Как решать задачи на вероятность: от простого к сложному

Как решать задачи на вероятность: от простого к сложному ЕГЭ

Что такое вероятность простыми словами

Вся наша жизнь состоит из случайных событий, которые могут либо произойти, либо нет. Например, вы сегодня идете на экзамен, по которому лучше остальных знаете один билет, достанется он именно вам или нет – случайность. Так как билетов всего 20, а вам нужно вытянуть всего 1, мы можем определить вероятность, с которой вам достанется желаемый билет. Эта вероятность будет составлять 1 шанс к 20 возможным, то есть 1 к 20 или 1/20 или 0,05.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом oslash.

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом Omega.

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

  1. Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. 0<P(A)<1.
  2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. P(oslash) = 0 .
  3. Вероятность достоверного события равна 1, т.e. P(Omega) = 1.
  4. Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. P(A B) =P(A) P(B).

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется nkkP(A) = frac{k}{n}kknP(A) = frac{k}{n}P(A) = frac{k}{n}

Задача 1

У нас есть пакет, в котором лежит 15 шариков, 9 из которых фиолетового цвета, а остальные белые. Какова вероятность вытащить из пакета один белый шарик?

Решение. Итак, общее количество белых шариков 15 – 9 = 6 штук, следовательно количество благоприятных исходов нашего события – 6. Общее количество возможных исходов – 15. Подставляем в формулу и получаем:Kak reshat zadachi na veroyatnost 3

Таким образом, вероятность вытащить белый шарик равна 6/15.

Ответ: 6/15

Задачи на вероятность нужно читать внимательно, чтобы не допускать досадных ошибок. Например, вот в такой задаче.

Задача 10

Маше нужно выбрать из 8 книг 2 книги. Сколькими способами она может это сделать?

Мы понимаем, что здесь может быть большое количество вариантов сочетаний книг. Чтобы вычислить их количество нужно знать формулу числа сочетаний из n по m: Kak reshat zadachi na veroyatnost 19

n – количество элементов, из которого нужно выбрать

m – количество элементов, которое нужно выбрать

В формуле присутствует факториал. Записывается факториал следующим образом: n!, 5!, 7! Напомним, что это такое.

Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до основания факториала. Основание факториала – это число, которое стоит перед знаком «!». Т.е. факториал 5! имеет основание 5 и найти его можно следующим образом:

5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5

А факториал n! имеет основание n:

n! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * … * n

Часто ученики путают, что в ставить внизу, а что наверху, т.е. меняют n и m местами. Применительно к нашей задаче можно перепутать, что ставить наверху: 2 или 8. Запомнить, что ставить наверху, а что внизу – легко. Сверху всегда стоит наименьшее число, т.е. в нашем случае – это 2.

Давайте вернемся к нашей задаче. Применяем формулу и получаем: Kak reshat zadachi na veroyatnost 20

Итак, Маша может выбрать книги 28 способами.

Ответ: 28

Давайте разберем еще одну задачу.

Задача 11

Из 15 школьников нужно отправить 2 учеников на дежурство. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Применяем нашу формулу:

Ответ: 105 способов

Итак, сегодня мы разбирались, как решать задачи на вероятность. Теперь вы можете приступить к практике, ведь только большое количество тренировок позволит вам успешно справиться с заданиями ЕГЭ. Еще больше информации для подготовки к ЕГЭ по математике вы можете получить на нашем сайте.

Задача 2

В автомате, продающем, маленькие мячики есть мячи 5 цветов: 21 синих, 30 красных, 15 зеленых, 8 белых, а остальные желтые. Всего в автомате 90 мячиков. Какова вероятность, что Коле достанется мяч не синего цвета.

Решение. Мы обращаем внимание на то, что Коле должен достаться мяч НЕ синего цвета, а любого другого. Многие ученики просто не замечают частицу НЕ и ищут вероятность выпадения именно синего мяча, и естественно допускаю ошибку. Внимательно читаем условия задачи.

Итак, общее количество возможных вариантов – 90. Нам нужен любой мяч, кроме синего. Следовательно, количество вариантов, когда выпадет не синий мяч равно 90 – 21 = 69. Таким образом, вероятность того, что выпадет мячик любого цвета, кроме синего, равна:Kak reshat zadachi na veroyatnost 6

Ну и разберем еще задачу.

Задача 3

На конкурсе выступают 11 участников из Казани, 6 участников из Нижнего Новгорода, 3 участника из Москвы и 7 участников из Твери. Порядок выступления в конкурсе определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что последним будем выступать конкурсант из Нижнего Новгорода? Результат округлите до сотых.

Решение. Итак, представим, что все конкурсанты подошли к барабану, где лежат номерки и тянут по одному номерку. Общее количество конкурсантов n = 11 6 3 7 = 27. Нас интересует, какова вероятность того, что один из конкурсантов из Нижнего Новгорода вытянет номерок с цифрой 27. Конкурсантов из Нижнего Новгорода всего 6, следовательно m = 6. Таким образом, вероятность будет равна:Kak reshat zadachi na veroyatnost 8

Очень просто. Нужно разделить 6,0000 на 27 уголком. Тогда вы получите 0,222… или округляя до сотых 0,22.

Про ЕГЭ:  Проблема сохранения русского языка ⋆ СПАДИЛО

Ответ: 0,22

Задача 4

В портфеле у Васи лежали учебники по алгебре, геометрии, химии, биологии и литературе. Вася не глядя вынимает один учебник, какова вероятность того, что он вытянул алгебру?

Решение. Не смотря на то, что теперь предметы поименованы, принцип решения задачи остался прежним. Общее количество вариантов (т.е. учебников в портфеле) – 5.  Нужный нам вариант (т.е. учебник по алгебре) – 1. Следовательно, вероятность нужного нам события равна:

Р =  = 0,2

Ответ: 0,2

Задача 5

Задача 8. В соревнованиях по борьбе участвуют 73 участника. Из них 25 участников из Москвы, в том числе Б. Егоров. На пары участники разбиваются с помощью жеребьевки. Какова вероятность того, что противником Б. Егорова станет участник из Москвы? Результат округлите до сотых.

Решение. В этой задаче есть фиксированный элемент – Б. Егоров. Это фиксированный элемент мы должны вычесть из элементов m и n.

Итак, общее количество участников – 73. Но Б. Егоров у нас уже выбран, поэтому он не участвует в жеребьевке. Следовательно, его мы исключаем из общего количества и получаем n = 72. Нас интересуют только участники из Москвы, их 25. Но опять же Б. Егоров у нас уже выбран, поэтому он не участвует в жеребьевке. Следовательно, количество устраивающих нас вариантов m = 24. А теперь считаем по нашей формуле:Kak reshat zadachi na veroyatnost 12

Ответ: 0,33

Еще раз обратим внимание. Если в задаче есть фиксированный элемент, то мы вычитаем единицу из m и n, а дальше решаем задачу по стандартной формуле нахождения вероятности.

Задача 6

Петя подбросил два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме выпадет не менее 9 очков.

Решение. Вот в таких задачах удобнее всего построить таблицу. По горизонтали мы размещаем очки, которые могут выпасть на первом кубике, т.е. числа от 1 до 6. А по вертикали мы размещаем числа, которые могут выпасть на втором кубике, т.е. также числа от 1 до 6. Начертим таблицу:

Далее заполняем таблицу. Для этого мы вписываем сумму чисел, которые находятся на пересечении этой ячейки. Например, заполним первую строку. В ячейке на пересечении двух единиц у нас получится 1 1 = 2, далее пересекаются 2 и 1 получаем 2 1 = 3, далее 3 1 = 4, далее 4 1 = 5, далее 5 1 = 6 и в последней ячейке этой строки получим 6 1 = 7Kak reshat zadachi na veroyatnost 14Kak reshat zadachi na veroyatnost 15Как решать задачи на вероятность: от простого к сложномуKak reshat zadachi na veroyatnost 16

А общее количество возможных вариантов выпадения значений кубиков: n = 6 * 6 = 36

Следовательно, вероятность того, что выпадет тот вариант, который нас устроит, равна:Kak reshat zadachi na veroyatnost 17

Ответ: 0,27

Задача 7

Маша подбрасывает два игральных кубика. Какова вероятность того, что в сумме на кубиках выпадет 6 очков? Результат округлите до сотых.

Решение. Берем нашу таблицу и находим значения, когда на кубиках сумма составит 6 очков:Kak reshat zadachi na veroyatnost 18

А общее количество возможных вариантов выпадения значений кубиков: n = 6 * 6 = 36

Следовательно, вероятность того, что выпадет тот вариант, который нас устроит, равна:Kak reshat zadachi na veroyatnost 22

Итак, вероятность того, что на кубиках выпадет сумма 6 очков, равна 0,14.

Ответ: 0,14

Задача 9

Стрелок стреляет  6 раз по мишеням. Вероятность попадания стрелка в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что стрелок первые 2 раза промахнется, а остальные 4 раза попадет в цель? Результат округлите до сотых.

Решение. В задаче происходит 6 независимых событий – 6 выстрелов. Вероятность того, что стрелок попадет или не попадет в мишень, равна 1. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень, равна 0,8. Тогда вероятность того, что не попадет в мишень, равна 1 — 0,8 = 0,2.

Р = 0,2 * 0,2 * 0,8 * 0,8 * 0,8 * 0,8 = 0,016384

Округляем 0,016384 до сотых и получаем 0,02.

Итак, вероятность того, что стрелок два раза промахнется, а потом четыре раза попадет, равна 0,02.

Ответ: 0,26

Задачи на проценты

Задача 5.2 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 40% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 48% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение.Пусть х – искомая вероятность. Пусть всего закуплено n яиц. Тогда в первом хозяйстве закуплено x · n яиц, из них 0,6х·n высшей категории. Во втором хозяйстве закуплено (1- x) · n яиц, из них 0,4 • (1- x) • n высшей категории. Всего высшую категорию имеют 0,48n яиц.

Отсюда

Ответ: 0,4

Задача 5.3 На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 70% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение.Пусть всего произведено х тарелок. Качественных тарелок 0,8х (80% от общего числа), они поступают в продажу.

Дефектных тарелок 0,2х, из них в продажу поступает 30%, то есть 0,3 • 0,2х = 0,06x.
Всего в продажу поступило 0,8х 0,06x = 0,86x тарелок.
Вероятность купить тарелку без дефектов равна frac {0,8x}{0,86x}= frac {40}{43}

Ответ: 0,93.

Задачи о зависимых событиях

Задача 5.1 В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.1-й способ.

Так как 0,4 ·0,4 ≠ 0,22, то события «кофе закончился в 1-ом автомате» и «кофе закончился во 2-ом автомате» зависимые. Обозначим через А событие «кофе остался в первом автомате», через В – «кофе остался во втором автомате». Тогда P(A) = P(B) = 1- 0,4 = 0,6

Событие «кофе остался хотя бы в одном автомате» – это А U В, его вероятность равна Р(А U В) = 1 — 0,22 = 0,78, так как оно противоположно событию «кофе закончился в обоих автоматах». По формуле для пересечения событий: P(A ∩ B) = P(A) P(B) — P(A ∪ B)= 0,6 0,6 — 0,78 = 0,42

2-й способОбозначим через Х событие «кофе закончился в первом автомате», через Y – «кофе закончился во втором автомате».Тогда по условию Р(X) = Р(Y) = 0,4, P(X ∩ Y) = 0,22. Так как P(X ∩ Y) ≠ P(X) · P(Y), то события Х и Y зависимые. По формуле для объединения событий:

Про ЕГЭ:  ЕГЭ по истории. 10 советов эксперта

P(X∪Y)=P(X) P(Y)-P(X∩Y) = 0,4 0,4 – 0,22 = 0,58.

Мы нашли вероятность события Х U Y «кофе закончился хотя бы в одном автомате». Противоположным событием будет Как решать задачи на вероятность: от простого к сложномуКак решать задачи на вероятность: от простого к сложномуКак решать задачи на вероятность: от простого к сложному

3-й способ.Составим таблицу вероятностей возможных результатов в конце дня.

Второй автомат
кофе закончилсякофе остался
Первый автоматкофе закончился0,22
кофе остался

По условию вероятность события «кофе закончился в обоих автоматах» равна 0,22. Это число мы сразу записали в соответствующую ячейку таблицы.

В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в верхних ячейках таблицы должна быть равна 0,4. Значит, в правой верхней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

Второй автомат
кофе закончилсякофе остался
Первый автоматкофе закончился0,220,18
кофе остался

Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна быть равна 0,4. Значит, в левой нижней ячейке должно быть число 0,4 – 0,22 = 0,18.

Второй автомат
кофе закончилсякофе остался
Первый автоматкофе закончился0,220,18
кофе остался0,18

Так как сумма чисел во всех четырёх ячейках должна быть равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно 1 – 0,22 – 0,18 – 0,18 = 0,42.

Второй автомат
кофе закончилсякофе остался
Первый автоматкофе закончился0,220,18
кофе остался0,180,42

Ответ: 0,42.

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Как решать задачи с двумя кубиками: используем таблицы

Таблицы полезны при решении задач, где речь идет о двух игральных кубиках. Например.

Как решать задачи с перечислением

Этот тип задач отличается от предыдущих лишь тем, что в задаче предметы поименованы. А вычисления выполняются по той же формуле:

Приведем пример такой задачи.

Как решать задачи с фиксированными элементами: разбираем на примере

Задачи на вероятность с фиксированными элементами сводятся к стандартным задачам на вероятность, но из элементов m и n нужно вычесть 1.

Давайте разберемся на примере.

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. P(B)=1-P(A)

Пример задачи из егэ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть P(A)

Ответ: 0,4

Решу егэ

Решение.

Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D — это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку

 P(C плюс D)=P(C) плюс P(D) минус P(C умножить на D),

для вероятности поступления имеем:

P(AB(C плюс D))=P(A) умножить на P(B) умножить на P(C плюс D) = P(A) умножить на P(B) умножить на (P(C) плюс P(D) минус P(C) умножить на P(D))

=0,6 умножить на 0,8 умножить на (0,7 плюс 0,5 минус 0,7 умножить на 0,5)=0,408.

Ответ: 0,408.

Приведем другую запись этого решения.

В силу независимости событий, вероятность успешно сдать экзамены на лингвистику: 0,6 · 0,8 · 0,7 = 0,336, вероятность успешно сдать экзамены на коммерцию: 0,6 · 0,8 · 0,5 = 0,24, вероятность успешно сдать экзамены и на «Лингвистику», и на «Коммерцию»: 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5 = 0,168. Успешная сдача экзаменов на «Лингвистику» и на «Коммерцию» — события совместные, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Тем самым, поступить хотя бы на одну из этих специальностей абитуриент может с вероятностью 0,336   0,24 − 0,168 = 0,408.

Приведём решение Алексея Столбова из Магнитогорска.

Есть три варианта поступления абитуриента хотя бы на одну специальность:

а) поступить на лингвистику при этом не поступив на коммерцию: вероятность 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5;

б) поступить и на лингвистику, и на коммерцию: вероятность 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5;

в) не поступить на лингвистику, при этом поступив на коммерцию: вероятность 0,6 ·  0,8 · 0,3 · 0,5.

Эти события несовместные, искомая вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:

0,6 · 0,8 · (0,35 0,35 0,15) = 0,48 · 0,85 = 0,408.

Приведём решение Ирины Шраго из Санкт-Петербурга.

Для поступления З. необходимо сдать математику и русский язык хотя бы на 70 баллов, а также сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Это события независимые, причём событие «сдать хотя бы один экзамен не менее, чем на 70 баллов» противоположно событию «сдать оба предмета менее, чем на 70 баллов». Получаем, что вероятность искомого события: 0,6 · 0,8 · (1 − 0,3 · 0,5) = 0,408.

Приведём решение с помощью двоичного дерева.

Как решать задачи на вероятность: от простого к сложному

§

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что по­сколь­ку в тур­ни­ре участ­ву­ют 16 иг­ро­ков, всего будет че­ты­ре тура, в каж­дом из ко­то­рых будут иг­рать 16, 8, 4 и 2 че­ло­ве­ка со­от­вет­ствен­но. Пусть со­бы­тие A — Иван с Алек­се­ем сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом туре, со­бы­тие B — они не сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом туре, но вы­иг­ра­ли свои игры в пер­вом туре и встре­ти­лись во вто­ром, со­бы­тие C — они не сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом и вто­ром туре, но вы­иг­ра­ли свои игры в пер­вом и вто­ром туре и встре­ти­лись в тре­тьем, D — они не сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом, вто­ром и тре­тьем туре, но вы­иг­ра­ли свои игры в пер­вом, вто­ром и тре­тьем туре и встре­ти­лись в четвёртом.

Про ЕГЭ:  Подтяните знания с репетитором за лето | Статья по английскому языку (11 класс): | Образовательная социальная сеть

Ве­ро­ят­ность того, что Иван с Алек­се­ем сыг­ра­ют в пер­вом туре, равна P(A)= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби . Ве­ро­ят­ность со­бы­тия, при ко­то­ром Иван с Алек­се­ем не сыг­ра­ли друг с дру­гом в пер­вом туре, но оба вы­иг­ра­ли в пер­вом туре и встре­ти­лись во вто­ром туре, равна

P(B)= дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 30 конец дроби .

Ана­ло­гич­но, ве­ро­ят­ность со­бы­тия C:

P(C)= дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби .

Оста­лось найти ве­ро­ят­ность того, что Иван с Алек­се­ем сыг­ра­ют в четвёртом туре:

P(D)= дробь: чис­ли­тель: 14, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 120 конец дроби .

Те­перь найдём ис­ко­мую ве­ро­ят­ность:

P=P(A) плюс P(B) плюс P(C) плюс P(D)= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 30 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 120 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8 плюс 4 плюс 2 плюс 1, зна­ме­на­тель: 120 конец дроби =0,125.

Ответ: 0,125.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

В пер­вом туре тур­ни­ра участ­ву­ют 16 иг­ро­ков, раз­бить их на про­из­воль­ные пары можно  дробь: чис­ли­тель: 16 умно­жить на 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 120 спо­со­ба­ми. Пусть n — число всех воз­мож­ных ва­ри­ан­тов про­хож­де­ния игр тур­ни­ра. В пер­вом туре встре­ча­ют­ся 8 пар иг­ро­ков, по­это­му во всех воз­мож­ных n ва­ри­ан­тах пер­во­го тура может быть 8n пар. Все эти пары рав­но­воз­мож­ны, по­это­му ве­ро­ят­ность того, что одну из них со­став­ля­ют два вы­бран­ных иг­ро­ка равна  дробь: чис­ли­тель: 8n, зна­ме­на­тель: 120n конец дроби , то есть  дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 120 конец дроби .

Если вы­бран­ные иг­ро­ки не встре­ти­лись в пер­вом туре, они могут встре­тить­ся во вто­ром. В нем при­мут уча­стие 4 ко­ман­ды, ве­ро­ят­ность встре­чи иг­ро­ков равна  дробь: чис­ли­тель: 4n, зна­ме­на­тель: 120n конец дроби или  дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 120 конец дроби .

В тре­тьем туре при­мут уча­стие 4 че­ло­ве­ка, из них можно со­ста­вить две пары, в чет­вер­той игре участ­ву­ют 2 че­ло­ве­ка, пара толь­ко одна; ис­ко­мые ве­ро­ят­но­сти суть  дробь: чис­ли­тель: 2n, зна­ме­на­тель: 120n конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: n, зна­ме­на­тель: 120n конец дроби со­от­вет­ствен­но.

Пе­ре­чис­лен­ные со­бы­тия не­сов­мест­ны, по­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна  дробь: чис­ли­тель: 8 плюс 4 плюс 2 плюс 1, зна­ме­на­тель: 120 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Решим за­да­чу в общем виде.

Пусть в тур­ни­ре по олим­пий­ской си­сте­ме (игра на­вы­лет, плей-офф) участ­ву­ют n иг­ро­ков (n — сте­пень двой­ки, всего в тур­ни­ре про­во­дит­ся n −1 игра). Раз­бить n иг­ро­ков на про­из­воль­ные пары можно k = дробь: чис­ли­тель: n(n минус 1), зна­ме­на­тель: 2 конец дроби спо­со­ба­ми. Для каж­до­го воз­мож­но­го тур­ни­ра по­стро­им де­ре­во игр, в вер­ши­нах ко­то­ро­го ука­жем имена двух встре­тив­ших­ся в со­от­вет­ству­ю­щей игре иг­ро­ков. Любая пара иг­ро­ков в тур­ни­ре может сыг­рать друг с дру­гом не боль­ше од­но­го раза. Вы­бе­рем один из тур­ни­ров, рас­смот­рим со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что двое на­пе­ред вы­бран­ных иг­ро­ков встре­ти­лись в пер­вой игре пер­во­го тура. Ве­ро­ят­ность этого со­бы­тия равна 1/k, то есть  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: конец дроби n(n минус 1). Вы­би­ра­ем вто­рую игру пер­во­го тура, тре­тью и так далее до по­след­ней n −1 -ой игры по­след­не­го тура. Эти со­бы­тия рав­но­ве­ро­ят­ны и не­сов­мест­ны, а по­то­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность их суммы равна (n минус 1) умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: конец дроби n(n минус 1) = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: n конец дроби .

§

Ре­ше­ние.

Для того, чтобы по­сту­пить хоть куда-ни­будь, З. нужно сдать и рус­ский, и ма­те­ма­ти­ку как ми­ни­мум на 70 бал­лов, а по­ми­мо этого еще сдать ино­стран­ный язык или об­ще­ст­во­зна­ние не менее, чем на 70 бал­лов. Пусть A, B, C и D — это со­бы­тия, в ко­то­рых З. сдает со­от­вет­ствен­но ма­те­ма­ти­ку, рус­ский, ино­стран­ный и об­ще­ст­во­зна­ние не менее, чем на 70 бал­лов. Тогда по­сколь­ку

 P(C плюс D)=P(C) плюс P(D) минус P(C умно­жить на D),

для ве­ро­ят­но­сти по­ступ­ле­ния имеем:

P(AB(C плюс D))=P(A) умно­жить на P(B) умно­жить на P(C плюс D) = P(A) умно­жить на P(B) умно­жить на (P(C) плюс P(D) минус P(C) умно­жить на P(D))

=0,6 умно­жить на 0,8 умно­жить на (0,7 плюс 0,5 минус 0,7 умно­жить на 0,5)=0,408.

Ответ: 0,408.

При­ве­дем дру­гую за­пись этого ре­ше­ния.

В силу не­за­ви­си­мо­сти со­бы­тий, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны на линг­ви­сти­ку: 0,6 · 0,8 · 0,7 = 0,336, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны на ком­мер­цию: 0,6 · 0,8 · 0,5 = 0,24, ве­ро­ят­ность успеш­но сдать эк­за­ме­ны и на «Линг­ви­сти­ку», и на «Ком­мер­цию»: 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5 = 0,168. Успеш­ная сдача эк­за­ме­нов на «Линг­ви­сти­ку» и на «Ком­мер­цию» — со­бы­тия сов­мест­ные, по­это­му ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния. Тем самым, по­сту­пить хотя бы на одну из этих спе­ци­аль­но­стей аби­ту­ри­ент может с ве­ро­ят­но­стью 0,336   0,24 − 0,168 = 0,408.

При­ведём ре­ше­ние Алек­сея Стол­бо­ва из Маг­ни­то­гор­ска.

Есть три ва­ри­ан­та по­ступ­ле­ния аби­ту­ри­ен­та хотя бы на одну спе­ци­аль­ность:

а) по­сту­пить на линг­ви­сти­ку при этом не по­сту­пив на ком­мер­цию: ве­ро­ят­ность 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5;

б) по­сту­пить и на линг­ви­сти­ку, и на ком­мер­цию: ве­ро­ят­ность 0,6 · 0,8 · 0,7 · 0,5;

в) не по­сту­пить на линг­ви­сти­ку, при этом по­сту­пив на ком­мер­цию: ве­ро­ят­ность 0,6 ·  0,8 · 0,3 · 0,5.

Эти со­бы­тия не­сов­мест­ные, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность суммы этих со­бы­тий равна сумме их ве­ро­ят­но­стей:

0,6 · 0,8 · (0,35 0,35 0,15) = 0,48 · 0,85 = 0,408.

При­ведём ре­ше­ние Ирины Шраго из Санкт-Пе­тер­бур­га.

Для по­ступ­ле­ния З. не­об­хо­ди­мо сдать ма­те­ма­ти­ку и рус­ский язык хотя бы на 70 бал­лов, а также сдать ино­стран­ный язык или об­ще­ст­во­зна­ние не менее, чем на 70 бал­лов. Это со­бы­тия не­за­ви­си­мые, причём со­бы­тие «сдать хотя бы один эк­за­мен не менее, чем на 70 бал­лов» про­ти­во­по­лож­но со­бы­тию «сдать оба пред­ме­та менее, чем на 70 бал­лов». По­лу­ча­ем, что ве­ро­ят­ность ис­ко­мо­го со­бы­тия: 0,6 · 0,8 · (1 − 0,3 · 0,5) = 0,408.

При­ведём ре­ше­ние с по­мо­щью дво­ич­но­го де­ре­ва.

Как решать задачи на вероятность: от простого к сложному

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. P(A B) = P(A) P(B)-P(AB).

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае P{AB)= P(A)cdot P(B).

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение 1cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6P_n=1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6P_n=1 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6 n= 66 cdot 56 cdot 5

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

В нашем случае n = 6, k = 2frac {6 cdot 5 cdot 4}{1cdot 2 cdot 3} = 20frac {6 cdot 5 cdot 4}{1cdot 2 cdot 3} = 20nkkn=6, k=3

Теоретическая часть

Если имеются события А и В, то

формулычасть1, часть 2, часть 3, часть 4).

Формула вероятности

Формула для вычисления вероятности события выглядит следующим образом:Kak reshat zadachi na veroyatnost 10

m —  число вариантов, которые нас устраивают (число благоприятных исходов);

n – общее количество вариантов (возможных исходов).

Логично, что число благоприятных исходов всегда меньше, чем общее количество исходов, т.е. меньшее число мы делим на большее. Таким образом вероятность всегда находится в диапазоне от 0 до 1.

Приведем еще пример.

Подведем итог

Это последняя часть материала по началам теории вероятностей, знание которого необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике профильного уровня.

Для закрепления изученного предлагаю вам задачи для самостоятельного решения.

Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.

Оцените статью
ЕГЭ Live