За это задание ты можешь получить 1 балл. На решение дается около 5 минут. Уровень сложности: базовый.Средний процент выполнения: 66.7%Ответом к заданию 2 по математике (профильной) может быть целое число или конечная десятичная дробь.
Разбор сложных заданий в тг-канале
Пробные и тренировочные варианты по математике профильного уровня в формате ЕГЭ 2023 из различных источников.
Варианты составлены в соответствии с демоверсией 2023 года
Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике (профиль)
Структура варианта КИМ ЕГЭ 2023 по математике профильного уровня
Экзаменационная работа состоит из двух частей и включает в себя 18 заданий, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий:
– часть 1 содержит 11 заданий (задания 1–11) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
– часть 2 содержит 7 заданий (задания 12–18) с развёрнутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Задания части 1 направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях. Посредством заданий части 2 осуществляется проверка освоения математики на профильном уровне, необходимом для применения математики в профессиональной деятельности и на творческом уровне.
Задания части 1 предназначены для определения математических компетентностей выпускников образовательных организаций, реализующих программы среднего (полного) общего образования на базовом уровне. Задание с кратким ответом (1–11) считается выполненным, если в бланке ответов № 1 зафиксирован верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
Задания 12–18 с развёрнутым ответом, в числе которых 5 заданий повышенного уровня и 2 задания высокого уровня сложности, предназначены для более точной дифференциации абитуриентов вузов.
1. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 бадминтонистов, среди которых 22 спортсмена из России, в том числе Игорь Чаев. Найдите вероятность того, что в первом туре Игорь Чаев будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.
2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу
3. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
№10 профильного ЕГЭ. Презентация на урок.
1. В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер достанут третьим по счёту?
2. В кофейне «Восток» администратор предлагает гостям сыграть в следующую игру: за одну попытку гость бросает одновременно две игральные кости. Всего у него есть две попытки. Если в результате хотя бы одной из попыток на обоих костях оказывается одно и тоже число очков, клиент получает чашку кофе латте в подарок. Какова вероятность выиграть чашку латте?
3. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 64 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Социология», нужно набрать не менее 64 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.Вероятность того, что абитуриент Б. получит не менее 64 баллов по математике, равна 0,5, по русскому языку — 0,9, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,9.Найдите вероятность того, что Б. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
4. При бросании двух игральных костей в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность, что хотя бы раз выпало два очка?
5. Игральную кость подбросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность того, что «сумма выпавших очков окажется равна 4
6. Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что был сделан один бросок? Ответ округлите до сотых.
7. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 6. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.
8. В городе 48 % взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15 %. Для опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
9. Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть шесть разных принцесс из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 1 или 2 шоколадных яйца?
10. Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет нечетных чисел, а четные числа 2, 4 и 6 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то порядке выпали 4 и 6 очков. Какова вероятность того, что бросали первый кубик?
11. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 91% случаев. Если заболевание нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 93% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание? Результат округлите до сотых.
12. Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определен жребием. Всего в турнире 8 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность проигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придется сыграть друг с другом?
13. Симметричную монету бросают 3 раза. Найти вероятность того, что орёл выпал два раза.
14. Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
15. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?
16. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,4?
4. Введение в теорию вероятностей
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Общая памятка по всем разделам теории вероятностей:
Задание
8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Миша и Маша играют в игру: Миша пишет на доске натуральное число , а Маша – натуральное число . Затем Миша стирает свое число и вместо него записывает модуль суммы и , а Маша – стирает свое и пишет модуль разности и . Затем с новыми числами они проделывают то же самое. Найдите вероятность того, что через 100 таких действий произведение чисел, записанных на доске, будет кратно 4.
Рассмотрим все возможные варианты:1) Миша написал четное число, Маша – нечетное. Тогда на втором шаге на доске будут написаны нечетное и нечетное числа. На третьем шаге: четное и четное числа. На четвертом, пятом и т.д.: четное и четное. Тогда на 100 шаге произведение этих чисел будет всегда делиться на 4.2) Миша написал четное, Маша – тоже четное. Тогда аналогично первому случаю на всех последующих шагах на доске тоже будут написаны два четных числа, следовательно, на 100 шаге их произведение всегда будет делиться на 4.3) Миша и Маша написали нечетные числа. Тогда на втором шаге на доске будут написаны четные числа, как и на всех следующих шагах (аналогично второму случаю). Следовательно, на 100 шаге их произведение будет всегда делиться на 4.Таким образом, в любом случае произведение чисел будет делиться на 4. Значит, вероятность этого события равна 1.
Задание
9
Артур считает вероятность наступления некоторого события в случае, если он подбросит правильную игральную кость дважды. У него получилось, что вероятность наступления события равна . Известно, что Артур ошибся, но его ошибка наименьшая из возможных при данных условиях. Насколько ошибся Артур? Ответ округлите до сотых.
При этом такое действительно возможно, если, например, “В сумме за два подбрасывания выпадет ”. В итоге, ответ: .
Задание
10
Тимур считает вероятность наступления некоторого события в случае, если он подбросит правильную игральную кость сто раз. У него получилось, что вероятность наступления события равна . Известно, что Тимур ошибся, но его ошибка наименьшая из возможных при данных условиях. Учитель задумался, насколько ошибся Тимур (учителя интересует ответ, округлённый до десятых). Какой результат должен получить учитель?
Рассмотрим ситуацию, когда (P(A) = 0) (она возможна при данных условиях), тогда ошибка Тимура составит . Так как ошибка Тимура наименьшая из возможных, то она не превосходит , но все числа, не превосходящие , при округлении до десятых дают . Таким образом, ответ: .
Задание
11
Монетку подбросили 1001 раз. Какова вероятность того, что выпало более 500 орлов? Ответ округлите до десятых.
Вероятность выпадения более 500 орлов равна вероятности выпадения более 500 решек (орёл и решка “равноправны”). Но “выпало более 500 решек” “выпало менее 501 орла”. Таким образом, вероятность выпадения более 500 орлов равна вероятности выпадения менее 501 орла.
Но события “выпало более 500 орлов” и “выпало менее 501 орла” в объединении содержат все возможные исходы серии из 1001 подбрасывания.
При этом эти события не могут наступить одновременно, следовательно, вероятность того, что наступит какое-нибудь из них равна сумме их вероятностей и равна 1.
Таким образом, вероятность события “выпало более 500 орлов” равна .
Задание
12
За круглый стол в случайном порядке рассаживаются Белоснежка, злая ведьма и 5 гномов (двое охраняют мероприятие). Найдите вероятность того, что Белоснежка и злая ведьма не будут сидеть вместе. Ответ округлите до сотых.
Проще сначала найти вероятность того, что Белоснежка и злая ведьма окажутся сидящими вместе. Для этого можно мысленно объединить Белоснежку и злую ведьму, как занимающих одно место на двоих из 6 мест за столом. Тогда на первое место можно посадить одного из 6 кандидатов, на второе одного из 5 и т.д., значит количество различных рассадок за таким столом будет равно (6cdot 5cdot 4cdot 3cdot 2cdot 1 = 6!).
При этом каждая рассадка за таким столом дает две различных рассадки за обычным 7-местным столом (Белоснежку и злую ведьму “на одно место из 6”можно посадить вместе двумя способами). Тогда общее количество рассадок за начальным столом, в которых Белоснежка и злая ведьма сидят вместе равно .
Задание
13
Компания “Light”изготавливает лампочки. Вероятность того, что готовая лампочка неисправна, равна . Каждую лампочку дополнительно проверяет упаковщик. Вероятность того, что упаковщик обнаружит (и изымет) неисправную лампочку, равна . Вероятность того, что упаковщик по ошибке изымет исправную лампочку, равна . Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная лампочка будет изъята упаковщиком.
Тогда (0,0096 + 0,0384 = 0,048) – искомая вероятность.
Задание
14
Чтобы поступить в университет на механико-математический факультет, абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 75 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и физика, и не менее 75 баллов за внутренний экзамен по математике. Чтобы поступить на факультет вычислительной математики и кибернетики, нужно набрать не менее 75 баллов за ЕГЭ по каждому из четырех предметов – математика, русский язык, физика и информатика, и не менее 60 баллов за тот же внутренний экзамен по математике, что и на механико-математический факультет. Вероятность того, что абитуриент Cubert получит не менее 75 баллов за ЕГЭ по математике, равна 0,8, по русскому языку – 0,9, по физике – 0,85, по информатике – 0,7. Вероятность того, что Cubert сдаст внутренний экзамен не менее, чем на 60 баллов равна . Вероятность того, что Cubert сдаст внутренний экзамен не менее, чем на 75 баллов равна . Найдите вероятность того, что Cubert’у хватит баллов хотя бы на один из двух упомянутых факультетов. Ответ округлите до сотых.
Как заходить в аудиторию на ЕГЭ
Теория вероятностей на ЕГЭ по математике может быть представлена как в виде простых задач на классическое определение вероятности, так и в виде достаточно сложных, на применение соответствующих теорем.
В этой части рассмотрим задачи, для решения которых достаточно применения определения вероятности. Иногда здесь мы будем применять также формулу для вычисления вероятности противоположного события. Хотя без этой формулы здесь можно обойтись, она все равно понадобится при решении следующих задач.
Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти (заранее предсказать невозможно) во время наблюдения или испытания.
Пусть при проведении испытания (бросание монеты или кубика, вытягивание экзаменационного билета и т. д.) возможны
равновозможных исходов. Например, при подбрасывании монеты число всех исходов
равно 2, так как кроме выпадения «решки» или «орла» других исходов быть не может. При броске игрального кубика возможны 6 исходов, так как на верхней грани кубика равновозможно появление любого из чисел от 1 до 6. Пусть также некоторому событию А благоприятствуют
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для этого события исходов к общему числу равновозможных исходов (это классическое определение вероятности). Пишем
Например, пусть событие А состоит в выпадении нечётного числа очков при бросании кубика. Всего возможны 6 исходов: выпадение на верхней грани кубика 1, 2, 3, 4, 5, 6. При этом благоприятными для события А являются исходы с выпадением 1, 3, 5. Таким образом,
События А и В называются противоположными друг другу, если любой исход благоприятен ровно для одного из них.
Например, при бросании кубика событие «выпало нечётное число» является противоположным событию «выпало чётное число».
Событие, противоположное событию А, обозначают
. Из определения противоположных событий следует
Задачи о выборе объектов из набора
В этих задачах нужно подсчитать общее число объектов (равно общему числу исходов) и число подходящих объектов (равно числу благоприятных исходов). После этого следует воспользоваться определением вероятности.
Задача 1. В чемпионате мира участвуют 24 команды. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по шесть команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе?
Общее число исходов равно числу карточек – их 24. Благоприятных исходов 6 (так как номер 3 написан на шести карточках). Искомая вероятность равна
Задача 2. В урне 14 красных, 9 жёлтых и 7 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым?
Общее число исходов равно числу шаров: 14 + 9 + 7 = 30. Число исходов, благоприятствующих данному событию, равно 9. Искомая вероятность равна равна
Задача 3. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной и больше 5?
Исходом здесь является нажатие определённой клавиши, поэтому всего имеется 10 равновозможных исходов. Указанному событию благоприятствуют исходы, означающие нажатие клавиши 6 или 8. Таких исходов два. Искомая вероятность равна
Задача 4. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 4 до 23 делится на три?
На отрезке от 4 до 23 имеется 23 – 4 + 1 = 20 натуральных чисел, значит, всего возможны 20 исходов. На этом отрезке кратны трём следующие числа: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Всего таких чисел 6, поэтому рассматриваемому событию благоприятствуют 6 исходов. Искомая вероятность равна
Задача 5. Из 20 билетов, предлагаемых на экзамене, школьник может ответить только на 17. Какова вероятность того, что школьник не сможет ответить на выбранный наугад билет?
1 -й способ.
Так как школьник может ответить на 17 билетов, то на 3 билета он ответить не может. Вероятность получить один из этих билетов по определению равна
Обозначим через А событие «школьник может ответить на билет». Тогда
. Вероятность противоположного события равна
Задача 6. В чемпионате по художественной гимнастике участвуют 20 спортсменок: 6 из России, 5 из Германии, остальные – из Франции. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая седьмой, окажется из Франции.
Всего 20 спортсменок, у всех равные шансы выступать седьмой. Поэтому имеются 20 равновероятных исходов. Из Франции 20 – 6 – 5 = 9 спортсменок, поэтому имеются 9 благоприятных для указанного события исходов. Искомая вероятность равна
Задача 7. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 50 докладов – первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции?
Сначала найдём, сколько докладов запланировано на последний день. На первые три дня запланировано
докладов. Остаются ещё 50 – 36 = 14 докладов, которые распределяются поровну между оставшимися двумя днями, поэтому в последний день запланировано
Будем считать исходом порядковый номер доклада профессора Н. Всего таких равновозможных исходов 50. Благоприятствуют указанному событию 7 исходов (последние 7 номеров в списке докладов). Искомая вероятность равна
Задача 8. На борту самолёта 10 мест рядом с запасными выходами и 15 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажиров высокого роста. Пассажир К. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру К. достанется удобное место, если всего в самолёте 200 мест.
Исход в этой задаче – выбор места. Всего имеется 200 равновозможных исходов. Благоприятствуют событию «выбранное место удобное» 15 + 10 = 25 исходов. Искомая вероятность равна
Задача 9. Из 1000 собранных на заводе кофемолок 7 штук бракованных. Эксперт проверяет одну наугад выбранную кофемолку из этой 1000. Найдите вероятность того, что проверяемая кофемолка окажется бракованной.
При выборе кофемолки наугад возможны 1000 исходов, событию А «выбранная кофемолка бракованная» благоприятны 7 исходов. По определению вероятности
Задача 10. Завод производит холодильники. В среднем на 100 качественных холодильников приходится 15 холодильников со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный холодильник окажется качественным. Результат округлите до сотых.
Задача 11. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 теннисистов, среди которых 7 участников из России, в том числе Максим Зайцев. Найдите вероятность того, что в первом туре Максим Зайцев будет играть с каким-либо теннисистом из России.
Как и в предыдущей задаче, необходимо внимательно прочитать условие и понять, что является исходом, а что – благоприятным исходом (так, неосмысленное применение формулы вероятности приводит к неправильному ответу
Здесь исход – это соперник Максима Зайцева. Так как всего теннисистов 16, а сам с собой Максим играть не может, то имеется 16 – 1 = 15 равновероятных исходов. Благоприятный исход – соперник из России. Таких благоприятных исходов 7 – 1 = 6 (из числа россиян исключаем самого Максима). Искомая вероятность равна
Задача 12. Футбольную секцию посещают 33 человека, среди них два брата – Антон и Дмитрий. Посещающих секцию случайным образом делят на три команды по 11 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий окажутся в одной команде.
Сформируем команды, последовательно помещая футболистов на свободные места, при этом начнем с Антона и Дмитрия. Сначала поместим Антона на случайно выбранное место из свободных 33. Теперь помещаем на свободное место Дмитрия (исходом будем считать выбор места для него). Всего имеется 32 свободных места (одно уже занял Антон), поэтому всего возможны 32 исхода. В одной команде с Антоном остается 10 свободных мест, поэтому событию «Антон и Дмитрий в одной команде» благоприятствуют 10 исходов. Вероятность этого события равна
Задача 13. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 11, но не дойдя до отметки 2 часа.
После изучения материала по решению простых задач по теории вероятностей рекомендую выполнить задачи для самостоятельного решения, которые мы публикуем на нашем канале Telegram. Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму.
Также рекомендую изучить «Округление с недостатком» и другие уроки по решению заданий ЕГЭ по математике, которые представлены на нашем канале Youtube.
Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
Источник «Подготовка к ЕГЭ. Математика.Теория вероятностей». Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
Навигация по записям
Теория вероятности в ЕГЭ без сложных формул!
Сложная вероятность
Учитель математики МОБУ «СОШ «ЦО «Кудрово» Всеволожского района Ленинградской области
Кузнецова Татьяна Ивановна
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Мотор» по очереди играет с командами «Статор», «Стартер» и «Ротор». Найдите вероятность того, что «Мотор» будет начинать с мячом только вторую игру.
Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,03 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Р(-,-)=0,03 · 0,03 = 0,0009
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,21. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Р(+,+)=0,94 · 0,94 = 0,8836
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 14 октября погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 17 октября в Волшебной стране будет отличная погода.
В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 5 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 8 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.
Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).
События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру дня кофе останется в обоих автоматах.
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате.
A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
Кофе останется в обоих автоматах: 1 − 0,35 = 0,65.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Чтобы поступить в институт на специальность «Переводчик», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Таможенное дело», нужно набрать не менее 79 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент Б. получит не менее 79 баллов по математике, равна 0,9, по русскому языку — 0,7, по иностранному языку — 0,8 и по обществознанию — 0,9.
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 69 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 69 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее 69 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,6, по иностранному языку — 0,6 и по обществознанию — 0,9.
Найдите вероятность того, что А. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.
На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.
Всего тарелок в продаже:
Тарелок без дефектов: 0,9x
На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 55% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
На фабрике керамической посуды 30% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 75% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 60% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 70% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 65% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 85% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 65% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 80% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 8 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 5 очков, в случае ничьей — 3 очка, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,8. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 76% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
4. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.
(5, 10, 10) или (10, 5, 10) или (10, 10, 5)
В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.
Методические разработки, презентации и конспекты
Поверхность оставшейся части куба состоит из боковой поверхности куба, площадь которой равна 4·1·1=4, боковой поверхности призмы, площадь которой равна 4·0,7·1=2.8, и двух равных фигур (см. заштрихованную фигуру на рисунке), площадь каждой из которых равна 1·1 — 0,7·0,7 = 0.51. Таким образом, площадь поверхности оставшейся части куба равна 4 + 2.8 + 2 · 0.51 = 7.82.
Задача 2
Если каждое ребро куба увеличить на $1$ (см. рис.), то площадь его поверхности увеличится на $42$. Найдите ребро куба.
Пусть ребро куба равно $x$. Площадь поверхности куба равна $6x^2$. Если ребро куба увеличить на $1$, то оно станет равным $(x + 1)$, а площадь поверхности $6(x + 1)^2$. Так как площадь поверхности при этом увеличится на $42$, то $6(x + 1)^2 — 6x^2 = 42$, откуда $12x + 6 = 42, 12x = 36, x = 3$.
Задача 3
Куб вписан в шар радиуса $2√ 3$. Найдите объём куба.
Так как диагональ куба, вписанного в шар, равна диаметру шара, то $√3a = 2R$, где $a$ — ребро куба, $R = 2√3$ — радиус шара. Тогда $a√3 = 4√3, a = 4$. Объём куба равен $a^3 = 64$.
Задача 4
Так как диагональ куба, вписанного в шар, равна диаметру шара, то $√3a = 2R$, где $a$ — ребро куба, $R = 1.5√3$ — радиус шара. Тогда $√3a = 3√3, a = 3$. Объём куба равен $a^3 = 27$.
Задача 5
Объём куба равен $64$ (см. рис.). Найдите площадь его поверхности.
Пусть ребро куба равно $x$. По условию объём куба равен $64$, тогда $x^3=64$, откуда $x=4$. Площадь грани куба равна $x^2=16$. Площадь поверхности куба равна $6x^2=6⋅16=96$.
Задача 6
Длина окружности основания цилиндра равна $6$. Площадь боковой поверхности равна $21$. Найдите высоту цилиндра.
В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными $20$ и $48$ (см. рис.). Площадь её поверхности равна $1272$. Найдите боковое ребро этой призмы.
Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то сторону ромба найдём из прямоугольного треугольника $AOD$ по теореме Пифагора.
Задача 8
В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными $14$ и $48$ (см. рис.). Площадь её поверхности равна $1232$. Найдите боковое ребро этой призмы.
Задача 9
В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1 C_1 D_1$ ребро $AA_1$ равно $24$, а диагональ $BD_1$ равна $26$ (см. рис.). Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $A_1$ и $C$.
Задача 10
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен $7$.
Найдите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой равны $24$ и высота равна $5$ (см. рис.).
$S = 576 + 624 = 1200$.
Задача 12
Найдите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой равны $8$ и высота равна $3$ (см. рис.).
$SM$ — апофема.
Задача 13
В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна $3$, объём равен $32$ (cм. рис.). Найдите боковое ребро этой пирамиды.
Задача 14
В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна $9$, объём равен $864$ (cм. рис.). Найдите боковое ребро этой пирамиды.
Задача 15
Площадь основания конуса равна $27$. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной $2$ и $4$, считая от вершины (см. рис.). Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.
Пусть $CA = R$ — радиус основания конуса, сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса — круг, радиус которого $OD = r$.
Задача 16
Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его площадь поверхности увеличится на 126. Найдите ребро куба.
$S_1=6а^2$$ S_2=6(a+3)^2$$ 6(a+3)^2-6а^2=126$$ 6(а^2+6а+9)-6а^2=126$$ 6а^2+36а+54-6а^2=126$$ 36а=126-54$$ 36а=72$$ а=2$.
