И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Окружность на ЕГЭ и ОГЭ — сложно. Все потому, что эта фигура не похожа на остальные: у неё нет углов и сторон, зато есть совсем другие элементы. В этой статье мы подробно поговорим про элементы окружности, углы, отрезки и прямые, которые с ней связаны, а также обсудим длину окружности и площадь круга. Ну и разберем основные задания ЕГЭ и ОГЭ, конечно же!

В этой статье:

Углы у окружности на ЕГЭ и ОГЭОтрезки и прямые в окружности на ЕГЭ и ОГЭ4 теоремы про окружность в ЕГЭ и ОГЭДлина окружности и площадь кругаЧто нужно иметь в виду для ЕГЭ и ОГЭ

окружность егэ — Все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ — разбор заданий и задач

Для начала давайте разберёмся, что же такое окружность. Окружность — это замкнутая линия, состоящая из множества точек, которые равноудалены от центра окружности. Основной элемент окружности — это радиус, он соединяет центр с любой точкой на окружности.

Содержание

Задачи по стереометрии (геометрии в пространстве)
Длина окружности и площадь круга
Как находить площадь и длину дуги сектора круга: задачи
Отрезки и прямые в окружности на ЕГЭ и ОГЭ
Задание №48
Условие
Решение
Ответ
Задачи ЕГЭ на движение по окружности
Задачи с решениями по окружности егэ математика
Задание №1070
Условие
Решение
Ответ
Задание №896
Условие
Решение
Ответ
4 теоремы про окружность в ЕГЭ и ОГЭ
Теорема № 1: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
Теорема № 2: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
Теорема № 3: теория и задания из ЕГЭ и ОГЭ
Теорема № 4: пересекающиеся хорды
Задания по теме «Окружность»
Задание №1068
Условие
Решение
Ответ
Углы у окружности на ЕГЭ и ОГЭ
Решение
Задачи ЕГЭ на сплавы, смеси, растворы.
Задание №51
Условие
Решение
Ответ
Задание №1069
Условие
Решение
Ответ
Задание №47
Условие
Решение
Ответ
Что нужно иметь в виду для ЕГЭ и ОГЭ
Задание №46
Условие
Решение

Скачивая материалы с этого сайта, Вы принимаете условия

Варианты ЕГЭ 2023 базового уровня

ЕГЭбаз 2023 №01-12

ЕГЭбаз 2023 №13-24 в VK по платной подписке

Задачники ЕГЭ 2023 базового уровня

Задание 01. Текстовые задачи (простейшие)

Задание 02. Размеры и единицы измерения

Задание 03. Графики и диаграммы

Задание 04. Преобразование выражений (формулы)

Задание 05. Теория вероятностей

Задание 06. Выбор оптимального варианта

Задание 07. Анализ графиков и таблиц

Задание 08. Анализ утверждений

Задание 09. Площадь

Задание 10. Прикладная планиметрия

Задание 11. Прикладная стереометрия

Задание 12. Планиметрия

Задание 13. Стереометрия

Задание 14. Действия с дробями

Задание 15. Текстовые задачи (проценты)

Задание 16. Вычисления и преобразования

Задание 17. Уравнения

Задание 18. Числа и неравенства

Задание 19. Цифровая запись числа

Задание 20. Текстовая задача

Задание 21. Задачи на смекалку

Варианты ЕГЭ 2023 профильного уровня

ЕГЭпроф 2023 №01-10

ЕГЭпроф 2023 №11-24 впо платной подписке

Задачники ЕГЭ 2023 профильного уровня

Задание 01. Планиметрия

Задание 02. Стереометрия

Задание 03. Теория вероятностей

Задание 04. Теория вероятностей (повыш. сложность)

Задание 05. Простейшие уравнения

Задание 06. Значение выражения

Задание 07. Производная и первообразная

Задание 08. Задачи с прикладным содержанием

Задание 09. Текстовые задачи

Задание 10. Функции

Задание 11. Исследование функций

Задание 12. Уравнения

Задание 13. Стереометрия

Задание 14. Неравенства

Задание 15. Финансовая математика

Задание 16. —-

Задание 17. —-

Задание 18. —-

ОТВЕТЫ к Задачникам ЕГЭ 2023 года

МАТЕРИАЛЫ прошлых лет (ЕГЭ АРХИВ)

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

1. Прикладные задачи (задачи из повседневной жизни)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Пример: от числа равно:

Чтобы найти, на сколько процентов число больше (меньше) числа , нужно найти, сколько процентов составляет число от числа , а затем из этого количества процентов отнять (из отнять найденное количество процентов).

Задание
36

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В прошлом году цена рубашки составляла 1300 рублей, а цена футболки 700 рублей. В этом году цена рубашки выросла на 35, а цена футболки выросла на 29. На сколько процентов больше нужно заплатить за комплект из рубашки и футболки в этом годупо сравнению с прошлым годом?

Задание
37

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В прошлом году цена куртки составляла 6000 рублей, а цена брюк 4000 рублей. В этом году цена куртки выросла на 24, а цена брюк выросла на 26. Сколько теперь стоят куртка и брюки вместе?

Куртка теперь стоит $6000 \cdot (1 + 0,24) = 7440$ рублей. Брюки стали стоить $4000 \cdot (1 + 0,26) = 5040$ рублей. Куртка и брюки вместе стоят 7440 + 5040 = 12480 рублей.

Задание
38

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В прошлом году цена трусов составляла 250 рублей, а цена пары носков 50 рублей. В этом году цена трусов выросла на 20, а цена пары носков выросла на 10. На сколько процентов больше нужно заплатить за комплект из двух трусов и десяти пар носков в этом году, чем в прошлом?

Задание
39

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В прошлом году в кинотеатре “Фильм” цена большого ведра попкорна составляла 200 рублей, а цена банки колы 50 рублей. В этом году цена большого ведра попкорна выросла на 27, а цена банки колы выросла на 18. На сколько процентов больше нужно заплатить за набор из трёх больших вёдер попкорна и восьми банок колы в этом году, чем в прошлом?

Задание
40

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В 2014 году цена накладки на ракетку для настольного тенниса Donic Desto F3 составляла 1350 рублей, а цена основания для ракетки Butterfly Timo Boll Forte была 1800 рублей. В 2016 году цена накладки Donic Desto F3 выросла на 100 относительно 2014 года, а цена основания Butterfly Timo Boll Forte на 125. На сколько процентов больше нужно заплатить за набор из двух накладок Donic Desto F3 и одного основания Butterfly Timo Boll Forte в 2016 году, чем в 2014?

Задание
41

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В понедельник Ивана повысили, вследствие чего его зарплата выросла на . Во вторник Ивана снова повысили, в следствие чего его зарплата снова выросла на . В среду Иван взял ипотеку, и теперь он должен каждый месяц отдавать зарплаты банку. Иван не сказал жене ни о повышениях, ни об ипотеке. Раньше Иван всю зарплату отдавал жене, теперь он отдаёт жене всю зарплату, остающуюся после уплаты ипотеки. На сколько процентов, по мнению жены, упала зарплата Ивана?

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по стереометрии (геометрии в пространстве)

Задание
1

Уровень задания: Равен ЕГЭ

– куб. Найдите угол между прямыми, содержащими отрезки и . Ответ дайте в градусах.

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Задание
2

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана правильная треугольная пирамида с вершиной . Найдите угол между высотой пирамиды и ребром , если высота пирамиды равна , а сторона основания пирамиды равна . Ответ дайте в градусах.

Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно, высота падает в точку пересечения медиан основания.

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Задание
3

Уровень задания: Равен ЕГЭ

– куб. Точка лежит на ребре . Найдите угол между прямыми, содержащими отрезки и . Ответ дайте в градусах.

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Задание
4

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан правильный тетраэдр . Найдите квадрат тангенса угла между высотой грани , опущенной из вершины , и высотой грани , опущенной из вершины .

Пусть – высота грани . Так как тетраэдр правильный, то все его грани – равные правильные треугольники, то есть также является и медианой, значит, . Также у правильного тетраэдра высота из каждой вершины падает в точку пересечения медиан (биссектрис, высот) противоположной грани. Следовательно, если – высота, то – точка пересечения медиан треугольника , а значит и высот, так как правильный. Следовательно, — медиана и высота.

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Задание
5

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан куб . Найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Задание
6

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан куб . Точка – середина стороны , а точка – середина стороны . Найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Задание
7

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дана правильная треугольная пирамида с вершиной . Найдите косинус угла между высотой основания и ребром , если сторона основания равна , а боковое ребро равно .

Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник, следовательно, также является и медианой.

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Старшеклассникам, планирующим хорошо сдать ЕГЭ по математике, мы рекомендуем повторить стереометрию. Это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур (точек, прямых, плоскостей и т. д.) в пространстве. Используя нашу базу тренировочных задач, вы сможете устранить пробелы в знаниях по стереометрии, при этом подготовка к экзамену не потребует материальных вложений. Вы разберетесь в теме без репетитора, так как мы изложили материал в максимально доступной форме.

В данном учебном пособии рассмотрены стандартные математические задания по теме «Геометрия фигур в пространстве», предлагавшиеся на ЕГЭ в прошлых учебных годах. Здесь вы сможете вспомнить теоретическую базу и применить свои знания на практике. У нас вы найдете как элементарные упражнения, так и материалы повышенной сложности, также изучаемые в школьной программе. При этом каждая задача по стереометрии содержит подробный алгоритм решения и правильный ответ.

Тренируйтесь регулярно, и вы не совершите ошибок на аттестационном экзамене, например, если вам достанутся задачи на тему «Вычисление объемов фигур». А благодаря порталу «Школково» заниматься самообразованием можно в любое удобное время онлайн. Приступите к решению задач из раздела ЕГЭ «Геометрия в пространстве» уже сейчас, ведь с каждым днем остается все меньше времени на подготовку. А мы всегда рады помочь.

Про ЕГЭ: ЕГЭ по русскому языку — популярные книги

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции $\displaystyle y=-{{x^2+289}\over{x}}.$

Найдем производную функции.

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Приравняем производную к нулю. Получим:

$x^2=289\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \ x=17, \hfill \\ x=-17. \end{array} \right.$

Исследуем знаки производной.

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

В точке $x = 17$ производная $И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x= 17$ — точка максимума функции $y(x).$

2. Найдите точку минимума функции $y=2x^2-5x+lnx-3.$

Найдем производную функции.

$y{$

Приравняем производную к нулю.

$4x-5+{{1}\over{x}}=0\Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \ x=1, \\ x={{1}\over{4}}. \end{array} \right.$

Определим знаки производной.

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

В точке $x = 1$ производная $И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?$ меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, $x= 1$ — точка минимума функции $y(x).$

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}.$

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция $y=2^t$ монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ будет при том же $x_0$ , что и точка максимума функции $t\left(x\right)=5-8x-x^2.$ А ее найти легко.

$t^{$

$t^{$ при $x=-4$ . В точке $x = -4$ производная $И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, $x= - 4$ — точка максимума функции ${ t}\left({ x}\right)$ .

Заметим, что точку максимума функции $t\left(x\right)=5-8x-x^2$ можно найти и без производной.

Графиком функции $t\left(x\right)$ является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение $t\left(x\right)$ достигается в вершине параболы, то есть при $x=-\frac{8}{2}=-4.$

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции $y=\sqrt{4-4x-x^2}.$

Напомним, что абсцисса — это координата по $X.$

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция $y=\sqrt{z}$ монотонно возрастает, точка максимума функции $y=\sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции $t\left(x\right)=4-4x-x^2.$

Это вершина квадратичной параболы $t\left(x\right)=4-4x-x^2;x_0=\frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции $y=x^3+2x^2-4x+4$ на отрезке $[-2;0].$

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Будем искать точку максимума функции $y=x^3+2x^2-4x+4$ с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

$И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?$

${3x}^2+4x-4=0;$

$D=64;x=\frac{-4\pm 8}{6};x_1=\frac{2}{3},x_2=-2.$

Найдем знаки производной.

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

В точке $x = - 2$ производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции $y(x)$ . Поскольку при $x\in [-2;0]$ функция $y(x)$ убывает, $y_{max}\left(x\right)=y\left(-2\right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

6. Найдите наименьшее значение функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ на отрезке $[0,3;3].$

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Точка $x_1=1$ — точка минимума функции $y\left(x\right)$ . Точка $x_2=\frac{1}{4}$ не лежит на отрезке $[0,3;1].$ Поэтому

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность? и Значит, наименьшее значение функции на отрезке $\left[0,3;1\right]$ достигается при $x=1.$ Найдем это значение.

$y_{min}\left(x\right)=y\left(1\right)=4-10-5=-11.$

7. Найдите наименьшее значение функции $y=9x-{\ln \left(9x\right)}+3$ на отрезке $\left[\frac{1}{18};\frac{5}{18}\right].$

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

$y=9x-{\ln \left(9x\right)}+3=9x-{\ln 9-{\ln x}}+3.$

Мы применили формулу для логарифма произведения. $y$ при $x=\frac{1}{9}.$

Если И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность? то Если , то

Значит, $x=\frac{1}{9}$ — точка минимума функции $y(x)$ . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $\left[\frac{1}{18};\frac{5}{18}\right].$

$y_{min}\left(x\right)=y\left(\frac{1}{2}\right)=1+3=4.$

8. Найдите наибольшее значение функции $y(x)=14x-7tgx-3,5\pi +11$ на отрезке $\left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right].$

Найдем производную функции $y(x)=14x-7tgx-3,5\pi +11.$ $y$

Приравняем производную к нулю: $14-\frac{7}{{cos}^2x}=0.$

${cos}^2x=\frac{1}{2}.$

${cos}^2x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $x\in \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right], y$ если $x=\pm \frac{\pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $\left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right].$

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

При $x=\frac{\pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=\frac{\pi }{4}$ — точка максимума функции $y(x).$

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-\frac{\pi }{3}$ и $x =\frac{\pi }{4}.$

$y\left(\frac{\pi }{4}\right)=-7+11=4;$

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Мы нашли, что $y_{max}\left(x\right)=y\left(\frac{\pi }{4}\right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-\frac{\pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

${{(e}^{-x})}^{$

$И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?$

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

$И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?$

$И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?$ если $e^x=4.$ Тогда $x=ln4.$

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность? При $x=ln4$ знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, $x=ln4$ — точка минимума функции $y(x).$ $y\left(ln4\right)=4^2-8\cdot 4+9=16-32+9=-7.$

10. Найдите наибольшее значение функции $y=12cosx+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\pi +6$ на отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}.\right]$

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

$И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?$

$И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?$
$12sinx=6\sqrt{3};$

$sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

По условию, $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ . На этом отрезке условие $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=\frac{\pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=\frac{\pi }{3}.$

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

В точке $x_0=\frac{\pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=\frac{\pi }{3}$ — точка максимума функции $y(x)$ . Других точек экстремума на отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции ${ y=12cosx+6}\sqrt{{ 3}}{ }{ x}{ -}{ 2}\sqrt{{ 3}}{ }\pi { +6}$ на отрезке $\left[{ 0};\frac{\pi }{{ 2}}\right]$ достигается при ${ x=}\frac{\pi }{{ 3}}.$

$y_{max}\left(x\right)=y\left(\frac{\pi }{3}\right)=12.$

11.Найдите наименьшее значение функции $y=16x-6sinx+6$ на отрезке $\left[0;\frac{\pi }{2}\right].$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность? — нет решений.

Что это значит? Производная функции $y=16x-6sinx+6$ не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку $cosx\le 1$ , получим, что И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность? для всех $x$ , и функция $y\left(x\right)=16x-6sinx+6$ монотонно возрастает при $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right].$

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка $\left[{ 0};\frac{\pi }{{ 2}}\right]$ , то есть при $x=0.$

$y_{min}\left(x\right)=y\left(0\right)=6.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Длина окружности и площадь круга

Вот мы и подошли с вами к самому интересному, формулам длины окружности и площади круга, давайте их запишем:

формулы окружность — Формулы длины окружности и площади круга

Эти формулы очень походы, в них есть двойка, число Pi и радиус, однако можно заметить, что у формулы длины окружности двойка слева, а у площади круга справа в степени.

Так как же их не путать? Очень просто: запомните, что вторая степень (или квадрат) должна быть у площади, значит двойка слева будет у длины.

Давайте это закрепим:

окружность задание — Задание на длину окружности и площадь круга в ЕГЭ и ОГЭ

Вот так просто и быстро мы закрепили сразу обе формулы.

Как находить площадь и длину дуги сектора круга: задачи

А теперь перейдём к самому интересному — нахождению площади и длины дуги сектора круга. Многие ученики думаю, что это сложно, но на самом деле это не так. Я предлагаю записать 2 коротких алгоритма, с помощью которых вы сможете легко найти площадь или длину дуги сектора.

площадь круга егэ огэ — 2 алгоритма для поиска площади и длины дуги сектора

И конечно же давайте закрепим эти алгоритмы на практике:

Теперь вы умеете решать задания на поиск площади сектора. Согласитесь, что с алгоритмом всё намного понятнее и проще?

Отрезки и прямые в окружности на ЕГЭ и ОГЭ

Теперь рассмотрим отрезки и прямые в окружности. Приготовьтесь, их будет много!

Есть хорда — это отрезок, который соединяет 2 любые точки на окружности. Если хорда пройдёт через центр окружности, то она превратится в диаметр. Кстати, если внимательно посмотреть, то можно увидеть, что диаметр — это 2 радиуса!

окружность огэ — Хорда, диаметр, радиус и центр окружности на схеме

Теперь продлим хорду в обе стороны за пределы окружности, получим прямую, которая переСЕКает нашу окружность, отсюда и её название — секущая. Можно заметить, что секущая имеет 2 общих точки пересечения с окружностью. А ещё мы можем провести прямую так, чтобы она имела с окружностью только 1 точку пересечения, то есть касалась её, такая прямая будет называться касательная.

Подробнее со свойствами касательной и секущей можно ознакомиться на рисунке:

Рассмотрим на примерах заданий про окружность в ЕГЭ и ОГЭ:

Задание №48

Условие

Угол ACB равен 54^ <\circ>. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащих точек D и E , равна 138^ <\circ>. Найдите угол DAE . Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол DAE мы можем найти зная два остальных угла треугольника ACD . Угол ACB нам известен и равен углу ACD . Угол ADC является разностью развернутого угла BDC и угла ADB . Угол ADB является вписанным в окружность, а значит его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Из условия задачи градусная мера дуги AB известна. Найдем угол ADB :

Найдем угол ADC :

Угол DAE равен углу DAC . Зная два угла треугольника, найдем искомый угол DAE :

Ответ

Задачи ЕГЭ на движение по окружности

Секрет задач на движение по окружности: тот, кто обгоняет, проезжает на 1 круг больше, если это первый обгон. И на n кругов больше, если обогнал другого в n-ный раз.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Автомобили стартовали одновременно, и первый автомобиль через 20 минут после старта опережал второй автомобиль на один круг. Значит, за эти 20 минут, то есть за часа он проехал на 1 круг больше – то есть на 8 км больше.

За час первый автомобиль проедет на км больше второго. Скорость второго автомобиля на 24 км/ч меньше, чем у первого, и равна 114 — 24 = 90 км/ч.

Из пункта круговой трассы выехал велосипедист, а через минут следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за и . В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через минут, то есть через часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути минут, то есть часа.

Запишем эти данные в таблицу:

Про ЕГЭ: Решения 36 типовых экзаменационных вариантов Ященко, ЕГЭ-2018, математика, профильный уровень — Решения вариантов ЕГЭ по математике

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть .

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через минут, то есть через часа после первого обгона.

Нарисуем вторую таблицу.

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна км. Получим второе уравнение:

Решим получившуюся систему.

Получим, что . В ответ запишем скорость мотоциклиста.

Часы со стрелками показывают часов минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Это, пожалуй, самая сложная задача из вариантов ЕГЭ. Конечно, есть простое решение — взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через часа, ровно в .
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?

За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая часть круга. Пусть их скорости равны (круг в час) и (круга в час). Старт — в . Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на круга больше, поэтому уравнение будет таким:

Решив его, получим, что часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через часа. Пусть во второй раз они поравняются через время . Минутная стрелка пройдет расстояние , а часовая , причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

Решив его, получим, что часа. Итак, через часа стрелки поравняются во второй раз, еще через часа — в третий, и еще через часа — в четвертый.

Значит, если старт был в , то в четвертый раз стрелки поравняются через часа.

Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! 🙂

На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:

где — средняя скорость, — общий путь, — общее время.

Если участков пути было два, то

А сейчас покажем вам один из секретов решения текстовых задач. Что делать, если у вас получился в уравнении пятизначный дискриминант? Да, это реальная ситуация! Это может встретиться в варианте ЕГЭ.

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.

Первый гонщик через 15 минут после старта обогнал второго на 1 круг. Значит, за 15 минут он проехал на 1 круг, то есть на 3 километра больше. За час он проедет на километров больше. Его скорость на 12 км/ч больше, чем скорость второго.

Как всегда, составляем таблицу и уравнение. 10 минут переведем в часы. Это часа.

Честно преобразовав это уравнение к квадратному, получим:

Пятизначный дискриминант, вот повезло! Но есть и другой способ решения, и он намного проще.
Посмотрим еще раз на наше уравнение:

Заметим, что 180 делится на 12. Сделаем замену:

И все об окружности на ЕГЭ и ОГЭ. Как называется окружность?

Это уравнение легко привести к квадратному и решить.
Целый положительный корень этого уравнения: Тогда

Мы решили текстовую задачу с помощью замены переменной. Этот прием в математике используется везде: в решении задач, уравнений и неравенств, в задачах с параметрами и интегрировании. Общее правило: можете сделать замену переменной – сделайте.

Задачи с решениями по окружности егэ математика

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

Пусть v км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна v + 21 км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через t часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому

Таким образом, мотоциклисты поравняются через часа или через 20 минут.

Приведём другое решение.

Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость второго автомобиля равна км/ч. За 2/3 часа первый автомобиль прошел на 14 км больше, чем второй, отсюда имеем

Добрый день, на мой взгляд, гораздо проще сменить систему отсчёта( Найдём скорость удаления(21) и (80-21=59).

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x, а скорость их сближения — 3x км/час.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составлят 60 км/час.

Итак, 3х = 60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.

Вы утверждаете что второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут и за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составлят 60 км/час, но это означает, что велосипедист остановился в той точке, где мотоциклист догнал его первый раз, и оставался в ней неподвижно, пока мотоциклист проезжал круг и возвращался в эту точку. Но на самом-то деле велосипедист двигался 30 мин, пока мотоциклист проезжал круг. Значит, чтобы мотоциклист догнал велосипедиста мотоциклисту нужно проехать 30 км + расстояние, которое прошел велосипедист, пока двигался мотоциклист.

Вы правы в том, что они двигались одновременно и второй раз встретились в другой точке. Это не противоречит сказанному в решении: при этом мотоциклист проехал на 30 км больше.

Часы со стрелками показывают 8 часов ровно. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

До четвертой встречи стрелок минутная должна сначала пройти 8 разделяющих их часовых делений (поскольку часы показывают 8 часов), затем 3 раза обойти полный круг, то есть пройти 36 часовых делений, и пройти последние L делений, на которые поворачивается часовая стрелка за время движения минутной. Скорость движения минутной стрелки в 12 раз больше часовой: пока часовая обходит один полный круг, минутная проходит 12 кругов. Приравняем время движения часовой и минутной стрелок до их четвертой встречи:

Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.

Приведем арифметическое решение.

Скорость минутной стрелки 1 круг в час, а часовой — круга в час, поэтому скорость удаления или сближения стрелок равна круга в час. Расстояние между стрелками, отсчитываемое по окружности, в начальный момент составляет 40 минут или круга. С момента первой встречи до момента четвёртой встречи минутная стрелка должна опередить часовую на три круга. Всего круга. Поэтому необходимое время равно часа или 240 минут.

Приведем другое решение.

Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз — между 9 и 10 часами, третий — между 10 и 11, четвертый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 4 часа, что составляет 240 минут.

Помещаем решение в общем виде.

Скорость вращения часовой стрелки равна 0,5 градуса в минуту, а минутной — 6 градусов в минуту. Поэтому когда часы показывают время h часов m минут часовая стрелка повернута на 30h + 0,5m градусов, а минутная — на 6m градусов относительно 12-часового деления.

Пусть в первый раз стрелки встретятся через t₁ минут. Тогда если минутная стрелка еще не опережала часовую в течение текущего часа, то 6m + 6t₁ = 30h + 0,5m + 0,5t₁, т. е. t₁ = (60h − 11m)/11 (*). В противоположном случае получаем уравнение 6m + 6t₁ = 30h + 0,5m + 0,5t₁ + 360, откуда t₁ = (60h − 11m + 720)/11 (**).

Пусть во второй раз стрелки встретятся через t₂ минут после первого, тогда 0,5t₂ = 6t₂ − 360, откуда t₂ = 720/11 (***). Это же верно для каждого следующего оборота.

Поэтому для встречи с номером n из (*) и (**) с учетом (***) имеем соответственно: t_n = (60h − 11m + 720(n − 1))/11 или t_n = (60h − 11m + 720n − 720)/11.