Задачи с параметром из ЕГЭ прошлых лет

было в ЕГЭ

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория

Атрибут

Всего: 187    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет ровно три решения.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно одно решение.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет хотя бы два решения.

Найдите все значения а, при каждом из которых найдется хотя бы одна пара чисел (x; y), удовлетворяющих системе

Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений системы неравенств

содержит отрезок A(−2; 0), B(−1; 0).

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений 

имеет ровно два решения.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

Найдите все целочисленные значения параметра а, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Найдите все целочисленные значения параметра а, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Найдите все значения а, при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре решения. 

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три решения.

Всего: 187    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Автор материала — Анна Малкова

Какими были задачи с параметрами на ЕГЭ-2022? На этой странице — обзор всех типов задач №17, предложенных на ЕГЭ по математике в этом году, с полным решением и оформлением.

Напомним, что «параметры» — одна из дорогостоящих задач ЕГЭ. Она оценивается в 4 первичных балла.

Основной темой задач с параметрами на ЕГЭ этого года были модули.

Если вы не помните, что такое модуль числа, — вам сюда.

Способы решения — разные. В одних задачах удобнее графический способ, в других — аналитический.

Мы начнем с тех задач, которые решаются графическим способом. В первых трех, которые мы здесь разбираем, нам встретится уравнение окружности.

Почитать о нем подробно можно здесь.

1. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно 4 решения?

Вспомним, как решать уравнения вида

Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Изобразим решения системы в координатах

Уравнение задает окружность с центром и радиусом 5; уравнение задает окружность с центром и радиусом ; при этом должно выполняться условие

Заметим, что обе окружности проходят через точки и

Найдем, при каких значениях параметра исходное уравнение имеет ровно 4 решения.

При прямая проходит через точку общую для двух окружностей; уравнение имеет ровно 3 решения.

Если прямая проходит через точку (нижнюю точку окружности ), уравнение также имеет 3 решения.

При этом поскольку разность ординат точек Q и A равна то есть радиусу окружности

При уравнение имеет 4 решения.

Если решений меньше 4.

Если уравнение имеет ровно 3 решения, т.к. точка O(0; 0) общая для обеих окружностей.

Если прямая проходит через B — верхнюю точку окружности уравнение имеет ровно 3 решения.

В этом случае

При уравнение имеет ровно 4 решения.

Если решений меньше, чем 4.

Объединив случаи, получим ответ.

2. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно 2 решения?

Раскроем модуль по определению.

Уравнение (1) задает окружность с центром в точке Р (4; 3) и радиусом 5,

уравнение (2) задает окружность с центром в точке Q(-3; 4) и радиусом 5.

Изобразим график совокупности двух систем в системе координат (x;a).

При получаем часть окружности (1), лежащую ниже прямой a = 7x;

при получаем часть окружности (2), лежащую выше прямой a = 7x.

Исходное уравнение имеет ровно два различных решения, если прямая пересекает график совокупности двух систем ровно два раза.

Прямая проходящая через точку С, пересекает график совокупности двух систем один раз.

Найдем координаты С — самой нижней точки и Е — самой верхней точки правой окружности.

Для этих точек x = 4. Найдем координату a:

Координаты точек С (4; и Е (4; 8).

Найдем координаты D — самой нижней точки и F — самой верхней точки левой окружности

Для этих точек x = — 3, найдем координату a.

Координаты точек: D (3; 1), F(3; 9).

Точки А и В, в которых пересекаются две окружности, лежат на прямой

a = 7x (так как при a = 7x выражение под модулем равно нулю).

Подставив a = 7x в уравнение окружности (1) получим:

x = 0 или x = 1.

Получили точки В (0; 0) и А (1; 7).

Прямая пересекает график совокупности двух систем ровно два раза в следующих случаях:

1) если прямая проходит выше точки С, но ниже точки D:

2) если прямая проходит выше точки В, но ниже точки А:

3) если прямая проходит выше точки Е, но ниже точки F:

Если или то решений нет.

Если или a = 9, уравнение имеет ровно одно решение.

Если или a = 8, ровно три решения.

Если или ровно четыре решения. Эти случаи нам не подходят.

3. При каких значениях параметра уравнение

имеет ровно 2 корня?

Раскрыв модуль, получим:

Решим систему графически в координатах

Прямая — это биссектриса первого и третьего координатных углов.

Неравенство задает полуплоскость, расположенную ниже прямой

Уравнение задает окружность 1 с центром в точке и радиусом

Уравнение задает окружность 2 с центром в точке и радиусом

Заметим, что обе окружности проходят через точки О(0; 0) и М(1; 1). В этом легко убедиться, подставив координаты этих точек в уравнения окружностей.

Исходное уравнение имеет ровно 2 корня, если прямая пересекает совокупность двух окружностей ровно в двух точках, лежащих не выше прямой a = x.

Это происходит в следующих случаях:

1) Прямая проходит выше точки А и ниже точки В на рисунке, где А — нижняя точка окружности 2, В — нижняя точка окружности 1.

2) Прямая проходит выше точки С и ниже точки D на рисунке, где D — верхняя точка окружности 2, С — верхняя точка окружности 1.

3) Прямая проходит выше точки О(0; 0) и ниже точки М(1;1).

Найдем координаты точек А, В, С, D.

Заметим, что в каждом из уравнений присутствовало выражение — как в уравнении окружности. Именно поэтому становилось понятно, что их можно решить графически в координатах x; a.

Теперь — следующий тип задач. Здесь окружностей уже не будет. Зато будет разложение на множители.

4. При каких значениях параметра уравнение

имеет ровно 4 решения?

Раскроем модуль. Уравнение равносильно совокупности двух систем:

Упростим по очереди каждую из них.

Найдем дискриминант и корни этого квадратного уравнения.

В этом случае также найдем дискриминант и корни квадратного уравнения.

Решим совокупность двух систем графически в координатах

Если уравнение имеет меньше 4 решений.

Если также меньше 4 решений.

Если прямая проходит через точку A или точку B, уравнение имеет ровно 3 решения.

В точке A пересекаются прямые и , значит, для этой точки

В точке B пересекаются прямые и , то для точки B:
.
Уравнение имеет ровно 4 решения, если или или .

Следующие две задачи мы решим (для разнообразия) аналитическим способом.

5. При каких значениях параметра уравнение

имеет меньше 4 решений?

Уравнение равносильно совокупности:

Рассмотрим каждый случай отдельно

Каждое из уравнений — квадратное и не может иметь больше 2 корней.

Если уравнение (1) имеет 2 неотрицательных корня, а уравнение (2) имеет 2 отрицательных корня, исходное уравнение имеет ровно 4 решения. Найдем, при каких значениях это происходит, а затем исключим эти значения. Получим случай, когда исходное уравнение имеет менее 4 корней.

Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если уравнение имеет два неотрицательных корня, а уравнение имеет два отрицательных корня.

По теореме Виета,

Оценим и

Сравним т.к.

При этом т.е.

— верно при всех a.

Исходное уравнение имеет ровно 4 решения, если выполняется система условий:

При всех остальных значениях a — меньше четырёх решений. Значит, подходят значения

6. Найдите все положительные значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно 4 корня.

Раскроем модуль по определению.

Мы получили совокупность двух систем. Чтобы исходное уравнение имело ровно 4 корня, нужно, чтобы каждая система имела ровно два решения. Решим каждую из систем отдельно.

1) Первая система:

Чтобы квадратное уравнение имело два неотрицательных корня, необходимо и достаточно выполнения условий:

Другой способ: можно рассмотреть квадратичную функцию

и воспользоваться условиями:

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения.

2) Вторая система:

Чтобы система имела ровно 2 решения, для квадратичной функции

необходимо и достаточно выполнения условий:

— верно для всех

Решение второй системы:

Исходное уравнение имеет ровно 4 различных решения, если

Как всему этому научиться? Если вы решили освоить тему «Параметры» — не нужно начинать со сложных задач. Вначале — подготовительная работа. Элементарные функции и их графики, базовые элементы для решения задач с параметрами. Кроме того, надо отлично знать методы алгебры: разложение выражений на множители, выделение полных квадратов, решение уравнений и неравенств всех типов и многое другое.

Изучить все это можно на Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ по математике. На нем мы решаем и такие задачи, и более сложные. Изучаем не менее 11 методов решения задач с параметрами. Выпускники Онлайн-курса отлично справились с «параметрами» на ЕГЭ-2022.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задачи с параметрами на ЕГЭ-2022: модули, окружности, квадратные уравнения» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Параметр в ЕГЭ Графический метод

 
Учитель математики
МАОУ «Обдорская гимназия»
г. Салехард ЯНАО
Е.И. Гусак
 

Чтобы выполнять задание графически нужно уметь строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы). Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе.
Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра. А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики».
Задачи с параметрами практически не представлены в школьном курсе математики. Между тем они включены в государственную итоговую аттестацию в 11 классе. И это одна из самых сложных задач в ЕГЭ по математике профильного уровня.

Что же означает это слово  параметр?
 
ПАРАМЕТР (от греч. Parametronотмеривающий) в математике, величина, 
числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент 
(например, кривую) из множества элементов (кривых) того же рода. 
Например, в уравнении x2 + y2 = r2 величина r является параметром 
окружности.
В математике величина, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи. 
 

Задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространёнными из них являются:
– чисто алгебраический способ решения;
– способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи;
– функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические элементы, но базовым является исследование некоторой функции.
Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведёт
к цели. Кроме того, в конкретном тексте решения вполне могут встречаться
элементы каждого из трёх перечисленных способов.
Рассмотрим некоторые примеры.

1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.
 
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Получим

Построим графики в плоскости
 

1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Найдем значения в точках А, В, С, D
А:
В:
С:
D:
 
Если уравнение имеет 1 корень.
Если
Если
Если
Если
Если
Если
 
Ответ:
 

2. Найдите все значения параметра , при которых система
имеет ровно два решения.
 
Перепишем первое уравнение в виде:

 
Получили две прямые
 
Второе уравнение – это окружность с центром и R=.
 
Два решения возможны только тогда, когда окружность касается каждой прямой, т.к. центр окружности лежит на биссектрисе ⇒
 
 

2. Найдите все значения параметра , при которых система
имеет ровно два решения.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
?
Перепишем уравнения в виде
.
Получим, и
 
Тогда
 
 
 
 
При получается вырожденная окружность и 1 решение.
⇒
Ответ:
 

3. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.
 
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Получим
 
 
Получили два луча и окружность с центром (5; 0) и R = 5.

3. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
 
 
 
Найдем значения в точках А, В, С, D
А и В:

С и D:
 
Ответ:
 
При система имеет 1
решение. При – нет решений.
Если
Если
Если
Если Если
 

4. Найдите все положительные значения , при каждом из которых
система имеет единственное решение.
 
Первое уравнение представляет собой две окружности:
,
c центром ( 5; 4) и если
 
Второе уравнение – окружность с центром
 
Единственное решение возможно, когда окружность касается окружности или окружности
 

5. Найдите все положительные значения , при каждом из которых система имеет единственное решение.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
Из прям. ΔОНР ОР.
Из прям. ΔQРН РQ.
 
 
 
Расположим по возрастанию:

 
1)
 
 
и
 
⇒ решений нет
 
3) но ⇒ 2 решения
 
4)
 
5) ⇒ 4 решения
 

⇒ 3 решения
 
7) в
⇒ 2 решения
 
8)

 
9)
 
Итак, .
Ответ:
 

5. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
имеет четыре различных корня.
 
 

 
Получили два луча на и два луча на
 

 
 
6. Найдите все значения параметра , при которых уравнение
имеет четыре различных корня.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
 
4
 
2
 
0
 
Найдем значения в точках А, В, С, D
А:
В:
С:
D:
Если уравнение имеет 3 корня.
Если
Если
Если
Если
Если
Ответ:
 
 

6. Найдите все значения при каждом из которых система уравнений имеет ровно три различных решения.
 

0
 
1
 
 

 
 
 
 
При первое уравнение не имеет смысла.
При уравнение задает прямую и гиперболу .
 
При каждом значении уравнение
задает прямую с угловым
коэффициентом , проходящую
через начало координат.
 
Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой и гиперболы
с прямой при условии
 

При нет решений.
При , которая дает 2 решения.
При проходящую через точку (1; 4). Получаем 2 решения.
При имеем 3 решения.
При имеем 2 решения. При решений нет.
 
Ответ:
 

6. Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
 
 
Найдем корни первого уравнения.
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Число решений уравнения равно числу точек пересечения прямой
с прямыми и
при условии
 

Найдем значения в точках А, В, С
А:
В:
С:
 
При
При
При – 1 решение.
При нет решений.
 
Ответ:
 

Для самостоятельного решения
1. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно два решения?
2. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно два решения?
3. Найдите все положительные значения параметра , при которых система
имеет единственное решение?
4. При каких значениях параметра система уравнений имеет 4 решения?
 

Литература
1. И.В. Ященко. Математика. ЕГЭ 2023. ФИПИ школе. Москва 2023
2. ЕГЭ студия. Подготовка к ЕГЭ. https://ege-study.ru/
3. Параметры (Задачи ЕГЭ профиль). https://uchus.online/tasks/bank/
4. В. П. Лега. Философия нового времени. Галилео Галилей. Френсис Бекон. Церковно-Научный Центр «Православная Энциклопедия». https://www.sedmitza.ru/lib/text/431769/

Системы уравнений с двумя переменными и параметрами

п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \).
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ \Delta = \begin \mathrm & 1 \\ 1 & \mathrm \end= a^2-1\neq 0 \Rightarrow a\neq \pm 1 $$

Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.

п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром

При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \).
\( \mathrm \) – уравнение окружности с центром в начале координат, и переменным радиусом a.
\( \mathrm \) – уравнение прямой.
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:

Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ \mathrm<a^2=2\rightarrow a="\pm\sqrt> $$

п.3. Примеры

Калькулятор Уравнений, Неравенств и Систем Уравнений

Калькулятор решает уравнения: линейные, квадратные, кубические, возвратные, 4-й степени, тригонометрические и гиперболические. Применяет: группировки, подстановки, табличные формулы, поиск рационального корня, разложение на множители, извлечение корня из комплексного числа, формулы сокращенного умножения, формулу Кардано, метод Феррари, универсальную тригонометрическую подстановку, бином Ньютона, разность и суммы степеней, тригонометрические и гиперболические формулы, выделение полного квадрата, логарифмирование, переход к простым функциональным уравнениям, формулу Эйлера, замену радикалов на параметр, решение через ОДЗ. Решает системы уравнений, а также неравенства: без параметров и тригонометрических функций, используя метод интервалов

Компьютерное разложение на множители

Результат с плавающей точкой

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin, arsin, arcsin, sin^-1

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись2sinx сходна2*sin(x)

Список математических функций и констант:

•ln(x) — натуральный логарифм

•sin(x) — синус

•cos(x) — косинус

•tg(x) — тангенс

•ctg(x) — котангенс

•arcsin(x) — арксинус

•arccos(x) — арккосинус

•arctg(x) — арктангенс

•arcctg(x) — арккотангенс

•sh(x) — гиперболический синус

•ch(x) — гиперболический косинус

•th(x) — гиперболический тангенс

•cth(x) — гиперболический котангенс

•sch(x) — гиперболический секанс

•csch(x) — гиперболический косеканс

•arsh(x) — обратный гиперболический синус

•arch(x) — обратный гиперболический косинус

•arth(x) — обратный гиперболический тангенс

•arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

•sec(x) — секанс

•cosec(x) — косеканс

•arcsec(x) — арксеканс

•arccsc(x) — арккосеканс

•arsch(x) — обратный гиперболический секанс

•arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

•|x|,abs(x) — модуль

•sqrt(x),root(x) — корень

•exp(x) — экспонента в степени x

•conj(z) — \(\overline{z}\)

•a+b — \(a+b\)

•a-b — \(a-b\)

•a*b — \(a\cdot b\)

•a/b — \(\dfrac{a}{b}\)

•a^b,pow(a,b) — \(a^b\)

•sqrt7(x) — \(\sqrt[7]{x}\)

•sqrt(n,x) — \(\sqrt[n]{x}\)

•lg(x) — \(\log_{10}\left(x\right)\)

•log3(x) — \(\log_3\left(x\right)\)

•log(a,x) — \(\log_a\left(x\right)\)

•ln^2(x),ln(x)^2 — \(\ln^2\left(x\right)\)

•y»’,y’3 — \(y»’\)

•d^2y/dx^2,d2y/dx2 — \(\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\)

•lambda — \(\lambda\)

•pi — \(\pi\)

alpha — \(\alpha\)

•beta — \(\beta\)

sigma — \(\sigma\)

•gamma — \(\gamma\)

nu — \(\nu\)

•mu — \(\mu\)

phi — \(\phi\)

•psi — \(\psi\)

tau — \(\tau\)

•eta — \(\eta\)

rho — \(\rho\)

•a123 — \(a_{123}\)

x_n — \(x_{n}\)

•<= — \(\leq\)

>= — \(\geq\)

Ссылка на это решение

75% 90% 100% 110% 125% 🔍

Вычисляю решение..
Оформляю..
Перевожу..
Слишком длинное выражение!
Внутренняя ошибка
Ошибка соединения
Калькулятор обновляется
Необходимо перезагрузить страницу
Ссылка скопирована!
Формула скопирована
Предложенный текст сохранен

Задания по теме «Системы уравнений с параметром»

Открытый банк заданий по теме системы уравнений с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Показательные уравнения c параметром

Как правило, чтобы решить показательные уравнения с параметром нужно привести их квадратному или линейному уравнению. Обычно это можно сделать при помощи метода замены переменных. Но надо быть внимательным – при замене \(t=a^x\), новая переменная \(t\) всегда положительна.

Пример 1

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \((a+1)(4^x+4^{-x})=5\) имеет единственное решение.

Решение:

Заметим, что \(a+1 > 0\), так как \(4^x+4^{-x} > 0\). Сделаем замену \(t=4^x\); \(t > 0\) $$ (a+1)(t+\frac{1}{t})=5;$$ $$(a+1)t^2-5t+a+1=0$$ $${t}_{1,2}=\frac{5±\sqrt{25-4(a+1)^2}}{2(a+1)} .$$

Уравнение будет иметь единственное решение, если $$D=25-4(a+1)^2=0 $$
$$a+1=±\frac{5}{2}$$
\(a=-3.5 -\) не подходит;

\(a=1.5;\)

Ответ: \(a=1.5.\)

Задание №1227

Условие

Решение

Если y \geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность \phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y то оно задаёт окружность \phi _2 с центром в точке C_2 (4; -4) того же радиуса.

При a > 0 второе уравнение задаёт окружность \phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность \phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей \phi _1 и \phi _2.

Координаты точки касания окружностей \phi и \phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1 (1; 4) и B_1 (7; 4) . То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности \phi и \phi _1 касаются. При a > 7 и a окружности \phi и \phi _1 не пересекаются, при 1 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки.

Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью \phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. Заметим, что длина отрезка CC_2= \sqrt <4^2+(4-(-4))^<2>>= \sqrt <80>= 4\sqrt 5.

При a или a > CB_2 окружности \phi и \phi_2 не пересекаются. При CA_2 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки. При a =CA_2=4\sqrt 5-3 или a=CB_2=4\sqrt 5+3, окружности \phi и \phi _2 касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность \phi с одной из окружностей \phi _1 и \phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как 1 то условию задачи удовлетворяют значения a\in (1;4\sqrt 5-3) \cup (7; 4\sqrt 5+3).

Логарифмические уравнения с параметром

Чтобы решить логарифмические уравнения, надо обязательно записывать ОДЗ, а затем провести необходимые равносильные преобразования или сделать замену, чтобы свести уравнение к более простому.

Пример 2

Решите уравнение \(log_a (x^2)+2log_a (x+1)=2\) для каждого \(a\).

Решение:

Найдем ОДЗ: \(a>0;\) \(a≠1\); \(x>-1\); \(x≠0\).

Перейдем от суммы логарифмов к их произведению:

\(x^2 (x+1)^2=a^2 ⇔ |x|(x+1)=a. \)

1 случай: \(x∈(-1,0).\)

Получаем уравнение:

$$-x(x+1)=a ⇔ -x^2-x-a=0,$$
$$D=1-4a;$$
$$ {x}_{1,2}=\frac{1±\sqrt{1-4a}}{-2};$$

При условии, что \(1-4a≥0 ⇔ 0< a ≤ \frac{1}{4} \)Оба корня лежат в промежутке \(x∈(-1,0)\).

2 случай: \(x>0\).

Получаем:

$$ x(x+1)=a, $$
$$ x^2+x-a=0,$$
$$ D=1+4a;$$
$$ {x}_{3,4}=\frac{-1±\sqrt{1+4a}}{-2};$$

При условии, что $$ 1+4a>0 ⇔ a>0$$ корень $$x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{1+4a}}{2}$$ не подходит, так как \( x>0.\)

Ответ:
При \(a≤0\) решений нет;
при \(0 < a ≤ \frac{1}{4}:\) $$ {x}_{1,2}=\frac{1±\sqrt{1-4a}}{-2}$$ $$x_3=\frac{-1-\sqrt{1+4a}}{-2};$$
при \(a > \frac{1}{4}:\) $$ x_3= \frac{-1-\sqrt{1+4a}}{-2}.$$

Пример 3

Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \(log_4 (16^x+a)=x\) имеет два действительных и различных корня.

Решение:

При помощи равносильного преобразования приведем наше уравнение к виду:

$$ 16^x+a=4^x, $$
$$ 16^x-4^x+a=0;$$

Сделаем замену: \(t=4^x>0 ⇔ t^2-t+a=0,\)

Полученное квадратное уравнение должно иметь корни \(0 < {t}_{1} < {t}_{2}\). Ветки данной параболы направлены вверх. Пусть \(f(t)=t^2-t+a\).

При помощи таблицы (см. таблицу):

$$ \begin{cases} f(0)>0, \\D≥0, \\D>0, \\ {x}_{0}>0; \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a>0, \\1-4a>0, \\ 1/2>0; \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a>0, \\a<1/4. \end{cases} $$

Ответ: \(a∈(0;1/4).\)

Решение систем линейных уравнений с параметрами

• повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
• дать определение системы линейных уравнений с параметрами
• научит решать системы линейных уравнений с параметрами.

1. Организационный момент
2. Повторение
3. Объяснение новой темы
4. Закрепление
5. Итог урока
6. Домашнее задание

I. Линейное уравнение с одной переменной:

1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной

2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?

— Если а=0, b=0, то х R

— Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =

3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)

Ответ: много корней
II ряд – II вариант

Ответ: корней нет
III ряд – III вариант

Ответ: единственный корень

II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?

4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

5. Выясните, что представляет собой график уравнения:

6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?

7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

8. Что значит решить систему уравнений?

9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).

10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

11. Каким уравнением обычно задается прямая?

12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:

• у=-х+2
• y= -x-3,

k₁ = k₂, b₁b_2, нет решений;

II вариант:

• y=-х+8
• y=2x-1,

k₁k₂, одно решение;

III вариант:

• y=-x-1
• y=-x-1,

k₁ = k₂, b₁ = b_2, много решений.

1. Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
2. Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
3. Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.

III. Объяснение новой темы.

где A_1, A_2, B₁,B_2, C₁ C_{2 –} выражения_, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Возможны следующие случаи:

1) Если , то система имеет единственное решение

2) Если , то система не имеет решений

3) Если , то система имеет бесконечно много решений.

При каких значениях параметра а система

• 2х — 3у = 7
• ах — 6у = 14

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

а) , а=4

б) , а?4

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если а4, то решение единственное.

Решите систему уравнений

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.

б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет

в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество

• у — любое
• x=n-2y

в) если m1 и n — любое, то

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

• ах-3ау=2а+3
• х+ау=1

Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение

Следовательно, при а=0 система не имеет решений

Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у

3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2

1) если а=0, то (х; у)

2) если а=-3, то х=1+3у, у

3) если а0 и а?-3, то х=2, у=-

Рассмотрим II способ решения системы (1).

Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В_2, второе на – В₁ и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:

Т.к. А₁В₂-А₂В₁0, то х =

т.к. А₂В₁-А₁В₂ 0 у =

Для удобства решения системы (1) введем обозначения:

_— главный определитель

Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:

х= ; у=

Приведенные формулы называют формулами Крамера.

— Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=

— Если , или , , то система (1) не имеет решений

— Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.

В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.

Если коэффициенты А₁, А₂, В₁, В₂, системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

• (а+5)х+(2а+3)у=3а+2
• (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4

Решение: Найдем определитель системы:

= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)

= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)

=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)

2) или а=2

При а=0 определители

Тогда система имеет вид:

• 5х+3у=2 5х+3у=2
• 10х+6у=4

При а=2 Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.

1) если а и а, то х= у=

2) если а=0, то х,

3) если а=2, то (х; у)

Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений

Решение: = =а+1-2b

= = b -6; = 3a+3-b

1) . Тогда

Подставив выражение параметра а в систему, получим:

• 2bx+2y=b 2bx+2y=b
• bx+y=3 2bx+2y=6

Если b6, то система не имеет решений, т.к. в этом случае I и II уравнения системы противоречат друг другу.

Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система равносильна одному уравнению

1) если , (а), то x=, y=

2) если b, a, то система не имеет решений

3) если b=6, а=11, то х, у=3-6х

Итог урока: Повторить по таблице и поставить оценки.

При каких значениях параметра система уравнений

• 3х-2у=5
• 6х-4у=b

а) имеет бесконечное множество решений

б) не имеет решений