3,14.
8. Длина пути при равномерном движении вычисляется по формуле S = v-t,
где v — скорость движения (км/ч), i — время (ч). Пользуясь этой форму­
лой, найдите S (км), если v = 52 км/ч, t = 3 ч.
9. Гипотенузу прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле
с = /а2 Ь2, где о и Ь — катеты треугольника. Пользуясь этой формулой,
найдите с, если а = 5, Ь = 12.
Ю. Площадь трапеции можно вычислить по формуле S = т • h, где т
средняя линия трапеции, h — высота. Пользуясь этой формулой, вычислите
■S, если m — 14, /2 — 8.

Математика. 10-11 классы. Тренажёр д ля подготовки к ЕГЭ

146

II. Базовый экзамен

11. В фирме «Источник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных
колец рассчитывается по формуле С = 6000 4200п, где п

число колец,

установленных при копании колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитай­
те стоимость колодца из 7 колец. Ответ укажите в рублях.
12. Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле
гг2

Р = — , где U — напряжение (в вольтах), R — сопротивление (в Омах).
R
Пользуясь этой формулой, найдите Р (в ваттах), если R = 8 Ом, £7 = 16 В.
13. Площадь треугольника можно вычислить по формуле S =

где а, b и

с — стороны треугольника, R — радиус окружности, описанной около этого
треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите S , если a = 5, b = 12,
с = 10 и R = у .
14. Площадь треугольника со сторонами а, 6, с можно найти по формуле
Герона S = у/р{р — а)(р — Ь)(р — с), где р = а Ь с |_|аддите площадь
треугольника, если длины его сторон равны 5,12,13.
15.
„
•Ь =

Площадь
треугольника
можно
вычислить
по
формуле
(а Ь с) ■г
,
——- 2 — — ’ где а, Ь и с — стороны треугольника, а г — ради­

ус окружности, вписанной в этот треугольник. Пользуясь этой формулой,
найдите 6, если а = 10, с = 5, г = /2, S = 12%/2.

16. Площадь трапеции вычисляется по формуле 5 = ° ^ Ь • h, где а и 6 —
основания трапеции, h — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите 5
если а = 3, Ь = 9 и k = 5.
17. Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить
по формуле R =

2

S^’Q. гДе а

сторона, а — противолежащий ей угол тре­

угольника. Пользуясь этой формулой, найдите Л, если а = 10 sin а = —
13′
18. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольника, вычис­
ляется по формуле г

^

, где с и 6

катеты, а с — гипотенуза

Пользуясь этой формулой, найдите с, если а = 15, 6 = 8 и г = 3.

Алгебра

и начала анализа

147
a
=
6
sin а
s in /З’ ГДе 0 » Ь ~
угль, треугольника, лежащие про­

19. Теорему си н усо в мож но за п и сать в виде
две стороны треугольника, а а и /3 —

тив них соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите а, если 6 = 1 2
sj„ а = 0,25, s in /3 = 0,2.
20. Теорему косинусов можно записать в виде cos a = a 2 62 — с2 гд еа
с — стороны треугольника, а a — угол между сторонами a “ V

Пользуясь

этой формулой, найдите величину cos а , если а = 6, 6 = 5 с = 7
21. Среднее геометрическое трёх чисел а, 6 и с вычисляется по формуле

д = /abc. Вычислите среднее геометрическое чисел 4, 8, 54.
22. С реднее квадратичное трех чисел а, 6 и с вычисляется по формуле

/

2 I l 2 I .2

— г 2 ‘ — . Найдите среднее квадратичное чисел 4 , 2/5, 6.

23. Среднее гармоническое трёх чисел а, 6 и с вычисляется по формуле

/ 1 й М_1Найдите среднее гармоническое чисел —!, —,, 1.

6 = I д — а— с.

1

24. Ускорение тела (м /с2) при равномерном движении по окружности вы­
числяется по формулеа = ш2Я , гд е и — угловая скорость вращения (в с — 1 ),

R — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите a
(в м/с2), если R = 4 м, ш = 8 с — 1 .
25. Закон Гука можно записать в виде / = кх, где } — сила (в ньютонах),
с которой сжимают пружину, х — абсолютное удлинение (сжатие) пружи­
ны (в метрах), а fc — коэффициент упругости. Пользуясь этой формулой,
найдите х (в метрах), если / = 4 2 Н и А ; = 6 Н/м.
26. Если рг, р 2 и рз — различные простые числа, то сумма всех делителей
числа р ! -р2 -р3 равна (p i 1)(рг 1 )О з 1 ). Найдите сумму всех делителей
числа 385 = 5 ■7- 11.

III. Профильный экзамен
27. При температуре 0 ° С рельс имеет длину I о =

5 м. При возраста­

нии температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина,
ныраженная в метрах, меняется по закону l(t°)

=

!о(1 а ■ t ), где

a = 1 ,2 ■10- 5 ( ° С ) -1 — коэффициент теплового расширения, /Пз. Найдите объём призмы,

если её высота равна 1.

Пирамида
10. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона осно­
вания которой равна 8 /2 , а боковое ребро равно 17.
|| Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10,
абоковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пи­
рамиды.
12.

От деревянной правильной треугольной

пирамиды отпилили все её вершины. Сколь­
ко граней у получившегося многогранника?
(Невидимые рёбра на рисунке не изображены.)

Цилиндр
13. Радиус основания цилиндра равен 10, а его
образующая равна 12. Сечение, параллельное
оси цилиндра, удалено от неё на расстояние,
равное 8. Найдите площадь этого сечения.
14. Даны два цилиндра. Радиус основания и
высота первого равны соответственно 11 и 5,
а второго — 5 и 11. Во сколько раз объём пер­
вого цилиндра больше объёма второго?
15. Даны два цилиндра. Радиус основания и
высота первого равны соответственно 16 и 10,
а второго —

20 и 4. Во сколько раз площадь

боковой поверхности первого цилиндра больше
площади боковой поверхности второго?
16. Даны две кружки цилиндрической формы.
Первая кружка в два с половиной раза ниже
второй, а вторая в четыре раза шире первой. В
сколько раз объём второй кружки больше объ
сма первой?

217

218

Математика. 1 0 — 4 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

17. В бак цилиндрической формы, площадь ос­
нования которого 60 квадратных сантиметров,
налита жидкость. Чтобы измерить объём дета­
ли сложной формы, её полностью погружают
в эту жидкость. Найдите объём детали, если
после её погружения уровень жидкости в баке
поднялся на 15 сантиметров. Ответ дайте в ку­
бических сантиметрах.
18. Прямолинейный участок трубы длиной 4 м, имеющей в сечении окруж­
ность, необходимо покрасить снаружи (торцы трубы открыты, их красить
не нужно). Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить,
если внешний обхват трубы равен 45 см. Ответ дайте в квадратных санти­
метрах.
19. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 70 см.
На каком уровне окажется вода, если её перелить во второй цилиндрический
сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у первого? Ответ вы­
разите в сантиметрах.

Конус
20. Объём конуса равен 343. Через точку, деля­
щую высоту конуса в отношении 3 : 4, считая от
вершины, проведена плоскость, параллельная ос­
нованию. Найдите объём конуса, отсекаемого от
данного конуса проведённой плоскостью.

2 1. Объём конуса равен 18тг, а его высота равна 6.
Найдите радиус основания конуса.

22. Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны со­
ответственно 12 и 15, а второго —

14 и 27. Во сколько раз объём второго

конуса больше объёма первого?
23. Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны
соответственно 5 и 10, а второго — 8 и 25. Во сколько раз площадь боковой
поверхности второго конуса больше площади поверхности первого?
24. Объём конуса равен 187г, а радиус его основания равен 3. Найдите вы­
соту конуса.

fioneTpii«

219

* Через точку, Делящую
Ш1||1Ь1, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите о ъ
» К°НУСа’ КЛИ ° бЪГ

К0НУСа’ ° ТС~

°

—

Г

Данного конуса п р о в е Г н й

плоскостью, равен 8.

наеденной

26 . В сосуде, имеющем форму конуса, уровень
жидкости достигает 1 /2 высоты. Объём жидко­
сти равен 50 мл. Сколько миллилитров жидкости
нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху?

27. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень
жидкости достигает 1 /3 высоты. Объём сосуда
675 мл. Чему равен объём налитой жидкости? О т­
вет дайте в миллиметрах.

Ш ар

28. Даны два шара с радиусами 8 и 2. Во сколь­
ко раз объём большего шара больше объёма дру­
гого?
29. Даны два шара с радиусами 10 и 5. Во сколько раз площадь поверхности
большего шара больше площади поверхности другого?
30. Однородный шар диаметром 8 см имеет массу 104 грамма. Чему равна
масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ
Дайте в граммах.

Комбинация тел
5
31. Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые).
Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сан-

^

тиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

6

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

220

32. К кубу с ребром 3 приклеили правильную че­
тырёхугольную пирамиду с ребром 3 так, что квад­
ратные грани совпали. Сколько граней у получив­
шегося многогранника (невидимые рёбра на ри­

^71

сунке не изображены)?

33. Деталь имеет форму изображённого на рисун­
ке многогранника (все двугранные углы прямые).
Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сан­
тиметрах. Найдите площадь поверхности этой де­
тали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
34. Двускатную крышу дома, имеющего в осно­
вании прямоугольник, необходимо полностью по­
крыть рубероидом. Высота крыши равна 5 м, дли­
ны стен равны 10 м и 24 м. Найдите, сколько рубе­
роида (в квадратных метрах) нужно для покрытия
этой крыши, если скаты крыши равны.
35. Ступени лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисун­
ке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина
каждой ступени равна 26 см, высота —

15 см, а ширина —

80 см. Ответ

дайте в квадратных сантиметрах.

II. Профильный экзамен
Комбинации многогранников с прямыми углами
36. Найдите объём многогранника, изображённо­
го на рисунке (все двугранные углы многогранника
прямые).
37. Найдите площадь поверхности многогранни­
ка, изображённого на рисунке ( все двугранные уг­
лы многогранника прямые).

[еоиетРия

221

38. Найдите площадь поверхности многогранни­

гш

ка, изображённого на рисунке ( все двугранные уг­
лы прямые).
39. Найдите объём многогранника, изображённо­
го на рисунке (все двугранные углы прямые).

40. Найдите площадь поверхности многогранни­
ка, изображённого на рисунке (все двугранные уг­
лы прямые).
41. Найдите объём многогранника, изображённо­

ю

т

го на рисунке (все двугранные углы прямые).
42. Найдите объём многогранника, изображённо­

&

го на рисунке (все двугранные углы прямые).
43. Найдите площадь поверхности многогранни­
ка, изображённого на рисунке ( все двугранные уг­

J2
10

лы прямые).
44. Найдите объём многогранника, изображённо­

/и71
8

го на рисунке (все двугранные углы прямые).
45. Найдите площадь поверхности многогранни­
ка, изображённого на рисунке (все двугранные уг­
лы прямые).
46. Найдите объём многогранника, изображённо­
го на рисунке (все двугранные углы прямые).
47. Найдите площадь поверхности многогранни­
ка, изображённого на рисунке (все двугранные уг­
лы прямые).
48. Найдите объём многогранника, иэображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
49. Найдите площадь поверхности многогранни­
ка, изображённого на рисунке (все двугранные уг­
лы прямые).
Найдите объём многогранника, иэображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
^1- Найдите площадь поверхности многогранни­
ка- изображённого на рисунке (все двугранные уг­
лы прямые).

12

222

Математика. 1 0 -1 1 классы. Тренажёр д л я подготовки к Е Г Э

52. Найдите объём многогранника, изображённо­
го на рисунке ( все двугранные углы прямые).
53. Найдите площадь поверхности многогранни­
ка, изображённого на рисунке (все двугранные уг­
лы прямые).
54. Найдите объём многогранника, изображённо­
го на рисунке (все двугранные углы прямые).
55. Найдите площадь поверхности многогранни­
ка, изображённого на рисунке (все двугранные у г­
лы прямые).
56. Найдите объём многогранника, изображённо­

г * ———————-

го на рисунке (все двугранные углы прямые).

*

57. Найдите площадь поверхности многогранни­
ка, изображённого на рисунке (все двугранные у г­
10

лы прямые).
58. Найдите объём пространственного креста, со­
ставленного из кубов со стороной 4.
59. Найдите площадь поверхности простран­
ственного креста, составленного из кубов со сто­
роной 4.

Параллелепипед
60. Площадь поверхности куба равна 648. Найди­
те его диагональ.

7

61. Объём куба равен 729. Найдите площадь его
поверхности.

У

62. Два ребра прямоугольного параллелепипеда,
выходящие из одной вершины, равны 7 и 4. Объём
параллелепипеда равен 140. Найдите третье ребро
параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

63. Во сколько раз увеличится объём куба, если
все его рёбра увеличить в 50 раз?
*

У
у

№ 0 ГРИЯ

223
64. О б ъ ём куба равен 648^3. Найдите его диаго­

наль.

65. Если каждое ребро куба увеличить на 2, то его

объём увеличится на 866. Найдите ребро куба.

66. Диагональ куба равна 17. Найдите площадь
его поверхности.

67. Площадь поверхности куба равна 96. Найдите

в — 1—

его объём.

68. Диагональ куба равна v/l47. Найдите его объ­

1 ‘

ём.

У

69. Два ребра прямоугольного параллелепипеда,
выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Квад­
рат диагонали параллелепипеда равен 141. Н а й ­

I

дите объём параллелепипеда.
70. Одна из граней прямоугольного параллелепи­
педа — квадрат. Диагональ параллелепипеда рав­
на V200 и образует с плоскостью этой грани угол
45°. Найдите объём параллелепипеда.
71. В основании прямой призмы лежит ромб с
Диагоналями, равными 10 и 24. Площадь её по­
верхности равна 292. Найдите боковое ребро этой
призмы.
72. Объём первого куба в 64 раза больше объё­
ма второго куба. В о сколько раз площадь поверх­
ности первого куба больше площади поверхности
второго куба?
73. Во сколько раз увеличится площадь поверхно­
сти куба, если все его рёбра увеличить в 1,4 раза?

^71

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

224

74. Два ребра прямоугольного параллелепипеда,
выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Квад­
рат диагонали параллелепипеда равен 125. Най­
дите площадь поверхности параллелепипеда.
75. Найдите площадь поверхности прямой приз­
мы, в основании которой лежит ромб с диагона­
лями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным

22.
76. Найдите боковое ребро правильной четырёх­
угольной призмы, если сторона её основания рав­
на 15, а площадь поверхности равна 1260.
77. Объём параллелепипеда A B C D A iB iC iD i
равен 27. Найдите объём треугольной пирамиды

ABD A-!.
78. Из единичного куба вырезана правильная че­
тырёхугольная призма со стороной основания 0,4
и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхно­
сти оставшейся части куба.

79. Объём параллелепипеда A B C D A iB iC iD i
равен 198. Найдите объём треугольной пирамиды

В! А ВС .
80. Объём куба равен 44. Найдите объём тре­
угольной призмы, отсекаемой от него плоскостью,
проходящей через середины двух рёбер, выходя­
щих из одной вершины, и параллельной третьему
ребру, выходящему из этой же вершины.
81.

Найдите

объём

параллелепипеда

A B C D A iB iC iD i, если объём
пирамиды A B D A i равен 3,5.
82. Найдите угол A B D

треугольной

прямоугольного па­

раллелепипеда A B C D A iB iC iD i , для которого

А В = 13, AD = 5, A A i = 12. Ответ дайте в гра­
дусах.

Геометрия
83

Найдите

225
угол

DBD,

прямоугольного

параллелепипеда

0

C D A iB iC iD u для которого А В = 8, AD = 15 , ААг = 17. От­
вет дайте в градусах.

34. Известно, что в прямоугольном параллелепипеде A B C D A 1B 1C 1Dl
gDi = 5-/3,
= 4 — AD = 5-/2. Найдите длину ребра Л Л Ь
85. В прямоугольном параллелепипеде A B C D А ^ С ^ г известны длины
рёбер: АВ = 6, AD = 8, АА = 137. Найдите площадь сечения, проходяшего через вершины А, А г и С.

Призма
86. Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 4,25. Ка­
кой станет площадь поверхности призмы, если все её рёбра увеличатся в
четыре раза, а форма останется прежней?
87. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный тре­
угольник с катетами 15 и 8, высота призмы равна 4. Найдите площадь её
поверхности.
88. Основанием прямой треугольной призмы слу­
жит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4.
Площадь её поверхности равна 228. Найдите вы­
соту призмы.

89. Найдите площадь боковой поверхности пра­
вильной шестиугольной призмы, сторона основа­
ния которой равна 18, а высота — 25.

90. Основанием прямой треугольной призмы слу­
жит прямоугольный треугольник с катетами 9 и
?. Объём призмы равен 252. Найдите её боковое
ребро.
91. Найдите объём правильной шестиугольной
призмы, стороны основания которой равны 6,
а боковые рёбра равны 2%/3.
92. В сосуд, имеющий форму правильной тре­
угольной призмы, налили 1800 см3 воды и полно
стью погрузили в неё деталь. При этом уровень
жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до
отметки 29 см. Чему равен объём детали? Ответ
выразите в см3.

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

226

93. В сосуд, имеющий форму правильной тре­
угольной призмы, налили воду. Уровень воды до­
стигает 525 см. На какой высоте будет находиться
уровень воды, если её перелить в другой такой же
сосуд, у которого сторона основания в 5 раз боль­
ше, чем у первого? Ответ выразите в см.
94. Через среднюю линию основания треуголь­
ной призмы, объём которой равен 108, проведена
плоскость, параллельная боковому ребру. Найди­
те объём отсечённой треугольной призмы.
95. Через среднюю линию основания треуголь­
ной призмы проведена плоскость, параллель­
ная боковому ребру. Объём отсечённой треуголь­
ной призмы равен 101. Найдите объём исходной
призмы.
96. Через среднюю линию основания треугольной
призмы проведена плоскость, параллельная бо­
ковому ребру. Площадь боковой поверхности от­
сечённой треугольной призмы равна 46. Найдите
площадь боковой поверхности исходной призмы.
97. От треугольной призмы, объём которой ра­
вен 102, отсечена треугольная пирамида плоско­
стью, проходящей через сторону одного основа­
ния и противоположную вершину другого основа­
ния. Найдите объём оставшейся части.
98. Найдите объём призмы, в основаниях кото­
рой лежат правильные шестиугольники со сторо­
нами 2, а боковые рёбра равны 2/3 и наклонены к
плоскости основания под углом 30°.

99.

В

правильной

шестиугольной

A B C D E F A i B i Ci D i E i Fi

все

рёбра

призме
равны

11. Найдите расстояние между точками А и E i.

[£__ D

цоиар»*
227

00

) . В

правильной

шестиугольной

призме

H B C D E F A iB & D rfiF ! все рёбра равны 7 ^ 5 .
Найдите расстояние между точками В и Е ь

101. В

правильной

шестиугольной

призме

A B C D E F A iB iC iD iE iF i все рёбра равны 94.
Найдите тангенс угла A D D .

102. В правильной

шестиугольной

призме

A B C D E F A B C D E iF все рёбра равны 25.
Найдите угол АСС. Ответ дайте в градусах.

Пирамида
103. Во сколько раз увеличится объём правиль­
ного тетраэдра, если все его рёбра увеличить в
враз?

104. Во сколько раз увеличится объём пирамиды,
если её высоту увеличить в 18 раз?

105. Во сколько раз увеличится площадь поверх­
ности правильного тетраэдра, если все его рёбра
увеличить в 1,6 раз?
106. Во сколько раз увеличится площадь поверх­
ности пирамиды, если все её рёбра увеличить в
2,4 раза?

V I,

С,

в
1

*

‘1

”

d
У

с

228

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

107. От треугольной пирамиды, объём которой
равен 240, отсечена треугольная пирамида плос­
костью, проходящей через вершину пирамиды и
среднюю линию основания. Найдите объём отсе­
чённой треугольной пирамиды.

108. Объём правильной четырёхугольной пира­
миды S A B C D равен 480. Точка Е —

середина

ребра S B . Найдите объём треугольной пирамиды
ЕАВС.

109. Основанием пирамиды является прямо­
угольник со сторонами 6 и 8. Её объём равен 80.
Найдите высоту этой пирамиды.

110. Найдите объём правильной треугольной пи­
рамиды, стороны основания которой равны 8,
а высота равна 7/3.

111. Найдите высоту правильной треугольной пи­
рамиды, стороны основания которой равны 5,
а объём равен 50-/3.

112. В правильной четырёхугольной пирамиде
высота равна 15, боковое ребро равно 17. Найдите
её объём.

113. Основанием пирамиды служит прямоуголь­
ник, одна боковая грань перпендикулярна плоско­
сти основания, а три другие боковые грани накло­
нены к плоскости основания под углом 60°. Высо­
та пирамиды равна 12. Найдите объём пирамиды.

114. Боковые рёбра треугольной пирамиды вза­
имно перпендикулярны, каждое из них равно 9.
Найдите объём пирамиды.

Геометрия

115. Объём треугольной пирамиды равен 35.
Плоскость проходит через сторону основания
этой пирамиды и пересекает противоположное
боковое ребро в точке, делящей его в отноше­
нии 3 : 4, считая от вершины пирамиды. Найдите
больший из объёмов пирамид, на которые плос­
кость разбивает исходную пирамиду.
116. Стороны основания правильной четырёх­
угольной пирамиды равны 6, боковые рёбра равны
>/34. Найдите площадь поверхности этой пира­
миды.
117. Стороны основания правильной шестиуголь­
ной пирамиды равны 6, боковые рёбра равны
Зъ/lO. Найдите площадь боковой поверхности
этой пирамиды.
118. Найдите площадь поверхности правильной
четырёхугольной пирамиды, стороны основания
которой равны 16 и высота равна 15.
119. Найдите объём правильной четырёхугольной
пирамиды, сторона основания которой равна 16
и высота равна 15.
120. Найдите объём пирамиды, высота которой
равна 16, а основание — прямоугольник со сто­
ронами 3 и 10.
121. В правильной четырёхугольной пирамиде
высота равна 6, объём равен 880. Найдите боко­
вое ребро этой пирамиды.
122. Сторона основания правильной шестиуголь­
ной пирамиды равна 4, боковое ребро равно 2/7.
Найдите объём пирамиды.

123. Объём правильной шестиугольной пирамиды
6/7. Сторона основания равна 2. Найдите боко­
вое ребро.

229

230

Математика. 10- И классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

124. Объём треугольной пирамиды SABC, явля­
ющейся частью правильной шестиугольной пира­
миды SABCDEF, равен 7. Найдите объём ше­
стиугольной пирамиды.

125. Во сколько раз увеличится площадь поверх­
ности октаэдра, если все его рёбра увеличить в
1,1 раза?

126. Рёбра тетраэдра равны 26. Найдите площадь
сечения, проходящего через середины четырёх его
рёбер.

Комбинация тел
127. Сторона основания правильной шестиуголь­
ной пирамиды равна 6, а угол между боковой гра­
нью и основанием равен 45°. Найдите объём пи­
рамиды.
128. В правильной четырёхугольной пирамиде

SABCD точка О — центр основания, S — вер­
шина, SO = 12, АС = 10. Найдите боковое ребро
SB.
129. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О — центр
основания, S — вершина, SD = 26, АС = 20. Найдите длину отрезка SO.
130. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О — центр
основания, S — вершина, SO = 12, S B = 13. Найдите длину отрезка BD.
131. В правильной четырёхугольной пирамиде SA BC D с основанием
ABCD боковое ребро SA равно >/97, сторона основания равна 4/2. Най­
дите объём пирамиды.
132. Объём тетраэдра равен 49. Найдите объ­
ём многогранника, вершинами которого являются
середины рёбер данного тетраэдра.

Геометрия

231

133. Площадь поверхности тетраэдра равна 47.
Найдите площадь поверхности многогранника,
вершинами которого являются середины рёбер
данного тетраэдра.

134. Объём куба равен 21. Найдите объём четы­
рёхугольной пирамиды, основанием которой яв­
ляется грань куба, а вершиной — центр куба.

135. Объём параллелепипеда A B C D A iB iC 1D 1
равен 13,5. Найдите объём треугольной пирамиды

ADiCBi.

136. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А,

D, Alt В , С, B i прямоугольного параллелепипеда A BCD A 1B 1C1D 1 , у ко­
торого А В = 14, AD = 8, AAj = 3.
137. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А,
В, С, C i прямоугольного параллелепипеда A BCD A 1B 1 C1D 1 , у которого

А В = 14, AD = 3, AAi = 5.
138. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки
Л ь В, С, C ,B i прямоугольного параллелепипеда A B C D i4i.B iC i.D i, у ко­
торого АВ = 10, AD = 6, AA i = 15.
139. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А,
В, С, А, C i правильной треугольной призмы ABCA^BiCi, площадь осно­
вания которой равна 18, а боковое ребро равно 30.
140. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки

Ai, В , В ,С правильной треугольной призмы ABCAiB^Ci, площадь осно­
вания которой равна 72, а боковое ребро равно 5.
141.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются

точки А, В, С , D, Е , F , Ai

правильной шестиугольной призмы

A B C D E F A 1 B 1 C1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 28, а боко­
вое ребро равно 6.
142.

Найдите

объём

многогранника,

вершинами

которого являют­

ся точки А, В , С , Аи В и C i правильной шестиугольной призмы

A B C D E F A i B i C i D i E i F i , площадь основания которой равна 24, а боко­
вое ребро равно 15.

232

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ
Тренировочные варианты

Вариант 1

1. Найдите площадь поверхности многогранни­
ка, изображённого на рисунке ( все двугранные уг­
лы прямые).

2. Найдите объём многогранника, вершинами
которого являются точки С, D, D ь Ci, S i пря­
моугольного параллелепипеда A B C D A iB iC D i,
у которого А В = 21, AD = 9, A A i = 6.
3. Во сколько раз уменьшится площадь по­
верхности октаэдра, если его ребро уменьшить в
3,2 раза?

4. Рёбра тетраэдра равны 5. Найдите площадь
сечения, проходящего через середины четырёх его
рёбер.

5. Сторона основания правильной шестиуголь­
ной пирамиды равна 10, а угол между боковой гра­
нью и основанием равен 45°. Найдите объём пи­
рамиды.

Е

233

ГеометРия
Вариант 2

1 Найдите объём многогранника, изображён­
ного на рисунке (все двугранные углы прямые).
12
2. Найдите объём многогранника, вершинами
которого являются точки А, В, В 1 , Ai, £>i пря­
моугольного параллелепипеда ABCDAiBCiDi,
у которого АВ = 22, AD = 15, AAi = 2.
3. Во сколько раз уменьшится площадь поверх­
ности шестиугольной призмы, если все её рёбра
уменьшить в 2,3 раза?

4. Рёбра тетраэдра равны 7. Найдите площадь
сечения, проходящего через середины четырех его
рёбер.
5 Сторона основания правильной шестиуголь­
ной пирамиды равна 8, а угол между боковой гра­
нью и основанием равен 45°. Найдите объем пи­
рамиды.

Ь

234

Математика.

10-11 классы.

Тренажёр дли подготовки к Е Г Э

Вариант 3

1. Найдите площадь поверхности многогранника,
изображённого на рисунке (все двугранные углы
прямые).

2. Найдите объём многогранника, вершинами ко­
торого являются точки А, В, С, D прямоуголь­
ного параллелепипеда A B C D A B C D , у кото­
рого А В = 24, A D = 8, A A i = 5.
3. Площадь поверхности тетраэдра равна 9. Най­
дите площадь поверхности многогранника, вер­
шинами которого являются середины рёбер дан­
ного тетраэдра.

4. Объём треугольной пирамиды SBCD, являю­
щейся частью правильной пирамиды S A B C D E F,
равен 11. Найдите объём шестиугольной пира­
миды.

5. Найдите площадь боковой поверхности пра­
вильной четырёхугольной пирамиды, сторона ос­
нования которой равна 10 и высота равна 2/14.

%
В

С

Геометрия

235
Вариант 4

I. Найдите объём многогранника, изображённого
на рисунке (все двугранные углы прямые).

2. Найдите объём многогранника, вершинами ко­

А, С, D, В 1 прямоуголь­
ABC D A 1 B 1 C1 D 1 , у кото­
рого АВ = 5, АС = 13, AAi = 6.

торого являются точки
ного параллелепипеда

3. Площадь поверхности тетраэдра равна 73.
Найдите площадь поверхности многогранника,
вершинами которого являются середины рёбер
данного тетраэдра.

4. Объём шестиугольной пирамиды

SABCDEF

равен 45. Найдите объём треугольной пирамиды

SAFE.
5. Найдите площадь боковой поверхности пра­
вильной четырёхугольной пирамиды, сторона ос­
нования которой равна 12 и высота равна б/3-

3.3. Разные задачи
1. Базовый и профильный экзамены
1. Радиус основания цилиндра равен 5, высота

С — га

равна 6. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра, делённую на л.
2. Длина окружности основания цилиндра рав­
на 6, высота равна 4. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра.

сг ~-=э1

3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 4л, а диаметр основания — 4. Найдите высоту цилиндра.
4. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 6л, а высота — 3. Найди­
те диаметр основания.
5. Длина окружности основания цилиндра равна 4. Площадь боковой по­
верхности равна 8. Найдите высоту цилиндра.
6. В цилиндрический сосуд налили 2420 см3 воды.
Уровень жидкости оказался равным 8 см. В во­
ду полностью погрузили деталь. При этом уровень
жидкости в сосуде поднялся на 6 см. Чему равен
объём детали? Ответ выразите в см3.
7. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости
достигает 20 см. На какой высоте будет находить­
ся уровень жидкости, если её перелить во второй
цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза
меньше диаметра первого? Ответ выразите в сан­
тиметрах.
8. В цилиндрический сосуд, в котором находится
8 литров воды, опущена деталь. При этом уровень
жидкости в сосуде поднялся в 2 раза. Чему равен
объём детали? Ответ выразите в литрах.
9. Одна цилиндрическая кружка вдвое ниже вто­
рой, зато вторая в 2 раза уже. Найдите отношение
объёма второй кружки к объёму первой.

Геометрия

10. Объём первого цилиндра равен 18 м3. У вто­
рого цилиндра высота в 2 раза больше, а радиус
основания — в 3 раза меньше, чем у первого. Най­
дите объём второго цилиндра. Ответ дайте в куби­
ческих метрах.
11. Во сколько раз уменьшится объём конуса, ес­
ли его высота уменьшится в 5 раз, а радиус осно­
вания останется прежним?
12. Во сколько раз увеличится объём конуса, если
радиус его основания увеличится в 4 раза, а высо­
та останется прежней?
13. Во сколько раз увеличится площадь боковой
поверхности конуса, если его образующая уве­
личится в 4 раза, а радиус основания останется
прежним?
14. Во сколько раз уменьшится площадь боко­
вой поверхности конуса, если радиус его основа­
ния уменьшится в 3 раза, а образующая останется
прежней?
15. Площадь полной поверхности конуса равна
16. Параллельно основанию конуса проведено се­
чение, делящее высоту пополам. Найдите пло­
щадь полной поверхности отсечённого конуса.
16. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень
жидкости достигает | высоты. Объём жидко­
сти равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости
нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
17. Длина окружности основания конуса равна 5,
образующая равна 4. Найдите площадь боковой
поверхности конуса.
18. Площадь боковой поверхности конуса в /2
раз больше площади основания. Найдите угол
между образующей конуса и плоскостью основа­
ния. Ответ дайте в градусах.

237

238

Математика. 10-1 1 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

19. Объём конуса равен 24. Через середину высо­
ты параллельно основанию конуса проведено се­
чение, которое является основанием меньшего ко­
нуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего
конуса.

20. Во сколько раз увеличится площадь поверх­
ности шара, если радиус шара увеличить в 5 раз?

21. Площадь большого круга шара равна 7. Н ай­
дите площадь поверхности шара.

22. Объём одного шара в 64 раза больше объё­
ма второго. Во сколько раз площадь поверхности
первого шара больше площади поверхности вто­
рого?

23. Во сколько раз увеличится объём шара, если
его радиус увеличить в 6 раз?

24. Прямоугольный параллелепипед описан око­
ло цилиндра, радиус основания и высота которого
равны 3. Найдите объём параллелепипеда.

25. Прямоугольный параллелепипед описан око­
ло цилиндра, радиус основания которого равен 5.
Объём параллелепипеда равен 64. Найдите высо­
ту цилиндра.

26. Прямоугольный параллелепипедописан около
сферы радиуса 3. Найдите его объём.

Геометрия

27. Конус и цилиндр имеют общее основание и об­
щую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите
объём цилиндра, если объём конуса равен 90.

28. Около шара описан цилиндр, площадь по­
верхности которого равна 36. Найдите плот я т .
поверхности шара.

29. Конус и цилиндр имеют общее основание и об­
щую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите
объём конуса, если объём цилиндра равен 72.

30.

Объём

прямоугольного

параллелепипеда,

описанного около сферы, равен 125. Найдите
радиус сферы.

31. Во сколько раз объём конуса, описанного око­
ло правильной четырёхугольной пирамиды, боль­
ше объёма конуса, вписанного в эту пирамиду?

32. Цилиндр описан около шара. Объём цилиндра равен 21. Найдите объём
шара.
33. Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 36. Найдите объём ци­
линдра.
34. Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан
в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 15.
35. Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус
основания которого равен 3. Площадь боковой поверхности призмы равна
72. Найдите высоту цилиндра.
36. Ш ар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 64. Найдите
площадь полной поверхности цилиндра.
37. Правильная четырёхугольная призма описана
около цилиндра, радиус основания и высота кото­
рого равны 5. Найдите площадь боковой поверх­
ности призмы.

239

240
38.

Математика.

Найдите площадь боковой поверхности

10 — 1 1 классы.

Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

—

правильной треугольной призмы, описан­
ной около цилиндра, радиус основания ко­
торого равен 4 /3 , а высота равна 2.
39. Найдите площадь боковой поверхности
правильной шестиугольной призмы, опи­
санной около цилиндра, радиус основания
которого равен 2х/3, а высота равна 5,

40. Прямоугольный параллелепипед опи­
сан около сферы радиусом 2. Найдите пло­
щадь его поверхности.

41. Найдите площадь боковой поверхности
правильной треугольной призмы, вписан­
ной в цилиндр, радиус основания которого
равен 4%/3, а высота равна 3.
42. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара.
Объём шара равен 27. Найдите объём конуса.
43. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара.
Объём конуса равен 12. Найдите объём шара.

44. Куб вписан в шар радиуса 2 /2 . Найдите площадь поверхности куба.

_________

Геометрия

241
Тренировочные варианты

Вариант 1
1. Длина окружности основания цилиндра равна 55, высота равна 13. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Длина окружности основания конуса равна 15, образующая равна 16. Най­
дите площадь боковой поверхности конуса.

3. Площадь поверхности шара равна 152. Найдите площадь большого круга
шара.

4. Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 15. Найдите объём ци­
линдра.

Вариант 2
1. Длина окружности основания цилиндра равна 11, высота равна 4. Найдите
площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Длина окружности основания конуса равна 21, образующая равна 10.
Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3. Площадь поверхности шара равна 196. Найдите площадь большого круга
шара.

4. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 7. Объём параллелепипеда равен 2156. Найдите высоту
цилиндра.

242

Математика. 1 0 -1 1 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

Вариант 3
1. Длина окружности основании цилиндра равна 7, высота равна 12. Найдите
площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Длина окружности основания конуса равна 12, образующая равна 15.
Найдите площадь боковой поверхности конуса.

3. Площадь большого круга шара равна 11. Найдите площадь поверхности
шара.

4. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основа­
ния и высота которого равны 7. Найдите объём параллелепипеда.

Вариант 4
1. Длина окружности основания цилиндра равна 15, высота равна 8. Найдите
площадь боковой поверхности цилиндра.

2. Длина окружности основания конуса равна 8, образующая равна 3. Н ай­
дите площадь боковой поверхности конуса.

3. Площадь большого круга шара равна 9. Найдите площадь поверхности
шара.

4. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основа­
ния и высота которого равны 5. Найдите объём параллелепипеда.

Итоговые работы для 10 класса
Итоговая работа (без производной)
Вариант 1

‘

I
|
I
|

Часть 1
I. В прошлом году в городе было 120 тыс. жителей. Найдите численность населения города в этом году, если прирост за год составил 5%. Ответ запишите в тысячах.
к

2. Турист отправился из лагеря к озеру, отдохнул у
озера и вернулся обратно. На рисунке изображён гра-

и-

фик движения туриста. По горизонтальной оси откла-

|

дывается время (в мин), по вертикальной — расстояние,

§

л

1

и

на котором находится турист от лагеря (в км). Найдите

70 ■3х .

.

АС.

Итоговая работа (без производной)

247
Вариант 3

|
|
|
|

Часть I
I . Коробка цветных карандашей стоит 25 рублей. Какое наибольшее число коробок можно купить на 650 рублей после повышения цены на 10%?
2. На графике жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в течение
недели. На оси абсцисс отмечается время в сутках, на оси ординат — температура в градусах.
Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по графику минимальную
температуру (в градусах Цельсия) в течение наблюдаемого периода.

3.

Во время ремонта в школе планируется заменить 30 окон. Заказ на окна можно офор­

мить в одной из трёх фирм. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей
нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?
Стоимость

Стоимость
Ф ирма

одного окна
( в р у б .)

полной

Д ополнительные условия

доставки

доставки (в руб.)

(в руб.)

1

6000

15000

2

6 500

12000

3

7000

5000

При заказе товара на сумму
свыше 180 000 доставка
бесплатно
4. В среднем из 150 телевизоров фирмы «Успех» 24 бракованных. Какова вероятность
того, что купленный телевизор окажется исправным?
47,5

5. Найдите значение выражения

2~.

6. Найдите корень уравнения | log2 16 = log32(7 — Зх).
/о

7. Найдите корень уравнения sin |
шите в градусах.

=

принадлежащий отрезку [0; тг]. Ответ эапи-

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

248

8. Некоторое расстояние велосипедист обычно проезжает за 2 часа. Через 1,5 часа по­
сле начала движения он снизил скорость на 3 км/ч, из-за чего приехал на 10 минут позже
обычного времени. Найдите первоначальную скорость (в км/ч) велосипедиста.
9. Для предприятия зависимость объёма спроса на продукцию g (единиц в месяц) от её
цены р (тыс. руб.) задаётся формулой g = 45 —Зр. Определите максимальный уровень цены р
(в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц г = g -р составит не менее
162 тыс. руб.

Часть 2
10. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на рисунке. Размер клетки
1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

11. В равнобедренном треугольнике А В С с основанием АС боковая сторона В С равна 6,
a cos В = | . Найдите АС.

Часть 3
12. а) Решите уравнение sin2 х —2 sin х cos х = 3 cos2 х.
б) Найдите все корни этого уравнения на отрезке [0; тг].
13. Решите систему неравенств

( 16 • 181
1 — 27 • 2I 4 — 91 27 > 0,
— * = > 1.

I

Итоговая работа (без производной)
———————————————————————-

I
I

249

Вариант 4

|

Часть 1

I

1. Стоимость одного билета на автобусную экскурсию составляет 320 рублей. Какое мак-

I

СИМЭЛЬНОе количество школьников может поехать на экскурсию, если родительский комитет

| класса выделил на поездку 15 000 рублей, а стоимость билета снизилась на 10 %?
|
2. Н а графике показано изменение скорости поезда в течение шести часов. На оси абс|

цисс отмечается время (в ч), на оси ординат — скорость поезда (в км/ч). Определите, сколь-

|

ко часов скорость поезда была не менее 60 км/ч.

3. Д ля остекления парника требуется заказать 130 одинаковых стёкол размером 1 м2
каждое в одной из трёх фирм. Сколько рублей надо заплатить за самый дешёвый заказ?
В таблице приведены цены на стекло и на его резку.

Фирма

Стоимость стекла
(руб.за 1 м2)

А

320

В

310

С

350

Резка стекла (руб. за 1 стекло)
12
15
10 (если заказ превышает
42 000 руб. — бесплатно)

4. В коробке 30 конфет, из них 21 — с вишнёвой начинкой, а остальные — с ореховой.
М а ш а взяла одну конфету наугад. Найдите вероятность того, что эта конфета с ореховой
начинкой.
5. Найдите значение выражения log3 4 2 log3 — — 1 .
6. Решите уравнение log4 (х — 8) — 3 = 0.
7. Найдите корень уравнения tg ( у — х ) = 1, принадлежащий отрезку [о;

Ответ

запишите в градусах.
8. И з пунктов А и В , расстояние между которыми 10 км, одновременно навстречу друг
другу выезжают два велосипедиста. После их встречи первый прибывает в пункт В через
48 минут, а второй в пункт А через 27 минут. Сколько времени (в минутах) прошло от на­
чала движения велосипедистов до их встречи, если велосипедисты двигались с постоянной
скоростью?

250

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ
9. Для предприятия зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её

цены р (тыс. руб.) задаётся формулой q = 30 — 3р. Определите максимальный уровень цены р
(в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц г = q-p составит не менее
63 тыс. руб.
Часть 2
10. Найдите площадь фигуры A B C D , изображённой на координатной плоскости.
У, i

с

i

1

—

А

/

/

D

/

о

X

11. В треугольнике А В С А С = В С , А В = 18, sin А = | . Найдите АС.
Часть 3
12. а) Решите уравнение (1 cos4x) sin 2х = cos2 2х.
б) Найдите все корни этого уравнения на интервале (0; тг).
о2х __

{

a

o i __q c ^

v 3 —2х —х 2

0.

q

Итоговая работа (без логарифмов)

251
|

Итоговая работа (без логарифмов)

|

Вариант I

I

I
I

Часть 1
1. Какое наибольшее число тетрадей можно купить на 700 рублей, если тетрадь стоила
20 рублей и цена повысилась на 2 0 % ?
2. Н а графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. На
оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат — значение температуры в
градусах Цельсия. Определите по графику наибольшую температуру воздуха (в градусах
Цельсия) 5 марта.

3. Фирма планирует купить 60 кг краски у одного из трёх поставщиков. Цены и условия
доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку
с доставкой?
С тои м ость 1 кг
П ос та в­

Стоим ость

краски

доставки

(в рублях)

(в рублях)

1

280

12000

2

320

10000

щик

Д ополнительные условия

При заказе товара на сумму свыше
20 000 рублей доставка бесплатно
При заказе товара на сумму свыше
3

350

10000

20 000 рублей доставка бесплатно

4. Найдите значение выражения 3 cos2 х tg х ■ctg х 3 sin2 х.
5. Решите уравнение 2 cos2x = х/2 на промежутке

* ] • 0твет запишите в градусах.

«г 3
j j 2.
6. Найдите больший корень уравнения х
=
^
•
7. Сколько граммов чистого цинка надо добавить к 400 г сплава цинка и железа, содер­
жащего 4 0 % железа, чтобы получился сплав, содержащий 8 0 % цинка?

252

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

8. Некая компания продаёт свою продукцию по цене р = 400 руб. за единицу, перемен­
ные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 300 руб., посто­
янные расходы предприятия f = 800 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль
вычисляется по формуле ir(q) = q ( p — v ) ~ f . Определите наименьший месячный объём про­
изводства q (единицпродукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия
будет не меньше 700 000 руб.
9. На рисунке изображён график функ­
ции у = / ( х) и касательная к этому гра­
фику в точке с абсциссой, равной 2. Най­
дите значение производной этой функции
в точке 1 = 2.

10. Найдите наибольшее значение функции у = cos2x %/2я на отрезке

Л.

Г 7Г. 7[1

U’21

‘

Часть 2
1 1. Найдите площадь фигуры, изображённой на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадрат­
ных сантиметрах.

12. Объём куба равен 64. Найдите площадь его поверхности.
Часть 3
13. а) Решите уравнение 2 c o sx 2 = sin 2x 2sin x .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
14. Решите систему неравенств

x J —5xz —5х — ■6 < 0 ,
х 2(х — 5)(х 1)
> 0.
/х 2

|д |.

Итоговаяработа (без логарифмов)
253

Вариант 2

I

Часть 1
1. Во время перерыва каждый из 24 студентов группы купил чай стоимостью 13 рублей,
а треть студентов дополнительно купила по пирожку стоимостью 15 рублей. Сколько всего
рублей потратила группа во время обеденного перерыва?
2. На графике показано изменение массы са­
хара, имеющегося в офисе, в течение 7 дней. ^ ^
Сколько дней в офисе хотя бы в какой-то момент находилось больше 0,5 кг сахара?

S’
й
8 j

л

3

4
Дни

6

7

3. Пассажиру предлагают на выбор три такси. В первом он должен заплатить 150 рублей
и дополнительно по 20 рублей за каждый километр. Во втором — 260 рублей и дополнитель­
но по 10 рублей за каждый километр. В третьем — 400 рублей за преодоление расстояния
не более 15 км и по 10 рублей за каждый дополнительный километр. Какую сумму придётся
заплатить пассажиру при наиболее выгодном выборе такси, если ему необходимо проехать
20 км? Ответ дайте в рублях.
4. Упростите выражение 2 • tg 2 х ■ctg24х 5 sin2 х 5 cos2 х.
5. Найдите корень уравнения 2 cos х = 1, принадлежащий промежутку (о; ^ J . Ответ за­
пишите в градусах.
6. Найдите меньший корень уравнения

х —3
х 5

х —6

7. Катер прошёл по течению реки расстояние 107 км от пункта А до пункта В за 3 часа,
а от В до А — за 5 часов. За сколько часов проплывёт от А до В плот?

ч

8. При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в
метрах, сокращается по закону I =

— 1у, где /0 =

1

300 м — длина покоящейся ракеты,

с = 3 • 105*78км/с — скорость света, a v — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть
минимальная скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 180 м? Ответ
выразите в км/с.

Математика. 1 0 — 1 1 классы. Тренажёр д л я подготовки к Е Г Э

254

9. На рисунке изображён график производной функции у = f(x). Найдите абсциссу
точки, в которой касательная к графику функции у = /(х) наклонена к положительному
направлению оси абсцисс под углом 135°.
Jh к

| 1 ,i
у -/ (*)“

Г
-S

10. Найдите

наибольшее

(.1

‘

значение

1

4

функции

*х

у

=

5/2cosx 5х —

3

на отрезке
Часть 2
11. Найдите площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с клетками размером
1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

12. Объём куба равен 216. Найдите площадь его поверхности.
Часть 3
13. а) Решите уравнение 1 S‘D^ Z sin х = — cos х.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку |4я-; — ~ (4 — х) /х2 — 1 > 0,
14. Решите систему неравенств <
1 х4 х 3 — 18х2 — 52х — 40 $ 0.

Итоговая работа (без логарифмов)

255

Вариант 3

I

Часть I

|

‘■ В° ва„ купил НОутбук со СКИАК0Й 15% от его первоначальной стоимости, заплатив

I

1445 рублей. На следующий день скидку увеличили до 20% от первоначальной стоимости.

|

На сколько рублей меньше заплатил бы Вова, купив ноутбук на день позже?
2. На графике показана средняя
скорость движения автомобилей по

240
210

автомагистрали от 0-го до 100-го
км. Аварийно опасными считают­
ся те участки магистрали, на кото­
рых средняя скорость
лей

автомоби­

S
т

* 150

е

120

7

О. 90
§ 60
и 30

превышает 120 км/ч. Опреде­

15

лите по графику, сколько километ­

25

35

45

55

65

75

85

95

Расстояние, км

ров на представленном участке ав­
томагистрали аварийно опасны.
3. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Тарифный план

Абонентская плата

Повременный

150 руб.

Комбинированный
Беэлимитный

Плата за 1 минуту разговора
30 копеек

280 руб. за 600 мин

Свыше 500 мин — 25 копеек

разговора в месяц

за каждую минуту

400 руб.

0 копеек

Абонент выбрал наиболее дешёвый тарифный план, исходя из предположения, что общая
длительность телефонных разговоров у него составляет 800 минут в месяц. Какую сумму
он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце у него
составила 780 минут? Ответ запишите в рублях.
4. Найдите значение выражения sin2 25° sin2 65°.
5. Решите уравнение cos

и найдите его наименьший положительный ко­

рень.
6. Найдите больший корень уравнения /х 2 5х 1 = 5.

Математика. 10-11 классы. Тренажёрдля подготовки к ЕГЭ

256

7. Первая труба пропускает в минуту на 2 литра воды больше, чем вторая труба. Сколь­
ко литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 240 литров она
заполнит на 5 минут быстрее, чем вторая труба заполнит резервуар объёмом 280 литров?
8. Трактор тащит сани с силой F = 40 кН, направленной подострым углом а к горизонту.
Мощность (в киловаттах) трактора при скорости н = 5 м/с равна N = F — v -cosq . При каком
максимальном угле а (в градусах) эта мощность будет не менее 100 кВт?
9. Функция f ( x) определена на интервале (—8; 4). На рисунке изображён график её про­
изводной у = f ‘ (x). Найдите точку максимума функции f ( x ) на отрезке [-5; 3].
У.

L У=/^)

—
8′

‘

/

Л . 1 V-J**
0

10. Найдите наибольшее значение функции у = /2sm.T — 2 на отрезке

Часть 2
11. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображена трапеция. Найдите
её площадь в квадратных сантиметрах.

12. В прямоугольном параллелепипеде A B C D A iB iC iD i известны длины рёбер
А В = 3, AD = 12, A A i = 5. Найдите длину отрезка В С г.
Часть 3
13. а) Решите уравнение cos2 х 4 cos г = 3sin2 х.
б) Найдите все решения этого уравнения, принадлежащие промежутку [0; Зл]
—1)/х2 —х —2 ^ 0,
14. Решите систему неравенств:

•{5

81

0.

Итоговая работа ( без логарифмов)

Вариант 4

Часть 1
I

1. Железнодорожный билет для взрослого стоит 470 рублей. Стоимость билета для

I

шкапьника встав л я ет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 13 школь-

I

ников и 2 взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу? Ответ выразите в рублях.
2. На графике показано измене­
ние температуры воздуха на протя­
жении трёх суток, начиная с 15 но­
ября. На оси абсцисс отмечено вре­
мя суток в часах, на оси ординат —
значение температуры в градусах.
Определите по графику

наимень­

шую температуру 17 ноября. Ответ
дайте в градусах Цельсия.

3. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.

Тарифный план

Абонентская плата

Повременный

150 руб.

Комбинированный
Безлимитпый

280 руб. за 600 мин

Плата за 1 минуту разговора
30 коп.
Свыше 600 мин — 25 коп.

разговора в месяц

за каждую минуту

500 руб.

0 коп.

Абонент выбрал наиболее дешёвый тарифный план, исходя из предположения, что об­
щая длительность телефонных разговоров у него составит 1000 минут в месяц. Какую сумму
он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце у него
составила 1200 минут? Ответ запишите в рублях.
4. Упростите выражение 8 cos 74° — 8(sin 16° — 1).
5. Решите уравнение 2 sin х = /2 на промежутке (0°; 90°]. Ответ запишите в градусах.
6. Решите уравнение / z 2 — 4х 4 = 9. В ответе запишите больший корень.
7. Первая труба пропускает в минуту на 4 литра воды меньше, чем вторая труба. Сколь­
ко литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 320 литров она
заполнит на 10 минут быстрее, чем первая труба заполнит резервуар объёмом 200 литров?

258

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

8. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых состав­
ляет 70 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается включить электрообогреватель.
Определите наименьшее возможное сопротивление (в омах) Я г этого обогревателя, если
известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Я 1 Ом
Д 1Д2 (Ом), а для

и Д 2 Ом их общее сопротивление определяется формулой Д0бШ.

Дг Дг

нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не
меньше 21 Ом.
9. Функция /(.т) определена на интервале ( — 5 ; 8). На рисунке изображён график её про­
изводной у = /'( х ) . Найдите точку минимума функции / ( х ) на отрезке [—3; 6].
у, 1

, ,
-5

у

» У
. .

i

= /М
. /. . J
v y
8 ‘

10. Найдите наибольшее значение функции у = 2 sin x — у/Зх

на отрезке [0; ^].

Часть 2
11. На клетчатой бумаге размером 1 см х 1 см изображена трапеция. Найдите её площадь

12. В прямоугольном параллелепипеде A B C D A 1B l C iD i известны длины рёбер
В С = 15, В В 1 = 8, В А = 11. Найдите площадь его поверхности.
Часть 3
13. а) Решите уравнение sin2 х 4 sin x = 3co s2 х.
б) Найдите все решения этого уравнения, принадлежащие промежутку
14. Решите систему неравенств:

(ж2 — 1 )/х 2 — 4 ^ 0,

х4 — 8х2 16 < 0.

^ ; 7r J.

Ответы
Диагностическая работа
Вариант 1
1.943,5 . 2.336. 3.40. 4.108. 5.25. 6.0,44. 7.0,75. 8.8. 9.0,2. 10.3. 11.6.

Вариант 2
1.3350. 2.312,5. 3.4. 4.65. 5.18, 6.0,62. 7.-0,75. 8.6. 9.0,25. 10.4. 11.12.

Тематические тренировочные задания
1. Арифметика и алгебра
1.1. Преобразование арифметических, алгебраических и тригонометрических выражений

1.1. 2.1. 3.0,5. 4.0,2. 5.8,8. 6.9,625. 7.1,25. 8.3,5. 9.2,5. 10.3,5. 11.12. 12.41. 13.42,32.
14.60,33. 15.-7,7. 16.-14,3. 17.20,05. 18.21,14. 19.1,5. 20.2,5. 21.8. 22.12. 23.2. 24.15.
25.5. 26.7. 27.108. 28.72. 29.5. 30.49. 31.3. 32.3. 33.5. 34.3. 35.15. 36.25. 37.2. 38.1.
39.0. 5. 40.0,25. 41.6. 42.10. 43.0,6. 44.0,75. 45.1,2. 46.2,4. 47.-34. 48.-28. 49.5,5.
50.6.4. 51.3,9. 52.3,75. 53.4. 54.3. 55.3. 56.1. 57.3. 58.2. 59.3,5. 60.1,875. 61.0,9. 62.15.
63.2.5. 64.5. 65.29. 66.10. 67.18. 68.17. 69.22,14. 70.73,71. 71.23,1. 72.12,6. 73.3,8.
74.4,9. 75.3,1. 76.1. 77.2,8. 78.7,5. 7 9 .-1 . 8 0 .-2 . 81.1. 82.51. 83.31. 84.0. 85.0,2.
86.1,2. 87.6,5 . 88.3,4. 89.1,11. 90.3,22. 91.0,2. 92.-0,8. 93.5,07. 94.3,04. 95.0. 96.0,5.
97.0. 65. 98.2,2. 99.46,5. 100.10,56. 101.8,4. 102.2,5. 103.2. 104.1. 105.10,5. 106.3. 107.7.
108.8. 109.21. 110.15. 111.3. 112.2.
113.12. 114.50.
115.24. 116.40. 117.0,5. 118.0,5.
119.5. 120.4.

121.0,6. 122.0,6. 123.12.

124.16. 125.18.

126.26. 127.17,5. 128.17,6. 129.25.

130.25. 131.49. 132.49. 133.16. 134.256. 135.1. 136.625. 137.27. 138.64. 139.3. 140.4.
141.1000. 142.5. 143.243. 144.320. 145.1,5. 146.1,4. 147.290. 148.310. 149.1,5. 150.23,1.
151.170. 152.3100. 153.46 400. 154.30300. 155.3650. 156.4270. 157.840,2. 158.120,5.
159.899000. 160.-89900. 161.0,513. 162.0,342. 163.16. 164.25. 165.21. 166.132. 167.1.
168.1. 169.1.
179.36.

170.2. 171.3. 172.2. 173.1,75. 174.1,2. 175.4. 176.4. 177.-27. 178.-3.

180.-46.

181.-0,5.

182.0,5.

183.-0,5i/3.

184.-0,5.

185.10. 186.1000.

187.3.

188.2. 189.-225. 190. — 144. 191.3. 192.9. 193.10. 194. —16. 195.359. 196.37. 197.1. 198.1.
199.3. 200.3.

201.14. 202.31. 203.11.

204.6. 2 0 5 .-8 . 206.1. 207.15.

208.-30. 209.4.

210.65. 211.6. 212.0,25. 213.2. 214.3. 215.12. 216.11. 217.3. 218.1,25. 219.13. 220.0,25.
221.7.

222.5.

223.9. 224.66. 225.8.

226.10. 227.1.228.0. 229.0,25. 230.5. 231.1,5.

232.49. 233.1. 234.170. 235.63. 236.0,1. 237.9. 238.7. 239.25. 240.7. 241.0,6. 242.1,25.
243.3. 244.3. 245.1,8. 246.576. 247.144. 248.0,008. 249.144. 250.1,25. 251.256. 252.1.
253.64. 254.81. 255.100. 256.0,2. 257.243 . 258.100. 259.60. 260.5. 261.1,5. 262.-1,5.
263.72. 264.125. 265.6. 266.5. 267.125. 268.11. 269.256. 270.121. 271.4. 272.3. 273.-2.
274.1. 275.3. 276.2. 277.18. 278.8. 279.12. 280.4. 281.-1. 28 2 .-2 . 283.-48. 284.87.
285.1.8. 286.10,6. 287.21. 288.1,5. 289.10,5. 290.1,375. 291.-0,5. 292.12. 293.3. 294.21.
295.-2,5. 296.6. 297.-802. 298.542. 299.-2022. 300.-105. 301.-155. 302.-207. 303.10.

Математика. 10 — 1 1 классы . Тренажёр д л я подготовки к ЕГ Э

260

304.1. 305.2. 306.6. 307.18. 3 0 8.-3,5. 3 0 9 .-9 8 . 3 1 0 .-1 2 . 311.50. 312.62. 3 13.-10.
314.15. 315.28. 3 1 6.-16. 3 1 7 .-6 . 318.410. 319.4. 320.-2,5. 321.1. 322.0,5.
1.2. Практический расчёт, оценка и прикидка
1.40. 2.2. 3.680. 4.5. 5.3. 6.18. 7.8. 8.15. 9.12. 10.10.
15.9

11.7.

12.8.

13.19.

14.33.

16.220. 17.25 840. 18.87. 19.383. 20.3. 21.36. 22.1800. 23.14. 24.12. 25.4. 26.17.

27.121. 28.47.5

29.8. 30.120 31.9. 32.5. 33.20. 34.292,8. 35.89. 36.22,6. 37.20. 38.72.

39.7. 40.12. 41.40. 42.140. 43.48. 44.10675.
1.3. Проценты и отношения
1.144. 2.20. 3.8. 4.20. 5.100.

6.40. 7.4544.

8.13224. 9.190.

10.17575.

11.34580.

12.12 000. 13.12. 14.6. 15.406560. 16.123,2. 17.39200. 18.1408. 19.5200. 20.285. 21.600.
22.2 875. 23.22 000. 24.825. 25.50. 26.420. 27.15. 28.25. 29.80. 30.100. 31.48. 32.75.
33.25. 34.120. 35.32. 36.48. 37.8. 38.14. 39.6. 40.6. 41.36. 42.10200. 43.77. 44.918.
45.18900. 46.430. 47.7. 48.6.
1.4. Чтение графиков и диаграмм
1.5. 2.18. 3.3. 4.7. 5 .-1 7 . 6 .-2 2 . 7.2. 8.12. 9.41. 10.10. II. 5. 12.3,5. 13.10. 14.5.
15.1. 16.24. 17.2. 18.4. 19.45. 20.6. 21.84. 22.2000. 23.2. 24.1. 25.2. 2 6 .-1 6 . 27.18.
28.34. 2 9 .-8 . 30.7. 31.6. 32.16. 33.2. 34.3,5.
1.5. Выбор лучшего варианта
1.122 000. 2.1140. 3.5 440. 4.245. 5.2,5. 6.40. 7.9360. 8.3920. 9.404. 10.930. 11.16560.
12.202800. 13.10220. 14.43500. 15.873600. 16.5544. 17.1952. 18.1420. 19.620. 20.3920.
21.2.5. 22.2,5. 23.756. 24.120. 25.225. 26.1836. 27.910. 28.12 400. 29.24880. 30.393.
31.753. 32.0,75. 33.150. 3 4 .-1 3 . 35.356. 36.126. 37.135. 38.126. 39.456. 40.357. 41.2.
1.6. Теория вероятностей
1.0. 25.. 2.0,5. 3.0,7. 4.0,2. 5.0,93. 6.0,22. 7.0,25. 8.0,75. 9.0,25. 10.0,25. 11.0,9. 12.0,5.
13.0. 42.

14.0,1.

15.0,3.

23.0. 2. 24.0,144. 25.0,2.

16.0,12.
26.0,75.

17.0,08.

18.0,2.

19.0,008. 20.0,94. 21.0,25. 22.0,11.

27.0,01. 28.0,96.

29.0,84. 30.0,16.

31.0,5.

32.0,2.

33.5. 34.0,33. 35.0,25. 36.0,3325. 37.0,374 . 38.0,083. 39.0,2. 40.0,006. 41.0,25. 42.0,07.
43.0. 125. 44.0,16. 45.0,12. 46.0,125. 47.0,25 . 48.0,0576. 49.0,033. 50.0,44. 51.0,4. 52.0,44.
53.5. 54.0,055. 55.0,308. 56.0,94. 57.0,496. 58.0,0374. 59.0,125.
1.7. Уравнения
1.34. 2.45. 3.7. 4.56. 5.2. 6 .- 6 .

7.2. 8.3. 9.100.

10.144.

I I . -3 .

1 2 .-1 ,3 .

13.5.

14.23. 15.-1,75. 16.1,6. 17.49. 18.512. 19.-10. 20.18. 2 1 .- 1 . 22.4. 2 3 .-8 . 24.13. 25.1.
2 6 .- 2 . 27.8. 28.0. 29.0,5. 3 0 .-7 . 3 1 .- 3 . 32.6. 3 3 .- 2 . 34.-18,25. 3 5 .-5 ,8 . 3 6 .-0 ,9 .
3 7.-1,75. 38.20. 39.12,5. 4 0 .-2 . 41.49. 42.24. 43.4. 44.3,6. 4 5 .-1 4 . 46.10,8. 47.-4,25.
48.10,6. 4 9 .-1 ,5 . 50.0,8. 51.1,25. 5 2 .-0 ,1 . 53.0,5. 54.1,25. 5 5 .-1 8 . 56.7. 57.7. 68.8.
5 9 .-4 . 60.10. 6 1 .-1 ,6 . 62.1. 6 3 .-3 ,5 . 64.2. 65.10. 66.6,8. 67.8. 68.48. 69.4,6. 70.4,375.

Ответы

261
7′ _9°я, 72′ “ 18в / 3- — 1 9 — 7i,- ~ 103’5’ 75- 6- 76- — 5′

7 8 .-6 . 79.6. 8 0 .- 4

8. — 1

82.1. 8 3 .-1 4 . 8 4 .-0 ,7 5 . 85.16. 8 6 .-2 2 . 87,1. 88.6. 89.13. 90.8,5. 91.-0,25

92 — 2

93.0,5. 94.2,5. 95.1,6. 96.1. 97.8. 9 8 .-2 . 9 9 .-6 . 100.1. 101.-15. 102.7. ЮЗ. 1 ц Ю4 8
,05.-3. 106.5,5. 1 0 7 .-6 . 108.9. 109.4. 110.0. 111. — 1. 1 ,2 .- ю . , , 3 .-1 1 „ 4 8 П5 29
1.6. -1 . П 7 .-6 8 . 118.4,8. 119.-2. ,2 0 .- 6 . ,21.3. 122.1. ,23.2. 124.3. 125.8,5. ,26.2 8
127.2.6. ,28.9. ,29.1. 130.1,4. 131.2,5. 132.0,75. ,33.2. 134.2,6. 135.2,4. ,36.2. ,37.3.’
138.-0,4. 139.2. 140.25. 141.11, 142.20. 143.10. 144.4. 145.-4, 146.-4. 147 13 148 0
149.-16. 150.-45. 151.5. 152.-2,5. 153.-0,5. 154.3. 155.-7. 156.9. 157.-4. 158.6.

1.8. Текстовые задачи
1.1800. 2.3,6. 3.50. 4.2. 5.15. 6.10. 7.64. 8.112. 9.4,875. 10.75. 11.74,25. 12.79. 13.4.
14.28. 15.216. 16.48,8. 17.48. 18.45. 19.96. 20.24. 21.15. 22.1120. 23.2800. 24.9. 25.18.
26.7. 27.4. 28.20. 29.68. 30.105. 31.80. 32.486. 33.9. 34.4,5. 35.10. 36.12. 37.8. 38.12.
39.15. 40.50. 41.16,8. 42.35. 43.5. 44.4,8. 45.8. 46.45. 47.12. 48.12. 49.8. 50.96768.
51.20. 52.75. 53.12. 54.15. 55.510000. 56.162 000. 57.3247. 58.69. 59.8. 60.21. 61.30.
62.150. 63.20. 64.30. 65.57. 66.24. 67.50. 68.42.

1.9. Задания на соответствие
1.312. 2.123. 3.312. 4.231. 5.2143. 6.4321. 7.1432. 8.2314. 9.3142. 10.3421. 11.2314.
12.3142.

13.4213. 14.3124. 15.3412. 16.3142. 17.2431. 18.2143. 19.2413. 20.4213. 21.4123.

22.3421.

23.1432. 24.2314. 25.1342. 26.3412. 27.3412. 28.4213. 29.3124. 30.4231. 31.3214.

32.3214. 33.4213. 34.2134. 35.2314. 36.4321. 37.1243. 38.2134. 39.2431. 40.2413. 41.3241.
42.2413.

43.4231. 44.4321. 45.1423. 46.2143. 47.3412. 48.3241. 49.2134. 50.1324. 51.4123.

52.3214. 53.4231. 54.2143. 55.3124, 56.3214. 57.3412. 58.3124.

2. Алгебра и начала анализа
2.1. Прикладные задачи
1.38. 2.55, 3.30. 4 . 17. 5.8. 6.43,96. 7.25,12. 8.156. 9.13.

10.112. 11.35400. 12.32.

13.42. 14.30. 15.9. 16.30. 17.32,5. 18.17. 19.15. 20.0,2. 21.12. 22.6. 23.0,125. 24.256.
25.7. 26.576. 27.10. 28.8000. 29.3,75. 30.2. 31.6. 32.9. 33.20. 34.40. 35.120. 36.5.
37.50. 38.24. 39.2. 40.1. 41.2000. 42.4. 43.5. 44.30. 45.2,5. 46.11. 47.30. 48.77. 49.25.
50.740. 51.36,96. 52.183. 53.5,5. 54.176. 55.441. 56.544. 57.60. 58.75 000. 59.28,35.
60.3,75 . 61.48. 62.0,04. 63.2. 64.25. 65.3 . 66.64. 67.3. 68.48. 69.8. 70.25. 71.1. 72.14.
73.30. 74.30. 75.75. 76.30. 77.30. 78.15

79.60. 80.60. 81.60. 82.30. 83.90. 84.45.

85.60. 86.0,67. 87.0,67. 88.0,72. 89.0,2. 90.6,54. 91.80. 92.12.

262

Математика. 1 0 — 11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

2.2. Производная и исследование функций
1.1. 2.2. 3.7. 4.7. 5.10. 6.4. 7 .- 2 . 8.3. 9.1,25. 10. -0,8. 11.2. 12.2. 13.5,5. 14.1. 15.6.
16.3.

17.5. 18.30.

29.2. 3 0 .-1 ,5 .

1 9 .-2 . 2 0 .-7 . 21.3. 22.1. 23.6. 2 4 .-1 8 . 25.20. 26.7. 27.5. 28.3,

31 .-0,25.

32.2. 33 .-0,25.

34.2. 35.5. 36.6. 37.6,125.

3 8 .-5 1 .

39.30.

40.29. 41.122. 42.4. 43.5,5. 44.5. 45.4. 46.7. 47.6. 4 8 .-1 . 4 9 .-2 . 50.8. 51.14. 52.22,5.
53.4. 54.10.

2.3. Наибольшее или наименьшее значения функций
1.16.

2.7. 3.13. 4.4,4.

15 .-14 .
26.64.

16.-112.
27 .-3,64.

5.2. 6 .- 1 .

17.8.

18.188.

2 8 .-1 4 .

7.4. 8 .- 9 .

19 .-41 .

29.10.

3 0 .-1 1 .

9.0.

10.0.

20.495. 21.0.
31.64.

11.1.

2 2 .-8 .

3 2 .-3 0 .

12.1.

23.5.

33.76.

1 3 .-5 .

24.5.

34.9.

14.7,

25.-246.

3 5 ,-3 .

36.1.

37.10. 3 8 .-9 . 39.12. 40.16. 4 1 .-1 . 42.19. 43.-22,5. 44.0,25. 45.0. 46.3. 4 7 .-1 7 . 48.2.
4 9 .-2 6 . 50.81. 51.49. 5 2 .-6 . 53.0. 54.8. 55.2. 56.10. 57.0. 5 8 .-1 . 59.1. 6 0 .-3 0 . 61.7.
6 2 .-2 2 . 63.18. 6 4 .-1 4 . 65.9. 6 6 .-4 . 67.-0,75. 68.8,2. 69.3. 70.2. 7 1 .-5 . 72.7.

3. Геометрия
3.1. Планиметрия
Углы
1.135. 2.70, 3.62. 4.70. 5.65, 6.75.
Треугольник
7.15. 8.142. 9.6,5.

10.8,5.

11.10.

12.13.

13.15,

14.9.

15.12,75.

16.5,25.

17.0,8.

18.9.

19.1.6. 20.0,8. 21.2. 22.28. 23.9. 24.80. 25.2. 26.10,5. 27.5.
Параллелограмм. Ромб. Прямоугольник. Квадрат
28.1. 29.5. 30.36. 31.11. 32.0,875. 33.50. 34.15. 35.18. 36.10.
Трапеция
37.6. 38.70. 39.1,5. 40.5. 41.13. 42.90. 43.6.
Окружность. Круг
44.47. 45.7. 46.101. 47.32. 48.16.
Углы и длины
49.105. 50.56. 51.42 . 52.130. 53.76. 54.38. 55.25 . 56.95 . 57.50. 58.144. 59.67. 60.143.
61.98. 62.36. 63.38. 64.8. 65.40. 66.52. 67.20. 68.100. 69.55.

70.71.

71.30.

72.75.

73.9. 74.4,5. 75.4,5. 76.2,5. 77.4,5. 78.6. 79.6. 80.6. 81.36. 82.5,1. 83.5. 84.36. 85.0,2.
86. 0,4.
Параллелограмм
87.3. 88.12,9. 89.60. 90.15. 91.2,5. 92.90. 93.10. 94.6,4. 95.240.
Трапеция
96.13. 97.17. 98.1,4. 99.216. 100.1. 101.97. 102.5,5. 103.43,5. 104.9. 105.13.

Ответы

___ 263

Площади
W6.32. 107.64.

108.34,5.

116.17.„ 7 .2 5 . „ 8 .1 1 .

109.132.

110.6.

111.3.

112.2,75

113 245

„ 9 .1 2 . ,20.0,5. ,21.3. ,22.10. i 23 24

8

,27.58. 128.21,25. 129.2,5. 130.100,8. 131.12. 132.16.
Координаты и векторы
133.1.5. 134.16,5.135.25. 136.5,5. 137.-1. 138.2. 139.7.

140.3. Ml. — 3

144.-2. 145.0,5. 146.3. 147.7. 148.3. 149.6,5. 150.-2,5. 151.8.
155.22.5. 156.10. 157.39. 158.90.

152 125
‘

114. 3,5.

„5.48.
125. 8,5. 126. 21.

142.2,5. 143. 9,5.
153. 5,5 154.9.

Окружность
159.45.

160.135.

161.8.

162.105.

163.34.

164.31.

165.113

166 120

167. 93.

168. 5.2.
178.10. 179.26.
180.16.
181.9,25. 182.4. 183.48. 184.42. 185.175. 186.2. 187.9. 188.12.
189.1,5. 190. 6.
191.1. 192.1. 193.30. 194.2. 195.17. 196.143. 197.9. 198.8. 199.2. 200. 10.
169.34. 170.121. 171.121. 172.44. 173.5. 174.6,5. 175.2. 176.21. 177.0,5.

3.2. Стереометрия
Куб, прямоугольный параллелепипед, призма
1.378. 2.94. 3.10. 4.1125. 5.150. 6.1008. 7.4000. 8.150. 9.28.
Пирамида
10.640. 11.360. 12.8.
Цилиндр
13.144. 14.2,2. 15.2. 16.40. 17.900. 18.18000. 19.17,5.
Конус
20.27. 21.3. 22.2,45. 23.4. 24.6. 25.125. 26.350. 27.25.
Шар
28.64. 29.4. 30.1,625.
Комбинация тел
31.156. 32.9. 33.184. 34.260. 35.14320.
Комбинации многогранников с прямыми углами
36.228. 37.236. 38.246. 39.223. 40.262. 41.220. 42.180. 43.216. 44.528. 45.424. 46.542.
47.412. 48.324. 49.292. 50.170. 51.208. 52.120. 53.168. 54.192. 55.232. 56.116. 57.212.
58.448. 59.480.
Параллелепипед
60.18. 61.486. 62.5. 63.125000. 64.18. 65.11. 66.578. 67.64. 68.343. 69.88. 70.500.
71.1. 72.16. 73.1,96. 74.164. 75.488. 76.13,5. 77.4,5. 78.7,28. 79.33. 80.5,5. 81.21.
82.45. 83.45. 84.3. 85.1370.
Призма
86.68. 87.280. 88.18. 89.2700. 90.8. 91.324. 92.288. 93.21. 94.27. 95.404. 96.92. 97.68.
98.18. 99.22. 100.35. 101.2. 102.60.

264

Математика. 1 0 — 11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

Пирамида
103.512. 104.18. 105.2,56. 106.5,76. 107.60. 108.120. 109.5. 110.112. 111.24. 112.640.
113.384. 114.121,5. 115.20. 116.96. 117.162. 118.800. 119.1280. 120.160. 121.16. 122.48.
123.5. 124.42. 125.1,21. 126.169.
Комбинация тел
127.162. 128.13. 129.24. 130.10. 131.96. 132.24,5. 133.23,5. 134.3,5. 135.4,5. 136.168.
137.35. 138.300. 139.360 140.120. 141.56. 142.60.

3.3. Разные задачи
1.60. 2.24. 3.1. 4.2. 5.2. 6.1815. 7.80. 8.8. 9.0,5.

10.4.

11.5.

12.16.

13.4.

14.3.

15.4. 16.1820. 17.10. 18.45. 19.3. 20.25. 21.28. 22.16. 23.216. 24.108. 25.0,64. 26.216.
27. 270. 28. 24. 29. 24. 30. 2,5. 31.2. 32.14. 33. 54. 34. 45. 35. 3. 36. 96. 37. 200. 38. 144.
39.120. 40.96. 41.108. 42.6,75. 43.48. 44.64.
Ответы на тренировочные тесты
1.1. Преобразование арифметических, алгебраических и тригонометрических выражений
Вариант 1
1.7,74. 2.7. 3.688. 4 .- 2 2 . 5.125. 6.1,5. 7.11. 8.3,5.
Вариант 2
1.-2,38. 2.6. 3.1420. 4.50. 5.216. 6.4. 7.8. 8.9,5.
Вариант 3
1.35927. 2.8. 3.11. 4.16. Б .-2 . 6.3. 7.34. 8.165.
Вариант 4
1.514292. 2.6. 3.289. 4.2. 5 .- 8 . 6.4. 7 .-1 3 . 8.191.
1.2. Практический расчёт, оценка и прикидка
Вариант 1
1.33. 2.29952. 3.9. 4.36.
Вариант 2
1.12. 2.34. 3.206,5. 4.300.
Вариант 3
1.44. 2.55. 3.7. 4.10.
Вариант 4
1.26. 2.130. 3.13. 4.22.
1.3. Проценты и отношения
Вариант I
1.20. 2.20. 3.561. 4.360.

265

Ответы
Вариант 2
1.5.

2.456. 3 .25 00 0. 4.408.

Вариант 3
1.7. 2.20 40 0. 3.3920. 4.400.
Вариант 4
1.320. 2.782. 3.541200. 4.30.

1.4. Чтение графиков и диаграмм
Вариант I
1.10. 2.2. 3.5.
Вариант 2
1.2. 2.7. 3.3.
Вариант 3
1.6. 2.34. 3.250.
В ариант 4
1.4. 2.30. 3.1500.

1.5. Вы бор лучшего варианта
В ари айт1
1.206900. 2.17280. 3 .- 2 8 .
В ариант 2
1.280250. 2.17600. 3.86.
Вариант 3
1.627. 2 .17 370. 3.216.
Вариант 4
1.868. 2.21068. 3.280.

1.6. Теория вероятностей
Вариант 1
1.0. 7 .2 .0 ,9 8 3.0,2.
Вариант 2
1.0. 25. 2.0,26. 3.0,375.
Вариант 3
1.0. 525. 2.0,48. 3.0,047.
В ариант 4
1.0. 625. 2.0,9919. 3.0,99.

266

Математика. 10-11 классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ

1.7. Уравнения
Вариант 1
1.7.

2.0,5. 3 .- 3 . 4.4,5. 5 .- 7 .

Вариант 2
1.9. 2 .- 3 . 3 .- 1 2 . 4.4,5. 5 .-0 ,5 .
Вариант 3
1.2.

2 .- 2 . 3.2,4. 4 .-5 ,4 .

Вариант 4
1.14. 2.9. 3 .- 5 . 4 .- 1 .

1.8. Текстовые задачи
Вариант I
1.64. 2.7. 3.18. 4.20.
Вариант 2
1.70. 2.8. 3.4. 4.25.
Вариант 3
1.27,69. 2.1602. 3.25. 4.10.
Вариант 4
1.32,25. 2.35. 3.5. 4.15.

1.9. Задания на соответствие
Вариант 1
1.3214. 2.4213. 3. 4231. 4. 3421. 5.3124. 6.2413.
Вариант 2
1.4132, 2.3241. 3. 3214. 4. 2413. 5.3421. 6.1324.
Вариант 3
1.4132, 2.2143. 3. 2413. 4. 1423. 5.4321. 6.1342.
Вариант4
1.3142, 2.2431. 3.4312. 4. 2143. 5.2413. 6.3124.
2.1. Прикладные задачи
Вариант I
1.2000. 2.7,5. 3.17.
Вариант 2
1.3000. 2.8,5. 3.16.
Вариант 3
1.2. 2.120. 3.99.
Вариант 4
1.3. 2.110. 3.110.

267

Ответы
2.2. П роизводная и исследование функций
Вариант I
1.3,5. 2.7. 3.3. 4.1,75. 5.5.
Вариант 2
1 .-3 . 2.6. 3.5. 4 . — 2 6 . 5.8.
Вариант 3
1 .- 1 . 2.16. 3.2. 4.1. 5.8.
Вариант 4
1.1,4. 2 . — 1 .

3.4. 4 .5 . 5.18.

2.3. Наибольш ее или наименьшее значения функций
Вариант 1
1 .-3 ,5 . 2.50. 3.47. 4.11. 5 .- 1 3 .
Вариант 2
1.6. 2 .- 3 7 . 3 .- 5 ,5 . 4.6. 5.3.
Вариант 3
1.2. 2.20. 3.8. 4.2. 5.2.
В ариант 4
1 .- 2 7 . 2 .- 1 2 . 3 .- 1 6 . 4 . — 4 . 5 . — 7 .

3.1. Планиметрия
В ариант 1
1.57. 2.104. 3.80. 4.0,375. 5.65.
Вариант 2
1.61. 2.92. 3.105. 4.0,7. 5.15.
Вариант 3
1.6,5. 2.9. 3.9. 4.1. 5.5.
Вариант 4
1.4,25. 2.3. 3.44. 4.21. 5.7.
3.2. Стереометрия
Вариант 1
1.444. 2.378. 3.10,24. 4.6,25. 5.750.
Вариант 2
1.504. 2.220. 3.5,29. 4.12,25. 5.384.
Вариант 3
1.252. 2.160. 3.4,5. 4.66. 5.180.
Вариант 4
1.180. 2.60. 3.36,5. 4.7,5. 5.288.

268

Математика. Ю- I I классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ
3.3. Разные задачи

Вариант I
1.715. 2.120. 3.38. 4.22,5.
Вариант 2
1.44. 2.105. 3.49. 4.11.
Вариант 3
1.84. 2.90. 3.44. 4.1372.
Вариант 4
1.120. 2.12. 3.36. 4.500.

Итоговая работа (без производной)
Вариант I

1.126. 2.4,8. 3.116450. 4.0,375. 5.3. 6.4,5. 7.3. 8.5. 9.1000. 10.32.
12. а)
2ттп.п е 2 ; б)
13. (log2 9;
u |i5 _ ± |v ^ 3 |

11.12.

Вариант 2
1.83. 2.60. 3.32150. 4.0,4. 5.2 . 6 . — 2 . 7.5 . 8.75. 9.0,75. 10.10. 11.7.
12. a) ( — l ) n 11 тгп, | т т , п 6 2 ; б)
«Щ. 13. [log2 70; оо)
Вариант 3
1.23. 2.1. 3.195000. 4.0,84. 5.4 . 6 . — 3
12. a )a rc tg 3 wn,

—

^

7.120. 8.12. 9 .9 .

ж п.п е 2 ; 6 )arc tg 3 , ~ .

10.12.

11.8.

13. (1,5; оо).

Вариант 4
1.52. 2.2. 3. 42 250 . 4 . 0 , 3 . 5 . — 1. 6 . 72 . 7 . 45 . 8 . 36 .
9.7. 10.6 11.15.

* 3 £ я- 5 *
12. а) — —
13.
С—оо; —3] U [1; 2).
4
2′
12
2
’ ‘ 4 ’ 4 ’ 12 ’ 12

269

Ответь*

Итоговая работа (без логарифмов)
Вариант 1

,29. 2.4. 3.21000. 4.4. 5.157,5. 6.17. 7.400. 8.15000. 9.1. 10.-1. 11.10. 12.96.
13. а) | 2тгп, я 21ГП, п б 2 ; б)

тг. 14. (-2 ; -1] U [5; 6) U {0}.

Вариант 2
1.432. 2.5. 3.450. 4.7. 5.60. 6 .- 3 . 7.15. 8.240000. 9 .- 3 . 10.8. 11.38. 12.216.
13. а)тг 2TrJfc, ^ 2 i r f c , f c € Z ; 6 ) 5 * , ^ . 14. [ — 2 ;- 1 ) U (1; 4).
Вариант 3
1.85. 2.60. 3.325. 4.1. 5.1. 6.3. 7.16. 8.60. 9.2. 10.-1. 11.25. 12.13.
13. а ) ± ^ 2тгп, п € 2; 6)

; -у- 14. { — 1 } U [2;3].

Вариант 4
1.3995. 2.2. 3.430. 4.8. 5.45. 6.11. 7.8. 8.30. 9 .- 1 . 10.1. 11.20. 12.746.

ЕГЭ

Учебное издание

Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова
Коннова Елена Генриевна, Нужа Галина Леонтьевна,
Ольховая Людмила Сергеевна, Резникова Нина Михайловна,
Фридман Елена Михайловна, Ханин Дмитрий Игоревич

МАТЕМАТИКА. 1 0 -1 1 -е классы.
ТРЕНАЖЁР ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ:
алгебра, планиметрия, стереометрия.
Базовый и профильный уровни
Издание четвёртое
Обложка Н. Раевская
Компьютерная вёрстка С. Иванов
Корректор В. Пампура

Налоговая льгота: издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Подписано в печать 08.11.2022.
Формат 70×100 У 1в. Бумага типографская.
Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Уел. печ. л. 21,93.
Тираж 4000 экз. Заказ № 7978.
ООО «ЛЕГИОН*
Для писем: 344000, г. Ростов-на-Дону, а/я 550.
Адрес редакции: 344082, г. Ростов-на-Дону, ул. Согласия, 7.
www.egelive.ru e-mail: legionrus@legionrus.com
Отпечатано с готового оригинал-макета
ООО «Принт-М», 142300, М.О., г.Чехов, ул. Полиграфистов, д.1

Персональный
план подготовки
Определение
п р о б е л о в в зн а н и я х

И

Анализ динамики
уровня подготовки
Квесты, н а г р а д ы и
соревнования
с друзьями

legion

д а е т ск и д м у при
покупке доступа

ПРОМОКОД

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

2022799808

Издательство «Легион» предлагает
пособия для подготовки к ЕГЭ по математике:
•

Математика, Подготовка к ЕГЭ-2022. Профильный уровень.
40 тренировочных вариантов по демоверсии 2022 года.
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

•

Математика. Подготовка к ЕГЭ-2022. Базовый уровень.
40 тренировочных вариантов по демоверсии 2022 года.
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.О. Иванова

•

Математика. ЕГЭ-2022. Тематический тренинг.
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.О. Иванова

•

Математика. ЕГЭ. Алгебра: задания с развёрнутым ответом.
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

•

Математика. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ. 10-11 классы.
Алгебра, геометрия, стереометрия.
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

•

Математика. ЕГЭ. Решение задач по стереометрии методом координат.
С.Ю. Кулабухов. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко

•

Математика. ЕГЭ. Профильный уровень. Сечения многогранников.
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

•

Математика. Большой справочник для подготовки к ЕГЭ.
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

•

Математика. 7-11 классы. Карманный справочник. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов

Методика, секреты подготовки, особенности учебных пособий на авторских вебинарах для учителей и школьников на www.egelive.ru

ISBN 9 7 8 -5 -9 9 6 6 -1 1 7 2 -0

www.egelive.ru
Интернет-магазин, опт, мелкий опт
e-maii: legionrus@legionrus.com

9 785996 61 720

Тел. (863)303-05-50

ЛЕГИО Н