Уравнения, часть С | ЕГЭ по математике (профильной) | Теория к заданию 13

ЕГЭ

Виды показательных уравнений:

1. Простые показательные уравнения:

а) Вида $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, где $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием ($а >0, a≠1$) равны только тогда, когда равны их показатели.

$f(x)=g(x)$

b) Уравнение вида $a^{f(x)}=b, b>0$

Для решения таких уравнений надо обе части прологарифмировать по основанию $a$, получается

$log_{a}a^{f(x)}=log_{a}b$

$f(x)=log_{a}b$

2. Метод уравнивания оснований.

3. Метод разложения на множители и замены переменной.

  • Для данного метода во всем уравнении по свойству степеней надо преобразовать степени к одному виду $a^{f(x)}$.
  • Сделать замену переменной $a^{f(x)}=t, t > 0$.
  • Получаем рациональное уравнение, которое необходимо решить путем разложения на множители выражения.
  • Делаем обратные замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^{f(x)}=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

Пример:

Решите уравнение $2^{3x}-7·2^{2x-1} 7·2^{x-1}-1=0$

Решение:

По свойству степеней преобразуем выражение так, чтобы получилась степень 2^x.

$(2^x)^3-{7·(2^x)^2}/{2} {7·2^x}/{2-1}=0$

Сделаем замену переменной $2^x=t; t>0$

Получаем кубическое уравнение вида

$t^3-{7·t^2}/{2} {7·t}/{2}-1=0$

Умножим все уравнение на $2$, чтобы избавиться от знаменателей

$2t^3-7·t^2 7·t-2=0$

Разложим левую часть уравнения методом группировки

$(2t^3-2)-(7·t^2-7·t)=0$

Вынесем из первой скобки общий множитель $2$, из второй $7t$

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Дополнительно в первой скобке видим формулу разность кубов

$2(t-1)(t^2 t 1)-7t(t-1)=0$

Далее скобку $(t-1)$ как общий множитель вынесем вперед

$(t-1)(2t^2 2t 2-7t)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2 2t 2-7t=0$

Решим первое уравнение

$t_1=1$

Решим второе уравнение через дискриминант

$2t^2-5t 2=0$

$D=25-4·2·2=9=3^2$

$t_2={5-3}/{4}={1}/{2}$

$t_3={5 3}/{4}=2$

Получили три корня, далее делаем обратную замену и получаем три простых показательных уравнения

$2^x=1; 2^x={1}/{2}; 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^{-1}; 2^x=2^1$

$х_1=0; х_2=-1; х_3=1$

Ответ: $-1; 0; 1$

4. Метод преобразования в квадратное уравнение

  • Имеем уравнение вида $А·a^{2f(x)} В·a^{f(x)} С=0$, где $А, В$ и $С$ — коэффициенты.
  • Делаем замену $a^{f(x)}=t, t > 0$.
  • Получается квадратное уравнение вида $A·t^2 B·t С=0$. Решаем полученное уравнение.
  • Делаем обратную замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^{f(x)}=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

Способы разложения на множители:

  • Вынесение общего множителя за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители путем вынесения за скобки общего множителя надо:

  1. Определить общий множитель.
  2. Разделить на него данный многочлен.
  3. Записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).

Пример:

Разложить на множители многочлен: $10a^{3}b-8a^{2}b^2 2a$.

Общий множитель у данного многочлена $2а$, так как на $2$ и на «а» делятся все члены. Далее найдем частное от деления исходного многочлена на «2а», получаем:

$10a^{3}b-8a^{2}b^2 2а=2a({10a^{3}b}/{2a}-{8a^{2}b^2}/{2a} {2a}/{2a})=2a(5a^{2}b-4ab^2 1)$

Это и есть конечный результат разложения на множители.

Дробно рациональные уравнения

  • Если дробь равна нулю, то числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
  • Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно-рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

  1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
  2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые не удовлетворяют условию ОДЗ.
  • Если в уравнении участвуют две дроби и числители их равные выражения, то знаменатели можно приравнять друг к другу и решить полученное уравнение, не обращая внимание на числители. НО учитывая ОДЗ всего первоначального уравнения.

Задание 13 егэ по математике профильной 2023: теория и практика

а) Докажем, что плоскости $SBC$ и $KEF$ параллельны.

Введём прямоугольную систему координат, учитывая, что в основании правильной пирамиды квадрат $ABCD$ и угол между диагоналями квадрата прямой .

1. Найдём координаты точек $S, B, C , K , E, F$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ по теореме Пифагора $OA^2 = SA^2 — SO^2, OA = √{12^2 — 4^2} = 8√2. OC = OB = OD = OA = 8√2$, тогда сторона квадрата $AB = {OA}/{sin 45°} = {8√2}/{{1}/{√2}} = 16, AE = AB — BE = 16 — 12 = 4$.

Проведём $KN ‖ SO, SO ⊥ (ABC)$, тогда $KN ⊥ (ABC)$ и $KN ⊥ OA, △SAO ∼ △KAN$ по первому признаку подобия $(∠SOA = ∠KNA = 90°, ∠A$ — общий) ${AS}/{AK} = {SO}/{KN}, {12}/{3} = {4}/{KN}, KN = 1$.

В прямоугольном треугольнике $ANK$ по теореме Пифагора $AN^2 = AK^2 — KN^2, AN = √{3^2 — 1^2} = 2√2$, тогда $ON = OA — AN = 8√2 — 2√2 = 6√2. EN$ — проекция $KE$ на плоскость $ABC$, значит $△ANE$ прямоугольный и равнобедренный $EN = AN = 2√2$.

Получим $S(0; 0; 4), B(0; -8√2; 0), C (-8√2; 0; 0), K (6√2; 0; 1), E(6√2; -2√2; 0), F (-2√2; 6√2; 0)$.

2. Докажем, что векторы нормали к плоскостям $SBC$ и $KEF$ коллинеарны. Для плоскости $SBC$, вектор нормали ${n_1}↖{→}(a_1; b_1; c_1)$ перпендикулярен к обеим прямым $SB$ и $SC$, поэтому он должен быть перпендикулярен к векторам ${SB}↖{→}(0; -8√2; -4)$ и ${SC}↖{→}(-8√2; 0; -4)$.

Получим систему ${table {n_1}↖{→} · {SB}↖{→} = 0; {n_1}↖{→} ·{SC}↖{→} = 0;$ ${table · a_1 — 8√2 · b_1 — 4c_1 = 0; -8√2a_1 0 · b_1 — 4 · c_1 = 0;$ ${table-2√2b_1 — c_1 = 0; -2√2a_1 — c_1 = 0;$

Пусть $c_1 = -1$, тогда система примет вид ${table-2√2b_1 1 = 0; -2√2a_1 1 = 0;$

Её решение $a_1 = {√2}/{4}; b_1 = {√2}/{4}$.

${n_1}↖{→}({√2}/{4}; {√2}/{4}; -1)$ — вектор нормали плоскости $SBC$ .

Для плоскости $KEF$, вектор нормали ${n_2}↖{→}(a_2; b_2; c_2)$ перпендикулярен к обеим прямым $KE$ и $KF$, поэтому он должен быть перпендикулярен к векторам ${KE}↖{→}(0; -2√2; -1)$ и ${KF}↖{→}(-8√2; 6√2; -1)$.

Получим систему ${table {n_2}↖{→} · {KE}↖{→} = 0; {n_2}↖{→} · {KF}↖{→} = 0;$ ${table · a_2 — 2√2 · b_2 — 1 · c_2 = 0; -8√2a_2 6√2 · b_2 — 1 · c_2 = 0;$ ${table-2√2b_2 — c_2 = 0; -8√2a_2 6√2b_2 — c_2 = 0$.

Пусть $c_2 = -1$, тогда система примет вид ${table-2√2b_2 1 = 0; 8√2a_2 6√2b_2 1 = 0;$

Её решение $a_2 = {√2}/{4}; b_2 = {√2}/{4}$.${n_2}↖{→}({√2}/{4}; {√2}/{4}; -1)$ — вектор нормали плоскости $KEF$.

Векторы ${n_1}↖{→}$ и ${n_2}↖{→}$ равны, значит коллинеарны, следовательно плоскости $SBC$ и $KEF$ параллельны.

б) Искомый объём $V = {1}/{3}S · h$, где $S$ — площадь треугольника $SBC$, а высота пирамиды $h$ — это расстояние от точки $K$ до плоскости $SBC$.

1. $S = {1}/{2}SB · SC · sin α$, где $α$ — угол между прямыми $SB$ и $SC$. $cos α ={{SB}↖{→} · {SC}↖{→}}/{|{SB}↖{→}| · |{SC}↖{→}|} = {0 · (-8√2) (-8√2) · 0 (-4)(-4)}/{12 · 12} = {16}/{144} = {1}/{9}$.

$sin α = √{1 — cos^2α} = √{1 — {1}/{81}} = {4√5}/{9} · S = {1}/{2} · 12 · 12 · {4√5}/{9} = 32√5$.

2. Чтобы найти $h$ необходимо найти уравнение плоскости $SBC$. Оно имеет вид $ax by cz d = 0$, где ${n}↖{→}(a; b; c)$ — вектор нормали этой плоскости. Согласно пункту а), один из векторов нормали ${n_1}↖{→}({√2}/{4}; {√2}/{4}; -1)$. Значит, уравнение имеет вид ${√2}/{4}x {√2}/{4}y — z d = 0$. Чтобы найти значение $d$ подставим координаты точки $S(0; 0; 4)$ в это уравнение, получим $-4 d = 0, d = 4$, тогда ${√2}/{4}x {√2}/{4}y — z 4 = 0$ — уравнение плоскости $SBC$. Расстояние от точки $K(6√2; 0; 1)$ до плоскости $SBC$

$h = {|ax_0 by_0 z_0 d|}/{√{a_2 b_2 z_2}} ={|{√2}/{4} · 6√2 {√2}/{4} · 0 (-1) · 1 4|}/{√{({√2}/{4})^2 ({√2}/{4})^2 (-1)^2}} = {12√5}/{5}$, где $x_0, y_0, z_0$ — координаты точки $K$.

3. $V = {1}/{3} · 32√5 · {12√5}/{5} = 128$.

Логарифмические уравнения

Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$, где $а$ – положительное число, отличное от $1$, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Для решения логарифмических уравнений необходимо знать свойства логарифмов: все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:

$log_{а}b^m=mlog_{a}b;$

$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b.$

$log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$

Пример:

$log_{3}3^{10}=10log_{3}3=10;$

$log_{5^3}7={1}/{3}log_{5}7;$

$log_{3^7}4^5={5}/{7}log_{3}4;$

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

$log_a(bc)=log_{a}b log_{a}c$

3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$

4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

$log_{a}b∙log_{c}d=log_{c}b∙log_{a}d$, если $a, b, c$ и $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_{a}b)=b^{log_{a}b}$, где $а, b, c > 0, a≠1$

6. Формула перехода к новому основанию

$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$

7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$

Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:

— Простейшие логарифмические уравнения: $log_{a}x=b$. Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. $x=a^b$ и $х > 0$

Пример:

$log_{2}x=3$

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

$log_{2}x=log_{2}2^3$

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

$x = 8$

Ответ: $х = 8$

— Уравнения вида: $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$. Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения и учитываем ОДЗ:

$table{ f(x)=g(x); f(x)>0; g(x) > 0, а > 0, а≠1;$

Пример:

$log_{3}(x^2-3x-5)=log_{3}(7-2x)$

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

$x^2-3x-5=7-2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

$x^2-x-12=0$

$x_1=4,x_2= -3$

Проверим найденные корни по условиям $table{ x^2-3x-5>0; 7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

Ответ: $х=-3$

В данном методе надо:

  1. Записать ОДЗ уравнения.
  2. По свойствам логарифмов добиться того, чтобы в уравнении получились одинаковые логарифмы.
  3. Заменить $log_{a}f(x)$ на любую переменную.
  4. Решить уравнение относительно новой переменной.
  5. Вернутся в п.3, подставить вместо переменной значение и получить простейшее уравнение вида: $log_{a}x=b$
  6. Решить простейшее уравнение.
  7. После нахождения корней логарифмического уравнения необходимо поставить их в п.1 и проверить условие ОДЗ.

Пример:

Решите уравнение $log_{2}√x 2log_{√x}2-3=0$

Решение:

1. Запишем ОДЗ уравнения:

$table{ х>0,text»так как стоит под знаком корня и логарифма»; √х≠1→х≠1;$

2. Сделаем логарифмы по основанию $2$, для этого воспользуемся во втором слагаемом правилом перехода к новому основанию:

$log_{2}√x {2}/{log_{2}√x}-3=0$

3. Далее сделаем замену переменной $log_{2}√x=t$

4. Получим дробно — рациональное уравнение относительно переменной t

$t {2}/{t}-3=0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $t$.

${t^2 2-3t}/{t}=0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$t^2 2-3t=0$, $t≠0$

5. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:

$t^2-3t 2=0$

$t_1=1; t_2=2$

6. Вернемся в п.3, сделаем обратную замену и получим два простых логарифмических уравнения:

$log_{2}√x=1$, $log_{2}√x=2$

Прологарифмируем правые части уравнений

$log_{2}√x=log_{2}2$, $log_{2}√x=log_{2}4$

Приравняем подлогарифмические выражения

$√x=2$, $√x=4$

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. Подставим корни логарифмического уравнения в п.1 и проверим условие ОДЗ.

${table 4 >0; 4≠1;$

Первый корень удовлетворяет ОДЗ.

${table 16 >0; 16≠1;$ Второй корень тоже удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $4; 16$

  • Уравнения вида $log_{a^2}x log_{a}x c=0$. Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению. После того, как корни уравнения будут найдены, надо отобрать их с учетом ОДЗ.

Метод группировки

Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.

Пример:

Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2 4a-2$

Решение:

Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками.

$2a^3-a^2 4a-2=(2a^3-a^2) (4a-2)$

Далее из каждой группы вынесем общий множитель

$(2a^3-a^2) (4a-2)=a^2(2a-1) 2(2a-1)$

После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.

$a^2(2a-1) 2(2a-1)=(2a-1)(a^2 2)$

Произведение данных скобок — это конечный результат разложения на множители.

Одз различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

${f(x)}/{g(x)}; g(x)≠0$

2. Подкоренное выражение, должно быть не отрицательным.

$√{g(x)}; g(x) ≥ 0$.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

${f(x)}/{√{g(x)}}; g(x) > 0$

4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.

$log_{f(x)}g(x)table{ g(x) > 0; f(x) > 0; f(x)≠1;$

Показательные уравнения

Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

$a^x=b$

При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$a^n·a^m=a^{n m}$

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

$a^n:a^m=a^{n-m}$

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(a^n)^m=a^{n∙m}$

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

$(a·b)^n=a^n·b^n$

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

$a^0=1$

7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби

$a^{-n}={1}/{a^n}$

${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$

8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

Применение формул сокращенного умножения

1. Квадрат суммы раскладывается на квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе число и плюс квадрат второго числа.

$(a b)^2=a^2 2ab b^2$

2. Квадрат разности раскладывается на квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

$(a-b)^2=a^2-2ab b^2$

3. Разность квадратов раскладывается на произведение разности чисел и их сумму.

$a^2-b^2=(a b)(a-b)$

4. Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа плюс куб второго числа.

$(a b)^3=a^3 3a^2b 3ab^2 b^3$

5. Куб разности равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа и минус куб второго числа.

$(a-b)^3=a^3-3a^2b 3ab^2-b^3$

6. Сумма кубов равна произведению суммы чисел на неполный квадрат разности.

$a^3 b^3=(a b)(a^2-ab b^2)$

7. Разность кубов равна произведению разности чисел на неполный квадрат суммы.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2 ab b^2)$

С помощью формулы квадратного трехчлена.

Если имеется квадратный трехчлен вида $ax^2 bx c$, то его можно разложить по формуле

$ax^2 bx c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трехчлена

Схема решения сложных уравнений:

  1. Перед решением уравнения надо для него записать область допустимых значений (ОДЗ).
  2. Решить уравнение.
  3. Выбрать из полученных корней уравнения то, которые удовлетворяют ОДЗ.

Уравнения, часть $с$

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Оцените статью
ЕГЭ Live