Логарифмические уравнения | ЕГЭ по математике (профильной)

Логарифмические уравнения | ЕГЭ по математике (профильной) ЕГЭ

Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:

1. Простейшие логарифмические уравнения: $log_{a}x=b$. Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. $x=a^b$ и $х > 0$

$log_{2}x=3$

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию 2

$log_{2}x=log_{2}2^3$

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

$x = 8$

Ответ: $х = 8$

2. Уравнения вида: $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$. Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения:

${table f(x)=g(x); f(x)>0; g(x)>0;$

$log_3(x^2-3x-5)=log_3(7-2x)$

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

$x^2-3x-5=7-2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

$x^2-x-12=0$

$x_1=4,x_2= -3$

Проверим найденные корни по условиям: ${table x^2-3x-5>0; 7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

Ответ: $х= -3$

3. Уравнения квадратного вида ${log_a^2}x log_{a}x c=0$. Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению.

4. Уравнения вида $a^x=b$. Решаются логарифмированием обеих частей по основанию $а$.

Решить уравнение $log_5log_2(x 1)=1$

Решение:

Сделаем в обеих частях уравнения логарифмы по основанию $5$

$log_5(log_2(x 1))=log_{5}5$

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

$log_2(x 1)=5$

Далее представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

$log_2(x 1)=log_{2}2^5$

$x 1=32$

$x=31$

ОДЗ данного уравнения $x 1>0$

Подставим вместо х в неравенство $31$ и проверим, получиться ли верное условие $32>0$, следовательно, $31$ корень уравнения.

Ответ: $31$

Задание 1.

Найдите значение выражения (sqrt{3}-sqrt{13})(sqrt{3}   sqrt{13})a^2-b^2=(a-b)(a b)a^2-b^2=(a-b)(a b)a=sqrt{3}b=sqrt{13}b=sqrt{13}a^2-b^2=(sqrt{3})^2-(sqrt{13})^2=3-13=-10

Ответ: -10.

Задание 2.

Найдите значение выражения frac{(5sqrt{3})^2}{10}frac{5^2 cdot (sqrt{3})^2}{10}=frac{25cdot3}{10}=frac{75}{10}=7,5frac{5^2 cdot (sqrt{3})^2}{10}=frac{25cdot3}{10}=frac{75}{10}=7,5

Ответ: 7,5.

Ничего сложного, если вы знаете формулы сокращенного умножения и свойства степеней.

А для того, чтобы найти значение выражения, в котором есть логарифмы, нужно знать свойства логарифмов.

Задание 3.

Найдите значение выражения frac{log_{3}4}{log_{3}2} log_{2}0,5

Здесь для нахождения значения выражения мы будем использовать следующие свойства логарифмов:

переход к новому основанию log_{a}b=frac{log_{c}b}{log_{c}a}log_{a}b log_{a}c=log_{a}{bc}log_{a}b log_{a}c=log_{a}{bc}frac{log_{3}4}{log_{3}2} log_{2}0,5=log_{2}4 log_{2}0,5=log_{2}{4cdot 0,5}=log_{2}2=1

Ответ: 1.

Задание 4.

Найдите значение выражения frac{(2^{frac{4}{7}}cdot 3^{frac{2}{3}})^{21}}{6^{12}}(a^m cdot b^n)^k=a^{mk} cdot b^{nk}(a^m cdot b^n)^k=a^{mk} cdot b^{nk}

Преобразуем выражение в числителе дроби:

Разложим 6 на множители 2 и 3, получим:

Далее используем свойства степеней:

Сокращая числитель и знаменатель на 2^{12}frac {2^{12}cdot 3^{14}}{2^{12} cdot 3^{12}}=3^{14-12}=3^2=9frac {2^{12}cdot 3^{14}}{2^{12} cdot 3^{12}}=3^{14-12}=3^2=9

Ответ: 9.

Задание 5

Найдите значение выражения: frac {81^{2,6}}{9^{3,7}}81=3^481=3^49=3^2frac{(3^4)^{2,6}}{(3^2)^{3,7}}frac{(3^4)^{2,6}}{(3^2)^{3,7}}frac{(3^4)^{2,6}}{(3^2)^{3,7}}=frac{3^{4cdot 2,6}}{3^{2cdot 3,7}}=frac{3^{10,4}}{3^{7,4}}=3^{10,4-7,4}=3^3=27

Ответ: 27.

Задание 6

Найдите значение выражения log_{8}144-log_{8}2,25log_{a}b-log_{a}c=log_{a}{frac{b}{c}}log_{a}b-log_{a}c=log_{a}{frac{b}{c}}log_{8}144-log_{8}2,25=log_{8}{frac{144}{2,25}}=log_{8}{64}=2

Ответ: 2.

Задание 7

Найдите значение выражения log_{4}40-log_{4}2,5

Действуем также, как и в предыдущем задании, используя свойство разности логарифмов:

Ответ: 2.

Задание 8

Найдите 28cos{2alpha}cos{alpha}=-0,7cos{alpha}=-0,7

Для того, чтобы найти значение данного выражения нам понадобятся две тригонометрические формулы:

  1. Основное тригонометрическое тождество: cos^{2} {alpha} sin^{2} {alpha}=1.
  2. Косинус двойного аргумента: cos{2alpha}=cos^{2} {alpha}-sin^{2} {alpha}.

Итак, по формуле (2) распишем наше выражение в следующем виде: 28cos{2alpha}=28(cos^{2} {alpha}-sin^{2} {alpha})sin^{2} {alpha}=1-cos^{2} {alpha}sin^{2} {alpha}=1-cos^{2} {alpha}

Тогда наше выражение примет вид:

Подставляем значение косинуса, получим:

Ответ: -0,56.

Задание 9

Найдите значение выражения 3sqrt{2}cos ^2 {frac{13 pi}{8}}-3sqrt{2}sin ^2 {frac{13 pi}{8}}3sqrt{2}3sqrt{2}3sqrt{2}(cos ^2 {frac{13 pi}{8}}-sin ^2 {frac{13 pi}{8}})cos{2alpha}=cos^{2} {alpha}-sin^{2} {alpha}cos{2alpha}=cos^{2} {alpha}-sin^{2} {alpha}cos {pi/4}=frac{sqrt{2}}{2}cos {frac{13pi}{4}}cos {frac{13pi}{4}}13pi/4pipifrac{pi}{4}}cos {frac{13pi}{4}}=cos{(3pi frac{pi}{4})}cos {frac{13pi}{4}}=cos{(3pi frac{pi}{4})}cos {frac{13pi}{4}}=cos{(3pi frac{pi}{4})}=-cos{frac{pi}{4}}=-frac{sqrt{2}}{2}3sqrt{2} cos {frac{13 pi}{4}}3sqrt{2} cos {frac{13 pi}{4}}3sqrt{2} cos {frac{13 pi}{4}}=3sqrt{2} cdot(-frac{sqrt{2}}{2})=-3

Ответ: -3.

Задания егэ профильного уровня по математике

Какие бывают задания с требованием найти значение выражения. Эти задания бывают разными и относящимися к разным темам. Например, выражения в задании 9 ЕГЭ по математике профильного уровня бывают:

  • степенные
  • логарифмические
  • тригонометрические
  • числовые
  • иррациональные (с корнями)
  • с переменными заданными величинами

Давайте рассмотрим общий принцип и необходимые теоретические сведения для решения каждого типа выражения.

Степенные выражения

Для того, чтобы найти значение выражения со степенями, вам понадобятся формулы для вычисления степеней. Приведем самые распространенные из них, на которые обычно дается задание нахождения значения выражения со степенями. Вы должны четко понимать, что если число находится в какой то степени, то оно не свободное, оно в отношении степени.

Например, вот здесь frac{6^{5}}{2^{3}}3^53^5cdotfrac {3^{6,5}}{9^{2,25}}frac {3^{6,5}}{9^{2,25}}frac {3^{6,5}}{9^{2,25}}=frac{3^{6,5}}{(3^2)^{2,25}}=frac{3^{6,5}}{3^{4,5}}=3^{6,5-4,5}=3^2=9

Здесь мы использовали свойство степени при делении степеней с одинаковыми основаниями. Приведем все необходимые для решения данных заданий свойства степеней:

Давайте рассмотрим еще несколько заданий.

Оцените статью
ЕГЭ Live