ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи с показательными уравнениями и неравенствами

На этой странице вы узнаете

Оценка за тест зависит от набранных баллов, а они зависят от количества и качества ответов. Цена билета в развлекательный центр может меняться от времени суток или дня недели. Погода в городе напрямую связана со временем года, географическим положением, температурой воздуха, влажностью, осадками и  многими другими факторами. Функция в математике показывает нам зависимость одной переменной от другой. Об этом подробнее поговорим в статье.

Показательные неравенства и методы их решения

Показательное неравенство – это неравенство, у которого переменная находится в показателе степени.

Самый простой вид показательного неравенства:

Особые случаи

Давайте вспомним, как сравниваются показатели степеней с основаниями от 0 до 1 и основаниями больше 1.

Если основание от 0 до 1, то при переходе к неравенству степеней знак меняется на противоположный, а если основание больше 1, тогда при переходе знак остается прежним.

Как поменять знак неравенства всего одним действием?

При делении или умножении каждой части неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Показательная функция и её основные свойства

Что же нам дает знание о характере этой зависимости?

Показательная функция — это функция, у которой неизвестная находится в показателе.

Она выглядит следующим образом:

Посмотрим на обозначения элементов в показательной функции:

Зачем показательная функция смотрится в зеркало?

Рассмотрим функции с разными основаниями подробней.

Основные свойства функции:1) Область определенияD(y)=(-∞;+∞)2) Множество значений функцииЕ(y)=(0;+∞)3) Нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.4) Функция возрастает.5) Функция непрерывна.

Функция y=ax, при 0 < a < 1

Основные свойства функции:1) Область определенияD(y)=(-∞;+∞)2) Множество значений функцииЕ(y)=(0;+∞)3) Нет ни наименьшего, ни наибольшего значения.4) Функция убывает.5) Функция непрерывна.

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде pVа = const

p — давление в газе в паскалях

V — объeм газа в кубических метрах

a — положительная константа

При каком наименьшем значении константы «a» уменьшение вдвое раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

p1 и V1 — начальные,

p2 и V2 — конечные

значения объема и давления газа, соответственно.

Задача сводится к решению неравенства:

(p_2over p_1 ) ≥ 4

(V_1over V_2 ) = 2

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением:

pV1,4 = const

V — объeм газа в литрах

Изначально объeм газа равен 1,6 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

р1 = 1 атм.

V1 = 1,6 л.

р2 = 128 атм.

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Методы решения показательных неравенств

Для решения показательных неравенств можно использовать те же методы, что и для решения уравнений, но с некоторыми изменениями. Они коснутся графического метода, метода уравнивания показателей и метода умножения/деления на показательную функцию.

Теперь используя этот метод нужно закрашивать нужную область.

Рассмотрим такое неравенство:

2x ≥ -x+3

y = 2x

y = -x+3

Изобразим их на графике:

Так как первая функция больше или равна второй, выделим промежуток на графике, где график первой функции выше графика второй

Данный метод будет записан по-разному для возрастающей и убывающей показательных функций.

3, 4, 5 методы работают без изменений.

6) Метод умножения/деления на показательную функцию

Используя данный метод для неравенств, нужно учитывать, что при умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Решим одно неравенство:

x ≤ -2

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Заметим, что если знак неравенства нестрогий, то корни уравнения всегда являются решением такого неравенства, потому что правая и левая части обращаются в , а – верное неравенство.

Задание
36

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

ОДЗ: – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

Таким образом, последнее неравенство равносильно

Так как у уравнения (y^2 + y + 2 = 0) дискриминант отрицательный, то выражение (y^2 + y + 2) всюду имеет один и тот же знак. Так как при (y = 1) выражение (y^2 + y + 2) положительно, то оно положительно при всех .

Задание
37

Задание
38

Задание
39

По методу интервалов:

Задание
40

Так как (log_5 15625 = log_5 5^6 = 6), то исходное неравенство равносильно неравенству

Задание
41

Таким образом, (7^x — 5^xleqslant 2) только при .

Задание
42

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Главная цель при работе с предлагаемыми билетами:

Если первая цель не вызывает вопросов, то экономия времени сразу не
чувствуется. Хотя именно нехватка времени и сказалась на структуре билетов. Они
составлены по единому принципу. Уравнения и неравенства расположены так, чтобы
легче было установить соответствие между ними.

И не смотря на рекомендацию учителя: решать уравнение и сразу же за ним
оформлять решение соответствующего неравенства, половина учеников предпочитала
сначала решить все уравнения из первого столбца, а потом уж приниматься за
решение неравенств. При записи ответа обращать внимание на то, что из-за
отсутствия корней у уравнения не следует, что и у неравенства не будет решений.

При сдаче второго зачёта уже таких проблем не возникало, так как у многих
сформировалось умение “видеть” и выработались определённые навыки.

В каждом билете материал подобран так, что, кроме, уравнений (неравенств),
решаемых по определению и свойствам, даны уравнения (неравенства), решаемые
разложением на множители; заменой переменных. И, естественно, повторяется
решение квадратных уравнений и неравенств, второй степени.

В билетах всего 26 заданий. Поэтому ученикам предлагались такие нормы:“5” –
26 зад. , “4” – 19–25 зад. , “3” – 14–18 зад. , “2” – менее 14 зад.

Ученик, претендующий на оценку “5”, должен успеть решить за урок все
уравнения и неравенства. Первые четырнадцать заданий – это обязательный минимум.
Зачёт, конечно, можно и пересдать. Но желательно, чтобы укладывались в
отведённое время.

При подготовке к ЕГЭ, когда навыки решения уравнений (неравенств) будут уже
сформированы, задания могут быть заменены. Например, такие:

Конечно, каждый учитель может сам дополнить этот список. В зависимости от
класса возникает необходимость на одни задания обратить больше внимания, на
другие – меньше.

Билеты могут быть использованы как для зачётов, так и для самостоятельных
работ. Каждый билет состоит из двух блоков: базовый уровень (1 уровень) и
повышенный (2 уровень). Блок состоит из двух частей: уравнения и неравенства,
которые разделены на два столбца, чтобы ученику легче было устанавливать
соответствие между ними.

Ниже приведено по шесть вариантов билетов по каждой теме. К ним даны ответы.

Приложение 1. Логарифмические уравнения и
неравенства.

Приложение 2. Показательные уравнения и
неравенства.

Приложение 3. Ответы к билетам по алгебре и
началам анализа.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике можно считать границей между «неплохо сдал ЕГЭ» и «поступил в вуз с профильной математикой». Здесь не обойтись без отличного знания алгебры. Потому что встретиться вам может любое неравенство: показательное, логарифмическое, комбинированное (например, логарифмы и тригонометрия). И еще бывают неравенства с модулем и иррациональные неравенства. Некоторые из них мы разберем в этой статье.

Хотите получить на Профильном ЕГЭ не менее 70 баллов? Учитесь решать неравенства!

Темы для повторения:

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2021

Уравнения и неравенства с модулем

Метод замены множителя (рационализации)

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 8, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 32, задача 15

Решаем задачи из сборника И. В. Ященко, 2020. Вариант 36, задача 15

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Разберем неравенства разных типов из вариантов ЕГЭ по математике.

1. Решите неравенство:

Решим неравенство относительно t методом интервалов:

Вернемся к переменной x:

2. Решите неравенство

Дискриминант квадратного уравнения

Значит, корни этого уравнения:

Разложим квадратный трехчлен

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной x. Запомнили?

Следующая задача — с секретом. Да, такие тоже встречаются в вариантах ЕГЭ.

3. Решите неравенство

Первое неравенство решим легко:

тоже все просто. Но что делать с неравенством

Для этого рассмотрим функцию

Сначала оценим показатель степени. Пусть

Это парабола с ветвями вниз, и наибольшее значение этой функции достигается в вершине параболы, при х = 1. При этом

Мы получили, что

, и это значит, что

4. Решите неравенство

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Лучше всего оформлять решение неравенства именно так.

Следующее неравенство — комбинированное. И логарифмы, и тригонометрия!

5. Решите неравенство

А вот и метод замены множителя (рационализации). Смотрите, как он применяется. А на ЕГЭ не забудьте доказать формулы, по которым мы заменяем логарифмический множитель на алгебраический.

6. Решите неравенство:

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что

. Используем также условия

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,

Согласно методу замены множителя, выражение

Решить ее легко.

Разберем какое-нибудь нестандартное неравенство. Такое, что не решается обычными способами.

7. Решите неравенство:

Привести обе части к одному основанию не получается. Ищем другой способ.

Заметим, что при x = 9 оба слагаемых равны 2 и их сумма равна 4.

Поскольку при x=9 значение монотонно возрастающей функции

равно 4, при

значения этой функции меньше 4. Конечно, при этом

, то есть x принадлежит ОДЗ.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 14. Неравенства u0026#8212; профильный ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Что такое показательные уравнения

Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно ( 5) в третьей степени? Ты абсолютно прав:

А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что:

Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я ( x) раз умножаю само на себя число ( 2) и получаю в результате ( 16).

Спрашивается, сколько раз я умножил ( 2) само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

Тогда ты можешь сделать вывод, что ( 2) само на себя я умножал ( displaystyle 4) раза.

Как еще это можно проверить?

Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем ( displaystyle 1024), ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать ( displaystyle 2) само на себя до посинения.

И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

где ( displaystyle x) – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь ( displaystyle 2) само на себя.

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

И даже нашел его корень ( x=10). Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же.

Вот тебе еще один пример:

Но что же делать?

Ведь ( 100) нельзя записать в виде степени (разумной) числа ( 1000).

Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

Давай более не будем тянуть и запишем определение:

Пример 1 (меркантильный)

Пусть у тебя есть ( displaystyle 1000000) рублей, а тебе хочется превратить его в ( displaystyle 1500000) рублей.

Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под ( displaystyle 12%) годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением).

Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму?

Вполне приземленная задача, не так ли?

Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения:

Пусть ( Sn) – начальная сумма, ( Sk) – конечная сумма, ( i) – процентная ставка за период, ( x) – количество периодов.

А почему ( i) делится на ( 100)? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему «Проценты»!

Тогда мы получим вот такое уравнение:

Таким образом, для получения ( 1.5) млн. нам потребуется сделать вклад на ( 41) месяц (не очень быстро, не правда ли?)

Пример 1. Метод простой замены

Это уравнение решается при помощи «простой замены», как ее пренебрежительно называют математики.

В самом деле, замена здесь – самая очевидная. Стоит лишь увидеть, что

Тогда исходное уравнение превратится вот в такое:

Что нам делать теперь?

Пришло время возвращаться к исходной переменной ( displaystyle x).

Ты и сам без труда ответишь, почему.

Как видишь, в предыдущем примере, замена так и просилась к нам в руки. К сожалению, так бывает далеко не всегда.

Однако давай не будем переходить сразу к грустному, а потренируемся еще на одном примере с достаточно простой заменой.

Пример 2. Метод простой замены

Однако прежде чем вводить замену, наше уравнение нужно к ней «подготовить», а именно:

О ужас: кубическое уравнение с совершенно жуткими формулами его решения (ну если говорить в общем виде). Но давай не будем сразу отчаиваться, а подумаем, что нам делать.

Я предложу смошенничать: мы знаем, что для получения «красивого» ответа, нам нужно получить ( t) в виде некоторой степени тройки (с чего бы это, а?).

А давай попробуем угадать хотя бы один корень нашего уравнения (я начну гадать со степеней тройки).

Как видишь, отбор корней показательных уравнений требует достаточно глубокого знания свойств логарифмов, так что я советую тебе быть как можно внимательнее, когда решаешь показательные уравнения.

Как ты понимаешь, в математике все взаимосвязано! Как говорила моя учительница по математике, математику, как историю, за ночь не прочитаешь.

Как правило, всю сложность при решении задач повышенной сложности составляет именно отбор корней уравнения.

Еще один пример для тренировки

Вначале давай рассмотрим первый корень.

Теперь второй корень:

Методы решения показательных уравнений

Показательное уравнение – это уравнение, где неизвестная находится в показателе степени.

Если неизвестная содержится и в показателе степени, и в основании, уравнение также считается показательным.

Пример показательного уравнения: 54x-2 = 25.

Методы решения показательных уравнений:

Этот метод заключается в рассмотрении левой и правой частей уравнения, как отдельных функций, и изображении их на плоскости. Данный метод в некоторых случаях может оказаться неточным. Поэтому его лучше использовать для нахождения количества решений, а сами значения находить другим методом.

Решим следующее уравнение:

0,5x+2 = x+5

Разделим его на отдельные функции:

Изобразим их на плоскости и найдем точку пересечения, именно она и будет решением данного уравнения.

Точка пересечения имеет координаты (-1;4). В ответ выпишем х=-1.

Этот метод заключается в представлении обеих частей уравнения в виде степени с одинаковыми основаниями и приравниванию показателей степеней

Рассмотрим на примере:

2x⋅3x = 36

Воспользуемся свойством степеней для левой части и приведем к такому виду:

6x = 36

Запишем левую часть как степень с основанием 6:

6x = 62

Перейдем к равенству степеней и найдем х:

Чтобы решить уравнение данным методом, нужно принять повторяющееся выражение за переменную и решить относительно нее, а после сделать обратную замену. Нельзя забывать про обратную замену, потому что значение введенной переменной не равно значению изначальной переменной.

Возможна ли дружба в математике?

Можно представить, что повторяющееся выражение и новая переменная – это лучшие друзья . Когда появляются затруднения с решением уравнения, подружка повторяющегося выражения прибегает и заменяет его до того момента, пока у уравнения не будут найдены корни. Затем они снова меняются.

22x-2⋅2x+6 = 5

Соберем все слагаемые слева

22x-2⋅2x+1 = 0

Разложим каждое слагаемое на множители:

2x⋅2x-2⋅2x+1 = 0

t2-2t+1 = 0

Решим его относительно новой переменной:

(t-1)2 = 0

2x = 1

Представим правую часть в виде степени с основанием 2:

2x = 20

Приравняем показатели степеней и найдем х:

Этот метод заключается в вынесение общего множителя за скобку.

6x-3x = 0

Разложим первое слагаемое на множители:

3x⋅2x-3x = 0

Вынесем общий множитель за скобку:

3x(2x-1) = 0

Так как произведение равно нулю, один из множителей должен равняться нулю. Перейдем к совокупности уравнений:

Так как показательная функция всегда больше 0, то у первого уравнения не будет решений. Из второго уравнения х = 0, значит, единственным решением данного уравнения будет х = 0.

Заключается этот метод во взятии слагаемых в скобки с последующим упрощением.

Давай решим такое уравнение:

x⋅5x-5x-3⋅5x+15 = 0

Заметим, что, сгруппировав 1 и 3 слагаемые и 2 и 4 слагаемые и вынося общий множитель за скобки, получаем одинаковые скобки:

(x⋅5x-3⋅5x)-(5x-15) = 0

5x(x-3)-5(x-3) = 0

Вынесем за скобку общий множитель (х — 3):

(5x-5)(x-3) = 0

Решим уравнения и получим х = 1 и х = 3.

Данный метод заключается в умножении каждого слагаемого уравнения на определенную показательную функцию.

Рассмотрим следующее уравнение:

Для упрощения уравнения умножим каждое слагаемое на 5x и получим:

2x⋅5x-1 = 0

Воспользуемся свойством степеней для первого слагаемого, а второе перенесем вправо:

10x = 1

Представим справа степень с основанием 10:

10x = 100

Приравняем степени и получим ответ:

Также можно делить все слагаемые на показательную функцию для упрощения уравнения. Это допустимо, только если эта функция точно не равна нулю, так как на ноль делить нельзя.

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.

Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства). В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.

Например, уравнения (x − 3)2 = 0 и x − 3 = 0 равносильны. Число 3 является единственным решением и того, и другого.

не являются равносильными. Решением первого уравнения является только x = 5. Решения второго – два числа: x = 5 и x = 1. Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.

Аналогичное определение – для неравенств.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.

также равносильны при

будет иметь такой же знак, как и выражение x − 5. Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение

Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.

Например, выражение вида

А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче С3. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:

Когда на ЕГЭ по математике вы применяете метод рационализации (замены множителя), – обязательно поясните, что вы им воспользовались. И не забудьте доказать соответствующую формулу. Иначе можно потерять балл.

Перейдем к практике – к решению задач из вариантов ЕГЭ по математике Профильного уровня.

Применим метод рационализации. В соответствии с нашей таблицей, множитель

заменим на (2 − x − 1)(x + 2 − 1). Множитель вида

заменим на (x + 3 − 1)(3 − x − 1). Таким образом, от логарифмического неравенства мы перешли к рациональному:

(1 − x) (x + 1) (x + 2) (2 − x) ≤ 0.

Решим его методом интервалов:

Начнем с ОДЗ.

Заметим, что выражение

. Это необходимо сделать, чтобы правильно расставить точки на числовой прямой.

Постараемся упростить это неравенство. Область допустимых значений

Заметим, что log32 − 2 < 0.

Мы получили квадратичное неравенство относительно t. Решим его:

Итак, t ≥ 1 или t ≤ log32 − 2.

4. Еще одна задача из той же серии:

Умножим обе части неравенства на

Поделим обе части неравенства на

Мы уже знаем, как представить число 7 в виде степени числа 2:

4 < 7 < 8;

5. Еще одна задача-страшилка из того же сборника:

Применим в левой части неравенства формулу перехода к другому основанию:

Последовательно применим метод замены множителя, то есть метод рационализации.

Напомним, что множитель log h f можно заменить на (h-1)( f-1), а множитель (log h f — 1) — на (h — 1)( f — h):

при x ∈ ОДЗ, а

С учетом ОДЗ:

Посмотрим, чем поможет метод замены множителя в решении сложного показательного неравенства.

Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень 2х. Поделим обе части неравенства на

Разложим числитель на множители.

Вернемся к неравенству:

, поделим обе части неравенства на

Применяя метод рационализации, множитель вида

Остается решить неравенство методом интервалов. Но как сравнить

Что больше? Давайте представим

как логарифм с основанием

7. Теперь логарифмическое неравенство. Обратите внимание, что здесь лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. И само неравенство, которое мы упрощаем, и область его допустимых значений мы записываем в одну систему. И решаем ее.

8. А теперь неравенство с ловушкой. Мы надеемся, что вы помните — нельзя извлекать корень из неравенства.

Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов:

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку х+5 положительно, то и выражение

Заметим, что решения неравенства

— это все числа, кроме

По методу рационализации, каждый из множителей вида

Просто равносильные преобразования. Выражение

положительно всегда — так как в уравнении

Больше неравенств: Задание 15 Профильного ЕГЭ по математике

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Термины

Область определения функции – это множество значений, которые может принимать х.

Множество значений функции – это множество значений, которые можно получить подставляя разные х из области определения функции.

Фактчек

Прежде чем переходить к показательным уравнениям, давайте вспомним свойства степеней. Их можно применять для преобразований во время решения.

Проверь себя

Решите уравнение 3x3x+2=9

Решите уравнение 4x⋅2=256

Решите неравенство 3x+2-9x ≥ 0

Ответы: 1. — 3; 2. — 2; 3. — 1; 4. — 4; 5. — 3.

Пример уравнения с нестандартной заменой!

Давай сразу начнем с того, что делать можно, а что – в принципе можно, но лучше не делать.

Можно – представить все через степени тройки, двойки и шестерки. К чему это приведет?

Да ни к чему и не приведет: мешанина степеней, причем от некоторых будет довольно сложно избавиться.

А что же тогда нужно?

И что нам это даст? А то, что мы можем свести решение данного примера к решению достаточно простого показательного уравнения!

Вначале давай перепишем наше уравнение в виде:

Такие уравнения называются однородными (подробнее читай в теме «Однородные уравнения»).

Например, уравнение вида:

В общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию ( a)), при котором исходное уравнение превратится в следующее:

Давай рассмотрим следующий пример:

Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию ( 10):

( (1+lg(x))cdot lg(x)=1+lg(x))

Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу.

Давай потренируемся еще на одном примере:

Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию ( 4), тогда получим:

Однако мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах?

Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений, приведенных ниже