- ЕГЭ Профиль №13. Тригонометрические уравнения
- Алгебра и начала анализа. Урок по теме «Однородные тригонометрические уравнения» (10-й класс)
- Материал по подготовке к ЕГЭ по теме
- Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Теория и методика преподавания в образовательной организации
- Дистанционные курсы для педагогов
- Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему
- Материал подходит для УМК
- Другие материалы
- Вам будут интересны эти курсы
- Автор материала
- Подарочные сертификаты
- Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня
- Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике профильного уровня
- Второй вариант задания (из Ященко, №1)
- Третий вариант задания (из Ященко, № 6)
- Задание №1179
- Ответ
- Задание №1178
- Задание №1177
- Задание №1176
- Задание №1175
- Задание №1174
ЕГЭ Профиль №13. Тригонометрические уравнения
13 задания профильного ЕГЭ по математике представляет собой уравнение с отбором корней принадлежащих заданному промежутку. Одним из видов уравнений которое может оказаться в 13 задание является тригонометрическое уравнение. Как правило, это достаточно простое тригонометрическое уравнение для решения которого потребуется знания основных тригонометрических формул, и умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Отбор корней тригонометрического уравнения принадлежащих заданному промежутку можно производить одним из четырех способов: методом перебора, с помощью тригонометрической окружности, с помощью двойного неравенства и графическим способом. В данном разделе представлены тригонометрические уравнения (всего 226) разбитые на три уровня сложности. Уровень А — это простейшие тригонометрические уравнения, которые являются подготовительными для решения реальных тригонометрических уравнений предлагаемых на экзамене. Уровень В — состоит из уравнений, которые предлагали на реальных ЕГЭ и диагностических работах прошлых лет. Уровень С — задачи повышенной сложности.
Алгебра и начала анализа. Урок по теме «Однородные тригонометрические уравнения» (10-й класс)
Тип урока: урок формирования новых знаний.
Форма проведения: работа в группах.
Оборудование: компьютер, мультимедийная установка
I. Организационный момент
Приветствие учащихся, мобилизация внимания.
На уроке рейтинговая система оценки знаний (учитель поясняет систему оценки знаний, заполнение оценочного листа независимым экспертом, выбранным учителем из числа учащихся). Урок сопровождается презентацией . Приложение 1.
II. Актуализация опорных знаний..
Домашняя работа проверяется и оценивается независимым экспертом и консультантами до урока и заполняется оценочный лист.
Учитель подводит итог выполнения домашнего задания.
Учитель: Мы продолжаем изучение темы “Тригонометрические уравнения”. Сегодня на уроке мы познакомимся с вами с еще одним видом тригонометрических уравнений и методами их решения и поэтому повторим изученное. Все виды тригонометрических уравнений при решении сводятся к решению простейших тригонометрических уравнений.
Проверяется индивидуальное домашнее задание, выполняемое в группах. Защита презентации “Решения простейших тригонометрических уравнений”
(Оценивается работа группы независимым экспертом)
III. Мотивация обучения.
Учитель: нам предстоит работа по разгадыванию кроссворда. Разгадав его, мы узнаем название нового вида уравнений, которые научимся решать сегодня на уроке.
Вопросы спроецированы на доску. Учащиеся отгадывают, независимый эксперт заносит в оценочный лист баллы отвечающим учащимся.
Разгадав кроссворд, ребята прочитают слово “однородные”.
IV. Усвоение новых знаний
Учитель: Тема урока “Однородные тригонометрические уравнения”.
Запишем тему урока в тетрадь. Однородные тригонометрические уравнения бывают первой и второй степени.
Запишем определение однородного уравнения первой степени. Я на примере показываю решение такого вида уравнения, вы составляете алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени.
Уравнение вида аsinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени.
Рассмотрим решение уравнения, когда коэффициенты а и в отличны от 0.
Пример: sinx +
Разделив обе части уравнения почленно на cosx, получим
Внимание! Делить на 0 можно лишь в том случае, если это выражение нигде не обращается в 0. Анализируем. Если косинус равен 0, то получается и синус будет равен 0, учитывая что коэффициенты отличны от 0, но мы знаем, что синус и косинус обращаются в нуль в различных точках. Поэтому эту операцию производить можно при решении такого вида уравнения.
Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения первой степени:
Уравнение вида аsin mx + bcos mx = 0 тоже называют однородным тригонометрическим уравнение первой степени и решат также деление обеих частей уравнения на косинус mх.
Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Пример: sin 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0
Коэффициент а отличен от 0 и поэтому как и предыдущем уравнении соsх не равен0 и поэтому можно воспользоваться способом деления обеих частей уравнения на соs 2 х.
Получим tg 2 x + 2tgx – 3 = 0
Решаем путем введения новой переменной пусть tgx = а , тогда получаем уравнение
Возвращаемся к замене
Если коэффициент а = 0, то уравнение примет вид 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0 решаем способом вынесения общего множителя cosx за скобки
Если коэффициент с = 0, то уравнение примет вид sin 2 x +2sinx cosx = 0
решаем способом вынесения общего множителя sinx за скобки .
Однородные уравнения вида a sin 2 m x + b sin mx cos mx + c cos 2 mx = 0 решаются таким же способом
Алгоритм решени однородных тригонометрических уравнений записан в учебнике на стр. 102.
V. Формирование навыков решения однородных тригонометрических уравнений
Открываем задачники стр. 53
1-я и 2-я группа решают № 361 в)
3-я и 4-я группа решают № 363 в)
Показывают решение на доске, объясняют, дополняют. Независимый эксперт оценивает.
Решение примеров из задачника
№ 361в) sinx – 3cosx = 0 делим обе части уравнения на cosx 0, получаем
№ 363в) sin 2 x + sinxcosx – 2cos 2 x = 0 разделим обе части уравнения на cos 2 x, получим tg 2 x + tgx – 2 = 0 решаем путем введения новой переменной пусть tgx = а , тогда получаем уравнение а 2 + а – 2 = 0 Д = 9 а1 = 1 а2 = –2 возвращаемся к замене
VI. Самостоятельная работа
По окончанию самостоятельной работы меняются работами и взаимопроверка. Правильные ответы проецируются на доску.
Потом сдают независимому эксперту.
Решение самостоятельной работы
VII. Подведение итогов урока
VIII. Задание на дом
§ 20.3 читать. № 361(г), 363(б), повышенной трудности дополнительно
Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.
“5” – 22 балла и более“4” – 18 – 21 балл“3” – 12 – 17 баллов
За высокую активность ставится дополнительная оценка.
Материал по подготовке к ЕГЭ по теме
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Методический центр сектора дошкольного, общего и дополнительного образования
Муниципального бюджетного учреждения
«Городское управление народного образования»
МБОУ «Гимназия №2»
Данная работа может быть использована в качестве учебного материала при подготовке учащихся к экзамену. В данной работе рассмотрены решения простейших тригонометрических уравнений. Рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, показаны способы отбора корней.
I . Важные моменты при решении тригонометрических уравнений.
При решении тригонометрических уравнений необходимо уметь вычислять значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Это возможно вычислять с помощью таблицы или единичной окружности.
Примеры использования единичной окружности.
arcsin = arccos = arctg = arcctg =
arctg (-1) = arcctg(-1) =
а rcsin(- ) =- arccos( )= arctg( )= — arcctg( ) =
а rcsin 0 = 0 arccos 0 = arctg 0 = 0
arcctg 0 = не существует
Тренировку по нахождению значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса можно провести, используя следующую таблицу.
Для успешного решения тригонометрических уравнений необходимо знать основные формулы.
При решении тригонометрических уравнений (для упрощения тригонометрических выражений) иногда приходится использовать формулы приведения.
Тренировку можно произвести с помощью следующей таблицы.
II . Решение простейших тригонометрических уравнений.
Для удобства запоминания формул можно использовать следующую таблицу.
Частные случаи решения тригонометрических уравнений.
Примеры решения простейших тригонометрических уравнений.
III . Методы решения тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
1.Приведение к квадратному уравнению.
2.Приведение к однородному уравнению.
Уравнение называется однородным относительно sin и cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
а) перенести все его члены в левую часть;
б) вынести все общие множители за скобки;
в) приравнять все множители и скобки нулю;
г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени;
д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно тангенса или котангенса.
3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , разделим обе части уравнения на cos 2 x
tg 2 x +4 tgx +3=0, пусть tgx = t , тогда t 2 +4 t +3=0.
Корнями этого уравнения являются числа -1 и -3.
3. Разложение на множители.
4. Введение вспомогательного угла.
sinx + cosx =2 разделим обе части уравнения на 2, получим
так как cos = и sin =
IV . Отбор корней тригонометрического уравнения.
При выполнении задания С-1 необходимо найти те корни уравнения, которые принадлежат заданному промежутку. Это можно сделать с помощью перебора или решения неравенства.
1.Решить уравнение: 2,5sin2x = 7 cos 2 x – 1,
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку х .
В данном уравнении отбор корней проведем перебором.
Для решения уравнения воспользуемся основным тригонометрическим формулой двойного угла для синуса и основным тригонометрическим тождеством. Получим уравнение
5sinxcosx = 7cos 2 x – sin 2 x – cos 2 x, т . е . sin 2 x – 6cos 2 x+ 5sinxcosx = 0
Разделим обе части уравнения на cos 2 x. Получим tg 2 x+ 5tgx – 6 = 0.
Пусть tgx = t, тогда t 2 + 5t – 6 = 0, t = 1 или t = –6.
tgx = 1 или tg = –6;
Проведём отбор корней, принадлежащих отрезку .
Если n =0, то x=. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.
Если n =1, то x=. Этот корень тоже принадлежит рассматриваемому промежутку.
Если n =2, то x =. Ясно, что данный корень не принадлежит промежутку.
Если n = –1, то x = – не принадлежит промежутку .
Если k =0, то x= arctg (-6), x =- arctg 6 – не принадлежит промежутку .
Если k =1, то x= arctg (-6)+. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.
2. Решить уравнение sin 2 x -2 cos 2 x =2 и указать корни, принадлежащие промежутку .
Используя формулу двойного угла косинуса и основное тригонометрическое тождеств. Получим уравнение sin 2 x =1.
Составим и решим неравенства:
целых значений m удовлетворяющих неравенству нет.
n =1 удовлетворяет неравенству.
3.Необходимо обратить внимание на уравнения, содержащие деление.
Решите уравнение: а) . б) Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку .
б ) Если k =0, то х =. Данный корень не принадлежит промежутку.
Если k =-1, то х =. Данный корень не принадлежит промежутку.
Если k =-2, то х =. Данный корень принадлежит промежутку.
Если k =-3, то х =. Данный корень принадлежит промежутку.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс профессиональной переподготовки
Теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему
5 593 507 материалов в базе
Материал подходит для УМК
«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
§ 36. Решение тригонометрических уравнений
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»
Другие материалы
- 7059
- 133
- 10.05.2018
- 515
- 06.05.2018
- 2500
- 03.05.2018
- 569
- 03.05.2018
- 4426
- 259
Вам будут интересны эти курсы
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
Настоящий материал опубликован пользователем Колобова Светлана Айратовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Автор материала
Московский институт профессиональной переподготовки и повышения квалификации педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной
Время чтения: 1 минута
В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах
Время чтения: 0 минут
В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной
Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов
Время чтения: 3 минуты
Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей
Приемная кампания в вузах начнется 20 июня
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Задание №13 ЕГЭ по математике профильного уровня
В 13 задании профильного уровня ЕГЭ по математике необходимо решить уравнение, но уже повышенного уровня сложности, так как с 13 задания начинаются задания бывшего уровня С, и данное задание можно назвать С1. Перейдем к рассмотрению примеров типовых заданий.
Разбор типовых вариантов заданий №13 ЕГЭ по математике профильного уровня
Простейшие (Protozoa) — тип одноклеточных животных.
Решение
сos2x = 1 – sin x.
Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу косинуса двойного аргумента, с использованием синуса:
Получаем такое уравнение: 1−sin 2 x=1− sinx Теперь в уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция sinx. 2. Вводим замену: t = sinx. Решаем получившееся квадратное уравнение:
3. Делаем обратную замену:
Решаем эти уравнения:
Следовательно, получаем два семейства решений. Пункт б):
1. В предыдущем пункте получено два семейства, в каждом из которых бесконечно много решений. Необходимо выяснить, какие из них, находятся в заданном промежутке. Для этого строим числовую прямую.
2. Наносим на нее корни обоих семейств, пометив их зеленым цветом (первого) и синим (второго).
3. Красным цветом помечаем концы промежутка. 4. В указанном промежутке расположены три
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Второй вариант задания (из Ященко, №1)
Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.
D=b 2 – c = 81 – 4∙4∙2 =49,
3. Возвращаемся к переменной х:
Пункт б) 1. Строим координатную плоскость и окружность единичного радиуса на ней. 2. Отмечаем точки, являющиеся концами отрезка. 3. Выбираем те значения, которые лежат внутри отрезка..
. Их два. Ответ: а)
Третий вариант задания (из Ященко, № 6)
Открытый банк заданий по теме тригонометрические уравнения. Задания C1 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задание №1179
а) Решите уравнение 2(sin x-cos x)=tgx-1.
а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 sin x-2 cos x-tg x=0. Учитывая, что cos x
eq 0, слагаемое 2 sin x можно заменить на 2 tg x cos x, получим уравнение 1+2 tg x cos x-2 cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 cos x)=0.
1) 1-tg x=0, tg x=1, x=racpi 4+pi n, n in mathbb Z;
2) 1-2 cos x=0, cos x=rac12, x=pm racpi 3+2pi n, n in mathbb Z.
Ответ
а) racpi 4+pi n, pmracpi 3+2pi n, n in mathbb Z;
Задание №1178
а) Решите уравнение (2sin ^24x-3cos 4x)cdot sqrt =0.
а) ОДЗ: egin tgxgeqslant 0\x
eq racpi 2+pi k,k in mathbb Z. end
Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений
4x=pm racpi 3+2pi n,
Решим второе уравнение.
tg x=0,, x=pi k, k in mathbb Z.
При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.
Задание №1177
а) Решите уравнение: cos ^2x+cos ^2racpi 6=cos ^22x+sin ^2racpi 3;
а) Так как sin racpi 3=cos racpi 6, то sin ^2racpi 3=cos ^2racpi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению cos^2x=cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению cos^2x-cos ^2 2x=0.
Но cos ^2x-cos ^22x= (cos x-cos 2x)cdot (cos x+cos 2x) и
cos 2x=2 cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид
(cos x-(2 cos ^2 x-1)),cdot (cos x+(2 cos ^2 x-1))=0,
(2 cos ^2 x-cos x-1),cdot (2 cos ^2 x+cos x-1)=0.
Тогда либо 2 cos ^2 x-cos x-1=0, либо 2 cos ^2 x+cos x-1=0.
Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно cos x, получаем:
Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо cos x=-1, либо cos x=rac12. Если cos x=-1, то корни x=pi +2mpi , m in mathbb Z. Если cos x=rac12, то x=pm racpi 3+2npi , n in mathbb Z.
Объединим полученные решения:
x=mpi , m in mathbb Z; x=pm racpi 3 +spi , s in mathbb Z.
б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.
а) mpi, m in mathbb Z; pm racpi 3 +spi , s in mathbb Z;
Задание №1176
2. Преобразуем sin x+cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: sin x=cos left(racpi 2-x
ight), cos x+sin x= cos x+cos left(racpi 2-x
ight)= 2cos racpi 4cos left(x-racpi 4
ight)= sqrt 2cos left( x-racpi 4
ight) = rac65.
Найденные значения x принадлежат области определения.
1. Докажем вспомогательное неравенство:
2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:
Отсюда racpi 4+0
Аналогично, -racpi 4
0=racpi 4-racpi 4 racpi 4
При k=-1 и t=-1 получаем корни уравнения a-2pi и b-2pi.
При остальных значениях k и t корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.
Задание №1175
а) Решите уравнение sin left( racpi 2+x
ight) =sin (-2x).
а) Преобразуем уравнение:
cos x+2 sin x cos x=0,
x =racpi 2+pi n, n in mathbb Z;
x=(-1)^cdot racpi 6+pi k, k in mathbb Z.
Указанному промежутку принадлежит единственное число racpi 2.
а) racpi 2+pi n, n in mathbb Z; (-1)^cdot racpi 6+pi k, k in mathbb Z;
б) racpi 2.
Задание №1174
а) Найдём ОДЗ уравнения: cos 2x
eq -1, cos (pi +x)
eq -1; Отсюда ОДЗ: x
eq rac pi 2+pi k,
k in mathbb Z, x
eq 2pi n, n in mathbb Z. Заметим, что при sin x=1, x=rac pi 2+2pi k, k in mathbb Z.
Полученное множество значений x не входит в ОДЗ.
Значит, sin x
eq 1.
б) Решим неравенства
Этому неравенству удовлетворяет k=-1, тогда x=-pi.
а) rac pi 3+2pi m; -rac pi 3+2pi n; pi +2pi k, m, n, k in mathbb Z;