Задача 2.2
Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3 t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5 t единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 6 800 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Пожалуй, школьнику может быть трудно осознать, что время работы в этой задаче — это не просто t, а t2. Еще, вероятно, ему захочется вспомнить формулу работы, но тут она совершенно ни к чему:
Предприниматель хочет заработать побольше, а для этого надо произвести и продать больше товара. Но при этом и заплатить рабочим хочется меньше. Из-за того, что производительность на одном заводе выше, и товары производятся быстрее, а оплата труда та же, имеет смысл нагрузить его чуть больше. Надо посчитать, как именно следует распределить производство между заводами.
С одной стороны, нам интересно максимально много товара:
Если для ученика индексы при t станут неожиданностью, объясните, что работать на заводах будут разное количество времени.
С другой — у Григория есть ограничения по бюджету:
До сих пор мы не могли исследовать функцию производства товара на максимум, ведь переменных там было две, и ни одну из них зафиксировать мы не могли. Но теперь мы можем выразить, к примеру, t1 из второго уравнения, и тогда анализ станет возможным.
Ура! С этого момента школьник точно в курсе, что делать, дайте ему поработать самостоятельно.Ищем производную и приравниваем к нулю:
Ваш подопечный помнит, как правильно оформляется дробно-рациональное уравнение? Несмотря на то, что ОДЗ в данном случае никак на ответ не повлияет, не стоит рисковать и забывать про него.
Обратите внимание школьника: мы не стали перемножать большие числа. Потому что знаем: скоро придется делить.
И снова повод убедиться, не забывает ли подопечный проверять тут знаки интервалов подстановкой.
Мы нашли количество рабочих часов на втором заводе. Дайте выпускнику сориентироваться в решении. Что делать дальше?
Осталось ответить на вопрос задачи:
Ответ: 680 единиц товара.
Как решать задачи на оптимальный выбор. задание №15
В задании №17 в ЕГЭ по профильной математике, вместо ожидаемой текстовой задачи на кредиты, иногда встречаются оптимальный выбор. Этот вид задач считается более сложным по сравнению с кредитами. Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, нужно научиться их решать.
Тут требуется умение искать наибольшие и наименьшие значения функции, обычно зависящей от нескольких переменных. Эти переменные, как правило, связаны дополнительными условиями.
Вам обязательно понадобится умение искать производные и исследовать функции на экстремумы. Нужно знать, что такое ограниченные, возрастающие и убывающие функции. Если вы умеете решать 12-й и 7-й номера из ЕГЭ, то вам повезло – все необходимое для решения инструменты уже у вас в руках. А те, кто не умеет считать производные, то настоятельно рекомендуем сначала разобраться с первой частью экзамена и только потом переходить на более сложные задачи, такие, как №17.
Основной подход к решению заключается в следующем. Необходимо составить функцию, задающую нужную зависимость – если нужно найти максимальную или минимальную прибыль, значит это должна быть функция, описывающая прибыль, если нужен максимальный выпуск продукции на заводе, значит функция должна задавать количество продукции выпускаемой заводом, нужно найти оптимальное расстояние – наша функция будет описывать расстояние. Внимательно, функция может зависеть сразу от нескольких переменных. После того, как вы смогли записать функцию, нам предстоит ее исследовать.
На самом деле, тут нет какой-то сухой теории, которую можно прочить и научиться решать задачи на оптимальный выбор. Поэтому давайте учиться на примерах. Сначала разберем простые, поймем алгоритм решения, а потом перейдем к более сложным, которые могут встретиться на экзамене.
Пример 1
Пусть у Василия есть завод, который выпускает спичечные коробки. Расходы на производство одного коробка 1 руб, а продает он их за 5 руб. В итоге с каждого коробка Василий получает прибыль 4 руб. Давайте разберемся, сколько нужно производить коробков, чтобы прибыль была наибольшей, если (Х) работников завода может производить в месяц ( N=-left(x-10right)^{2} 500) коробков.
И так, согласно условию задачи, если на заводе Х работников, то они производят ( N=-left(x-10right)^{2} 500) коробков.
А какая прибыль (P) с такого количества? Ответ очевиден, нужно просто прибыль (4 руб) с одного коробка умножить на количество произведенных коробков: ( P=4*(-left(x-10right)^{2} 500)).
Давайте посмотрим при каком количестве работников прибыль Василия будет максимальна. Или другими словами при каком (Х) будет наибольшим (Р). Такое задание часто встречается в 12-м номере ЕГЭ, нужно просто исследовать нашу зависимость прибыли ( P=4*(-left(x-10right)^{2} 500)) от (Х) и найти экстремумы.
Напомню, что функция принимает наибольшее или наименьшее значения в точках, где ее производная равна 0. Значит ищем производную от (Р) и приравниваем к 0.
$${P}^{’}=(4*(-left(x-10right)^{2} 500))^{‘}= 4cdotleft(-2right)cdotleft(x-10right)$$
Приравниваем (0):
$$4cdotleft(-2right)cdotleft(x-10right)=0$$
И ищем (Х), при котором производная равна (0):
$$ X=10.$$
Что мы такое нашли? При этом значении (Х) (количестве рабочих) прибыль будет либо максимальна, либо минимальна. Это точка экстремума, а какая именно, мы пока не знаем.
Давайте это определим. Напоминаю, если производная отрицательная, то функция убывает, если положительна, то возрастает. Если подставить значения меньшее (10) в нашу производную, например (1):
$$ 4cdotleft(-2right)cdotleft(x-10right) = 4cdotleft(-2right)cdotleft(1-10right)=4*18=72$$
Значение производной получилось больше 0:
$$ {P(x<10)}^{‘}>0$$
Значит при (Х<10) функция возрастает, а при (Х>10) убывает. А значит (Х=10) – это максимум. Мы получили, что максимальная прибыль будет, если на производстве будет задействовано всего 10 рабочих. Как так может быть? Казалось бы, чем больше рабочих, тем больше продукции выпускает завод, а значит и больше прибыль. Но в реальной жизни все не так просто – размеры завода ограничены, и если там будет слишком много людей, то они просто будут мешать друг другу делать свою работу, в результате выпуск продукции начнет снижаться или поднимутся расходы на производство.
Вернемся к задаче, а какая будет максимальная прибыль? Просто подставим (Х=10) в функцию для прибыли:
$$ P=4*(-left(x-10right)^{2} 500)= 4*(-left(10-10right)^{2} 500)=4*500=2000 руб. $$
Только что мы решили первую задачу на оптимальный выбор.
Разберем следующий пример:
Пример 2
Пусть опять у нас есть завод, на котором расходы на производство (y) автомобилей составляет (Q=0,5y^2 y 7) миллионов рублей в месяц. Если продавать каждый автомобиль за (S) тысяч рублей, то при продаже всех произведенных за месяц автомобилей завод получит доход (S*y), а заработает на этом прибыль (доходы минус расходы) — (S*y-Q). Какую наименьшую цену продажи (S) нужно установить, чтобы за 3 месяца завод получил прибыль 75 миллионов рублей?
Первым делом давайте составим функцию, описывающую зависимость прибыли от количества произведенной продукции и цены продажи, которую мы должны установить. Сразу 2 неизвестные!
И так, чтобы посчитать прибыль (P(y,S)), зависящую от (у) и (S), нам нужно стоимость продажи одного автомобиля (S) умножить на количество проданных машин (у), получим общий доход, и вычесть все расходы (Q), которые мы понесли при производстве (в условии, кстати, это написано — подсказка):
$$P(x,S)=S*y-Q=S*y-(0,5*y^2 y 7)=-0,5y^2 (S-1)y-7$$
Проанализируем полученное выражение. Это квадратный многочлен. Если построить график относительно (у), то это уравнение параболы. Как анализировать квадратные многочлены, можно посмотреть тут.
Так как коэффициент перед (y^2) отрицательный, то ветки параболы направлены вниз. То есть, наибольшее значение нашей функции будет в вершине параболы. Можно по известным формулам найти вершину и значение функции и в ней, это и будет максимальное значение. А можно пойти по старому пути, как в примере 1, и посчитать производную. Число (S) будем считать просто за константу, то есть берем производную относительно (у):
$$ {P(x,S)}^{’}={(-0,5y^2 (S-1)y-7)}^{’}=-y S-1; $$
Приравниваем производную нулю, чтобы найти точки экстремума:
$$-y S-1=0;$$
$$y=S-1;$$
Так как график исходной функции парабола с ветками вниз, то это точка максимума функции (P(x,S)). Подставим (y=S-1) в нашу функцию:
$$ P(x,S)=-0,5*y^2 (S-1)y-7=-0,5(S-1)^2 (S-1)(S-1)-7=frac{(S-1)^2}{2}-7; $$
Мы получили — какую максимальную прибыль мы можем заработать в зависимости от (S). Другими словами, подставляя различные значения стоимости автомобиля в нашу функцию, получим максимальную прибыль при данной стоимости продажи.
По условию задачи общая прибыль за 3 месяца должна быть не меньше чем 75 миллионов рублей. Запишем это в виде неравенства:
$$ {3*P(S)}_{max}=3*frac{(S-1)^2}{2}-7 ge 75; $$
Осталось только решить это неравенство:
$$(S-1)^2ge64;$$
$$(S-9)(S 7)ge0;$$
(S) отрицательным быть не может, что это тогда за бизнес, где цена продаваемой продукции отрицательна. А значит при (S ge9) прибыль завода будет больше 75 миллионов рублей.
Пример 3
Решим задачу на оптимизацию расстояния:
Два мотоциклиста подъезжают к перекрестку по двум перпендикулярным дорогам. Первый едет со скоростью 40 км/ч и до перекрестка ему осталось ехать 5 км, а скорость второго 30км/ч и ехать до перекрестка 3 км. Через какое время расстояние между мотоциклистами будет наименьшим?
Для решения задачи нам понадобится теорема Пифагора, ведь мотоциклисты едут по взаимно перпендикулярным дорогам, а значит расстояние между ними — это гипотенуза прямоугольного треугольника, а катеты – это расстояния от каждого мотоциклиста до перекрестка.
Пусть мотоциклисты уже находятся в пути (t) часов. Тогда первый проедет расстояние:
$$S=v*t=40t;$$
До перекрестка осталось ехать
$$S_1=5-40t;$$
А второму:
$$S_2=3-30t;$$
Мы получили прямоугольный треугольник с катетами (S_1) и (S_2). По теореме Пифагора выведем функцию, задающую расстояние между мотоциклистами:
$$L=sqrt{(5-40t)^2 (3-30t)^2}=sqrt{25-400t 1600t^2 9-180t 900t^2}=sqrt{2500t^2-580t 34};$$
Согласно условию задачи, нужно найти такое время (t), чтобы расстояние (L) было наименьшим. Для этого опять возьмем производную и исследуем функцию (L) на экстремум:
$$ {L}^{’}=frac{1}{2*sqrt{2500t^2-580t 34}}*(5000*t-580); $$
Приравниваем нулю:
$$5000*t-580=0;$$
$$t=frac{580}{5000}=frac{29}{250} часа;$$
Так как при (t) меньшем этого числа производная функции отрицательна, а при большем – положительна, то получаем точку минимума и, что расстояние между мотоциклистами будет наименьшим через (frac{29}{250}) часа, это и требовалось найти.
Если бы в задаче нас попросили еще найти это расстояние, то нужно подставить (t=frac{29}{250}) в функцию расстояния (L):
$$L(t=frac{29}{250})=sqrt{(5-40*frac{29}{250})^2 (3-30*frac{29}{250})^2}=(frac{3}{5})км$$
Финансовая математика в егэ. экономическая задача в задании 15
Николай выиграл в лотерею (20 000$) и решил отложить эти деньги на пенсию. Для этого он вложил их в акции, которые стоят (20t) тысяч долларов в конце каждого года ((t=1,2,3,4…)). Через несколько лет Николай хочет продать свои акции и положить вырученные деньги на счет в банке под (12)% годовых (начисление процентов происходит в начале следующего года). В каком году Николаю нужно продать акции, чтобы через 30 лет у него была максимальная сумма.
Решение:
Посчитаем, какую сумму накопит Николай, если продаст акции в конце k-го года:
$$ {S}_{k}=20k*(1 frac{12}{100})^{30-k}=20k*1.12^{30-k}$$
Предположим, что год (k) – это год, когда нужно продать акции, чтобы сумма на счете через 30 лет была наибольшей. Тогда, если Николай по ошибке продаст свои ценные бумаги в (k 1) год, то его накопления будут уже меньше, чем, если бы он продал в k-й год. Посчитаем сумму, если продать в k 1 год:
$$ {S}_{k 1}=20(k 1)*(1 frac{12}{100})^{30-k-1}=20(k 1)*1.12^{29-k} $$
Исходя из наших предположений ({S}_{k}-{S}_{k 1}>0).
$$ 20k*1.12^{30-k}-20(k 1)*1.12^{29-k}>0 $$
$$ 20*1.12^{29-k} (k*1.12-k-1)>0 $$
$$ 0.12k>1 $$
$$ k>frac{100}{12} $$
$$ k>8frac{ 1}{3} $$
Получим следующую последовательность итоговых сумм, в зависимости от года продажи:
$$ {S}_{1}<{S}_{2}<{S}_{3}<⋯<{S}_{7}<{S}_{8}<{S}_{9} $$
$$ {S}_{9}>{S}_{10}>⋯>{S}_{29}>{S}_{30} $$
Наибольшей суммой будет ({S}_{9}), поэтому нужно продать в конце 9 года.
Ответ: 9.
Пример 2
31 декабря Николай решил взять в банке кредит на сумму (5 000 000) под (12)% годовых. Кредит выплачивается ежегодно одинаковыми платежами (аннуитет), после того, как банк начислит проценты на остаток 31 декабря (долг увеличится на (12)%). Какой ежегодный платеж должен производить Николай, чтобы расплатиться с банком за три платежа?
Решение:
Обозначим за (a) ежегодный платеж.
Через год долг вырастет на (12)% и будет составлять: (5000000*(1 frac{12}{100})=5000000*1.12)
Сразу после этого Николай вносит на счет (a) рублей, тогда долг будет составлять:
$$ {S}_{1}=5000000*1.12-a $$
Аналогичная операция после внесения второго платежа:
$$ {S}_{2}=(5000000*1.12-a)*1.12-a; $$
И третий платеж:
$$ {S}_{3}=((5000000*1.12-a)*1.12-a)*1.12-a $$
Согласно условию, Николай должен погасить долг за три платежа, значит после третьего платежа сумма долга должна равняться нулю:
$$ {S}_{3}=0; $$
$$ ((5000000*1.12-a)*1.12-a)*1.12-a=0; $$
$$ 5000000*1.12^3-1.12(1.12a a)-a=0; $$
$$ a=frac{5000000*1.12^3}{3.3744}=2 081 744.9 (рублей) $$
Ответ: 2 081 744.9(рублей)
Пример 3
Дмитрий берет в банке кредит на некоторую сумму на срок 25 месяцев. Каждый месяц 1го числа сумма долга возрастает на (q)%, 2го числа каждого месяца Дмитрий должен гасить часть долга так, чтобы он каждый месяц уменьшался на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим месяцем (дифференцированный платеж). После погашения всей суммы кредита выяснилось, что Дмитрий заплатил на (40)% больше суммы, взятой в кредит. Найдите (q).
Решение:
Обозначим за (S) начальную сумму, которую Дмитрий получил в банке.
В первый месяц на эти деньги начислят проценты (frac?{100}*S). После этого Дмитрий должен погасить часть долга, выплатив начисленные проценты плюс (frac{S}{25}), только в таком случае долг будет уменьшаться равномерно каждый месяц. Суммарная выплата за первый месяц будет:
$$ frac?{100}*S frac{S}{25} $$
За второй месяц Дмитрий заплатит ((S-frac{S}{25})*frac?{100} frac{S}{25};)
За третий: ((S-frac{2S}{25})*frac?{100} frac{s}{25};)
(…..;)
За 24-й: ((S-frac{24S}{25})*frac?{100} frac{s}{25};)
За 25-й: (frac{s}{25}).
Просуммируем получившуюся последовательность выплат:
$$ frac{S}{25}*25 frac?{100}*S*(frac{24}{25} frac{23}{25} ⋯ frac{2}{25} frac{1}{25}). $$
По условию выплаченная сумма больше взятого кредита на (40)%:
$$ frac{S}{25}*25 frac?{100}*S*(frac{24}{25} frac{23}{25} ⋯ frac{2}{25} frac{1}{25})-S=0.4S; $$
$$ frac?{100} (frac{24}{25} frac{23}{25} ⋯ frac{2}{25} frac{1}{25})=0.40 $$
Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:
$$ frac?{100}*frac{1 frac{1}{25}}{2}*25=0.4,$$
$$ frac{13}{100}*q=0.4,$$
$$ q=3.08% $$
Отмети, что эту же задачу можно решить гораздо короче, если знать полученные ранее формулы ((П) – переплата; (В) – полная сумма выплат):
$$ П=frac?{100}*frac{N 1}{2} S.$$
$$ В=S П=S(1 frac{q*(N 1)}{200}).$$
Подставим известные значения в формулу для переплаты:
$$ 0.4S=frac?{100}*frac{25 1}{2}*S,$$
$$q=3.08%.$$
Ответ: (q=3.08)%.
Финансовая математика в егэ: задачи на вклады и ценные бумаги
На самом деле это еще один «подарочный» прототип. Обычно это довольно простая задача на проценты, но нюансы, конечно, есть. Преподавателю придется сконцентрировать снимание школьника на трех вещах:
- Механизм работы вкладов и ценных бумаг. Даже если школьник может представить себе, как работает вклад, то ценные бумаги, вероятно, вообще темный лес. Как показывает, практика, каждое незнакомое слово в условии дает 50 к панике и увеличивает шансы того, что к задаче не приступят вовсе.
Предложите школьнику воспользоваться демо-режимом в каком-нибудь брокерском приложении. Например, «Сбербанк Инвестор» позволяет целый месяц торговать на виртуальном брокерском счете и дает на это 400 тысяч виртуальных рублей. Может, именно ваш ученик станет следующим Уорреном Баффетом!
- Оформление. Каждый символ в бланке ответа должен быть выверен. Например, частая ошибка оформлять математическую модель уравнением, когда в условии стоит формулировка «не больше» или «не меньше». За такие погрешности школьник лишится баллов за 17 номер.
- Вычисления. Преподаватель должен демонстрировать культуру вычислений с самой первой встречи с учеником. Какой смысл в выверенных алгоритмах решения, если подопечный закопается в цифрах? Научите школьника не спешить, продумывать расчеты на пару ходов вперед. Зачем умножать, если в следующем действии придется делить, и все лишнее сократится? Зачем считать дискриминант до конца, если из получившегося огромного числа придется извлекать нетабличный корень?
Финансовая математика в егэ: задачи на оптимальный выбор
Ну вот мы и добрались до самого неприятного варианта. Во-первых, тут надо уметь работать с условием текстовых задач. Во-вторых, бегло владеть методом исследования функций с помощью производной. И если второе укладывается в алгоритм, то первое далеко не всегда.
Если в задачах с кредитами набор прототипов очень ограничен, и там трудно придумать что-то новое, то на задачах на оптимальный выбор народ разгулялся. Тут может происходить всё что угодно:
- Покупка и продажа ценных бумаг;
- Движение двух объектов по перпендикулярным траекториям;
- Строительство заводов и оплата труда рабочим;
- Деление огорода под посадки…
Хорошая новость в том, что далеко не все задачки, которые вам попадутся, могут встретиться на экзамене. Большинство самых страшных номеров — это усложненные варианты от Александра Ларина. Ими вполне можно развлечь сильного ученика, но не стоит пугать ими того, кто «плавает».
Мы рассмотрим 2 самых распространенных прототипа:
- Первый — из демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2021 года,
- Второй — более древний, но зато математическая модель из него встречается в задачах ФИПИ чаще всего.
Подведём итог
Мы рассмотрели 2 оставшихся прототипа 17 номера ЕГЭ по математике.
В первом случае выпускник будет работать с задачкой на проценты, где для него мало нового. Во втором ему придется вытащить из условия функцию для анализа с помощью производной.
Учитывайте, что текстовые задачи — довольно трудный для подростков формат работы, потому сопротивление ожидаемо. Однако, только экономическую задачу можно уместить всего в пару уроков разбора, все остальные номера займут гораздо больше времени! Нельзя упускать такую возможность подготовиться и урвать пару дополнительных драгоценных баллов. Донесите это до ученика, и…
Пусть удача всегда будет с вами!
(с) Голодные игры
