Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной) ЕГЭ

Алгоритм решения:

  1. Приведем пример набора чисел, который удовлетворяет условию (Это подтверждает возможность набора чисел).
  2. Проверяем вероятность второго условия.
  3. Ищем ответ на третий вопрос, введя переменную n.
  4. Записываем ответы.

Второй вариант 1 (из ященко, №1)

[su_note note_color=”#defae6″]

На доске написано 35 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 3. Сумма написанных чисел равна 1062.

а) Может ли на доске быть ровно 27 чётных чисел?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 3?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 3, может быть на доске?

[/su_note]

Делимость

Число $а$ делится на число $с≠0$, если найдется такое число $b$, что $a=c·b$.

Если число $а$ делится на $с$, то число с называется делителем числа $а$.

Если числа $а$ и $b$ делятся на $с$, то их сумма $а b$ тоже делится на $с$.

Нестандартные приемы и методы решения задач, уравнений, неравенств и систем | материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему: | образовательная социальная сеть

«Нестандартные приемы и методы решения задач, уравнений, неравенств и систем»

Кириллова Марина Николаевна,

учитель математики и информатики

ОШ І-ІІІ ступеней №23

Симферопольского городского совета.

Научить детей видеть красоту математики, развивать и формировать интерес к ней — одна из важнейших задач математики. Именно стойкий и познавательный интерес является одним из инструментов, который стимулирует учащихся к более глубокому усвоению предмета, развивает их способности. В ходе решения математических задач, в особенности нестандартных, можно сформировать у учащихся элементы творческого мышления.

Применение нестандартных методов требует от учащихся глубокого знания теоретического материала школьного курса математики с тем, чтобы они могли определить, как легче и быстрее ответить на поставленный вопрос.

Метод неопределенных коэффициентов, функциональный метод, основанный на использовании свойств функций (четность, нечетность, периодичность, ограниченность), метод координат, умение свести задачу к конкретной геометрической модели помогут учащимся успешнее справляться с поставленными задачами.

Встречаются задачи, которые с помощью традиционных алгоритмов решить затруднительно, и тогда на помощь приходят те самые нестандартные приемы и методы. Рассмотрим несколько примеров.

  1. Использование свойств модуля.

Решить уравнение: Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Решение. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной), откуда Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Ответ. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

  1. Использование оценки значений выражений.

а) Решить неравенство: Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Решение. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной);    Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной);   Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной);

                Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

                Тогда Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Значит, получаем уравнение Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной), что возможно, если      Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)   Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Ответ. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

б) При каких значениях параметра а, корень уравнения Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)  принадлежит промежутку (1,5; 2) ?

Решение. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной). Т. к. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной), то Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной). Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной). Откуда получаем Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)    Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной) .    Т.к.  1,5<2>, то  Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной). Откуда  n=4   и Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной), т.е. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной), Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Ответ. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

  1.  Использование производной функции, определения касательной к графику функции.

При каком наибольшем отрицательном значении параметра а уравнение Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной) имеет единственный корень?

Решение. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)   и Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Параллели 1, 2, 3, 4 – прямые вида  Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Условию задачи соответствует прямая 3, которая является касательной к графику функции Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной) в точке Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Найдем уравнение этой касательной  Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).  Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)  ,  Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной);  Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной);    Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной), Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)  Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной);  значит, Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной), Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной),  т.е. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Ответ. -1,625.

  1. Использование геометрической модели при решении алгебраических задач.

а) Найти наименьшее значение выражения: Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Решение. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Рассмотрим точки А(1;0),  В(0;1),  М(х;у) .

Тогда Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

АМ ВМ будет принимать минимальное значение, если М принадлежит отрезку АВ. Т.е. АВ и будет наименьшим значением  Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Ответ. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

б)  Решить уравнение: Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Решение. Легко убедится, что Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной). Тогда рассмотрим такую модель:

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Если D принадлежит АВ , то Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной) принимает минимальное значение равное АВ. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной),

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной),

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Получаем уравнение Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной). Откуда Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Ответ. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

  1. Применение теоремы Виета к уравнениям высших степеней.

При каких значениях параметра а равнение Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)имеет три корня, образующих геометрическую прогрессию?

Решение. Пусть Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной) — корни данного уравнения, образующие геометрическую прогрессию. Тогда по теореме Виета Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной) Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)   Из первых двух уравнений Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной), а из третьего уравнения Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Откуда Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Ответ. 14.

  1. Применение понятия монотонности функции и теорем о корне.

а)  Решить уравнение: Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Решение. Рассмотрим функцию Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

                                           Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

                                            Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной) при любых значениях х. Значит, функция Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной) возрастает на множестве R.

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)— корень уравнения.

На основании теоремы о корне, других корней нет.

Про ЕГЭ:  Роль семьи (родителей) в формировании личности ребенка - проблема воспитания - готовые аргументы и тезисы - Итоговое сочинение и готовые эссе по текстам ЕГЭ

Ответ. Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной).

б)  Решить систему уравнений  Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Решение. Перепишем первое уравнение системы в виде Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Рассмотрим функцию Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)  Тогда уравнение можно записать в виде Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной). Т. к. функция Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной) возрастающая, то х=у. Получаем  систему Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)  Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

(2; 2) – решение системы.

Ответ. (2; 2).

Уже на этих примерах можно убедиться, что знания нестандартных приемов и методов помогают намного быстрее дать ответ на поставленный вопрос задачи. А значит, и помогут в сдаче ЕГЭ по математике.

Последовательности

Последовательность чисел – это набор чисел, в котором каждому числу можно присвоить некоторый номер, причем каждому номеру соответствует единственное число данного набора. Номер числа – это всегда натуральное число, нумерация номеров начинается с единицы. Число с номером $n$ (то есть $n$ — ый член последовательности) обычно обозначается $a_n$.

Большинство последовательностей можно задать аналитическим способом.

Последовательность задана аналитически, если указана формула ее $n$ – го члена. Например, $a_n=4n 3$. В данной формуле указав конкретное число $n$, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если номер $n=5$, то подставим $5$ в формулу последовательности, получим числовое выражение, вычислив которое получим член последовательности с соответствующим номером. $a_5=4·5 3=23$

Признаки делимости:

Признак делимости на $2$

Число делится на $2$ тогда и только тогда, когда его последняя цифра ноль или делится на $2$, то есть является чётной.

Признак делимости на $3$

Число делится на $3$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на $4$

Число делится на $4$ тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на $4$.

Признак делимости на $5$

Число делится на $5$ тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на $5$ (то есть равна $0$ или $5$).

Признак делимости на $6$

Число делится на $6$ тогда и только тогда, когда оно делится на $2$ и на $3$.

Признак делимости на $7$

Число делится на $7$ тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на $7$ (например, $217$ делится на $7$, так как $21 — (2 · 7) = 7$ делится на $7$).

Признак делимости на $8$

Число делится на $8$ тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на $8$.

Признак делимости на $9$

Число делится на $9$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $9$.

Признак делимости на $10$

Число делится на $10$ тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на $11$

Число делится на $11$ тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на $11$ (то есть $182919$ делится на $11$, так как $1 — 8 2 — 9 1 — 9 = -22$ делится на $11$). Следствие факта, что все числа вида $10^n$ при делении на $11$ дают в остатке $(-1)^n$.

Признак делимости на $12$

Число делится на $12$ тогда и только тогда, когда оно делится на $3$ и на $4$.

Признак делимости на $13$

Число делится на $13$ тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно $13$ (например, $949$ делится на $13$, так как $94 (4 · 9) = 130$ делится на $13$).

Признак делимости на $14$

Число делится на $14$ тогда и только тогда, когда оно делится на $2$ и на $7$.

Признак делимости на $15$

Число делится на $15$ тогда и только тогда, когда оно делится на $3$ и на $5.$

Признак делимости на $17$

Число делится на $17$ тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно $17.$

Признак делимости на $19$

Число делится на $19$ тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно $19$ (например, $646$ делится на $19$, так как $64 (6 · 2) = 76$ делится на $19$).

Прогрессии

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

$а_1$ — первый член арифметической прогрессии

$d$ — разность между последующим и предыдущим членом прогрессии

$d=a_(n 1)-a_n$

$a_n$ — член арифметической прогрессии, стоящий на $n$-ом месте

$n$ — номер места для членов арифметической прогрессии

$S_n$ — сумма первых n членов арифметической прогрессии

Про ЕГЭ:  Сочинение ЕГЭ - проблема бесчеловечности войны по Астафьеву

Формула, для нахождения n-ого члена прогрессии:

$a_n=a_1 d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n={(a_1 a_n)·n}/{2}$

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

$b_1$ — первый член геометрической прогрессии

$q$ — знаменатель геометрической прогрессии, показывает во сколько раз последующее число больше предыдущего.

$q={b_{n 1}}/{b_n}$

$b_n$ — $n$-ый член геометрической прогрессии

$S_n$ — сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии

Формула, для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

$b_n=b_1·q^{n-1}$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n={b_1·(q^n-1)}/{q-1},q≠1$

Простые и взаимно простые числа

Простые числа – это целые числа, большие единицы, которые имеют только два положительных делителя, а именно самих себя и $1$.

Взаимно простые числа – это числа, которые не имеют общих делителей, кроме единицы. Например, числа $15$ и $4$ взаимно просты, так как их общий делитель равен $1$.

Решение:

1. Если Маша сделала m фотографий в 1-й день, то за 17 дней она сфотографировала Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Наташа, за 1-й день сделала n фотографий, тогда за оставшиеся 17 дней она сделала

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Найдем такие m и n, чтобы выполнялось равенство:

Возьмем, к примеру, n=70 и m=1. Это ответ на вопрос а).

2. Если фотографировали девочки всего 18 дней, получается:

1173 на 18 не разделится, следовательно, выбрать такие n и m нельзя. Это ответ на вопрос б.

3. Поищем ответ на последний вопрос. Допускаем, что девочки делали фотографии x дней. Тогда Маша сделала бы в последний день снимков

То есть Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

число x является делителем 1173. Тогда возможны только варианты: x = 23, 17 или 3.

Вычисляем наибольшее число фотографий, которые могла сделать Маша. Получаем:

Для числа x=3:

При x=17:

А при x=23:

Самое большое количество снимков, которые сделала Наташа:

759 1173=1932.

Ответ: а) да; б) нет; в) 1932.

Решу егэ

Решение.

а) Расположим двузначные числа в клетках прямоугольника высоты 9 и ширины 10 (по горизонтали откладываем единицы, по вертикали – десятки). Каждой попытке Гриши соответствует крестик из пяти клеток: в центре названное им число, а по бокам четыре числа, отличающиеся в одной цифре на единицу (если названное число содержит цифру 0 или 9, некоторые клетки крестика выходят за края прямоугольника; таким клеткам никакие числа не соответствуют). Задача Гриши – покрыть прямоугольник 9 × 10 такими крестиками. Убедимся, что 18 крестиков ему не хватит. Суммарная площадь крестиков равна 18 × 5 = 90, т. е. равна площади прямоугольника. Но, покрывая угловую клетку, мы неизбежно выйдем за пределы прямоугольника, и эта потеря помешает покрыть весь прямоугольник.

б, в) Решим сразу пункт в) — убедимся, что 22 попыток хватит. Покрытие из 22 крестиков легко найти, если заметить, что крестиками можно выложить плоскость без перекрытий (правда, придётся ещё добавить несколько крестиков по краям прямоугольника). Например, Гриша может назвать числа 11, 13, 17, 25, 29, 30, 32, 37, 44, 49, 51, 56, 63, 68, 70, 75, 82, 87, 89, 90, 94, 97.

Примечание Александра Иванова.

Задача повышенной сложности, часть С | ЕГЭ по математике (профильной)

Давайте рассмотрим предложенную картинку. Прямоугольник замощен фигурами разной формы: крест (5 клеток), Т-образный (4 клетки), трехклеточные (угловые и прямые), двухклеточные фигуры и две одиночные клетки.

Услышав «холодно», мы (Гриша) сразу отбрасываем все клетки названной фигуры, услышав «тепло», — начинаем проверять. Для проверки разных фигур требуется разное максимальное количество дополнительных ходов: для креста — 3 хода, для Т-образного и трехклеточных фигур — 2 хода, для двухклеточных — 1 ход.

Стратегия состоит в следующем.

Сначала называем числа, соответствующие крестам, так как для них требуется больше проверочных ходов: 25, 32, 37, 44, 51, 56, 63, 68, 75, 82, 87 (всего 11 чисел). Если мы услышали «тепло», то для угадывания числа нам потребовалось максимум 11 3 = 14 ходов, если же всё время мы слышали «холодно», то мы потратили 11 ходов и исключили 55 чисел.

Далее называем числа, соответствующие Т-образным и трехклеточным: 11, 13, 17, 29, 30, 49, 70, 89, 94 (таких чисел 9). Если мы теперь услышали «тепло», то для угадывания числа нам потребовалось максимум 11 9 2 = 22 хода (Ура!!!), если же всё время мы и теперь слышали «холодно», то мы потратили 11 9=20 ходов и исключили 55 31 = 86 чисел.

Далее называем число 90, это был двадцать первый ход. Если слышим «тепло», то проверяем одним ходом и отгадываем число за 21 1=22 хода (Ура!!!), а если слышим «холодно», то вычеркиваем еще 2 числа. Итого вычеркнуто 86 2 = 88 чисел, за 21 ход. Осталось два невычеркнутых числа.

Про ЕГЭ:  Егэ 2023 обязательные предметы список официальный сайт Рособрнадзора утвердил правила проведения экзаменов на 21-й учебный год

ФИНАЛ (последний, 22-й ход): называем число 96. Если «тепло», то загадано число 96, если «холодно», то загадано число 98. УРА!!!

Таким образом, Гриша (с нашей помощью), при правильной стратегии максимум за 22 хода обязательно отгадает задуманное Лёшей двузначное число.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 45.

Свойства взаимно простых чисел.

Пусть $а$ и $b$ – взаимно простые числа, тогда для них справедливы следующие высказывания.

  1. Если некоторое число делится на $а$ и $b$, то оно делится и на их произведение $аb$.
  2. Если произведение $ас$ делится на $b$, то с делится на $b$.
  3. Если целые числа $а$ и $b$ взаимно просты, то их сумма $(а b)$ и произведение $(а·b)$ так же являются взаимно простыми числами.
  4. Если целые числа $а$ и $b$ взаимно просты, то НОД (наименьший общий делитель) из суммы $(а b)$ или разности ($а — b$) равен $1$ или $2$.
  5. Любые два последовательных натуральных числа взаимно просты.
  6. Если целые числа $а$ и $b$ взаимно просты, то НОД $(а b$ или $a^2-ab b^2)$ равен $1$ или $3$.

Среднее арифметическое чисел

Среднее арифметическое нескольких величин — это отношение суммы величин к их количеству.

Чтобы вычислить среднее арифметическое нескольких чисел, нужно взять сумму этих чисел и разделить все на количество слагаемых. Частное и будет средним арифметическим этих чисел.

Среднее геометрическое чисел

Чтобы найти среднее геометрическое чисел надо:

  1. Перемножить все числа
  2. Из полученного выражения в п.1 надо извлечь корень, степени, равной количеству элементов ряда.

Пример:

Найдите среднее геометрическое чисел $3,9,8$

Решение:

1. Найдем произведение чисел $3·9·8=216$

2. Извлечем корень третьей степени из полученного произведения

$√^3{216}=6$ – полученный результат и есть среднее геометрическое.

Ответ: $6$

Третий вариант (из ященко, №4)

[su_note note_color=”#defae6″]

Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа — n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1173 фотографии больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 17 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 18 дней?

в)  Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 45 фотографий?

[/su_note]

Факториал

Факториал числа — это произведение натуральных чисел от $1$ до самого числа (включая данное число). Обозначается знаком (!).

$n!=1·2·3·….·n$

Факториал нуля равен единице $0!=1$

Пример:

Вычислите $7!$

Решение:

7!=1·2·3·4·5·6·7=5040

Ответ: 5040

Четность и нечетность чисел

  1. Число называется четным, если оно делится нацело на $2$. Если $а$ четное число, то его вид можно записать $a=2n$.
  2. Число называется нечетным, если оно не делится нацело на $2$. Если $а$ нечетное число, то его вид можно записать $a=2n 1$.
  3. Сумма любого количества четных слагаемых четна.
  4. Сумма четного количества нечетных слагаемых – четное число.
  5. Сумма нечетного количества нечетных слагаемых – нечетное число.
  6. Если в произведении все множители нечетные числа, то произведение – нечетное число.
  7. Если в произведении попадется хотя бы одно четное число, то в результате умножения получится четное число.

Числовые множества

1. Натуральные числа – числа, которые мы используем для счета предметов, счёт начинается с единицы, поэтому ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается $N$.

2. Целые числа – это ноль и «плюс – минус натуральные числа». Множество целых чисел обозначается $Z$.

3. Рациональные числа – это всевозможные дроби ${m}/{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ – натуральное число, т.е. $n≠0$. Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

Числовые свойства степеней

  1. Точный квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами $2, 3, 7, 8,$ а также нечётным количеством нулей.
  2. Квадрат натурального числа либо делится на $4$, либо при делении на $8$ даёт остаток $1$.
  3. Квадрат натурального числа либо делится на $9$, либо при делении на $3$ даёт остаток $1$.
  4. Разность квадратов двух целых чисел одинаковой четности делится на $4$.
  5. При делении на $3$ куб целого числа и само число дают одинаковые остатки $(0,1,2)$.
  6. При делении на $9$ куб целого числа дает в остатке $0,1$ или $8$.
  7. При делении на $4$ куб целого числа дает в остатке $0,1$ или $3$.
  8. Число $m^5$ оканчивается на ту же цифру, что и число $m$.
Оцените статью
ЕГЭ Live