1.Из города А в город В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 33 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 22 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 104 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 5 км в час больше прежней. По дороге он сделал остановку на 5 часов. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на путь из В в А. (в км/ч).
3.Два велосипедиста одновременно отправились в 117-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к фи нишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
4. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Заказ на 130 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 3 детали больше?
6.На изготовление 475 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
1.Два велосипедиста одновременно отправились в 110 километровый пробег. Первый ехал со скоростью, ни 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
2.Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 9 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
3.От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 3 часа после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между пристанями равно 154 км. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.
4.Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?
5.На изготовление 99 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
6.Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 648 литров она заполняет на 3 минуты быстрее, чем первая труба?
Ответы: 1в. 44; 13; 9; 3; 10; 25. 2в. 10; 3; 14; 11; 19; 16.
Подготовка к егэ
Задачи на совместную работу
Задачи на работу решаются с помощью одной-единственной формулы:
P — производительность
Правила решения задач на работу
Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, времени он затрачивает на 1 час меньше, чем второй, то есть t 1 на 1 меньше, чем t 2 , значит
Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной величиной. Значит, отрицательный корень не подходит .
Сразу отметим, что производительность каждого рабочего
1/19 (заказа в час). Заказ это работа, она равна 1.
Совместно рабочие работали 9 часов.
Значит, на весь заказ ушло 9 + 1 = 10 часов .
Пусть х это время, за которое мастера выполнят работу вместе.
Производительность первого 1/36 (заказа в час),
второго 1/12 (заказа в час), этот вывод мы сделали из условия задачи.
Сразу, исходя из условия, можно определить производительности насосов:
у первого 9/4 (литра в минуту), у второго 9/6 (литра в минуту).
Пусть совместно они будут работать х минут.
В данной задаче производительности даны:
у Пети 12 (вопросов в час), у Вани 20.
Количество вопросов это и есть работа, принимаем за её за х.
Теперь найдем время, за которое бассейн будет наполнен при открытии обеих труб одновременно. Чтобы найти время работы, надо объем работы разделить на производительность труда:
3 новых тренировочных варианта формата ЕГЭ 2023 по математике 11 класс базовый уровень задания с ответами и решением, дата проведения пробника ЕГЭ 13 апреля 2023 года. Контрольная диагностическая работа в формате ЕГЭ.
Задания и ответы с 1 варианта
1. На счету Настиного мобильного телефона было 79 рублей, а после разговора с Вовой осталось 40 рублей. Сколько минут длился разговор с Вовой, если одна минута разговора стоит 1 рубль 50 копеек?
2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
3. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 7 августа. Ответ дайте в градусах Цельсия.
5. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,5. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся неисправными.
6. В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трех городах России. Определите, в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 3 л молока, 2 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе (в рублях).
7. На графике изображена зависимость скорости движения легкового автомобиля от времени. На вертикальной оси отмечена скорость легкового автомобиля в км/ч, на горизонтальной — время в секундах, прошедшее с начала движения автомобиля.
8. На зимней олимпиаде сборная Канады завоевала медалей больше, чем сборная Нидерландов, сборная Беларуси — меньше, чем сборная Нидерландов, а сборная Швейцарии меньше, чем сборная Канады. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
9. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
10. Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил относительно земли равна 1,65 м, а наибольшая h2 равна 2,65 м. Ответ дайте в метрах.
11. Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
13. Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 9 и 2, а второго — 3 и 3. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго?
15. Только 80% из 2500 выпускников города правильно решили задачу № 1. Сколько выпускников из этого города правильно решили задачу № 1?
19. Приведите пример трёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.
20. Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии 180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ дайте в км/ч.
21. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
Задания и ответы с 2 варианта
1. Стоимость проездного билета на месяц составляет 650 рублей, а стоимость билета на одну поездку — 28 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 45 поездок. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы каждый раз покупала билет на одну поездку?
5. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 14 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?
6. В нескольких эстафетах, которые проводились в школе, команды показали следующие результаты. При подведении итогов для каждой команды баллы по всем эстафетам суммируются. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество баллов. Какое итоговое место заняла команда «Чемпионы»?
8. Повар испёк для вечеринки 45 кексов, из них 15 штук он посыпал марципаном, а 20 кексов посыпал сахарной пудрой. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Хотя бы 16 кексов посыпаны и сахарной пудрой, и марципаном. 2) Найдётся 10 кексов, которые ничем не посыпаны. 3) Не может оказаться больше 15 кексов, посыпанных и сахарной пудрой, и марципаном. 4) Если кекс посыпан сахарной пудрой, то он посыпан марципаном.
9. План местности разбит на клетки. Каждая клетка является квадратом размером 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
10. Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 12 км. Чему равно расстояние между городами A и B (в км), если на карте оно составляет 4 см?
11. Пять ступеней лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисунке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна 30 см, высота — 15 см, а ширина — 90 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
12. В параллелограмме ABCD диагональ AC в два раза больше стороны AB и ∠ACD = 19°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
15. Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 10%. Книга стоит 270 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?
19. Вычеркните в числе 75416303 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.
20. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 2 дня. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 1 день выполняет такую же часть работы, какую второй — за 2 дня?
21. В корзине лежат 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
Задания и ответы с 3 варианта
1. Для покраски 1 м2 потолка требуется 240 г краски. Краска продается в банках по 2,5 кг. Сколько банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 50 м2 ?
5. На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
6. Для группы иностранных гостей требуется купить 10 путеводителей. Нужные путеводители нашлись в трёх интернет-магазинах. Условия покупки и доставки даны в таблице. Определите, в каком из магазинов общая сумма покупки с учётом доставки будет наименьшей. В ответ запишите наименьшую сумму в рублях.
8. Известно, что берёзы — деревья, также известно, что все деревья выделяют кислород. Подсолнухи тоже выделяют кислород. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
9. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
10. Квартира состоит из комнаты, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры 3 м × 3,5 м, санузел — 2 м × 2 м, длина комнаты — 4,5 м. Найдите площадь коридора (в квадратных метрах).
11. В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 60 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 10 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
12. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
13. Даны два шара с радиусами 8 и 4. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?
15. В спортивном магазине любой свитер стоит 500 рублей. Сейчас магазин проводит акцию: при покупке двух свитеров — скидка на второй свитер 20%. Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух свитеров в период действия акции?
19. Сумма цифр трёхзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа (А + 6) также делится на 12. Найдите наименьшее возможное число А.
20. Грузовик перевозит партию щебня массой 60 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 4 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за пятый день, если вся работа была выполнена за 8 дней.
21. Клетки таблицы 6 на 4 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 19 пар соседних клеток разного цвета и 15 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
16. Задачи по планиметрии
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задачи по планиметрии прошлых лет
Задание
1
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Окружность проходит через вершины и параллелограмма . Эта окружность пересекает в точке , а в точке .
а) Докажите, что отрезки и равны.
б) Найдите , если известно, что , , а косинус угла равен .
(ЕГЭ 2018, основная волна)
б) Введем обозначения: , . Проведем отрезок . Тогда – трапеция, причем, так как она вписана в окружность, она равнобедренная. Следовательно, .
Задание
2
Дан тупоугольный треугольник с тупым . Продолжения высот этого треугольника пересекаются в точке . .
а) Докажите, что .
б) Найдите , если , .
(ЕГЭ 2018, досрочная волна)
а) Заметим, что в тупоугольном треугольника в одной точке пересекаются продолжения высот. Рассмотрим чертеж:
Задание
3
Медианы (AA_1, BB_1, CC_1) треугольника пересекаются в точке . Известно, что .
а) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан и , если известно, что .
(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)
а) Пусть , тогда . Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины, то , следовательно, . Следовательно, . Следовательно, прямоугольный с .
б) Обозначим , .
Задание
4
В выпуклом четырехугольнике : , , , , .
а) Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность.
б) Найдите диагональ .
(ЕГЭ 2018, досрочная волна, резерв)
Задание
5
Окружность с центром проходит через вершины и большей боковой стороны прямоугольной трапеции и касается боковой стороны в точке .
а) Докажите, что угол вдвое больше угла .
б) Найдите расстояние от точки до прямой , если основания трапеции и равны 4 и 9 соответственно.
(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018)
а) Угол – центральный, опирающийся на дугу ; угол – вписанный и опирающийся на ту же дугу, следовательно, , чтд.
Задание
6
Прямая, проходящая через середину гипотенузы прямоугольного треугольника , перпендикулярна и пересекает катет в точке . При этом .
б) Пусть прямые и пересекаются в точке , а прямые и – в точке . Найдите , если .
(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)
б) Рассмотрим : . Так как , то , то есть – середина (, следовательно, , следовательно, ).
Проведем . Тогда – средняя линия треугольника . Значит, .
Задание
7
В трапецию с основаниями и вписана окружность с центром в .
а) Докажите, что (sin angle AOD=sinangle BOC).
б) Найдите площадь трапеции, если , а основания равны и .
(ЕГЭ 2017, резервный день)
а) Так как окружность вписана в трапецию, то ее центр лежит на пересечении биссектрис углов трапеции.
Так как (angle A+angle B=180^circ), то (rac12cdot (angle
A+angle B)=90^circ). Следовательно, .
Аналогично доказывается, что .
Следовательно, . Следовательно, (sin
angle BOC=sin angle AOD).
б) Так как в трапеции (angle A=angle B=90^circ), то , следовательно, – прямоугольный и равнобедренный.
Пусть (M, N, K, L) – точки касания окружности со сторонами (AB, BC,
CD, AD) соответственно.
Следовательно, как радиус, проведенный в точку касания. Так как равнобедренный, то – медиана, следовательно, . Как отрезки касательных . Следовательно, . Пусть также , . Тогда , .
Как заходить в аудиторию на ЕГЭ
Тип урока: практикум по решению задач
Цель: способствовать укреплению навыка решения задач на движение по кругу и движение протяженных тел в рамках подготовки к ЕГЭ; умения анализировать условие задачи, составлять план решения и решать текстовые задачи алгебраическим способом.
Оборудование: карточки с заданиями, карточки с подсказками, карточки с решениями.
I. Организационный момент
Притча «Скорость жизни»
Существует формула: время, умноженное на скорость, равно расстоянию. Будучи распространена на жизненный путь человека, эта формула означает: с чем большей скоростью «идет» человек по жизни, тем длиннее его жизненный путь. Можно прожить короткую жизнь, но за отведенное время пройти в своем развитии громадное расстояние. Пушкин прожил всего 37 лет, но сделал за свою жизнь столько, сколько другой человек не сделал бы за несколько жизней. Конечно, много зависит от врожденных способностей, но немало зависит и от самого человека. Так давайте будем двигаться по жизни с оптимальной скоростью.
II. Актуализация знаний
Учитель: Я не зря начала урок с упоминания о формуле вычисления длины пути. Предлагаю вам сегодня разобрать несколько задач на движение, а если быть точнее, то три задачи в рамках подготовки к ЕГЭ. Но для начала, скажите мне, какие виды задач на движение вы знаете?
Обучающийся: движение навстречу друг другу; движение, когда один догоняет другого; движение по реке.
Учитель: На столах у вас лежат карточки с задачами, жирно выделена задача, которую вам надо будет разобрать в группе. Скажите, какие виды задач нам предстоит сегодня разобрать?
Обучающийся: На сегодняшнем уроке нам предстоит рассмотреть задачи на движение по кругу и задачи на движение протяженных тел.
III. Решение задач в группах
Как будем работать:
1. Первые 10 минут – вы начинаете решать задачу в группе, советуясь между собой (Приложение 1)
2. Если по истечении этого времени вам не удалось «нащупать» способ решения, то вы обращаетесь ко мне, и я даю вам подсказку. В следующие 5 минут – вы решаете задачу уже с помощью данной подсказки (Приложение 2, Приложение 3, Приложение 4).
3. Если и это не помогает, то я вам предлагаю уже полное решение, в котором вы разбираетесь уже в течение следующих 5 минут (Приложение 2, Приложение 3, Приложение 4).
4. По истечении 20 минут (это максимум) у вас должно быть полное решение задачи, понятое вами и вы должны быть готовы рассказать его у доски.
5. Следующие 20 минут у нас уйдут на разбор заданий у доски, ответы на вопросы (если они появятся). Рисунок к задаче на движение протяженных тел находится в Приложении 9.
6. Далее, в течение 15 минут, я предлагаю вам уже самостоятельно решить три подобные задачи, чтобы проверить себя насколько хорошо вы поняли, уловили идеи. При этом вы можете задавать вопросы, если возникнут затруднения. На некоторые вопросы я отвечу индивидуально, а другие можно разобрать у доски (Приложение 5).
7. Итогом нашей деятельности должна стать самостоятельная работа (20 минут) (Приложение 10)
8. Домашнее задание вы получите на карточках. Оно двух уровней сложности. Какую из них выбрать вы решаете сами (Приложение 6, Приложение 7)
И последнее: какой бы способ решения вы не выбрали, обязательно должна быть графическая модель (рисунок), и в конце я попрошу вас выделить, что в решении вашей задачи, на ваш взгляд, важное, «эксклюзивное».
IV. Итог урока
V. Домашнее задание
Домашнее задание двух уровней сложности. Учащиеся выбирают сами карточку, какого уровня сложности они возьмут (Приложение 6, Приложение 7).
Тесты по темам
Разбор заданий, аналогичных заданиям теста, смотрите здесь.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Текстовые задачи на проценты.
ЕГЭ Профиль №11, №17
Формулы. Сложные проценты.
В 2008 году в городском квартале проживало 60000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 2%, а в 2010 году – на 3% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
Воспользуемся формулой сложных процентов.
103 = 6 (10000 +500+6) = 60000+3000+36 = 63036.
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 19800 рублей, через два года был продан за 16038 рублей.
число процентов, на которое уменьшается цена холодильника.
100 — р =90,
р = 10.
В среду акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в четверг подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 64% процента дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?
цена акции, а число процентов —
т: 80 %.
Задачи для самостоятельного решения:
Бизнесмен Оладьев получил в 2015 году прибыль в размере 1200000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Оладьев за 2017 год?
В 2008 году в городском квартале проживало 30000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 10%, а в 2010 году – на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 22800 рублей, через два года был продан за 18770 рублей.
В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 64% процента дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?
Катя хочет взять кредит 1200000 рублей. Погашение происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Катя взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320000 рублей?
1)На сумму 1200000 начисляют 10% :
1,1 = 1320000 рублей – стал долг банку,
2) 1320000 – 320000 = 1000000 рублей – остаток после выплаты.
1,1 = 1100000 рублей – стал долг банку,
2) 1100000 – 320000 = 780000 рублей – остаток после выплаты.
1,1 = 858000 рублей – стал долг банку,
2)858000 – 320000 = 538000 рублей – остаток после выплаты.
1,1 = 591800 рублей – стал долг банку,
2)591800 — 320000 = 271800 рублей – остаток после выплаты.
1,1 = 298980 рублей – стал долг банку,
2) 298980 – 298980 = 0 рублей.
Последняя выплата 298980 < 320000. Значит, Катя погасит кредит за 5 лет.
: 5 лет.
По вкладу «А» в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года. А по вкладу «Б» — увеличивает на 11% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».
Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма Х.
По вкладу «А» по 10% ставке на конец третьего года будет сумма:
По вкладу «Б» по 11% ставке на конец второго года будет сумма:
Пусть по вкладу «Б» третий год начисляется р%, тогда на конец третьего года получим сумму: 1,2321Х
По условию задачи надо найти такое целое значение , при котором вклад «Б» будет выгоднее вклада «А». Составим неравенство
Так как р – целое число, то р = 9.
31 декабря 2014 года Иван взял в банке 6951000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть, увеличивает долг на 10%), затем Иван переводит в банк платёж. Весь долг Иван выплатил за три равных платежа. На сколько рублей меньше он отдал бы банку, если бы мог выплатить долг за два равных платежа?
Пусть Х – сумма, которую взяли в кредит по 10% годовых. 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент t=1,1. А — платёж для погашения кредита.
Оставшаяся сумма долга после 1-ого платежа: Х
Оставшаяся сумма долга после 2-ого платежа: Х t –А = (Х t –А = Хt– Аt – А.
Оставшаяся сумма долга после 3-ого платежа:
t –А = (Хt– Аt – А) t –А = Xt– Аt – А = Xt- А (t
I схема погашения кредита за 3 года.
= 0 Xt- А (t
Сумма, которую Иван заплатил банку 2795100
3 = 8385300 рублей.
II схема погашения кредита за 2 года.
= 0 Хt– Аt – А =0, А
Сумма, которую Иван заплатил банку 4005100
2 = 8010200 рублей.
8385300 – 8010200 = 375100 рублей
: на 375100 рублей.
– количество выплат, – процентная ставка, – размер одной выплаты,
(t-1) = A (t
Х= 2100000 рублей
: а (под какой процент взяли кредит?)
D = 121
121=121(121+840) = 121
= 1,1; t<0 –не подходит по смыслу задачи.
а= 10 %.
31 декабря 2014 года Иван взял в банке 6951000 рублей в кредит по 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть, увеличивает долг на 10%), затем Иван переводит в банк платёж. Весь долг Иван выплатил за три равных платежа. На сколько рублей меньше он отдал бы банку, если бы смог выплатить долг за два равных платежа?
Х= 6951000 рублей
а = 10%
3 = 8385300 рублей,
8385300 — 8010200 = 375100 рублей
Х= 1200000 рублей
А =320000 рублей
(t-1) ≥ А
(А – Х(t-1)) ≥ А
Х(t-1) < А
Оля хочет взять кредит 100000 рублей. Погашение происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей?
По вкладу «А» в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года. А по вкладу «Б» — увеличивает на 21% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».
По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту же сумму на 8% в первый год и на одинаковое целое число процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение , при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.
31 декабря 2013 года Тимофей взял в банке 7007000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть, увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за три равных платежа. На сколько рублей меньше он отдал бы банку, если бы смог выплатить долг за два равных платежа?
В данном разделе мы занимаемся подготовкой к ЕГЭ по математике как базового, профильного уровня — у нас представлены разборы задач, тесты, описание экзамена и полезные рекомендации. Пользуясь нашим ресурсом, вы как минимум разберетесь в решении задач и сможете успешно сдать ЕГЭ по математике в 2020 году. Начинаем!
ЕГЭ по математике является обязательным экзаменом любого школьника в 11 классе, поэтому информация, представленная в данном разделе актуальна для всех. Экзамен по математике делится на два вида — базовый и профильный. В данном разделе я приведен разбор каждого вида заданий с подробным объяснением для двух вариантов. Задания ЕГЭ строго тематические, поэтому для каждого номера можно дать точные рекомендации и привести теорию, необходимую именно для решения данного вида задания. Ниже вы найдете ссылки на задания, перейдя по которым можно изучить теорию и разобрать примеры. Примеры постоянно пополняются и актуализируются.
Структура базового уровня ЕГЭ по математике
Экзаменационная работа по математике базового уровня состоит из одной части, включающей 20 заданий с кратким ответом. Все задания направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.
Ответом к каждому из заданий 1–20 является целое число, конечная десятичная дробь, или последовательность цифр.
Задание с кратким ответом считается выполненным, если верный ответ записан в бланке ответов №1 в той форме, которая предусмотрена инструкцией по выполнению задания.
Разбор заданий ЕГЭ по математике ()
09 Текстовые задачи
Текстовые задачи на среднюю скорость
– есть отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени.
Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью
км/ч, а вторую половину времени – со скоростью
км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Первые два часа автомобиль ехал со скоростью
км/ч, следующий час – со скоростью
км/ч, а затем два часа – со скоростью
Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью
км/ч, вторую треть – со скоростью
км/ч, а последнюю – со скоростью
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью
км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью
км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ ч.
Вы можете пройти тест по теме «Задачи на среднюю скорость»
Разбор типовых заданий ЕГЭ по математике базового уровня Геометрия
Прикладная геометрия 1. Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил равна 1,25 м, а наибольшая высота h2 равна 2,25 м. Ответ дайте в метрах. ! Алгоритм выполнения Определить, что за фигура на рисунке. Вспомнить определение средней линии трапеции. Записать формулу для нахождения средней линии трапеции. Подставить данные. Вычислить среднюю линию трапеции.
2. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. ! Алгоритм выполнения Определить что за фигура на рисунке. Записать формулу нахождения площади данной фигуры. Определить по чертежу все необходимые данные. Вычислить площадь участка.
3. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах. ! Алгоритм выполнения Определить что за фигура на рисунке. Записать формулу нахождения площади данной фигуры. Определить по чертежу все необходимые данные. Вычислить площадь участка.
4. Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите суммарную длину забора в метрах . ! Алгоритм выполнения Вычислить периметр прямоугольника. Прибавить длину разделяющей части. P = 30 м + 30 м + 25 м + 25 м = 110 м. 110 м – длина забора без перегородки. Прибавим длину разделяющей части. По рисунку видно, что длина разделяющей части 25 м. 110 м + 25 м = 135 м.
5. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки в 16:00? ! Алгоритм выполнения Сначала мы найдем, сколько в градусах занимает один час. Затем найдем угол, который образуют стрелки в 16:00 Так как вся окружность — 360°, а часов 12, то один час: 360° : 12 = 30° Значит, в четыре часа угол будет равен: 30° • 4 = 120°
6. Пожарную лестницу длиной 10 м приставили к окну дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 6 м. На какой высоте находится верхний конец лестницы? Ответ дайте в метрах. ! Алгоритм выполнения Приставленная к стене лестница образует с этой стеной и горизонтальной площадкой возле дома прямоугольный треугольник. Высота, на которой находится верхний конец лестницы, является одним из катетов этого треугольника. Следовательно, для нахождения ее величины нужно использовать теореме Пифагора.
7. Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 35 и 45 м. Дом, расположенный на участке, имеет на плане форму квадрата со стороной 7 м. Найдите площадь оставшейся части участка, не занятой домом. Ответ дайте в квадратных метрах. ! Алгоритм выполнения Находим площадь прямоугольного участка. Находим площадь квадратного дома. Находим разность этих площадей, отняв от большего числа меньшее. 35 · 45 = 1575 ( кв.м ) – площадь всего участка 7 · 7 = 49 ( кв.м ) – площадь дома 1575 – 49 = 1526 ( кв.м ) – площадь оставшейся части участка
8. На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 9 м, высота фонаря 5 м? ! Алгоритм выполнения Рассматриваем 2 подобных треугольника. В первом стороны образуют линия фонаря и расстояние от его основания до верхней точки тени от человека. Во втором – линия роста человека и линия его тени. Поскольку треугольники подобны, то можем соотнести соответствующие стороны и оставить из этих отношений пропорцию. Из полученной пропорции выражаем искомую величину. Вычисляем ее. Обозначим искомое расстояние через х . Из рисунка имеем 2 треугольника. Один (больший) построен на сторонах 5 м и ( х +9) м. Другой (меньший) – 1,8 м и 9 м. Составим пропорцию из отношений соответствующих сторон этих треугольников: 5 : 1,8 = ( х + 9) : 9. Из пропорции получим: 5 · 9 = 1,8 · ( х + 9) 1,8 х + 16,2 = 45 1,8 х = 28,8 х = 16 (м)
Наглядная стереометрия 9. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания в 4 раза больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах. ! Алгоритм выполнения: Записать формулу объема цилиндра. Подставить значения для цилиндра с жидкостью в первом и во втором случае. Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы. Полученное уравнение решить относительно второй высоты h 2 . Подставить данные и вычислить искомую величину. V 1 = π r 1 2 h 1 V 2 = π r 2 2 h 2 Объем жидкости не изменялся, следовательно, можно приравнять объемы. V 1 = V 2 π r 1 2 h 1 = π r 2 2 h 2 h 2 =( π r 1 2 h 1 )/ π r 2 2 По условию площадь основания стала в 4 раза больше, то есть r 2 = 4 r 1 . Подставим r 2 = 4 r 1 в выражение для h 1. Получим: h 2 =( π r 1 2 h 1 )/ π (4 r 1 ) 2 Полученную дробь сократим на π, получим h 2 =( r 1 2 h 1 )/ 16 r 1 2 Полученную дробь сократим на r 1 , получим h 2 = h 1 / 16. Подставим известные данные: h 2 = 80/ 16 = 5 см. Ответ: 5.
10. Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы. Первая коробка в четыре с половиной раза выше второй, а вторая втрое шире первой. Во сколько раз объём первой коробки меньше объёма второй? ! Алгоритм выполнения: Записать формулу, для вычисления объема правильной четырехугольной призмы. Записать в общем виде формулу для нахождения объема в первом и втором случае. Найти отношение объемов. Преобразовать полученное выражение с учетом соотношения измерений первой и второй призмы. Сократить получившуюся дробь. V 1 = a 1 · b 1 · c 1 V 2 = a 2 · b 2 · c 2 Найдем отношение объемов. V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1 )/ ( a 2 · b 2 · c 2 ) По условию c 1 = 4,5 c 2 (первая коробка в четыре с половиной раза выше второй), b 2 = 3 b 1 (вторая коробка втрое шире первой). Так как это правильные четырехугольные призмы, то в основании лежит квадрат, а значит глубина второй коробки тоже втрое больше глубины первой, то есть a 2 = 3 a 1 Подставим эти выражения в формулу отношения объемов: V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · c 1 )/ ( a 2 · b 2 · c 2 ) = (a 1 · b 1 · 4,5c 2 )/ ( 3a 1 · 3b 1 · c 2 ) = (a 1 · b 1 · 4,5c 2 )/ ( 9a 1 · b 1 · c 2 ) Сократим получившуюся дробь на a 1 · b 1 · c 2 . Получим: V 1 / V 2 = (a 1 · b 1 · 4,5c 2 )/ ( 9a 1 · b 1 · c 2 ) = 4,5/9 = ½. Объем первой коробочки в 2 раза меньше объема второй. Ответ: 2.
11. От деревянного кубика отпилили все его вершины (см. рис.). Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)? ! Сначала вспомним сколько всего граней и вершин у куба: шесть граней и восемь вершин. Теперь на месте каждой вершины образуется новая грань после отпила, значит у модифицированного в задании куба шесть родных граней и восемь новых (после отпила). Итого получаем: 6 + 8 = 14 граней. Ответ: 14. Если бы нас спросили, а сколько вершин у нового «куба». Очевидно, если вместо одной становится три, а их всего восемь, то получаем: 8 • 3 = 24
12. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 2 и 6, а второго – 6 и 4. Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого? ! Алгоритм выполнения Записываем ф- лу для вычисления объема цилиндра. Вводим обозначения для радиуса основания и высоты 1-го цилиндра. Выражаем подобным образом аналогичные параметры 2-го цилиндра. Формируем формулы для объема 1-го и 2-го цилиндров. Вычисляем отношение объемов. V 1 =πR 1 2 H 1 , V 2 =πR 2 2 H 2 .
13. В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров. ! Алгоритм выполнения Вводим обозначения для объема до погружения детали и после. Пусть это будет соответственно V 1 и V 2 . Фиксируем значение для V 1 . Выражаем V 2 через V 1 . Находим значение V 2 . Переводим результат, полученный в литрах, в куб.см . Объем бака до погружения V 1 =5 (л). Т.к. после погружения детали объем стал равным V 2 . Согласно условию, увеличение составило 1,4 раза, поэтому V 2 =1,4 V 1 . Отсюда получаем: V 2 =1,4·5=7 (л). Т.о ., разница объемов, которая и составляет объем детали, равна: V 2 –V 1 =7–5=2 (л). 2 л=2·1000=2000 ( куб.см ).
14. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает ½ высоты. Объем сосуда 1600 мл. Чему равен объем налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах. ! Алгоритм выполнения Доказываем, что данные в условии конусы подобны. Определяем коэффициент подобия. Используя свойство для объемов подобных тел, находим объем жидкости. Если рассматривать сечение конуса по двум его противоположно расположенным образующим (осевое сечение), то видим, что полученные таким способом треугольники большого конуса и малого (образованного жидкостью) подобны. Это следует из равенства их углов. Т.е. имеем: у конусов подобны высоты и радиусы основания. Отсюда делаем вывод: т.к. линейные параметры конусов подобны, то и конусы подобны. По условию высота малого конуса (жидкости) составляет ½ высоты конуса. Значит, коэффициент подобия малого и большого конусов равен ½. Применяем св -во подобия тел, которое заключается в том, их объемы относятся как коэффициет подобия в кубе. Обозначим объем большого конуса V 1 , малого – V 2 . Получим: Поскольку по условию V 1 =1600 мл, то V 2 =1600/8=200 мл.
15. Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего? ! Алгоритм выполнения Записываем формулу для вычисления объема шара. Адаптируем формулу для каждого из шаров. Для этого используем индексы 1 и 2. Записываем отношение объемов, вычисляем его, подставив числовые данные из условия. Вывод: объем большего шара в 64 раза больше.
16. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого цилиндра равны соответственно 4 и 18, а второго – 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго? ! Алгоритм выполнения Записываем формулу для определения площади бок.поверхности цилиндра. Переписываем ее дважды с использованием соответствующих индексов – для 1-го (большего) и 2-го (меньшего) цилиндров. Находим отношение площадей. Вычисляем отношения, используя числовые данные из условия. Вывод: площадь боковой поверхности 1-го цилиндра больше в 12 раз.
17. Однородный шар диаметром 3 см весит 162 грамма. Сколько граммов весит шар диаметром 2 см, изготовленный из того же материала? ! Алгоритм выполнения Записываем формулу для определения массы большего шаров через плотность и объем. Объем в этой формуле расписываем через ф- лу объема шара (через его радиус). Записываем ф- лу для массы меньшего шара, расписываем объем через радиус (по аналогии с пп.1 и 2). Поскольку оба шара изготовлены из одного и того же материала, то найденное значение для плотности можем использовать в ф- ле для массы меньшего шара. Вычисляем искомую массу. m 1 = ρ V 1 . V 1 = (4/3)π R 1 3 . Отсюда получаем: m 1 =(4/3)πρ R 1 3 . m 2 =ρ V 2 V 2 =(4/3)π R 2 3
Планиметрия. №15 18 . В треугольнике ABC угол ACB равен 90°, cos A = 0,8, AC = 4. Отрезок CH – высота треугольника ABC(см. рисунок). Найдите длину отрезка AH . ! Алгоритм выполнения: Вспомнить определение косинуса угла. Записать выражение для нахождения косинуса угла. Выразить неизвестную величину. Вычислить. cos A = АН/АС. АН = АС · cos A АН = АС · cos A = 4 · 0,8 = 3,2 Ответ: 3,2.
19. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна 5/18 длины окружности. Ответ дайте в градусах. ! Алгоритм выполнения: Вспомнить соотношение величины вписанного угла и градусной меры угла, на который он опирается. Вычислить градусную меру угла, на который опирается дуга. Вычислить вписанный угол. Весь круг составляет 360°, а 5/18 от его длины это Так как вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, вписанный угол равен 100°:2 = 50°. Ответ: 50.
20.В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС=15, АС=24. Найдите длину медианы ВМ ! Алгоритм выполнения Определяем вид треугольника. Доказываем, что медиана ВМ является и высотой. Из прямоугольного треугольника АМВ по т. Пифагора находим медиану ВМ. Если АВ=ВС, то ∆АВС – равнобедренный. Т.к. АМ медиана, то AM=АС:2=24:2=12.
21. На стороне ВС прямоугольника АВСD, у которого АВ=12 и АD=17, отмечена точка Е так, что треугольник АВЕ равнобедренный. Найдите ЕD. ! Алгоритм выполнения Находим ЕС. Определяем значение СD. Из прямоугольного треугольника АСD по т.Пифагора находим ЕD. Т.к. по условию ∆АВЕ равнобедренный, то ВЕ=АВ=12. Т.к. АВСD прямоугольник, то ВС=АD=17, СD=АВ=12. ЕС=ВС–ВЕ=17–12=5. ∆ЕСD прямоугольный. Тогда по т.Пифагора ЕD 2 =ЕC 2 +СD 2 .
22. В треугольнике АВС угол С равен 90 0 , АВ=25, АС=24. Найдите cos B. ! Алгоритм выполнения По т.Пифагора находим величину катета ВС. По формуле-определению для косинуса находим cos B как отношение прилежащего катета к гипотенузе. Из прямоугольного ∆АВС по теореме Пифагора имеем: АВ 2 =АС 2 +ВС 2 .
24. В треугольнике АВС угол В равен 120 0 . Медиана ВМ делит угол В пополам и равна 27. Найдите длину стороны АВ. ! Алгоритм выполнения Определяем величину угла АВМ. Доказываем, что ∆АМВ прямоугольный. Находим АВ, используя формулу-определение для косинуса. По условию угол АВМ равен половине угла В. Значит, угол АВМ составляет 120 0 :2=60 0 . Т.к. ВМ – медиана, опущенная на основание равнобедренного ∆АВС, то ВМ является и высотой. Поэтому ∆АМВ прямоугольный с прямым углом АМВ.
25. В равнобедренном треугольнике АВС медиана ВК=10, боковая сторона ВС=26. Найдите длину отрезка МN, если известно, что он соединяет середины боковых сторон. ! Алгоритм выполнения Доказываем, что ∆АКВ прямоугольный. Из ∆АКВ по т.Пифагора находим АК. Находим АС как 2АК. Находим МN как среднюю линию. Из прямоугольного ∆АКВ по т.Пифагора АВ 2 =АК 2 +ВК 2 . Поскольку ВК медиана, то АС=2АК=2·24=48. Значит, MN=AC:2=48:2=24.
26. В треугольнике АВС высота АС=56, ВМ – медиана, ВН – высота, ВС=ВМ. Найдите длину отрезка АН. ! Алгоритм выполнения Находим длину отрезков АМ и МС как половину от АС. Доказываем, что ВН является медианой в ∆МВС. Отсюда определяем, что МН – половина от МС. 3. Находим АН как сумму АМ и МН. Рассмотрим ∆АВС. Т.к. ВМ медиана, то АМ=МС=АС/2=56/2=28. МН=НС=МС/2=28/2=14. АН=АМ+МН=28+14=42.
Стереометрия (№16) 27. Радиус основания цилиндра равен 13, а его образующая 18. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения. ! Алгоритм выполнения: Определить тип фигуры, образующей сечение. Записать формулу для нахождения площади фигуры, образующей сечение. Вычислить недостающие данные. Вычислить искомую площадь сечения. Сечение является прямоугольником, одна из сторон которого образующая цилиндра. Длина прямоугольника – 18, из условия. Осталось вычислить ширину. Сделаем дополнительный чертеж цилиндра сверху :
Ширина прямоугольника – CD. По условию «Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное 12». Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. То есть на чертеже АВ = 12. СD = СВ + ВD. СВ = ВD Рассмотрим треугольник ВСА. Треугольник ВСА – прямоугольный. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае СА 2 = СВ 2 + АВ 2 СВ 2 — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое. СВ 2 = СА 2 — АВ 2 СВ = √(СА 2 — АВ 2 ) СВ = √(13 2 — 12 2 ) = √(169 — 144) = √25 = 5 Для решения задачи необходимо знать СD = СВ + ВD = 5 + 5 = 10 Вычислим искомую площадь сечения. 10 · 18 = 180 Ответ: 180.
29. Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 24, а боковые рёбра равны 37. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. ! Алгоритм выполнения: Проанализировать какие данные необходимо вычислить для ответа на вопрос задачи. Найти площади треугольников. Найти площадь боковой поверхности пирамиды. В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Боковые ребра пирамиды, равные 37, образуют три равнобедренных треугольника, которые составляют ее боковую поверхность. Найдем площади треугольников. Так как треугольник равнобедренный, AH=AC:2=24:2=12. Р/м треугольник АВН. АВ 2 = ВН 2 + АН 2 . ВН 2 = АВ 2 — АН 2 Боковая поверхность пирамиды состоит из трех треугольников
30. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 4, а боковое ребро равно √17. Вспомним формулу площади правильной пирамиды — одна треть от произведения площади основания и высоты . После этого перейдем к нахождению высоты. Для этого нам необходимо рассмотреть прямоугольный (так как основание перпендикулярно высоте) треугольник AMH. AH — половина диагонали квадрата, которая равна √2 его стороны, то есть в нашем случае диагональ равна 4√2, ну а половина — AH = 2√2. Зная гипотенузу и один из катетов, найдем высоту: V = 1/3 • 16 •3 = 16
31. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 равна 2, а высота этой призмы равна 4√3. Найдите объем призмы АВСА 1 В 1 С 1 . ! Алгоритм выполнения Находим площадь основы призмы через формулу для площади правильного треугольника. Записываем формулу для объема призмы. Подставляем в нее числовые данные, вычисляем искомую величину. Объем призмы: V= Sh
32. Объем конуса равен 25π, а его высота равна 3. Найдите радиус основания конуса. ! Алгоритм выполнения Записываем формулу для объема конуса. Из нее выражаем площадь основания. Площадь основания расписываем по формуле площади круга, поскольку именно круг лежит в основании конуса. Из этих двух формул выражаем искомую величину. Вычисляем ее. S осн =3 V / h . S = π R 2 Поскольку в данном случае S осн = S , то π R 2 =3 V / h
33. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объем параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда. ! Алгоритм выполнения Записываем формулу для объема прямоугольного параллелепипеда. Из нее выражаем 3-е (неизвестное) ребро. Вычисляем величину этого ребра. Записываем формулу для площади поверхности. Подставляем в него числовые данные, находим искомое значение. Объем прямоугольного параллелепипеда равен: V= abc , где a, b, c – ребра. Будем считать, что a и b нам известны, а с – неизвестно. Тогда: с=V / ( ab ). с=280 /(8·5)=7. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется так: S =2( ab+bc+ac ). Отсюда имеем: S=2(8·5+5·7+8·7)=2(40+35+56)=2·131=262.
34. Объем конуса равен 24π, а радиус его основания равен 2. Найдите высоту конуса. ! Алгоритм выполнения Записываем формулу для объема конуса. Из нее выражаем высоту. Записываем формулу для площади круга, лежащего в основе конуса. Вычисляем эту площадь. Подставляем числовые данные в формулу для объема, вычисляем искомую величину. Площадь основания (как площадь круга) равна: S осн =π R 2 . Вычисляем площадь: Sосн =π·2 2 =4π.
Уровень задания: Легче ЕГЭ
Точки (M, N, P) лежат на сторонах (AB, BC, CA) соответственно треугольника , причем . Площадь треугольника равна . Найдите площадь треугольника .
и имеют общий угол , при этом , .
Т.к. площади треугольников, имеющих общих угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол, то
Аналогично рассуждая, получаем, что
Внутри треугольника взяты точки (A_1, B_1, C_1) так, что – середина , – середина , – середина . Найдите отношение площадей треугольников и .
Соединим точки и , и , и .
Т.к. медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, то
Таким образом, все семь образовавшихся треугольников имеют одинаковые площади. Значит,
Внутри равностороннего треугольника со стороной движется точка. Докажите, что сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника не меняется, и найдите эту сумму.
Рассмотрим равносторонний , , – точка внутри треугольника, (OA_1, OB_1, OC_1) — перпендикуляры на стороны (BC, AC, AB) соответственно.
Рассмотрим ( riangle AOB, riangle BOC, riangle COA). Их площади равны (0,5mcdot OC_1; 0,5mcdot OA_1; 0,5mcdot OB_1) соответственно. Тогда сумма их площадей равна площади всего , следовательно:
Таким образом, мы доказали, что для фиксированного равностороннего треугольника сумма постоянна, а также нашли ее.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен трети одной из его высот.
а) Докажите, что одна из сторон треугольника равна среднему арифметическому двух других его сторон.
б) Найдите наибольшее возможное значение периметра такого треугольника, если одна из его сторон равна , а две другие имеют целые длины.
Пусть – длина той высоты, которая равна , – длина стороны, высота к которой имеет длину , – периметр треугольника .
б) Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию: если обозначить (a — c = d), то (a = c + d), (b = c + 2d).
Таким образом, наибольший возможный периметр треугольника равен 21.
а) Докажите, что точки и равноудалены от прямой, содержащей .
б) Найдите расстояние от точки до прямой, содержащей , если (MP = 4), расстояние от до прямой, содержащей равно , (MQ = 3).
Так как вписанный, то (angle MNP = 180^circ — angle MQP), следовательно, (sinangle MNP = sinangle MQP).
С другой стороны, у треугольников и общее основание, следовательно, их площади относятся как высоты, проведённые к этому основанию, тогда эти высоты равны, значит, точки и равноудалены от прямой, содержащей .
– выпуклый четырёхугольник, точки , , и середины его сторон, причём тоже выпуклый четырёхугольник. другой выпуклый четырёхугольник с серединами сторон в точках , , и .
а) Докажите, что диагонали точкой пересечения делятся пополам.
а) Проведём диагонали и .
Аналогично доказывается равенство (PQ = RS). В итоге в выпуклом четырёхугольнике противоположные стороны равны, тогда – параллелограмм, следовательно, его диагонали точкой пересечения делятся пополам.
б) Докажем, что по взаимному расположению середин сторон выпуклого четырёхугольника его площадь восстанавливается однозначно.
Таким образом, по взаимному расположению точек , , , однозначно восстанавливается площадь параллелограмма , а значит и площадь любого выпуклого четырёхугольника с серединами сторон в точках , , и .
