Планиметрия. Краткий справочник с основными фактами

Тексты задач ЕГЭ по планиметрии

№ 1п. В равнобокой трапеции средняя линия равна 5 см, а большее основание на 18 см меньше её периметра. Найдите периметр трапеции, если её диагональ делит тупой угол пополам.

Ответ:[26 см]

№ 2п. Разность диагоналей ромба равна 10 см, а его периметр 100 см. Найдите сумму диагоналей ромба.

 Ответ:[70 см]

№ 3п. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 8 см и 10 см. Чему равно её большее основание, если меньшее основание равно 10 см.

Ответ:[16 см]

№ 4п. Медиана СМ, проведённая из вершины прямого угла С треугольника АВС, равна 6. Найдите площадь треугольника, если один из его углов равен 15°.

Ответ:[18]

№ 5. В равнобокой трапеции диагонали перпендикулярны боковым сторонам. Чему равна площадь этой трапеции, если её основания равны 36 см 60 см?

Ответ:[1152 см2]

Критерии оценок:

4-5 задач  “5”

3 задачи   “4”

2 задачи  “3”

0-1 задача  “2”

Решение задач №1 — №5

№1

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция

          m = 5см (средняя линия трапеции)        

          AD < PABCD  на 18см

          АС – диагональ трапеции

          ∠ВСА = ∠DCA

Найти: РABCD

Решение:

1. ∠ВСА = ∠DCA (по условию, т.к. АС – биссектриса ∠BCD)

∠ВСА = ∠CAD (как накрест лежащие при параллельных прямых BC, AD и секущей АС)

Значит, ∠CAD = ∠DCA. Поэтому, ΔACD – равнобедренный (AD = CD)

2. Пусть AD = CD = AB = x,

                      ВС = у, тогда по условию задачи

х у = 10

3х у – х = 18

у = 10 – х

3х 10 – х – х = 18

х 10 = 18

х = 8

х = 8

у = 2

х = 8, у = 2 – решение системы уравнений.

3.  Р = 3х у = 3*8 2 = 26 (см)

Ответ: 26 см

№2

          Дано: ABCD – ромб

          АС – BD = 10см

          РABCD = 100см

          Найти: AC BD.

Решение:

1. По свойству диагоналей ромба О – середина AC и BD и BD⊥AC.
2. Пусть OC=y ; OD=x , то 2y — 2x=10 ⇔ y-x=5 ⇔ y=5 x   (1)
3. По теореме Пифагора для ΔCOD:  x2 y2=625 (2)
4. Составим и решим систему уравнений:

 y=5 x                     y = 5 x

 x2 y2=625             x2 (5 x)2=625

                                x2 25 10x x2=625

                                2x2 10x – 600 =0    ⎪:2

                                X2 5X-300=0

                                D=25 1200=1225 >0, 2 корня

                                x =       

                                                  x1 = -20  ;   x2 = 15

x = -20 – не удовлетворяет условию задачи, тогда

x = 15                        OC = 20см          AC = 40 см

y = 20, т.е.                         OD = 15см    BD = 30 см

AC BD = 70 см

Ответ: 70 см       

№3

Решение:

1) В трапеции проведём высоту СК; ABCK  — прямоугольник, тогда по свойству противоположных сторон прямоугольника AK= BC = 10см

2) По теореме Пифагора из треугольника CKD: KD = см

Поэтому AD = AK KD = 10 6 = 16 см

№ 4

Дано: В ABC  C = 900

CM = 6 (медиана треугольника)

B = 150

Найти S abc

Решение:

1) По теореме точка М – центр описанной около ABC окружности, CM – радиус этой окружности. Значит, AB = 12 см.

2) Найдём катеты AC и BC: BC = AB cos150 

       AC = AB sin150

3)  S abc = (см2)

Ответ: 18 см2

№ 5

Дано:

ABCD – трапеция

AB = CD

ACCD

BDAB

BC = 36 см

AD = 60 см

Найти: SABCD

Решение:

1. Проведём высоты трапеции CK и BE.
2. В прямоугольном треугольнике ACD по свойству (см) (AE=DK=(60-36):2=12)
3. SABCD= (см2)

Ответ: 1152см2.