Стереометрия 1 часть. Подготовка к ЕГЭ по математике 2019 — презентация онлайн

Решение заданий В8 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике

Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D1

прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5,

AD = 7, AA1 = 6.

Решение.

С1 Диагональ прямоугольного

параллелепипеда равна

сумме квадратов трех его

измерений:

BD12 = AB2 BC2 BB12

BD12 = AB2 AD2 AA12

BD12 = 52 72 62 =

7 D

С = 25 49 36 = 110

Ответ: 110.

Найдите расстояние между вершинами A и D1

прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4,

AD = 12, AA1 = 5.

Решение.

С1 Диагональ грани

прямоугольного

параллелепипеда равна

сумме квадратов двух его

измерений (по теореме

Пифагора в п/у ADD1):

2 = AD2 DD 2

12 D

АD12 = AD2 AA12

АD12 = 122 52 = 132

АD1 = 13

Ответ: 13.

Найдите угол AC1C прямоугольного параллелепипеда, для

которого AB = 15, A1D1 = 8, AA1 = 17. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол AC1C найдем из п/у AСС1,

в котором известен катет

СС1 = АА1 = 17, а катет АС

найдем по теореме Пифагора

в п/у AВС:

АС2 = AВ2 ВС2

AC2 = 152 82 = 172

AC = 17. Значит AСС1 − р/б,

AC1C = 45 .

Ответ: 45.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все

ребра равны 41. Найдите расстояние между точками F и B1.

Решение.

Расстояние между точками

F и B1 найдем из п/у FBB1,

С1 в котором известен катет

BB1 = 41, а катет FB является

меньшей диагональю в

правильном шестиугольнике и

равен 41√3. По теореме

Пифагора в п/у FBB1 :

FB1 2 = FВ2 FB12

С FB 2 = (41√3)2 412 =

= 412(3 1) = 412 ∙ 22;

FB1 = 41 ∙ 2 = 84.

Ответ: 84.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все

ребра равны 29√5. Найдите расстояние между точками A1 и D.

А 29√5

Решение.

Расстояние между точками

D и A1 найдем из п/у AA1D,

С1 в котором известен катет

AA1 = 29√5, а катет AD

является большей диагональю в

правильном шестиугольнике и

равен 58√5. По теореме

Пифагора в п/у AA1D :

DA1 2 = DA2 AA12

С DA 2 = (29√5)2 (58√5)2 =

= 292(5 20) = 292 ∙ 52;

DA1 = 29 ∙ 5 = 145.

Ответ: 145.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все

ребра равны 30. Найдите тангенс угла AD1D.

Решение.

Рассмотрим п/у AD1D,

в котором известен катет

DD1 = 30, а катет AD является

большей диагональю в

правильном шестиугольнике

и равен 60.

tg AD1D = AD : DD1 = 60 : 30 = 2

Ответ: 2.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все

ребра равны 20. Найдите угол СВЕ. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Рассмотрим п/у СВЕ,

в котором известен катет

ВС = 20, а катет ВЕ является

большей диагональю в

правильном шестиугольнике

и равен 40.

cos СВЕ = ВС : ВЕ = 20 : 40 = 0,5

СВЕ = 60

Ответ: 60.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все

ребра равны 31. Найдите угол С1СЕ1. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Рассмотрим п/у С1СЕ1 ,

в котором известен катет

СС1 = 31, а катет С1Е1 является

меньшей диагональю в

правильном шестиугольнике

и равен 31√3.

tg С1СЕ1 = E1С1 : CC1 =

= 31√3 : 31 = √3

СВЕ = 60

Ответ: 60.

Найдите расстояние между вершинами D и В1 многогранника,

изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника

прямые.

А2 3

Решение.

Рассмотрим п/у В1ВD,

в котором катет

BB1 = 12 – 6 = 6, а катет

BD2 = AD2 AB2 = 32 62 = 45

DB12 = DB2 BB12 = 45 36 = 81

DB1 = 9.

Ответ: 9.

№10

Найдите квадрат расстояния между вершинами D и В2

многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы

многогранника прямые.

Решение.

Рассмотрим п/у DD2В2,

в котором катет

DD2 = 5, а катет B2D22 = A2D22 A2B22

B2D22 = 62 22 = 40

DB22 = DD22 B2D22 = 25 40 = 65.

Ответ: 65.

№11

Найдите квадрат расстояния между вершинами D и С2

многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы

многогранника прямые.

Решение.

Рассмотрим п/у DD2С2,

в котором катет

DD2 = 5, а катет

D2С2 = 3

DС22 = DD22 D2С22

DС22 = 25 9 = 34.

Ответ: 34.

№12

Найдите расстояние между вершинами C и B2 многогранника,

изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника

прямые.

А2 3

Решение.

Достроим до прямоугольного

параллелепипеда как на рисунке.

Рассмотрим п/у B2СМ,

в котором катет

МС = 12,

а катет

B2М2 = B2C22 C2М2 =

= 32 (6 – 2)2 = 25

B2C2 = B2M2 MC2 =

= 25 122 = 169

B2C = 13.

Ответ: 13.

№13

Найдите квадрат расстояния между вершинами А2 и С1

многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные

углы многогранника прямые.

7 С

Решение.

Достроим до прямоугольного

параллелепипеда как на рисунке.

Рассмотрим п/у А2С1М,

в котором катет

МС1 = 14 – 12 = 2,

а катет

А2М2 = A2D22 D2М2 =

= 122 142 = 340

A2C12 = A2M2 MC12 =

= 340 4 = 344.

Ответ: 344.

Стереометрия 1 часть. подготовка к егэ по математике 2022 — презентация онлайн