ЕГЭ 2023 фипи математика базовый уровень 36 вариантов типовых экзаменационных заданий и ответов. ФИПИ задания от 1 до 12 из 36 возможных!

Изменения в ЕГЭ-2023 по китайскому языку

Пробные  варианты по математике профильного уровня в формате ЕГЭ 2023 из различных источников.

Варианты составлены в соответствии с демоверсией 2023 года

Пробные варианты ЕГЭ 2023 по математике (профиль)

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 18 заданий.

Часть 1 содержит 11 заданий с кратким ответом базового и повышенного уровней сложности.

Часть 2 содержит 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Пробные варианты ЕГЭ 2022 по математике (профильный уровень)

Сборник задач по стереометрии для 10-11 классов

Задание 10 по профильной математике — новые задачи по теории вероятностей в ЕГЭ-2022

Тест по теме «Производная» 11 класс алгебра с ответами

Основные тригонометрические тождества и формулы

Пробные и тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике (база) из различных источников.

Изменения в содержании КИМ отсутствуют.

Структура варианта КИМ ЕГЭ 2023 по математике базового уровня

Экзаменационная работа включает в себя 21 задание с кратким ответом базового уровня сложности.

Все задания направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.

Ответом к каждому из заданий 1–21 является целое число, или конечная десятичная дробь, или последовательность цифр.

Задание с кратким ответом считается выполненным, если верный ответ записан в бланке ответов № 1 в той форме, которая предусмотрена инструкцией по выполнению задания.

Демоверсия ЕГЭ 2023 по математике — базовый уровень

Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике профильного уровня

Официальный сайт ЕГЭ

Минимальные баллы ЕГЭ 2022 для получения аттестата

Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по русскому языку

Скачивая материалы с этого сайта, Вы принимаете условия

На сайте Федерального института педагогических измерений или сокращённо ФИПИ при желании можно найти открытый банк с заданиями по ЕГЭ, актуальными для 2023 года. Уже сейчас на портале есть возможность ознакомиться с десятками тысяч реальных заданий прошлых лет. Каждый год после опубликования результатов итогового экзамена эти данные пополняются. Билеты нынешнего года чаще всего публикуются для общего доступа перед летом, когда первые досрочные экзамены уже активно проходят. Некоторые из публикуемых материалов (и новых, и опубликованные несколько лет назад) могут встретиться в бланках на настоящем ЕГЭ. Однако надеяться на уже знакомый билет не стоит. Уникальный комплект заданий будет у каждой часовой зоны, а вариантов на портале огромное количество.

Обязательные для всех выпускников русский язык и математика (профильная и базовая) также представлены в открытом доступе. Решение сдавать профильную или базовую математику принимается заранее и зависит от того, что нужно школьнику для будущего поступления. Если в списке предметов она указана, а вы не сдавали её досрочно, то стоит готовиться к профильному уровню, если вуз не требует сдачи математики – проще выбрать базовую программу. Другие экзамены в личном списке каждого выпускника могут быть самыми разными – выбирают и обществознание, и химию, и биологию. Выбор дополнительных предметов зависит от будущей специальности и вступительных испытаний, которые назначают вузы.

Любой желающий может свободно и без ограничений ознакомиться с Открытым банком заданий. Не верьте мошенникам, предлагающим купить ответы или экзаменационные билеты.

Другие экзамены: ОГЭ

Изменения в ЕГЭ-2023 по русскому языку

Экзаменационных материалов по русскому языку коснулось больше всего обновлений. Вот что изменится в 2023 году:

Подготовка к ЕГЭ по русскому языку

Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ) опубликовал на своем сайте проекты документов, регламентирующих структуру и содержание контрольных измерительных материалов (КИМ) единого государственного экзамена (ЕГЭ) в 2023 году.

Основные изменения в заданиях:

Вы спрашиваете – «Мел» отвечает! Задавайте свои вопросы в наших сообществах во «ВКонтакте» и «Одноклассниках», а мы найдём того, кто сможет на них ответить.

Материалы, которые создаются силами дружной редакции «Мела»

Практика ЕГЭ 2023 математика 11 класс профильный уровень по заданиям первой части задание №1, задание №2, задание №3, задание №4, задание №5, задание №6, задание №7, задание №8, задание №9, задание №10, задание №11 в новом формате с ответами по материалам банка ФИПИ.

Планиметрия Блок 2. ФИПИ (www. fipi. ru)

1.Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 21. Найдите величину угла между биссектрисой CD и медианой CM проведёнными из вершины прямого угла C. Ответ дайте в градусах.

2.Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 17. Найдите величину угла между биссектрисой CD и медианой CM проведёнными из вершины прямого угла C. Ответ дайте в градусах.

3.В треугольнике ABC угол A равен 47°, углы B и C – острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

4.В треугольнике ABC угол A равен 68°, углы B и C – острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

5.В треугольнике ABC AC=BC, AB=30, высота AH равна 24. Найдите синус угла BAC.

6.В треугольнике ABC AC=BC, AB=12, высота AH равна 3. Найдите синус угла BAC.

7.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 98°, угол CAD равен 44°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

8.Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 61°, угол CAD равен 37°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

9.Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 77° и 112°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

10. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 59° и 86°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Стереометрия Блок 2. ФИПИ (www. fipi. ru)

1.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1=3, AB=6, BC=6.Найдите длину диагонали AC1.

2.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=9, A1B1=12, A1D1=8.Найдите длину диагонали BD1.

3.В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=30, BD=32. Найдите длину отрезка SA.

4.В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=35, AC=24. Найдите длину отрезка SB.

5.В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=18, SD=82. Найдите длину отрезка AC. 6.В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=14, SC=50. Найдите длину отрезка BD.

7.Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в 4 раза, а радиус основания останется прежним? 8.Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в 9 раз, а радиус основания останется прежним?

9.В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 98 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

10. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 192 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

11. Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

12. Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 20. У второго цилиндра высота в 4 раза меньше, а радиус основания в 3 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

13. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 32 2 . Найдите образующую конуса.

14. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 51 2 . Найдите образующую конуса.

15. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна 80 2 . Найдите радиус сферы.

16. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Образующая конуса равна 52 2 . Найдите радиус сферы.

Теория вероятностей Блок ФИПИ (www. fipi. ru)

1.В сборнике билетов по физике всего 50 билетов, в 14 из них встречается вопрос по термодинамике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по термодинамике.

2.В сборнике билетов по математике всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по неравенствам.

3.На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 2 прыгунов из Голландии и 5 прыгунов из Колумбии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что десятым будет выступать прыгун из Голландии.

4.На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 8 прыгуна из Италии и 2 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать вторым будет выступать прыгун из Италии.

5.В чемпионате по гимнастике участвуют 45 спортсменок: 15 из России, 12 из США, остальные – из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

6.В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 21 из Сербии, 23 из Хорватии, остальные из Словении. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Словении.

7.Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Георгий Бочкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Георгий Бочкин будет играть с каким-либо спортсменом из России.

8.Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 шахматистов, среди которых 16 спортсменов из России, в том числе Кирилл Черноусов. Найдите вероятность того, что в первом туре Кирилл Черноусов будет играть с каким-либо шахматистом из России.

9.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпала больше раз, чем орёл.

10. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что количество выпавших орлов меньше 2.

11. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орлов выпало больше, чем решек.

12. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

13. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5 или 6.

14. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что разница выпавших очков равна 1 или 2.

15. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков делится на 5, но не делится на 30.

16. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков – чётное число.

17. Фабрика выпускает сумки. В среднем 6 сумок из 150 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

18. Фабрика выпускает сумки. В среднем 9 сумок из 180 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

19. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 50 качественных сумок приходится семь сумок с дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

20. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится три сумки с дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Теория вероятностей (повышенная сложность)

1.Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8°C, равна 0,92. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8°C или выше.

2.Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8°C, равна 0,84. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8°C или выше.

3.При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,85. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.

4.При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 812 г, равна 0,98. Вероятность того, что масса окажется больше 792 г, равна 0,84. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 792 г, но меньше 812 г.

5.В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,04. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

6.В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,05. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

7.Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые мишени и не попадёт в последнюю.

8.Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.

9.Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,4. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

10. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,5. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

11. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,93. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

12. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

13. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,7 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,9?

14. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,6 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,9?

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Реальный вариант ЕГЭ по математике-2023 (профиль) с ответами и решениями. Это один из вариантов досрочного экзамена 28 марта 2023 года. Здесь вы можете увидеть, каков по сложности реальный профильный ЕГЭ по математике.

Ответом к заданиям 1–11 является целое число или конечная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предполагаются действительными, если отдельно не указано иное. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

1. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24º и 66º. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Решение: Пусть ∠C — прямой, CD — биссектриса, CM — медиана.

Так как медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то треугольник BMC — равнобедренный. Тогда имеем: ∠MCB = ∠ABC = 66º.
Так как CD — биссектриса, то ∠BCD = ∠ACD = 45º.
Тогда искомый угол равен

∠MCD = ∠MCB − ∠BCD = 66º − 45º = 21º

2. Найдите объем пирамиды, вписанной в куб, если ребро куба равно 3.

Решение: Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания пирамиды на высоту:

V = 1/3 Sh

Площадь основания пирамиды равна площади грани куба:

S = 32 = 9

Высота пирамиды равна высоте куба, то есть длине его ребра. Значит, она равна 3. Тогда объем пирамиды равен

V = 1/3 · 9 · 3 = 9

3. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх команда «Физик» как минимум один раз начнет игру первой.

Решение: Нужно найти вероятность того, что команда «Физик» хотя бы один раз начнет матч первой. Найдем сначала вероятность того, что команда ни разу не начинает матч первой, а потом посчитаем противоположную к ней вероятность. Перед началом матча судья бросает монетку, то есть вероятность того, что команда «Физик» не начинает матч, равна 0, 5. Тогда вероятность того, что команда не начинает ни один из трех матчей первой, равна

0, 53 = 0, 125.

Найдем искомую вероятность:

1 − 0, 125 = 0, 875

Решение: Пусть событие A : кофе закончился в первом автомате, событие B : кофе закончился во втором автомате, событие AB : кофе закончился в двух автоматах.
По условию мы знаем вероятности этих событий P(A) = P(B) = 0, 2, P(AB) = 0, 16.
Найдем вероятность того, что кофе закончился хотя бы в одном автомате:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 2P(A) − P(AB) = 2 · 0, 2 − 0, 16 = 0, 24

Тогда искомая вероятность — это противоположная вероятность:

1 − P(A + B) = 1 − 0, 24 = 0, 76

5. Решите уравнение

Решение: Уравнение в общем виде выглядит как

Условие A ⩾ 0 излишне, так как A = B2, а B2 ⩾ 0 как любое выражение в квадрате. Следовательно, исходное уравнение равносильно

4x + 32 = 64 ⇔ x = 8

6. Найдите 5 cos 2α, если sin α = −0, 4.

Ответ: 3, 4.

Решение: По формуле косинуса двойного угла

cos 2α = 1 − 2 sin2 α

Тогда искомое значение равно

5 cos 2α = 5 · (1 − 2 sin2 α) = 5 · (1 − 2 · (−0, 4)2) = 5 · (1 − 2 · 0, 16) = 5 · (1 − 0, 32) = 5 · 0, 68 = 3, 4

Решение: На указанном отрезке производная положительна, то есть функция возрастает. Тогда наименьшее значение функция f(x) принимает в левом конце отрезка в точке x = −7.

8. Водолазный колокол, содержащий ν = 2 моль воздуха при давлении p1 = 1, 5 атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением A = αν, где α = 5, 75 — постоянная, T = 300 К — температура воздуха. Найдите, p2 (в атмосферах) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.

Решение: Подставим все известные из условия величины в формулу:

6900 = 5, 75 · 2 · 300 · log2 p2/1, 5

23 = 11, 5 · log2 p2/1, 5

log2 p2/1, 5 = 23/11, 5

p2/1, 5 = 22

p2/1, 5 = 4

p2 = 6

9. Один рабочий пропалывает грядку за 12 часов, а двое рабочих вместе пропалывают грядку за 4 часа. За сколько часов прополет грядку второй рабочий?

Решение: Пусть x — скорость первого рабочего, а y — скорость второго рабочего.
По условию имеем:

Вычтем первое уравнение из второго, получим

y = 1/4 − 1/12 = (3 − 1)/12 = 1/6

Таким образом, второй рабочий пропалывает одну грядку за 6 часов.

10. На рисунке изображен график функции f(x) = ax + b. Найдите значение x, при котором f(x) = 29.

Решение: Найдем коэффициент b, подставив в уравнение функции точку (0; −2), через которую проходит график. Тогда

f(0) = −2 ⇔ a0 + b = −2 ⇔ 1 + b = −2 ⇔ b = −3

Теперь найдем основание a, подставив в уравнение функции точку (1; −1), через которую проходит график:

f(1) = −1 ⇔ a1 − 3 = −1 ⇔ a = 2

Значит, теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид f(x) = 2x − 3,
тогда

f(x) = 2x − 3 = 29
2x = 32
2x = 25
x = 5

11. Найдите точку минимума функции y = x3 − 24×2 + 11.

Решение: Найдем производную функции:

y′ = (x3 − 24×2 + 11)′ = 3×2 − 48

y′ = 0
3×2 − 48x = 0
x(x − 16) = 0

Нули производной разбивают область определения функции (она равна R) на промежутки, на каждом из которых производная непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знак производной на каждом таком промежутке:

Следовательно, функция убывает на промежутке (0; 16) и возрастает на промежутке (16; +∞). Тогда точка минимума функции равна x = 16.

12. а) Решите уравнение

(2 cos x) − 5 log3(2 cos x) + 2 = 0

Ответ: а) ±π/6 + 2πк, к ∈ z

б) 11π/6; 13π/6

Решение: а) Сделаем замену t = log3(2 cos x). Тогда уравнение примет вид

2t2 − 5t + 2 = 0 ⇔ t = 1/2; 2

Сделаем обратную замену:

Первое уравнение совокупности равносильно

13. Дан тетраэдр ABCD. На ребре AC выбрана точка K так, что AK : KC = 3 : 7. Также на ребрах AD, BD и BC выбраны точки L, M и N соответственно так, что KLMN — квадрат со стороной 3.
а) Докажите, что ребра AB и CD взаимно перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости KLMN, если объем тетраэдра ABCD равен 100.

б) Докажем мини-задачу: если a и b — противоположные ребра тетраэдра, d — расстояние между ними, α — угол между ними, то объем этого тетраэдра равен 1/6 abd sin α.
Рассмотрим призму MNKPM1N1K1P1, в основании которой лежит четырехугольник MNKP, диагонали которого соответственно равны и параллельны двум противоположным ребрам данного тетраэдра: MK = a, NP = b, ∠(MK, NP) = α. Тогда расстояние между основаниями призмы равно d. Значит, объем этой призмы

V = d · 1/2ab sin α

Распишем, чему равен объем данного тетраэдра M1NK1P :

V = 1/6 · CD · AB · SP · sin 90º ⇔ 100 = 1/6 · 30/7 · 10 · SP ⇔ SP = 14

Так как по теореме Фалеса AK : KC = SF : FC = SH : HP = 3 : 7, то SH : SP = 3 : 10.
Тогда

SH = 3/10SP = 4, 2

14. Решите неравенство

Решение: Преобразуем левую часть:

Заметим, что t2 − 8t + 7 = (t − 1)(t − 7), а t2 − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4). Тогда

Сократим левую часть на (t − 1), запомнив, что t ≠ 1.

Решим полученное неравенство методом интервалов:

0 < t < 1 ⇔ 0 < 2x < 1 ⇔ x < 0

1 < t < 4 ⇔ 1 < 2x < 4 ⇔ 20 < 2x < 22 ⇔ 0 < x < 2

6 < t ⩽ 8 ⇔ 6 < 2x ⩽ 8 ⇔ 2log26 < 2x ⩽ 23 ⇔ log2 6 < x ⩽ 3

15. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с долгом на конец предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Известно, что сумма всех выплат составила 375 000 рублей. Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами?

Ответ: 221 400 рублей

Решение: Так как по условию процентная ставка составляет 25%, то каждый январь долг становится в 1 + 1/4 = 5/4 раз больше долга на конец предыдущего года. Составим таблицу, отслеживающую изменения, связанные с долгом, где за S рублей примем сумму, взятую в кредит, а за x рублей — ежегодный платеж.

Так как после последнего платежа долг выплачен полностью, то получаем следующее уравнение (в левой части разность последних ячеек 3-его и 4-ого столбцов):

По условию задачи общая сумма выплат равна

Подставим это значение x в полученное нами уравнение и выразим S:

Следовательно, в кредит было взято 221 400 рублей.

16. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.

a) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.

Решение: а) Проведем через точку A общую касательную l к окружностям.
Рассмотрим меньшую окружность. Мы знаем, что угол между хордой и касательной к окружности равен половине дуги, заключенной между ними, значит, угол между AM и l равен вписанному углу AKM.

Рассмотрим большую окружность. По аналогичным соображениям угол между AC и l равен углу ABC.
Тогда, так как точки A, M и C лежат на одной прямой, то ∠AKM = ∠ABC.

Опустим перпендикуляр O1S на BC. В равнобедренном треугольнике BO1C отрезок O1S — высота, а значит и медиана. Тогда   BS = SC.
По теореме Пифагора для треугольника BO1S :

O1S2 = BO21 − BS2 = 102 − 82 = 62 ⇒ O1S = 6

Так как отрезки O1O2 и O2P — радиусы меньшей окружности, то

O1O2 = O2P = 5

Рассмотрим прямоугольную трапецию O2PSO1.
Пусть O2H — перпендикуляр к O1S, тогда O2HSP — прямоугольник и

O1H = O1S − HS = O1S − O2P = 6 − 5 = 1

Следовательно, по теореме Пифагора

Так как хорды данных окружностей, лежащие на одной прямой, проходящей через точку A, относятся как их диаметры, то KM — средняя линия в треугольнике ABC. Тогда KL — средняя линия в треугольнике ABP и ML — средняя линия в треугольнике ACP, следовательно

По теореме о произведении отрезков хорд имеем:

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных решения.

Решение: Перепишем уравнение в виде системы

Будем рассматривать параметр a как переменную. Построим в системе координат xOa множество S решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами (x0; a0) принадлежит этому множеству S, то для исходной задачи это означает, что если параметр a принимает значение a0, то x0 будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения a0 параметра a, при каждом из которых ровно две из точек вида (x0; a0), где x0 ∈ R, принадлежат множеству решений S, изображенному на плоскости xOa. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая a = a0 имеет ровно две точки пересечения с множеством S.
Решением совокупности на плоскости xOa является объединение двух лучей, а решением уравнения a = x2−x является парабола. Следовательно, множеством S на плоскости xOa будет являться множество точек эти лучей за исключением тех точек параболы a = x2 − x, которые являются точками пересечения параболы и этих лучей.
Найдем точки пересечения луча a = 3x − 3, x ⩾ 0, и параболы a = x2 − x:

Найдем точки пересечения луча a = −5x − 3, x < 0, и параболы a = x2 — x:

Изобразим множество S на плоскости xOa (получим множество всех точек двух лучей с выколотыми точками A, B, C, D):

18. Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.
а) Может ли Егор за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см?
б) Может ли Егор за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см?
в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в 300 см на части по 1 см?

Ответ: а) Да
б) Нет
в) 9

18. У Пети дома лежат по 100 монет номинала 1, 2, 5 и 10 рублей. Он хочет купить пирожное в магазине без сдачи, но до момента покупки Петя не знает, сколько стоит пирожное.
а) Может ли Петя выбрать дома 16 монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до 100 рублей?
б) Может ли Петя выбрать дома 5 монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до 25 рублей?
в) Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если он знает, что пирожное стоит не более 100 рублей?

Ответ: а) Да
б) Нет
в) 13

Решение: а) Петя может взять десять монет номиналом 10. Тем самым он сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого кратна 10.
Еще Петя возьмет одну монету номиналом 5 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого кратна 5.
Петя возьмет одну монету номиналом 1 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 1 при делении на 5.
Петя возьмет две монеты номиналом 2 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 2 или 4 при делении на 5.
Еще Петя возьмет одну монету номиналом 1 и одну монету номиналом 2 и сможет без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 3 при делении на 5.
Таким образом, Петя возьмет с собой 10 + 1 + 1 + 2 + 2 = 16 монет и сможет без сдачи оплатить пирожное стоимостью до 100 рублей.
б) Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 1 при делении на 5, Петя обязательно должен взять с собой монету номиналом 1.
Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 4 при делении на 5, Петя обязательно должен взять с собой две монеты номиналом 2.
Чтобы без сдачи оплатить пирожное, стоимость которого дает остаток 9 при делении на 10, Петя обязательно должен взять с собой монету номиналом 5.
Итого, Петя уже обязательно должен взять четыре монеты, которые в сумме дают 10 рублей.
Тогда максимум Петя можем взять с собой 20 рублей. Следовательно, Петя не может выбрать дома 5 монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до 25 рублей.
в) По соображениям из пункта б) Петя обязательно должен взять четыре монеты следующими номиналами: 1, 2, 2 и 5.

Чтобы оплатить пирожное стоимостью 100 рублей, Петя должен взять дома еще 90 рублей. Минимальное количество монет, которыми можно набрать 90 рублей — 9. Тогда Петя обязан взять с собой хотя бы 13 монет: 1, 2, 2, 5 и 9 монет по 10 рублей.
Докажем, что любую цену Петя сможет оплатить без сдачи. Очевидно, что он может оплатить любую стоимость, кратную 10. При этом, если стоимость не равна 100, то у него всегда останутся монеты 1, 2, 2 и 5. Тогда осталось доказать, что монетами 1, 2, 2 и 5 Петя может набрать любое число от 1 до 9.

1 = 1
2 = 2
3 = 1 + 2
4 = 2 + 2
5 = 5
6 = 5 + 1
7 = 5 + 2
8 = 5 + 1 + 2
9 = 5 + 2 + 2

Значит, Петя должен взять дома минимум 13 монет, чтобы гарантированно оплатить без сдачи пирожное стоимостью не более 100 рублей.

Изменения в ЕГЭ-2023 по информатике

Подготовка к ЕГЭ по информатике

Изменения в ЕГЭ-2023 по математике (база)

Сами задания по предмету не изменились, но теперь практические задания, которые проверяют знания из разных разделов математики, предшествуют блокам по геометрии и алгебре.

Как поясняется в материалах на сайте ФИПИ, это обновление поможет экзаменуемому эффективнее организовать работу над выполнением заданий.

Изменения в ЕГЭ-2023 по физике

Подготовка к ЕГЭ по физике

Изменения в ЕГЭ-2023 по химии

Подготовка к ЕГЭ по химии

Изменения в ЕГЭ-2023 по иностранным языкам (кроме китайского)

Подготовка к ЕГЭ по английскому

Изменения в ЕГЭ-2023 по математике (профиль)

КИМ профильного экзамена по этому предмету также не изменились, но теперь задания в 1-й части сгруппированы иначе: сначала геометрия, потом элементы комбинаторики, статистика и теория вероятностей, в финале — алгебра, в том числе уравнения и неравенства, функции и начала анализа. Вторая часть экзамена осталась без изменений.

Подготовка к ЕГЭ по математике

Изменения в ЕГЭ-2023 по истории

Изменения в заданиях в 2023 году коснутся всех предметов, кроме географии. Тут всё просто: по сравнению с 2022 годом в экзамене по географии ничего не поменяется.

Изменения в ЕГЭ-2023 по обществознанию

Подготовка к ЕГЭ по обществознанию

Изменения в ЕГЭ-2023 по биологии

Изменения по этому предмету коснулись 9-го задания: если раньше нужно было выбрать три верных ответа из пяти, то теперь их число может быть от 2 до 4 — зависит от того, какое произведение попалось экзаменуемому.