ЕГЭ по математике найдите наибольшее значение функции. Задание 11

Аналогичные рассуждения, если функция убывает: значение функции в следующей точке будет меньше, чем в предыдущей, значит производная будет отрицательной.

Итак, если производная положительна на промежутке, то это значит, что функция на этом промежутке возрастает. На рисунке 1 такие участки показаны зеленым. А если производная отрицательна, то функция убывает, на рисунке 1 участки показаны синим:

Кроме этого, производная от функции может быть равна нулю. Функция в той точке, где производная равна нулю, будет принимать наибольшее или наименьшее значение в окрестности этой точки. На графике нашей функции (Рис. 1) эти точки выглядят как «холмы» и «впадины».

Обратите внимание, что «холмов» и «впадин» на графике может быть бесконечно много, какие-то из этих «холмов» будут выше, какие-то ниже. Производная равна нулю во всех таких точках. И значения функции во всех таких точках я называю наибольшими и наименьшими, хотя на самом деле это локальные наибольшие и наименьшие значения.

Кстати, ТОЧКАМИ минимума или максимума называют координаты «холмов» и «впадин» по оси \(x\). Еще их называют точками экстремума функции: это общее название для минимумов и максимумов. Поэтому, когда вас просят найти точки экстремума, это значит найти координаты по оси \(x\) и минимумов, и максимумов.

В точке \(x=-2\) будет минимум функции. Точка \(x=-3\) из знаменателя, поэтому на рисунке она выколотая: ее мы не рассматриваем.

Обратите внимание, что значение функции в точках \((-2,5)\) и \((0)\) получились «плохие»: мы не можем посчитать значения таких логарифмов без калькулятора. Поэтому, если возникает такая ситуация, то мы просто отбрасываем эти значения, ведь в заданиях ЕГЭ в первой части не может быть иррациональных значений. Такая маленькая хитрость. Но будьте внимательны, может быть, иррациональные значения у вас получаются, потому что где-то ошибка.

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

1. Найти производную функции $f'(х)$
2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
3. Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
5. Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

1. Найти производную функции $f'(х)$
2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
3. Разложить производную функции на множители.
4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
5. Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

2. Производная произведения.

Найти производную $f(x)=4x∙cosx$

3. Производная частного

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= — sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Найдите точку минимума функции $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$

3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю

Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.

5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ — это точка минимума.

1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$

2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки

Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки

Приравняем каждый множитель к нулю

$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$

Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$

4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3

$y(-5)= 6∙(-5)^5-90∙(-5)^3-5=6∙(-3125)+90∙125-5= -18750+11250-5=-7505$

$y(1)= 6∙1^5-90∙1^3-5=6-90-5= -89$

Наибольшее значение равно $967$

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

1. Найти производную функции $f'(х)$
2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
3. Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
5. Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

1. Найти производную функции $f'(х)$
2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
3. Разложить производную функции на множители.
4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
5. Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

2. Производная произведения.

Найти производную $f(x)=4x∙cosx$

3. Производная частного

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= — sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Найдите точку минимума функции $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$

3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю

Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.

5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ — это точка минимума.

1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$

2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки

Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки

Приравняем каждый множитель к нулю

$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$

Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$

4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3

$y(-5)= 6∙(-5)^5-90∙(-5)^3-5=6∙(-3125)+90∙125-5= -18750+11250-5=-7505$

$y(1)= 6∙1^5-90∙1^3-5=6-90-5= -89$

Наибольшее значение равно $967$

Определение наименьшего и наибольшего значения через производную

Удобен ли способ нахождения

и

через график? Определённо!
Всегда ли его можно использовать? К сожалению, нет.

Дело в том, что большинство заданий в алгебре на эту тему даются не через график, а через уравнение функции.
Зачастую эти функции сложные, и построение их графиков займёт время. Ошибётесь в построении — допустите ошибку и в
нахождении максимального и минимального значения, а нам это не нужно.

Способ, который не уступает первому в простоте и лаконичности, заключается в определении производной функции и
поиске стационарных точек. Кажется, нам встретились два новых термина — давайте их разберём.

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно
малом приращении аргумента.

Производная функции показывает, как быстро увеличивается функция

при бесконечно малом увеличении

По сути, найти производную означает провести определённые действия с помощью таблицы производных
функций. Обязательно загляните в нашу статью об этом и изучите материал, а мы пока пойдём дальше.

Стационарная точка — точка, в которой значение аргумента производной функции равно нулю.

Дело в том, что по теореме Ферма в стационарных точках определяется экстремум функции, поэтому можно сделать
вывод, что на некотором промежутке в них можно определить и наибольшее/наименьшее значение функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке

Как определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

1. Найдём область определения данной функции и проверим, входит ли в неё заданный отрезок.

2. Найдём производную данной функции.

3. Приравняем производную к нулю и найдём точки, в которых она обращается в нуль (решим уравнение).

4. Выберем из корней уравнения те точки, которые попадают в заданный промежуток, и вычислим значение функции в
   них.

5. Возьмём точки начала и конца отрезка и найдём значение функции в них.

6. Сделаем вывод о наибольшем и наименьшем значении функции.

Разберём пару примеров.

Задача 1

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке

3. не попадает в промежуток

   Найдём значение функции только в крайних точках:

4. Тогда

   является наименьшим значением на данном отрезке, а

   наибольшим.

Задача 2

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке

2. , но в таком случае знаменатель равен нулю, что невозможно. А значит, производная
   не обращается в нуль, стационарных точек нет.

3. Найдём значение функции в крайних точках отрезка:

   — точка максимума на промежутке;

   — точка минимума на промежутке.

Наименьшее и наибольшее значение функции на открытом или бесконечном интервале

В чём отличие отрезка от интервала? В отрезке определены крайние точки, в интервале же крайние точки могут не
существовать (например

), или значение функции в них мы рассматривать не будем (на интервале

мы рассмотрим значение функции в окрестностях этих точек, но не в них самих).

Вариантов задания интервала может быть множество, но каждый из них сведёт определение

и

к поиску производной и вычислению пределов в крайних точках, например

и

Вернёмся на пару шагов назад. А что такое предел функции?

Если говорить коротко, то предел функции — это такое число

, к которому функция стремится, в то время как аргумент стремится достичь числа

Предположим, наша функция представлена уравнением

Найдём предел функции при

подставив это значение вместо

в уравнение:

Это означает, что функция стремится приблизиться к числу

в то время как аргумент тоже приближается к этому значению. В отрыве от настоящего
уравнения мы могли бы представить это так:

Функция может стремиться не только к рациональному
числу, но также и к бесконечности. В таком случае при подстановке бесконечности в функцию возникает
неопределённость, которую необходимо решить разными методами.

В рамках этой статьи мы не можем посвятить этому много времени, поэтому ждём Вас на курсах математики в онлайн-школе
Skysmart — там ни один предел не останется незамеченным. 😉

Вернёмся к функции! Итак, как же определить наибольшее и наименьшее значение на интервале?

1. Найдём область определения данной функции и проверим, входит ли в неё заданный интервал.

2. Найдём производную данной функции.

3. Приравняем производную к нулю и найдём точки, в которых она обращается в нуль (решим уравнение).

4. Выберем из корней уравнения те точки, которые попадают в заданный промежуток, и вычислим значение функции в
   них.

5. Возьмём крайние точки интервала и вычислим значение предела в этих точках (согласно типу интервала).

6. Сделаем вывод о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для вычисления предела вам поможет сводная таблица, которая учитывает вид интервала:

Если при вычислении одностороннего предела вы получаете бесконечность, то вычислить наибольшее/наименьшее
значение невозможно.

Задача 3

Необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции

на всём промежутке области определения.

2. Найдём стационарные точки:

3. Точка

   входит в промежуток области определения и является точкой минимума.

4. Так как

   — парабола, ветви которой направлены вверх, мы не можем определить точку
   максимума.

Cегодня мы на славу потрудились и разобрали множество важных вопросов:

• что такое функция, какой она бывает;

• что такое наименьшее и наибольшее значение функции;

• как определить

  и

  на отрезке;

• как находить наименьшее и наибольшее значение функции на интервале;

• что такое предел и производная.

Вот и ещё одна тема по математике стала понятнее! А если всё же остались вопросы, спешим ещё раз пригласить вас на уроки математики в Skysmart — мы постараемся ответить на них, закрепить материал и попрактиковаться в решении задач. Обещаем, будет увлекательно и безумно интересно!

Наибольшее и наименьшее значение функции

На уроках алгебры учитель просит определить наибольшее и наименьшее значение функции. Что он имеет в виду?

Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции, необходимо понять, какое наименьшее или наибольшее
численное значение принимает

— зависимая переменная.

Наибольшее значение функции

на некотором промежутке

— это значение

которое при любом значении

делает справедливым неравенство

Теперь расшифровка! 😅 Если на данном интервале значение

больше, чем значение

в окрестностях точки

то такой

будет считаться наибольшим значением на данном промежутке.

Наименьшее значение функции

на некотором промежутке

— это значение

которое при любом значении

делает справедливым неравенство

Если на данном интервале значение

меньше, чем значение

в окрестностях точки

то такой

будет считаться наименьшим значением на данном промежутке.

Графическое задание функции

Представьте, что для школьной научной конференции вы готовите доклад о загрязнении окружающей среды. Как вы
думаете, что произведёт больший эффект на аудиторию:

• перечисление статистических данных об увеличении количества мусора за последний год;

• наглядная демонстрация роста загрязнений в виде графика?

Верно — иллюстрации, фотографии, графики и диаграммы говорят порой громче любых слов! 📈

Для наглядного отображения зависимости одной переменной от другой мы введём систему координат, в которой построим график.
График — это прямая, кривая или ломаная линия, которая была построена чётко по уравнению
(функции).

Как мы уже говорили, функция состоит из зависимой и независимой переменной. В декартовой системе координат
независимая переменная отображается с помощью оси

зависимая — с помощью оси

В зависимости от типа функции график может выглядеть, например, так:

Наибольшее и наименьшее значение функции на графиках

Самый простой способ определить

и

— рассмотреть график.

Если заданный интервал представлен прямой:

• при возрастающей функции: наименьшее значение функция примет при наименьшем аргументе и наоборот, наибольшее
  значение функции будет соответствовать наибольшему значению аргумента;

• при убывающей функции: наименьшее значение функция примет при наибольшем аргументе и наоборот, наибольшее
  значение функции будет соответствовать наименьшему значению аргумента.

Если заданный интервал представлен кривой:

• максимальное значение функции выглядит как вершина горы, возвышенности, тогда как минимальное значение мы
  можем определить как самую низкую точку относительно этого пика;

• минимальное значение функции выглядит как дно низины, оврага, тогда как максимальное значение мы можем
  определить как самую высокую точку относительно этого пика.

Возможен и такой вариант, когда горы и овраги встречаются на одном промежутке — тогда мы просто объединяем оба
пункта для нахождения

и

Помним главное правило: максимальное значение функции всегда представлено самой
высокой точкой относительно оси

минимальное значение функции — самой низкой точкой.