Стереометрия. Профильный ЕГЭ №13

1. Состояние преподавания геометрии в школе

Введение новой формы экзамена (в форме ЕГЭ)
разделило образовательную общественность на
два, а то и на три лагеря, которые за или против
данной формы экзамена. Я не могу отнести себя ни к
одной из этих групп, я – учитель-практик, и моя
задача – подготовить всех учащихся к экзамену. И
вот, готовя учащихся к математике, а не отдельно к
алгебре и началам анализа, я увидела, что у
учащихся формируется целостное представление
математики, проявляется интерес к предмету,
формируется осознанная мотивация изучения
предмета.

Однако именно при подготовке к экзамену в форме
ЕГЭ очень ярко видны пробелы изучения геометрии
в школе.

Преподавая много лет в старших классах, я
увидела, что учащиеся имеют очень большие
затруднения в изучении геометрии. На экзаменах
по математике задача по геометрии является самым
трудным заданием. Окончив 9 классов и изучив
планиметрию, ученик должен, казалось бы, уметь
решать любую задачу в данном курсе. Однако
учащиеся не только не умеют решать задачи, даже
боятся за них браться. Я не могла согласиться с
таким положением дел. Мне было бы очень обидно
терять баллы на этих задачах.

Помочь учащимся можно было бы, заинтересовав их
изучением геометрии и организовав их
деятельность таким образом, чтобы был результат.

Проанализировав задачи в ЕГЭ, можно сказать,
что в преподавании геометрии в школе очень много
изучается как бы вскользь, чуть затрагивая
свойство или даже теорему.

К таким моментам можно отнести, например,
свойство биссектрисы угла в треугольнике.

Биссектриса угла в треугольнике делит
противоположную сторону на отрезки,
пропорциональные сторонам угла, из которого
проведена данная биссектриса. В учебнике
геометрии Л.С. Атанасяна ни слова не сказано об
этом свойстве, даже в задачах не упоминается. К
слову сказать, учебник совсем не плохой, по
сравнению с учебником геометрии Погорелова А.В.
Однако на экзаменах в форме ЕГЭ в заданиях по
геометрии 2004 и 2005 года дается задача именно на
данное свойство. В варианте 60 2005 года приведена
задача по геометрии: В прямоугольном
треугольнике АВЕ с прямым углом Е проведена
биссектриса ВТ, причем АТ = 15, ТЕ = 12. Найдите
площадь треугольника АВТ. Данная задача именно
на свойство биссектрисы. В варианте 74 2005 года
задача по геометрии: В прямоугольном
треугольнике АВС с прямым углом С проведена
биссектриса ВК. Найдите площадь треугольника
АВК, если площадь треугольника АВС равна 21, а
синус угла А равна 0,4. Данная задача также на
свойство биссектрисы.

Для хорошего результата по ЕГЭ на данное
свойство следует обратить особое внимание. Кроме
данного свойства, такая же судьба у некоторых
других свойств и признаков. Например: свойство
четырехугольника, описанного окружностью, и
четырехугольника с вписанной окружностью. У
четырехугольника, в который вписана окружность,
суммы противоположных сторон равны. У
четырехугольника, около которого описана
окружность, сумма противоположных углов равна 180
градусам. Я также считаю, что свойство длин
касательных, проведенных из произвольной точки к
окружности, также недостаточно подтверждена
задачами. Конечно, учитель для того и находится в
классе, чтобы должным образом организовать
работу в классе. Необходимо постоянно повторять,
контролировать, организовывать взаимопроверку и
самопроверку на уроках и во внеурочное время,
чтобы вызывать постоянный интерес к решению
задач.

2. Технология решения планиметрических задач
по геометрии на уроках в 10–11-х
классах

Работая над данной проблемой, у меня сложилась
определенная система, которая позволяет:

• сформировать целостное понятие геометрии на
  плоскости;
• повысить мотивацию изучения геометрии;
• повысить качество знаний;
• повысить уровень образовательного процесса в
  целом.

Начиная каждый урок геометрии, я начинаю его с
повторения. В 10-м и 11-м классе решают задачи на
планиметрию. Всю программу по планиметрии я
разбила на блоки.

• 1 блок – треугольники и их элементы;
• 2 блок – четырехугольники и их элементы;
• 3 блок – площади многоугольников;
• 4 блок – окружность и ее элементы;
• 5 блок – хорды, секущие и касательные;
• 6 блок – векторы, метод координат на
  плоскости.

Блок включает систему знаний и навыков, которые
учащийся должен продемонстрировать после его
изучения. Блок устанавливает границы, в которых
знания учащихся оцениваются, и стандарты, в
соответствии с которыми проходит обучение и
оценка. Сам по себе модуль не является учебной
программой или планом. Приведу пример изучения
1-го блока. Этапы блока:

1 этап – повторение необходимых
теоретических знаний:

• виды треугольников (равносторонний,
  равнобедренный, прямоугольный);
• элементы треугольника и их свойства ( медиана,
  биссектриса, высота, проекции катетов);
• теорема Пифагора;
• теорема косинусов;
• теорема синусов;
• средняя линия треугольника;
• подобие треугольников.

Для 10–11-классников этот материал не трудный,
но, учитывая, что он занимает на уроке от 8 до 10
минут, он является очень важным именно для
подготовки учащихся к решению планиметрических
задач на ЕГЭ.

2 этап – решение простейших задач и
контроль в группах и в парах; работа по
дидактическому материалу;

3 этап – решение нестандартных и трудных
задач. Такие задачи приносят огромную пользу.
Решение одной трудной задачи заменяет решение
многих простейших задач, но на данном этапе это
продиктовано реальной потребностью. На данном
этапе контроль осуществляется в основном
учителем.

4 этап – предварительный контроль. Так как
данный материал на уроке не основной, то и
проверка несколько затруднена. В контрольные,
самостоятельные по основной теме я добавляю
последним пунктом задачу из курса планиметрии.

5 этап – погружение; данный этап проходит
на каникулах. За неделю до каникул каждый
учащийся получает свой вариант задач и начинает
его решать. В варианте содержится 20–25
разнообразных задач. Решив все задачи, учащийся
приобретает навыки самостоятельного решения
задач, уходит страх перед экзаменом, появляется
интерес к геометрии.

Роль учителя – подобрать таким образом
теоретический и практический учебный материал,
чтобы он был направлен на решение
интегрированной дидактической цели, обеспечивал
системность деятельности учащихся при
индивидуальной и групповой работе. При такой
организации учебного процесса все участники
оперируют одинаковыми понятиями. Данная
технология обучения базируется на единстве
принципов, системности, проблемности и
блочности.

Теоретическая значимость и новизна данной
технологии состоит в том, что она
рассматривается в комплексе: цель, принципы,
способность проектирования содержания обучения,
система задач и упражнений, конструирование
дидактических материалов и система контроля и
оценки учебных достижений.

Цель – активизация самостоятельности учащихся
на протяжении всего периода обучения. Реализация
цели позволит:

• повысить мотивацию обучения;
• повысить качество знаний;
• сформировать интерес учащихся к геометрии.

3. Пример практического варианта при
погружении

1. Угол ВАС при основании АВ равнобедренного
треугольника АВС равен 50^o. Высоты
треугольника пересекаются в точке О.
Вычислить АОВ.

2. Высота равностороннего треугольника равна 5
см. На одной из его сторон дана точка, расстояние
от которой до другой стороны равно 3 см. Найти
расстояние от этой точки до другой стороны.

3. Сумма двух углов параллелограмма равна 100^o.
Вычислите углы параллелограмма.

4. Острый угол прямоугольной трапеции равен 45^o.
Определить ее среднюю линию, если меньшая
диагональ и большая боковая сторона равны между
собой и меньшее основание равно 12 см.

5. Средняя линия равнобедренной трапеции равна
18 см, отношение оснований равно 1 : 5. Определить
высоту трапеции, если ее боковая сторона равна 15
см.

6. Сумма длин диагоналей квадрата равна 16 см. Найти площадь
прямоугольника, если одна его сторона на 3 см
меньше другой, а периметр равен периметру
квадрата.

7. Одна сторона прямоугольника на 2 см меньше
другой, а его площадь равна 35. Найти площадь
квадрата, периметр которого равен периметру
данного прямоугольника.

8. Найти площадь равнобедренного треугольника,
если высоты, опущенные на его основание и боковую
сторону, соответственно равны 5 и 6.

9. Диагонали равнобочной трапеции взаимно
перпендикулярны, а площадь равна 4. Определить
высоту трапеции.

10. Около окружности описана равнобедренная
трапеция с тупым углом 120^o и периметром 36.
Найти ее площадь.

11. В равнобедренном треугольнике основание
равно 30, а боковая сторона – 39. Определить радиус
вписанной окружности.

12. В равнобочную трапецию, площадь которой
равна 20, вписана окружность радиуса 2. Определить
стороны трапеции.

13. В параллелограмме острый угол равен 60^o.
Найти стороны параллелограмма, если его периметр
равен 22, а меньшая диагональ равна 7.

14. В трапеции АВСД Д=АСВ. АС –
биссектриса угла А. Определить диагональ АС, если
средняя линия трапеции равна 8, а основания
относятся как 3: 5.

15. В равнобедренном треугольнике центр
вписанной окружности делит высоту в отношении 17:
15. Основание равно 60. Найти радиус этой
окружности.

16. В равнобедренном треугольнике основание
равно 16, а боковая сторона – 10. Определить
радиусы вписанной и описанной окружностей и
расстояние между их центрами.

17. Найти площадь правильного восьмиугольника
со стороной 8 см.

18. АВ – диаметр, АС – хорда, АД – ее проекция на
диаметр АВ. Найти радиус, если АС = 12, АД = 4.

19. В прямоугольном треугольнике биссектриса
прямого угла делит гипотенузу в отношении 3 : 4,
радиус вписанного круга равен 7. Найти стороны
треугольника.

20. Центр вписанной окружности делит высоту
равнобедренного треугольника, опущенную на
основание, на отрезки 5 и 3, считая от вершины.
Найти стороны треугольника.

21. Около равнобедренного треугольника, боковая
сторона которого вдвое больше основания, описана
окружность радиуса 1. Найти радиус окружности,
вписанной в этот треугольник, и расстояние между
центрами вписанной и описанной окружностей.

22. При каком значении С векторы (С; 2) и в
(18; С) коллинеарны и одинаково направлены?

23. Найти основание трапеции, если ее площадь
равна 144 см², а основания относятся как 4: 5 и
высота равна 16 см.

4. Результаты погружения:

5. Результаты ЕГЭ в решении задач по геометрии:

В итоге проделанной работы учащиеся показали
следующие результаты на экзаменах по математике
в форме ЕГЭ:

Процент – это сотая доля числа.

Процент обозначается символом $%$.

Чтобы проценты представить в виде десятичной дроби, надо значение разделить на $100$.

Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.

Сколько градусов содержит угол, если он составляет $5%$ от развернутого угла?

Развернутый угол равен $180°$.

Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на $100$.

Найдите число, $20%$ которого составляют $80$.

Число, $20%$ которого составляют $80$, находим так:

Задачи на скидки

Скидка — это снижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.

Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:

1. Из $100%$ вычесть процент скидки.
2. Найти полученный процент от полной стоимости товара.

Зимняя куртка стоит $4500$ рублей. Сезонная скидка составляет $20%$. Сколько надо заплатить за куртку с учетом скидки?

Найдем, какой процент от начальной стоимости будет составлять стоимость куртки со скидкой:

Посчитаем, сколько составляет $80%$ от $4500$ рублей. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.

Задачи на вклады, кредиты, наценки

Чтобы найти сумму денег с учетом годовой ставки, необходимо:

1. К $100%$ прибавить годовой процент вклада.
2. Найти полученный процент от изначального количества денег.

Клиент положил в банк 150000 рублей под $12%$ годовых. Какую сумму он сможет снять через год?

$100%+12%=112%$ — это процент, который составляет сумма денег клиента через год относительно первоначальной суммы.

Найдем $112%$ от $150000$ рублей:

В некоторых задачах на проценты удобно использовать пропорцию, например:

Мешок картошки стоил $200$ рублей. После повышения цены он стал стоить $250$ рублей. На сколько процентов была повышена цена на мешок картошки?

Возьмем за $100%$ изначальную стоимость товара (так как именно с ней мы будем сравнивать стоимость после повышения цены):

$100% — 200$р.

Пусть $х%$ — столько процентов составляет новая цена относительно старой.

С этими данными составим и решим пропорцию:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции:

Новая стоимость мешка с картошкой составляет $125%$ относительно начальной цены.

Цена увеличилась на $125%-100%=25%$.

Рабочая тетрадь по математике стоит $65$ рублей. Сколько тетрадей может купить ученик на $450$ рублей, если действует скидка $8%$?

Найдем, сколько процентов составляет стоимость тетради с учетом скидки:

Найдем $92%$ от $65$ рублей и получим стоимость $1$ тетради со скидкой:

Далее разделим $450$ рублей на стоимость одной тетради:

Дробное число тетрадей мы купить не можем, на восемь тетрадей денег не хватит, поэтому ученик сможет купить только $7$ тетрадей.

к.х.н., в.н.с. МГУ им. М.В. Ломоносова, доцент НИЯУ МИФИ,

эксперт в области ЕГЭ по физике, учитель физики Предуниверситария НИЯУ МИФИ

Существует мнение, что физика — самый сложный предмет ЕГЭ. Как сейчас обстоит дело с физикой в общеобразовательных школах? Насколько хорошо школьники ее знают?

Я согласен с тем, что физика — один из самых трудных ЕГЭ. Существует рейтинг сложности предметов, и физика в нем занимает первое место, а дальше уже идут алгебра, геометрия и русский язык. В обычной школе на физику отводится один или два часа в неделю. Чтобы хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ, этого недостаточно, даже если ученик обладает определенными способностями к предмету.

В школе ребята сдают два итоговых экзамена по физике — ОГЭ (ГИА) в конце 9 класса и ЕГЭ в конце 11 класса. Между ними есть разница. ГИА устроен таким образом, чтобы его смогли сдать все школьники, это экзамен за среднюю школу, и он довольно простой. Для подготовки к ГИА вполне достаточно двух часов физики в неделю. Что касается ЕГЭ по физике, он рассматривается как заявка на поступление в вуз естественно-научного профиля. Поэтому считается, что здесь выпускник должен продемонстрировать некую базу, необходимую для дальнейшего обучения в вузе. Экзамен сложный и требует соответствующей подготовки. Сейчас школьники имеют массу возможностей для этого. Есть профильные лицеи, при ведущих вузах работают предуниверситарии, во многих обычных школах есть физико-математические классы.

Какие изменения в ЕГЭ по физике произошли в 2017 году? Насколько они усложнили экзамен?

В этом году в экзамене по физике изменена структура первой части работы. Из нее исключены задания с выбором верного ответа и добавлены задания с кратким ответом. Это немного усложнило экзамен. Теперь надо не выбирать ответ, а получить его. Тем не менее эти задачи нельзя назвать сложными, так как они решаются с применением одного из законов. Фактически это задачи «на подстановку». При этом важно записать ответ именно в требуемых единицах измерения.

По вашему опыту преподавания, какие разделы физики самые сложные для школьников? И какие темы самые простые?

Самыми трудными являются атомная и квантовая физика, интерференция, дифракция, фотоэффект, а также элементы ядерной физики. Это специфические темы, слабо связанные с остальными разделами предмета. Там нужно знать специальные законы и правила, что вызывает сложности. Если говорить о наиболее простых темах, то это традиционно кинематика и динамика. Как правило, с этих разделов и начинается изучение физики в школе.

За какие задания на ЕГЭ по физике ставится наибольшее количество баллов?

Самые «весомые» на экзамене — последние пять задач, с № 27 по № 31, раньше это была часть С. Эти задания подразумевают развернутый ответ, где нужно записать полное решение, их проверяет эксперт. За каждую задачу максимально можно получить три балла.

Как эксперт я каждый год проверяю работы на ЕГЭ. И в большинстве случаев листы с этими задачами ребята сдают пустыми. Они за них даже не берутся, потому что не знают, как решить. Но здесь есть нюанс, который я всегда проговариваю со своими учениками. Дело в том, что в критериях оценки этих заданий есть интересный пункт. Если в работе записаны все необходимые законы и с ними произведены некоторые преобразования, считается, что школьник продемонстрировал действия, направленные на получение правильного ответа. А за это уже выставляется один балл из трех. Поэтому даже если вы не знаете, как решить задачу до конца и дойти до ответа, обязательно нужно записать все законы, которые требуются для ее решения.

Два балла набрать за задачу уже существенно сложнее. Такой результат ставится за полное решение с каким-то недочетом, например, вычислительной ошибкой. Зато один балл получить вполне реально для всех школьников, кто знает законы, пусть даже не очень умеет их применять.

Какие есть подводные камни в заданиях части 2? На что нужно обратить внимание при подготовке к заданиям повышенной сложности?

В решении задач № 24-26 нужно применить два закона. Здесь важно обратить внимание, как именно требуется записать ответ, в каких единицах измерения. Например, многие школьники привыкли писать расстояние или путь в метрах, а бывает, что ответ требуется указать в сантиметрах. Даже если решение верно, а ответ записан неправильно, результат будет нулевым.

Задание № 27 вызывает сложности даже у самых сильных выпускников. Здесь нужно не просто решить задачу, а дать анализ явления, то есть написать, какие именно законы применяются. В этом задании следует указать, как правило, три закона. И в объяснении все эти три закона должны быть отражены либо словесно, либо в виде формулы. Если какой-то из законов отсутствует в решении, балл снижается, даже если ответ верный.

Пара слов о рисунке к задаче. Если в условии сказано, что нужен рисунок, то он должен быть в решении. И он оценивается отдельно (один балл). Если по условию рисунок не требуется, за его отсутствие оценка не снижается. Но здесь важно иметь в виду и обратную ситуацию. Если вы сделали рисунок, который не требуется в условии, и показали на нем что-то неправильно, то за это оценка может быть снижена. Поэтому, если рисунок был нужен для решения, но вы в нем сомневаетесь, то лучше его зачеркнуть.

То же относится и к лишним записям. Если записано лишнее, не относящееся к решению задачи, а бывает так, что выпускник начинает писать все подряд, за это могут снять баллы. Записи, не влияющие прямо на ход решения, всегда лучше зачеркнуть — тогда они не проверяются и не влияют на оценку. Это общие рекомендации, которых следует придерживаться при подготовке к заданиям части 2.

Есть ли «формула успеха», которая поможет подготовиться к ЕГЭ по физике наилучшим образом?

Готовиться надо начинать как минимум за год. В первую очередь нужно открыть кодификатор ЕГЭ, в котором указан некий теоретический минимум для экзамена и кратко изложены основные законы. Для начала надо выучить наизусть все из этого минимума. Если самостоятельно можешь воспроизвести законы и формулы из кодификатора, значит, выучил. Теперь нужно отвечать на вопросы из части 1, там только простые задания, на один закон каждое. Это будет главная проверка, как хорошо ты знаешь законы.

Дальше можно приступать к заданиям № 24-26, они сложнее. Если выражаться шахматным языком, это задачи в два хода, для их решения нужно применить два закона. Если они получаются, можно браться за задачи повышенной сложности с развернутым ответом (№ 27-31). Таким образом, здесь требуется постепенно, системно проходить все задания по мере увеличения сложности.

Выпускникам этого года, у которых осталось до экзамена примерно два месяца, я бы посоветовал в первую очередь повторить специфические темы, которые перечислены выше. Дальше нужно решать задачи вразнобой по всем темам. Полезно найти в интернете варианты из досрочной волны ЕГЭ этого года и прорешать их.

Какие источники вы рекомендуете использовать для самостоятельной подготовки к экзамену?

• «Сайт ФИПИ». На нем размещены демоверсии ЕГЭ по физике с 2008 по 2017 год; там же вы найдете и кодификаторы.
• «РешуЕГЭ». Качественный сайт для подготовки по всем предметам ЕГЭ, в том числе по физике.
• Сборники вариантов ЕГЭ прошлых лет. Их можно приобрести в книжных магазинах или найти в интернете.
• Черноуцан А.И., «Физика. Задачи с ответами и решениями». Хороший задачник по всем темам. Единственный его серьезный минус — мало задач на графики, а в ЕГЭ они широко используются.
• Кирик Л.А., Генденштейн Л.Э., Гельфгат И.М., «1001 задача по физике с решениями». Неплохой задачник по разным уровням сложности, с подсказками.

Что нужно делать школьнику, чтобы получить 100 баллов? Реально ли это?

100 баллов получить вполне реально. В прошлом году у меня было два таких ученика, а во всей параллели Предуниверсариума МИФИ (лицей № 1511) было пять стобалльных работ по физике. Для этого не нужно быть гением, но нужны способности и усидчивость. И еще я хочу сказать, что 100 баллов — это в какой-то степени лотерея. На экзамене всегда может попасться экзотический вопрос. Например, кто провел опыты по определению давления света — Лебедев или Столетов? Невозможно ведь знать вообще все. Кроме того, всегда есть вероятность случайной ошибки — каждый год из-за таких ошибок хорошие ученики не добирают один-два балла до 100. Если ты знаешь физику очень хорошо, за 90 баллов ты всегда получишь, а вот для 100 баллов требуется еще и везение. Другое дело, что везет обычно все-таки лучшим.

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Как заходить в аудиторию на ЕГЭ

Подготовка к ЕГЭ по математике, 11 класс

Описание материала: Предлагаю вам статью, в которой показаны способы решения экономических задач на кредиты. Описаны два вида кредита: с аннуитетным платежом и дифференцированным платежом. Данный материал будет полезен для учителей математики 10-11 классов при подготовке к ЕГЭ по математике профильного уровня (задача 17).

Аннуитетный и дифференцированный платежи

1. Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные транши (платежи), растянутые на весь срок кредитования. В сумму транша включены: часть ссудной задолженности и начисленный процент. При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер транша всегда остается одинаковым.
2. Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате. Если в задаче присутствуют слова «равными платежами» или «долг уменьшается на одну и ту же величину», то речь идет о дифференцированном платеже.

Способы решения экономических задач на кредиты

Предлагаю рассмотреть решения экономических задач на кредиты доступными для учащихся способами.

Задачи на кредит с аннуитетным платежом

Задача 1.
1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
Решение:

Ответ: 5 месяцев.

Задача 2.
31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5 годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение:
Дмитрий взял в банке кредит 4 290 000 рублей.

Дмитрий выплатил кредит за два года, поэтому сумма долга в конце второго года равна 0.
Получим уравнение:

Значит сумма платежа равна 2622050р.
Ответ: 2622050 рублей.

Задачи на кредит с дифференцированным платежом

При решении задач на кредиты с дифференцированным платежом начисляемые проценты за весь период кредитования можно вычислить с помощью формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии. И потом найти сумму общего платежа. Считаю, что этот метод будет прост и понятен для учащихся.

Задача 3
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму надо выплатить банку за первые 12 месяцев?
Решение:
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен 2400000:24=100000(р.)) и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается 100000р.
Сумма начисленных «процентов» за 12 месяцев (в млн. р.):

В скобках арифметическая прогрессия. Воспользовались формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии :

За 12 месяцев буде выплачена половина долга, то есть 1,2 млн р.
Значит за первые 12 месяцев банку нужно выплатить 1 200 000 + 666 000 = 1 866 000 р.
Ответ: 1 866 000 рублей.

Задача 4

15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Решение:
Пусть в банке взяли кредит S рублей. Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

) и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается на

Сумма начисленных процентов за 5 месяцев:

Всего банку будет выплачено S + 0,03S = 1,03S. Значит общая сумма выплаченных денег от суммы кредита составляет 103%.
Ответ: 103%.

Задача 5
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?
Решение:
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен 2400000:24=100000(р.)) и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается 100000р.

Сумма начисленных процентов за 12 последних месяцев (в млн):

В скобках арифметическая прогрессия. Воспользовались формулой:

За 12 месяцев буде выплачена половина долга, то есть 1,2 млн р.
Значит за последние 12 месяцев банку нужно выплатить 1 200 000 + 156 000 = 1 356 000 р.
Ответ: 1 356 000 рублей.

Задача 6
15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных процентов к остатку. В каждый месяц долг уменьшается на

Значит за 15 месяцев должны заплатить долг – S рублей и ежемесячных процентов, начисленных к остатку:

За 7 месяцев выплачено

Из этого условия найдём S.
Восьмая выплата состоит из величины ежемесячной выплаты долга

и процентов, начисленных на величину долга после седьмой выплаты:

Получим уравнение:

Значит за весь срок кредитования будет выплачено 1 488 000 рублей.
Ответ: 1 488 000 рублей.

Задача 7
15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 15% больше, чем сумма взятая в кредит. Найдите r.

Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных к остатку процентов). В каждый месяц долг уменьшается на

Значит за 9 месяцев должны заплатить долг – S рублей плюс сумму процентов, начисленных к остаткам ежемесячно:

Значит кредит взят под 3% в месяц.
Ответ: 3%.

Задача 8
15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается на

Значит за 15 месяцев должны заплатить долг – S рублей и ежемесячных процентов, начисленных к остатку:

За 7 месяцев выплачено

Из этого условия найдём S.
Восьмая выплата состоит из величины ежемесячной выплаты долга

и процентов, начисленных на величину долга после седьмой выплаты:

В (1) подставим (2), получим: 1,08 ∙1 500 000 = 1620000
Значит за весь срок кредитования будет выплачено 1 620 000 рублей.
Ответ: 1 620 000 рублей.

Задача 9
15 января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь период кредитования?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных к остатку процентов. В каждый месяц долг уменьшается на

Значит за 18 месяцев должны заплатить долг – S рублей и сумму ежемесячных процентов, начисленных к остатку:

Значит сумма выплаченных банку денег составляет 119% от суммы долга.
Ответ: 119%.

Задача 10
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных к остатку процентов). В каждый месяц долг уменьшается на

За первый год кредитования следует выплатить:

Получим уравнение: 0,5925 S = 177750,
S = 300000
Значит в кредит взяли 300 000 рублей.
Ответ: 300 000 рублей.

Задача 11
15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что я сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 39% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r.
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных к остатку процентов). В каждый месяц долг уменьшается на

Значит за 25 месяцев должны заплатить долг –S рублей плюс сумму процентов, начисленных к остаткам ежемесячно:

Значит кредит взят под 3% в месяц.
Ответ: 3%.

Задача 12
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за последние 12 месяцев нужно выплатить банку 1597,5 тысяч рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение:
Пусть взяли кредит S рублей.
Платёж за месяц состоит из величины ежемесячного долга (он равен

и начисленных к остатку процентов). В каждый месяц долг уменьшается на

Значит за последние 12 месяцев должны заплатить долг –

рублей и ежемесячных процентов, начисленных к остатку:

Получим уравнение: 0,5325 S = 1597500; S = 3 00 000.
Значит планируется взять 3 000 000 рублей.
Ответ: 3 000 000 рублей.

Литература
И.В.Ященко. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. Издательство «Экзамен», М. 2017.

Рекомендуем посмотреть:

Урок математики в 4 классе






Конспект урока математики в 1 классе «Ознакомление с решением составных задач»






Конспект урока по математике, 2 класс. Решение задач






Конспект урока по химии. Решение расчетных задач, 10 класс

Реклама:

Похожие статьи:

Контрольная работа с дескрипторами для 2 класса по теме «Решение задач» по системе Л.В. Занкова