Кутепова Анна, ученица 10 класса
Моторина Ольга Робертовна, преподаватель математики «МОУ ОСОШ №1»
с. Октябрьское, 2022 г.
Банковские кредиты и математика 4
Схемы решения экономических задач на кредиты 8
Список информационных источников 22
В современном, информационно-развитом мире, встречаются люди, которые не умеют правильно распоряжаться своими финансами и контролировать свои доходы и расходы. В этих случаях необходима финансовая грамотность, ведь благодаря данным знаниям мы сможем не только управлять деньгами, правильно инвестировать свои средства, но также будем в безопасности во время сложных жизненных обстоятельств и не потеряем свои доходы. Наша жизнь сегодня настоятельно требует, чтобы каждый человек имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений. Финансовая грамотность необходима при решении экономических задач в ЕГЭ профильного уровня по математике. Данные задания проверяют практические навыки применения математики в повседневной жизни, навыки построения и исследования математических моделей.
Учащиеся при подходе к итоговой аттестации в 9-х и 11-х классах сталкиваются с проблемой решения задач на проценты, а они есть и в ОГЭ и в ЕГЭ. На данный момент я являюсь ученицей 10 класса. В следующем году мне предстоит сдать ЕГЭ. Я уже ознакомлена с заданиями данного экзамена и знаю, что среди них есть задачи экономической направленности повышенного уровня сложности, которые в курсе старшей общеобразовательной школы не рассматриваются. Для меня стал актуален вопрос о том, каким образом подойти к решению таких задач. Кроме того я выбрала эту тему еще и потому, что в 7 классе мной был выполнен проект «Сам себе финансист: проценты и скидки».В этой исследовательской работе я хочу углубить и расширить свои знания в области финансовой математики. На выбор темы повлияло и то, что в будущем я планирую поступить на экономический факультет ВУЗа.
Тема моей работы: Финансовая математика в экономических задачах ЕГЭ. Решение задач на кредиты.
Не смотря многообразие типов экономических задач профильного экзамена по математике, их можно классифицировать и вывести единую схему решения.
Изучить основные типы экономических задач на кредиты ЕГЭ по профильной математике и научиться их решать.
Экономические задачи на кредиты №15 в ЕГЭ.
Схемы и алгоритмы решения задач на кредиты.
Финансовая математика – раздел , имеющий дело с математическими задачами, связанными с
В единый государственный экзамен по математике (ЕГЭ) профильного уровня экономические задачи были включены в 2015 г. Это задания высокого уровня сложности с практическим содержанием, проверяющее навыки применения математики в повседневной жизни, навыки построения и исследования математических моделей.
Экономические задачи предполагают:
Экономические задачи под номером 15 в ЕГЭ по профильной математике делятся на три основные группы:
Данную работу я посвятила разбору примеров задач первого типа.
Банковский кредит – денежная сумма, предоставляемая на определённый срок и на определённых условиях; определённая технология удовлетворения заявленной
Потребность в кредите возникает при оплате значительныхпо стоимости объектов потребления без предварительного накопления достаточных ресурсов, необходимости обеспечения своевременных платежей по товарам, приобретенным в рассрочку, оплате эксклюзивных покупок случайного характера, кассовых разрывах при замене старых объектов потребления на новые, покрытии потерь при наступлении рисков, оплате значительных расходов и т. д.
Понимание и структурирование данных условия задачи – важный шаг на пути правильного ее решения. Для упорядочивания данных условия задачи я использовала таблицы, хотя это и не единственный способ решения 15-го задания, можно использовать и другие методы: последовательности, прикладные методы. Метод решения текстовых задач с помощью таблиц универсальный, знаком каждому школьнику. С помощью таблицможно выработать единый алгоритм решения большинства банковских задач.
В решениях, представленных в работе задач,мною будут использоваться следующие обозначения:
Кредитные операции играют основную роль в деятельности банков. Экономические задачи, конечно, несколько упрощают реальную ситуацию, в жизни банковские операции по кредитам значительно сложнее, тем не менее, именно они дают начальные представления о действиях в мире финансов. При решении экономических задач не обойтись без вычисления процентов, при этом используются «простые» и «сложные проценты». Задачи простые проценты изучаются в школьном курсе математике и включены в тестовую часть заданий профильного экзамена. Вычислять же «сложные проценты» приходится в тех случаях, когда в задаче идет речь о величине, подверженной поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменениесоставляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.Существуют разные формулы, по которым происходит вычисление сложных процентов. При выдаче кредитов на срок n проценты могут, например, начисляться по формуле:
это погашаемая сумма, которую заемщик должен вернуть в банк, а – начальная сумма, взятая в кредит.
Проанализировав условия задач на кредиты профильного ЕГЭ, я обнаружила, что классифицировать задачи можно разными способами:
По типу платежей задачи ЕГЭ задачами самыми распространенными являются задачи на фиксированный, аннуитетный и дифференцированный платежи.
– это платеж, величина которого четко определена в задаче.
– это платеж, которыйустанавливается в равной сумме через равные промежутки времени, то есть остаётся постоянным на всём периоде кредитования. Ежемесячный платёж, при аннуитетной схеме погашения кредита состоит из двух частей. Первая часть платежа идёт на погашение процентов за пользование кредитом, авторая часть идёт на погашение суммы долга. Главная особенность таких платежей в том, что вначале ежемесячный платеж практически полностью состоит из суммы процентов, тогда как основной долг заемщика не уменьшается. Постепенно это соотношение выравнивается: если первое времязаемщик гасит в основном проценты, то потом основные средства идут в счет погашения задолженности.
– это способ ежемесячного платежа по кредиту, при котором размер ежемесячной выплаты по погашению кредита постепенно уменьшается к концу периода кредитования. Ежемесячный платёж, как и при аннуитетной схеме погашения кредита, складывается тоже из двух составляющих. Но в дифференцированной схеме первая часть называется основным платежом, размер которого не изменяется на всём сроке кредитования. Этот платёж идет на погашение основного долга по кредиту. Вторая часть платежа непостоянная, она уменьшается к концу срока кредитования. Данная часть платежа при дифференцированной схеме идет на погашение процентов по кредиту. При дифференцированной схеме погашения кредита, ежемесячный платеж рассчитывается как сумма основного платежа и проценты, начисляемые на оставшийся размер долга. Естественно, что оставшийся размер долга уменьшается к концу срока кредитования, отсюда и получается уменьшение размера ежемесячной выплаты.
В практической части своей работы я представляюпримеры решений нескольких задач на кредиты. Это задачи на нахождение: процентной ставки, суммы долга, суммы переплаты, ежегодных (ежемесячных, еженедельных т.д.) выплат, определения срока кредитования.
15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев?
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца» — это означает, что каждый месяц мы должны выплачивать часть начального долга + начисленные за этот месяц проценты
(т. е. половина взятой заемщиком суммы). Для удобства вычисления суммы вынесем за скобки множитель
Примеры задач банка ЕГЭ на определение величины выплаты:
1. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн. рублей на некоторыйсрок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июльпредыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн. рублей?
2. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн. рублей на некоторый срок(целое число лет). Условия его возврата таковы:
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн. рублей?
В июле планируется взять кредит на сумму 6409000 рублей. Условия его возврата таковы:
Каждый январь долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года.
С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен двумя равными платежами
Примеры задач банка ЕГЭна определение ежегодной (ежемесячной) выплаты:
– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере . Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается напо сравнению с концом предыдущего месяца, где – целое число;
– 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:
Найдите наибольшее значение, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн. рублей.
Учитывая, что общая сумма выплат меньше 1,2 млн. руб., составим и решим неравенство:
Примеры задач банка ЕГЭна определение величины процента ставки кредита:
– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет больше 1,2 млн. рублей.
– каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн. рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн рублей.
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 156 060 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Определим величину ежегодной выплаты, решив уравнение относительно
Известно, что сумма трех выплат на 156060 руб. больше суммы кредита:
Примеры задач банка ЕГЭна определение суммы кредита:
– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
– каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 40 980 рублей больше суммы, взятой в кредит?
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн. рублей?
«В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года» — это означает, что каждый год мы должны выплачивать часть начального долга + начисленные за этот год проценты
Сложим все платежи, чтобы определить общую сумму выплат по кредиту:
Сложив все слагаемые . У оставшихся слагаемых есть общий множитель общий множитель , тогда имеем:
Выражение в скобках – арифметическая прогрессия.Найдём её сумму по формуле:
Подставим полученную сумму в выражение для нахождения общей выплаты:
Вместо буквенных символов подставим известные нам значения величин и найдем n:
Примеры задач банка ЕГЭна нахождение срокавыплаты кредита:
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 24,5 млн. рублей?
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн. рублей?
Подводя итоги своей работы, целью которой было познакомиться с типами задач с экономическим содержанием и научиться решать задачи на кредиты, я считаю, что мне удалось достичь этой цели, хотя есть еще к чему стремиться, так как предстоит изучить и задачи других видов.
Проанализировав условия и решения банковских задач, я пришла к заключению, что в большинстве случаев схему решения можно использовать таблицу такого вида:
В ходе своего исследования, разбирая примеры задач и решая задачи самостоятельно, я заметила, что:
Моя гипотеза о том, что, несмотря на сложность и многообразие типов экономических задач их можно классифицировать и вывести единую схему решения, подтвердилась. Я убедилась в ее истинности на примере изучения задач на кредиты.Работу по изучению экономических задач буду продолжать и дальше, так как впереди экзамен по профильной математике и, кроме того, считаю, что решение таких задач позволило мне лучше разобраться в базовых понятиях банковских процессов, что будет полезно мне в моей будущей профессии.
Думаю, что эта работа будет полезна ученикам 10 и 11 класса, учителям для подготовки к ЕГЭ профильного уровня по математике. В ходе работы мною была создана презентация с примерами задач на кредиты и их подробными решениями. Эту презентацию можно предложить ребятам для самостоятельной подготовки, кроме решенных примеров она содержит задачи из банка ЕГЭ по математике.
МКОУ «Калиновская средняя общеобразовательная школа»
Хомутовского района Курской области
Региональная «Неделя математики — 2017»
19 октября 2017 года
: педагоги школ района, области.
Материалы и оборудование: ноутбук, проектор, презентация, тексты задач.
Добрый день, уважаемые коллеги! Меня зовут Дрюкова Оксана Михайловна, я учитель математики Калиновской средней школы. В последние годы большую социальную значимость набирает финансовая и экономическая грамотность молодёжи. Это и организованный Центральным банком Российской Федерации проект «Онлайн уроки финансовой грамотности», и Всероссийский экономический диктант «Сильная экономика – процветающая Россия!», организованный Вольным экономическим обществом России, в котором мои ученики приняли участие 12 октября. Кроме того, Концепция математического образования призывает нас обеспечивать необходимое стране число выпускников, математическая подготовка которых достаточна для продолжения образования в различных направлениях и для практической деятельности, включая преподавание математики, математические исследования, работу в сфере информационных технологий и др.
Именно поэтому одной из особенностей вариантов ЕГЭ по математике профильного уровня с 2015 году является включение практико-ориентированной задачи. Эта задача направлена на применение методов математики при решении содержательных и прикладных задач, в том числе социально-экономического содержания. У учащихся при этом проверяется умение выполнять действия с целыми числами, действий со степенями с натуральным показателем, знаний и умений обращаться с процентами, в том числе и сложными «банковскими» процентами.
Использование задач на проценты раньше также практиковалось в проведении итоговой аттестации. Их достаточно часто включали в варианты как школьных выпускных экзаменов, так и вступительных экзаменов в различные вузы страны. И вот по истечении многих лет задачи на проценты вновь входят в состав заданий ЕГЭ по математике.
Сегодня я остановлюсь на вопросах методики обучения учащихся умению решать задачи с социально-экономическим содержанием при подготовке к ЕГЭ по математике, а именно — решению банковских задач. Выбор темы выпал не случайно, поскольку, на мой взгляд, такие задачи чаще встречаются на экзаменах, к тому же я сама имею образование по специальности «финансы и кредит».
В первую очередь знакомимся с критериями оценивания задачи №17.
При обучении решению задач с социально экономическим содержанием передо мной стояла методическая задача – обучить учащихся использованию математического моделирования». Необходимо учащимся подчеркнуть, что процесс решения задачи представляет собой такую систему преобразований условий задачи, при которых достигается требуемое искомое.
Метод математического моделирования содержит следующие этапы:
1) построение математической модели объекта (явления, процесса);
2)исследование полученной модели, т.е. решение полученной математической задачи средствами математики;
3) интерпретация полученного решения с точки зрения исходной ситуации.
Среди задач с социально-экономическим содержанием важное место занимают так называемые «банковские задачи», так как при ее решении можно столкнуться с различными банковскими операциями (вкладами, ссудами). Такие задачи вызывают у учащихся большие трудности. Это объясняется тем, что в учебниках по математике не рассматриваются такие понятия, как простые и сложные проценты, и не вводятся формулы их вычисления. Предполагается, что учащиеся должны решать эти задачи, опираясь не на формулы, а на понимание понятия процента и умения решать основные три вида задач на проценты.
Итак, для начала выводим основную формулу.
Вспомним, как увеличить число на некоторое количество a%: А (1 +
Если этот процесс повторяется, то А (1 +
Итак, пусть А- сумма кредита, а %- процент по кредиту, р=1 +
это коэффициент, на который умножается остаток долга или коэффициент приращения, S – ежегодная выплата (транш) банку.
Остаток банку через 1 год: Ар- S.
Остаток банку через 2 года: (Ар- S)р – S= Ар – S (p+1).
Остаток банку через 3 года: (Ар- Sр-S)р – S= Ар – S (p
Остаток банку через 4 года: Ар – S (p – S (p+1)(p
Понятие этой схемы помогает учащимся решать задачи.
Банковские задачи можно классифицировать на следующие типы:
Итак, предлагаю рассмотреть 4 типа задач на проценты:
Поскольку мы живем в сельской местности, где развиваются фермерские хозяйства, то предлагаю тексты задач соответствующей тематике, близкой к реальности. Предлагаю вам выступить в роли моих учеников и , используя тексты задач, решить четыре задачи.
Нахождение количества лет выплаты кредита.
Фермерское хозяйство «Сапфир» планирует купить культиватор, взяв кредит в банке 1,5 миллиона рублей. Погашение кредита происходит раз год равными платежами (кроме, может быть, последней) после зачисления процентов. Процентная ставка, предлагаемая банком – 10 % годовых. На какое минимально количество лет фермерское хозяйство может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?
Данная задача относится к первому типу, т.е. необходимо найти, за сколько периодов N кредит будет выплачен полностью.
Итак, имеем А=1500 000 руб, а = 10%, р= 1+0,01*а=1,1.
N≥0, S≤ 350 000 руб,
В конце первого года долг составит: 1500 000 *1,1 – 350 000=1300 000 руб.
В конце второго года долг составит:1300 000 *1,1 – 350 000=1080 000 руб.
В конце третьего года долг составит: 1080 000 *1,1 – 350 000=838 000 руб.
В конце четвертого года долг составит: 838 000 *1,1 – 350 000=571800 руб.
В конце пятого года долг составит:571 800 *1,1 – 350 000=278980 руб.
В конце шестого года долг составит:278900 *1,1 =306878 руб.
Полученная сумма меньше 350 000 руб.
кредит будет погашен за 6 лет.
Нахождение ежегодного платежа.
Фермерское хозяйство «Колос» для покупки комбайна берёт 15 960 000 рублей в кредит под 30% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 30%), затем фермерское хозяйство переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Итак, имеем А=15960000 руб, а = 30%, р= 1+0,01*а=1,3.
Пусть искомый ежегодный платёж составляет Х рублей.
Тогда в конце первого года клиент будет должен
1,3 * 15 960 000 − x = (20 748 000 − x) рублей.
Аналогично, в конце второго года его долг составит
(1,3 *(20 748 000 − x) − x) = 26 972 400 − 2,3x рублей,
а к концу третьего : 1,3 * (26 972 400 − 2,3x) − x = 35 064 120 − 3,99x рублей.
Однако по условию клиент должен выплатить кредит тремя равными платежами, то есть в конце третьего года его долг должен составить 0 рублей.
35 064 120 − 3,99x = 0, x = 8 788 000.
8 788 000 рублей.
Нахождение суммы кредита.
31декабря 2018 года фермерское хозяйство «Хуторок» планируется взять кредит в банке для покупки животноводческой фермы под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем фермерское хозяйство переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму может взять фермерское хозяйство в банке, чтобы выплатить долг четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?
Пусть сумма кредита Х, а сумма ежегодного платежа S = 2928200 руб., а = 10%, р= 1+0,01*а=1,1, тогда распишем сумму долга для каждого года:
1 год: 1,1х–S.
2 год :(1,1х – S) 1,1 – S.
3 год : (1,1 х –1,1 S – S) 1,1 – S
4 год : 1,1 х – S (1,1+1)(1,1
После последней выплаты сумма долга стала равна нулю.
Составим и решим уравнение: 1,1 х – S (1,1+1)(1,1
1, 4641х — 4,641S = 0
1, 4641х = 4,641* 2928200
х = 9282000
Нахождение процентной ставки по кредиту.
31 декабря 2014 года фермер, занимающийся разведением цветов в теплицах, взял в банке 1000000 рублей в кредит на приобретение удобрений. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем фермер переводит в банк очередной транш. Фермер выплатил кредит за 2 транша. В первый раз он перевел в банк 660000 рублей, во второй – 484000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит фермеру?
Пусть А=1000000 рублей , первый транш S=660 000 рублей, второй транш S=484 000 рублей. Необходимо найти а, если р=1+0,01а.
Сумма долга после выплаты первого транша будет равна:
100000(1+0,01 а ) – 660000=340000+10000а.
(340000+10000а) (1+0,01 а ) – 484000.
После выплаты второго транша сумма долга стала равна нулю.
(340000+10000а) (1+0,01 а ) – 484000= 0
+13400а -144000 = 0/ :100
+134а – 1440 = 0
D = 23716 = 154 = 10, а = -144 — не удовлетворяет условию задачи.
Спасибо за работу! На мой взгляд, такой подход к решению доступен любому ученику. А рациональное включение экономического материала в текст задачи возможно при изучении практически любой темы школьного курса математики. Даже если учащимся неизвестно точное значение того или иного экономического понятия, они понимают его на житейском (бытовом) уровне. В процессе решения соответствующей задачи смысл экономического понятия уточняется. Хотя, не скрою, большую пользу приносят уроки обществознания и занятия элективного курса «Основы финансовой грамотности».
Для закрепления учащимся можно предложить составить аналогичную задачу и решить ее. Опыт показывает, что учащиеся с большим интересом решают такие задачи, с удовольствием составляют их самостоятельно. Материал для уроков можно найти и в открытом банке заданий ЕГЭ, а также в системе СтатГрад, в которой мы работаем, проводя тренировочные и диагностические работы при подготовке к экзамену.
Таким образом, считаю, что предлагаемая методика обучения решению задач является эффективным способом обучения решению задач с социально- экономическим содержанием при подготовке выпускников к ЕГЭ по математике профильного уровня.
ЕГЭ. География. Новый полный справочник для подготовки к ЕГЭ
Вниманию выпускников и абитуриентов предлагается новое учебное пособие для подготовки к ЕГЭ по географии. Справочник содержит в полном объеме теоретический материал по курсу географии, необходимый для сдачи ЕГЭ. Структура книги соответствует современному кодификатору элементов содержания по предмету, на основе которого составлены экзаменационные задания – контрольно-измерительные материалы (КИМ) ЕГЭ. Теоретический материал изложен в краткой, доступной форме. Каждая тема сопровождается примерами экзаменационных заданий с комментариями и ответами. Это поможет учителю организовать подготовку к единому государственному экзамену, а учащимся — самостоятельно проверить свои знания и готовность к сдаче выпускного экзамена. Практическая часть справочника включает задания для самопроверки, соответствующие формату ЕГЭ. В конце пособия приводятся ответы к заданиям для самопроверки, которые помогут школьникам и абитуриентам объективно оценить уровень своих знаний и степень подготовленности к аттестационному экзамену. Пособие адресовано старшим школьникам, абитуриентам и учителям.
Задание 1
(«Географические модели. Географическая карта, план местности»). 1 балл.
Тип 1. Город Дно имеет географические координаты 57°50´с.ш. 29°58´в.д. Определите, на территории какого государства находится этот город.
В этом задании необходимо найти точку на карте с предложенными координатами. Для выполнения данного задания подходит следующий алгоритм.
1. Найдём точку с координатами 0°ш. 0°д. Она расположена на пересечении экватора и нулевого (Гринвичского) меридиана в Гвинейском заливе.
Посмотреть увеличенную карту на новой вкладке
2. Первая координата искомой точки – всегда её широта, т.е. расстояние в градусах от экватора до данной точки. Чтобы его найти, нужно двигаться от точки 0°ш. 0°д. вдоль нулевого меридиана вверх (если широта искомой точки северная) или вниз (если она южная). В данном случае мы движемся на 58 градусов (57°50´ округляем для удобства*) вверх, т.к. широта северная.
Пояснение для тех, кто не понял, как мы нашли широту.
Так как значения широт (градусы параллелей) подписаны у левого и правого края карты с шагом в 20° (0°, 20°, 40°, 60° и 80°), то мы находим диапазон, в котором располагается искомая точка (40°˂58°˂60°), и мысленно разбиваем его сперва на 2 части (по 10 градусов), потом ещё на 2 части (по 5 градусов), и, наконец, на 5 частей (по градусу). В данном случае нам нужно отступить на 60° – 58° = 2° градуса от параллели 60° вниз.
3. Вторая координата искомой точки – это её долгота, т.е. расстояние в градусах от нулевого меридиана до данной точки. Чтобы его найти, нужно двигаться от найденной в п.2 точки на нулевом меридиане вправо (если долгота искомой точки восточная) или влево** (если долгота искомой точки западная) вдоль (т.е. сохраняя отступ от) ближайшей параллели. В данном случае мы перемещаемся на 30 градусов (29°58´ округляем*) вправо, т.к. долгота восточная.
Пояснение для тех, кто не понял, как мы нашли долготу.
Так как значения долгот (градусы меридианов) подписаны у верхнего и нижнего края карты с шагом в 20° (0°, 20°, 40° и т.д. до 180°), то мы находим диапазон, в котором располагается искомая точка (20°˂30°˂40°), и мысленно разбиваем его сперва на 2 части (по 10 градусов), потом ещё на 2 части (по 5 градусов), и, наконец, на 5 частей (по градусу). В данном случае нам достаточно выполнить только одно разбиение и расположить точку точно посередине между 20 и 40 меридианом.
4. Определяем страну, в которой расположена искомая точка (город Дно).
Таким образом, мы выяснили, что город Дно расположен в Российской Федерации.
Алгоритм 1
(при поиске страны по карте мира):
* Ремарка о правилах округления: т.к. в данном задании координаты приведены с точностью до минуты дуги, а в одном градусе 60 (а не 100) минут, то минуты до 29´ округляются в меньшую сторону (градусы остаются те же), а начиная с 30´ – в большую (к числу градусов прибавляем единицу).
** Надо отметить, что точки с координатами 140-180° западной долготы будут располагаться в правой части предложенной карты, т.к. нулевой меридиан на ней смещён влево на 40°, но мне пока ни разу не попадались города из этой области карты, поэтому я не стал усложнять алгоритм.
Тип 2. Город Мирный имеет географические координаты 62°32´ с.ш. 113°57´ в.д. Определите, на территории какого субъекта федерации находится этот город.
Отличие этого типа задания от первого заключается в том, что для его выполнения необходимо использовать не политическую карту мира, а карту административно-территориального устройства России. Сделать это задание ещё проще, т.к. все города в России имеют северную широту и восточную долготу*. Единственное, с чем здесь нужно разобраться, – это с расположением параллелей и меридианов на карте России.
Параллели на карте России изображаются в форме дуг, концентрически описанных вокруг Северного полюса. Меридианы представляют собой прямые, расходящиеся веером от Северного полюса. Иногда возникает путаница при определении градуса нужной параллели, т.к. некоторые параллели и меридианы пересекаются в районе рамки карты и их подписи расположены очень близко. Мы рекомендуем вам просто запомнить**, как проходят параллели по территории России, и при выполнении задания только проверять себя, а не искать их заново.
1. Так как территория России вытянута с запада на восток, то при выполнении этого типа задания удобнее начинать со второй координаты – долготы. Находим ближайший к городу Мирному меридиан – 110°в.д., и на нём – точку пересечения с 60 параллелью (т.к. она проходит практически посередине страны).
2. Теперь определим широту. От найденной в п.1 точки (60°с.ш., 110°в.д.) мы движемся вдоль меридиана по направлению к Северному полюсу (вверх) на 2°32′ (62°32′ — 60°). Это будет четверть расстояния до пересечения с 70 параллелью.
3. Уточняем долготу. От полученной в п.2 точки (62°32′ с.ш., 110 в.д.) смещаемся вдоль параллели на восток (вправо и немного вверх в данном случае) на 3°57´ (113°57´ — 110°). Это будет около 2/5 расстояния до пересечения со 120 меридианом.
4. Определяем субъект федерации, в котором расположена искомая точка (город Мирный).
Таким образом, мы выяснили, что город Мирный расположен на территории республики Саха (Якутия).
(при поиске субъекта федерации по карте России):
Определяем, на территории какого субъекта федерации расположена полученная точка, записываем его в форму ответа.
* При том, что восточная часть п-ова Чукотка лежит в западном полушарии, ни одного города там не расположено.
** Так, 80-я параллель (самая маленькая дуга) проходит по архипелагам в Северном Ледовитом океане, 70-я – от северного побережья Кольского полуострова до северного побережья Чукотки, 60-я – точно через Санкт-Петербург, 50-я – вдоль южной границы Восточной Сибири, 40-ая к югу от границ России (на карте видна в районе Азербайджана и Японского моря)
ЕГЭ-2018. География. 10 тренировочных вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену
Вниманию школьников и абитуриентов предлагается новое пособие для подготовки ЕГЭ, которое содержит 10 вариантов типовых экзаменационных работ по географии. Каждый вариант составлен в полном соответствии с требованиями единого государственного экзамена, включает задания разных типов и уровня сложности. В конце книги даны ответы для самопроверки на все задания. Предлагаемые тренировочные варианты помогут учителю организовать подготовку к итоговой аттестации, а учащимся — самостоятельно проверить свои знания и готовность к сдаче выпускного экзамена. Пособие адресовано старшим школьникам, абитуриентам и учителям.
Теория для решения заданий 15 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.
Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.
Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.
В уроке разбираем, что такое арифметический квадратный корень и знакомимся с основными его свойствами. Выносим множитель из под знака корня. Избавляемся от иррациональности
Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.
Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.
Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №4 из ЕГЭ по профильной математике.
Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.
Закон преломления светового потока на границе раздела двух сред. Явление полного отражения света на границе раздела с оптически более плотной средой.
Подробно разбираем основную теорию про космос необходимую для успешного решения задач по астрономии в ЕГЭ по физике. Также рассмотри несколько основных примеров задания №24 из ЕГЭ.
Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.
Основные ошибки, что нужно знать, статистика прошлых лет в первой части ЕГЭ по математике профильного уровня.
особенности 30 заданияТемы 30 задания в ЕГЭ:
с запада на востоквосточнее расположен пункт, тем раньше в нем поднимется Солнце над горизонтом
Полуденный меридиан(12 часов – время Гринвичского меридиана) * 15° – для Восточного полушария(время Гринвичского меридиана – 12 часов) * 15° – для Западного полушарияопределения полушарияЕсли время в пункте меньше, чем на заданном меридиане, то это западное полушариеЕсли время в пункте больше, чем на заданном меридиане, то это восточное полушарие
Длина 1° меридиана = 111 км.
примеры оформленияОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОЛГОТЫ ПУНКТА ПО ИЗВЕСТНОМУ СОЛНЕЧНОМУ ВРЕМЕНИ МЕРИДИАНАЗадание:Решение задания:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ПУНКТА ПО ВЫСОТЕ СОЛНЦА И ВРЕМЕНИ ИЗВЕСТНОГО МЕРИДИАНАЗадание:Решение задания:
h = 90° – φ (формула для определения высота угла падения солнечных лучей в дни равноденствий)Выражаем широту: φ = 90° – h
Для себя на черновике можно нарисовать иллюстрацию к заданию такого типа, чтобы не запутаться (не нужно ее рисовать в бланке ответов).правил оформления
Уравнения с параметром. Задача 18 (С6)
Графический метод в задачах с параметром
Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.
Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной (f(x)=0). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции (y=f(x)). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось (х)) и будут решениями нашего уравнения.
Или рассмотрим уравнение (f(x)=g(x)). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций (y=f(x)) и (y=g(x)), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.
Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.
Решить графическим методом уравнение (x^2+3x=5x+3).
Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций (y=x^2+3x) и (y=5x+3). См. рис.1.
(y=5x+3) – красный график; (y=x^2+3x) – синий график.
Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными (f(x,y)=0). Решением этого уравнения будет множество пар точек ((x,y)), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости ((xOy)). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую ((x,y=f(x))) или ((x=f(y),y)).
И, разумеется, будет задавать точно такие же пары решений (x) и (y).
Теперь перейдем к уравнениям с параметром. Заметим, что параметр – это обычная переменная, которая ничем не отличается от рассмотренных выше переменных (x) и (y). Поэтому, если мы вместо (y) в уравнении (1) запишем параметр (a), то суть уравнения от этого не поменяется. То есть уравнение (1) можно рассматривать относительно (x) с параметром (y) или наоборот. В дальнейшем параметр будем обозначать за (a).
График (x(a)) для этого же примера на рисунке 4.
На мой взгляд, будет более наглядно, если показывать графический метод на примерах. Поэтому, давайте разберем примеры от простых к сложным, которые могут встретиться на ЕГЭ.
Определить, при каких значениях параметра (a) уравнение (x^2-3x-2a=0) имеет: а) 2 корня; б) 1 корень; в) не имеет корней;
1 способ решения:
Приведем уравнение к виду (x^2-3x=2a). И построим графики (y=1/2*(x^2-3x)) (показан красной линией) и (y=a) (синяя линия). Обратите внимание, график (y=a) – это просто семейство прямых параллельных оси (x) в плоскости ((xOy)) (Рис. 6). Точки пересечения красной линии с семейством синих линий – это корни нашего уравнения. Если, например, (a=5), то графики (y=5) и (y=1/2*(x^2-3x)) имеют две общие точки, а значит, и два решения. При (a=-1.125) оба графика имеют только одну общую точку ((1.5;-1.125)) – это единственное решение.
2 способ решения:
Таким же образом можно решить данное уравнение, построив графики в плоскости ((xOa)). Для этого выразим (a=1/2*(x^2-3x).)
Различным значениям параметра (a) можно поставить значения искомого (x), для это проведем горизонтальные линии.
Решить уравнение: (cos^2x-2 cosx+a=0)
Построим в плоскости ((tOa)) график нашей функции (a=2t-t^2:)
Сделаем обратную замену:
Решить уравнение (sin^4x-(a-1) sin^2x-(2a+2)=0.)
Сделаем замену: (t=sin^2x ) ⇔ (t^2-(a-1)t-2a-2=0;)
Таким образом, необходимо решить систему:
Построим решения данной системы на координатной плоскости ((tOa)).
Решим уравнение (t^2-3t-a=0).
Данному уравнению равносильна система:
Построим множество точек, которые удовлетворяют полученной системе:
Решить неравенство (9^x-(a-1) 3^x-a≥0)
Построим график, получившейся системы неравенств на плоскости ((tOa)).
Оранжевой областью выделено решение первого неравенства системы, синей областью – второго неравенства. Их пересечение – это решение все системы.
Наша функция будет определена при условии, что выражение под логарифмом будет больше нуля:
Как видно из рисунка 13, точка ((-1/2;-3)) – точка минимума; а ((2;2)) – точка максимума.
Найдем асимптоты. Напомню, что вертикальные асимптоты бывают только в точках разрыва, поэтому наличие вертикальной асимптоты можно проверить, взяв предел от функции в точке разрыва. В нашем случае нет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот не будет.
Значит, есть горизонтальная асимптота (p=1).
Подробнее можно посмотреть здесь.
На рисунке 14 при помощи штриховки показаны точки, которые будут корнями системы
Преобразуем исходную систему:
Построим график полученной системы:
Обратите внимание, что (y=1), (x=0) не может быть решением системы при любых значениях параметра (a).
Найдем асимптоты (см. пример 9):
Значит (y=1) – вертикальная асимптота.
Значит горизонтальные асимптоты отсутствуют.
И проверим на наличие наклонных асимптот:
Получим уравнение наклонной асимптоты (a=-y-1).
Использование свойств функции при решении заданий с параметром из ЕГЭ по математике профильного уровня. Симметрия функций и приемы решения.
Квадратные уравнения с параметром. Умение исследовать квадратный многочлен поможет решать задачи с параметром аналитическим методом. Квадратное уравнение решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.
Разбор линейных уравнений с параметром. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все x при всех значениях параметра a
Решение показательных и логарифмических уравнений с параметром
Знакомимся с понятием параметра в уравнениях. Краткие рекомендации к выполнению.
