Проценты и кредиты ЕГЭ 2022

ЕГЭ

Задачи на оптимизацию егэ 2022 профиль математика:

Достаточно часто в вариантах ЕГЭ и диагностических работах стали появляться экономические задачи на оптимизацию. Как правило, решение таких задач сводится к исследованию функции, нахождению точек экстремума и наибольшего (наименьшего) значения функции.

Для этого сначала составляется, как принято говорить, математическую модель задачи. Здесь часто успех решения зависит от разумного выбора независимой переменной. Затем выявляют оптимизирующую величину (т.е. величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти) и, записав функцию, связывающую независимую переменную с оптимизирующей величиной, исследуют ее.

Чаще всего это делается с помощью производных. Ниже приведены задачи, которые можно использовать для подготовки к 15 заданиям профильного ЕГЭ 2022 по математике.

1)В июне 1 кг огурцов стоил 120 рублей. В июле огурцы подешевели на 20%, а в августе ещѐ на 50%. Сколько рублей стоил 1 кг огурцов после снижения цены в августе?

Правильный ответ: 48

2)В июне 1 кг помидоров стоил 140 рублей. В июле цена помидоров снизилась на 40%, а в августе ещѐ на 50%. Сколько рублей стоил 1 кг помидоров после снижения цены в августе?

Правильный ответ: 42

3)В сентябре 1 кг яблок стоил 50 рублей, в октябре яблоки подорожали на 20%, а в ноябре—ещѐ на 40%. Сколько рублей стоил 1 кг яблок после подорожания в ноябре?

Правильный ответ: 84

4)В сентябре 1 кг слив стоил 60 рублей, в октябре сливы подорожали на 25%, а в ноябре—ещѐ на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в ноябре?

Правильный ответ: 90

5)В июле планируется взять кредит на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга; • ежегодные выплаты не превышают 400 000 рублей. Какое минимальное число рублей может составлять долг через год после взятия кредита?

Правильный ответ: 800 000

6)В июле планируется взять кредит на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга; • ежегодные выплаты не превышают 300 000 рублей. Какое минимальное число рублей может составлять долг через год после взятия кредита?

Правильный ответ: 800 000

7)В июле планируется взять кредит на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга; • ежегодные выплаты не превышают 400 000 рублей.

Правильный ответ: 326 400

8)В июле планируется взять кредит на сумму 1 000 000 рублей. Условия его возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга; • ежегодные выплаты не превышают 300 000 рублей.

Правильный ответ: 78 980

9)В кредит взяли 21 млн. рублей на 5 лет под r% годовых. По условиям кредита, на конец первых трѐх лет задолженность остаётся неизменной и равной 21 млн. рублей, а выплаты последних двух лет равны. На конец пятого года кредит должен быть погашен. Найдите r, если известно, что сумма всех выплат составит 30,5 млн. рублей.

Правильный ответ: 10

10)Задача с ЕГЭ 2020. В июле 2026 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 630 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 630 тыс. рублей; — выплаты в 2030 и 2031 годах равны; — к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью. Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 915 тыс. рублей.

Правильный ответ: 10

11)15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й (с января 2025 года по август 2026 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15 августа 2026 года долг составит 200 тысяч рублей; — 15 сентября 2026 года кредит должен быть полностью погашен.

Правильный ответ: 800 тыс. рублей. 

12)15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й (с января 2025 года по июнь 2027 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15 июня 2027 года долг составит 100 тысяч рублей; — 15 июля 2027 года кредит должен быть полностью погашен.

Правильный ответ: 400 тыс. рублей.

13)В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; — в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

Правильный ответ: 16

14)В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы: • в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года; • в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; • в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

Правильный ответ: 1400 тыс. рублей.

15)В июле планируется взять кредит в банке на 13 лет. Условия его возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; • в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r, если известно, что наибольший годовой платѐж по кредиту в 3 раза больше наименьшего платежа.

Правильный ответ: 20

16)В июле планируется взять кредит в банке на 12 лет. Условия его возврата таковы: • каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; • с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; • в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Найдите r, если известно, что наибольший годовой платѐж по кредиту в 2 раза больше наименьшего платежа.

Правильный ответ: 10

17)15 декабря планируется взять кредит в банке на S тысяч рублей на 32 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа первый и последний месяцы долг должен уменьшиться на 250 тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на а тысяч рублей. Найдите S, если всего было выплачено банку 2061,5 тысяч рублей?

Правильный ответ: 1550

18)15 декабря планируется взять кредит в банке на S тысяч рублей на 68 месяцев. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1,5 % по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа последние три месяца долг должен уменьшиться на 300 тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на а тысяч рублей. Найдите S, если всего было выплачено банку 3748 тысяч рублей?

Правильный ответ: 2200

19)Инна Николаевна получила кредит в банке под определенный процент годовых. В конце первого и второго года в счет погашения кредита она возвращала в банк 19 от всей суммы, которую она должна была банку к этому времени. В конце третьего года в счет полного погашения кредита Инна Николаевна внесла в банк сумму, которая на 12,5% превышала величину полученного кредита. Какой процент годовых по кредиту в данном банке?

Правильный ответ: 12,5

20)В банке A начисляют на вклад 40% годовых, а в банке Б 60% годовых. Иван Петрович положил часть денег в банк А, а оставшуюся сумму в банк Б. Через два года сумма положенная в банки увеличилась на 150% . Какую часть денег он положил в банк А?

Правильный ответ: 1:10

21)Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 20% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на x млн рублей, где x — целое число. Найдите наименьшее значение x, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 24 млн рублей.

Правильный ответ: 4

22)Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на x млн рублей, где x — целое число. Найдите наименьшее значение x, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей.

Правильный ответ: 8

23)Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 20% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на 5 млн рублей.

Правильный ответ: 9

24)Евгений хочет купить пакет акций компании. 15 февраля он отложил определѐнную сумму денег и планирует откладывать такую же сумму денег 15 числа каждого месяца. Первого февраля пакет акций стоил 195 000 рублей. Первого числа каждого месяца пакет акций дорожает на 40 %.

Правильный ответ: 127 400

25)Михаил хочет купить пакет акций компании. 15 февраля он отложил определѐнную сумму денег и планирует откладывать такую же сумму денег 15 числа каждого месяца. Первого февраля пакет акций стоил 160 000 рублей. Первого числа каждого месяца пакет акций дорожает на 25 %.

Правильный ответ: 78 125.

26)В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 25 человек. Их нужно распределить на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 3t 2 д. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 д. е.

Правильный ответ: 6 рабочих на 1-й объект, 19 рабочих на 2-й объект, зарплата 469 д е.

27)Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t 2 тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?

Правильный ответ: 9

28)В двух шахтах добывают алюминий и никель. На первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. На второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день.

При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Правильный ответ: 4 500

Поделиться

Все 15 задания ЕГЭ 2022 по математике профильный уровень, которые могут встретиться вам на реальном ЕГЭ 2022 по математике профиль. Практика задания №15 задачи на вклады, кредиты, оптимизацию, для всех заданий есть правильный ответ.

Решу егэ

Решение.

Если искомая сумма составляет S рублей, то при коэффициенте ежегодной процентной ставки q, равной 1,31, фиксированная сумма Phi, которую клиент ежегодно должен возвращать в банк в течение 3 лет, составляет Phi= дробь: числитель: Sq в кубе , знаменатель: q в квадрате плюс q плюс 1 конец дроби , откуда S= дробь: числитель: Phi умножить на (q в квадрате плюс q плюс 1), знаменатель: q в кубе конец дроби .

Заметим, что 69 690 821 кратно 1,31 в кубе . Действительно, 69690821:1,31=53199100;

53199100:1,31=40610000;40610000:1,31=31000000.

S= дробь: числитель: 69690821 умножить на (1,31 в квадрате плюс 1,31 плюс 1), знаменатель: 1,31 в кубе конец дроби =31000000 умножить на 4,0261=40261 умножить на 3100=124809100.

Ответ: 124 809 100 рублей.

Замечания:

1. В мировой практике существует и работает два способа (схемы) погашения кредитов: дифференцированная, при которой периодический платеж включает постоянную сумма для погашения основного долга по кредиту, к которой прибавляются проценты на оставшуюся часть долга, и аннуитетная при которой долг гасится равными платежами, как в условии данной задачи.

2. При аннуитетной схеме, как правило, бывает кратным q в степени n либо фиксированная сумма, которую клиент обязан вносить в отчетный период, либо сумма взятого кредита. Возможен случай, когда та или другая сумма, указанная выше, кратна q в степени (n минус 1) плюс q в степени (n минус 2) плюс ... плюс q плюс 1.

3. Прежде чем приступить к решению задачи, лучше проверить ожидаемые кратности, что облегчит дальнейшие вычисления.

Приведём другое решение.

Заметим, что ежегодный платеж равен 69 690 821 = 31 000 000 · 1,313.

Если искомая сумма составляет x рублей, то:

Решение уравнения:

1,31 в кубе (x минус 1,31 в квадрате умножить на 31000000 минус 1,31 умножить на 31000000 минус 31000000)=0 равносильно

 равносильно x минус 1,31 в квадрате умножить на 31000000 минус 1,31 умножить на 31000000 минус 31000000=0 равносильно

 равносильно x=1,31 в квадрате умножить на 31000000 плюс 1,31 умножить на 31000000 плюс 31000000 равносильно x=31000000 умножить на (1,31 в квадрате плюс 1,31 плюс 1) равносильно

x=3100 умножить на 10000 умножить на (1,7161 плюс 2,31) равносильно x=3100 умножить на 10000 умножить на 4,0261 равносильно x=31 умножить на 40261 умножить на 100 равносильно x = 124 809 100.

Ответ: 124 809 100 рублей.

Ответ: 124 809 100 рублей. 124 809 100 рублей.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 131.

Оцените статью
ЕГЭ Live